分布函数及其基本性质
分布函数、均匀分布、指数分布函数-精品文档
X pk
3
0 .1
4
0 .3
5
0 .6
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解：F x P { X x } 当 x 时 0,
F x 0 ;
1, 当 x 时
F A B 0 1 1 2 A B 2 A F B 1 2
1 1 所以 F r c t a n x x a 2
例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x )
X
pk
0 1 3
1
2
1 2
1 6
F ( x ) P { X x } 解:
F x 1
当0 时 , x 1
F ( x ) P { X x } P { 0 X x } kx
特别,令 x 1, P k 1 { 0 X 1 } k 1 1
, x0 0 F (x ) ＝ P { X x } ＝ , 0x1 x 1 x1 ,
F ( x ) F ( x ) P { X x } 2 1 1
同理，还可以写出 P P { x X x } { x X x }, 1 2 1 2
二、分布函数的性质
，则 F ⑴ 单调不减性： ( x ) F ( x ) 若 x 1 2 1 < x2
F ( x ) 1，且 F ( ) l i m F () x 0 , ⑵ 0
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x } p , k 1 , 2 , 3 , k k
分布函数及其基本性质ppt课件
0, x 1
F
(x)
0.2,1
0.7,2
x2 x4
，
1, x 4
(1)
求 P(X
3)
,
P(
1 2
X
3) 及 P(X
2)
;
(2) 求 X 的分布律.
解 (1) P (X3 )F (3 )0 .7
P(1 X 3) F(3)F(1)0.70.20.5
2
2
.
P (X 2 ) 1 P (X 2 ) 1 P (X 2 ) P (X 2 )
1 F ( 2 ) F ( 2 0 ) F ( 2 0 )
1 0 .7 0 .5 0 .8
(2) 由于 P(X X 0 ) F(x0 0) F(x0 0) ,可得
P (X 1 ) 0 .2 0 0 .2 ,
P (X 2 ) 0 .7 0 .2 0 .5 ,
P (X 4 ) 1 0 .7 0 .3
或者
F()limF(x)0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是随机变量的 分布函数.
.
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比，试求 X 的分布函数.
解：设 F(x) 为 X 的分布函数， 0
F(x)
1
1 2
12
16
O
13
O
16
O
0
1
2
x
.
已知 X 的分布律为
X 1 0 1 2 求X的分布函数，
1 1 1 1 并画出它的图形。
P 2 3 12 12
0
(x 1)
分布函数、均匀分布、指数分布函数讲解
一、连续型随机变量的定义
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f x x , ，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
对于连续型随机变量的 分布函数 F ( x)必是连续函数 .
0 1 10 F x 2 5 1
x3 3 x 4
4 x5
x5
2 1 3 P X 4 F 4 F 4 0 5 10 10
2 3 P X 5 F 5 F 4 1 5 5
130 , 0 x 30 即 f ( x) 其它 0,
为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
例 2、 设连续型随机变量 X的概率密度为
求 A的值， 解：
A 1 3
1 3 x 3 0
f ( x)dx
0
A 3.
1 3
1 3 x Ae dx A( )e 3
3 x
0
f ( x ) dx
1 3 0
3e 3 x dx e
∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。 (1) P{x1 X x2} (2) P{x1 X x2} 同理，还可以写出
P{X x1} P{X x1}
二、分布函数的性质
⑴ 单调不减性： ，则
2.3分布函数的定义及性质
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
下面我们从图形上来看一下. 1y
12
16
13
O
O
0
1
注意右连续
归纳题型方法， 及要注意的地 方，图形特征。
1 2
O
x
2
一般地
设离散型 r .v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk ,
则其分布函数
k =1,2,3,…
pk
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
F
1
1 (x4)
0134,,,212
x 31,
1 1x 2, 4
2 x 3,
4
1, x 3.
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
例2 设r.v X的分布函数为
F(x ) A B arctan x,x R
求A=?, B=?
解 F(-∞) = A + B(- π) = 0,
2 F(+∞) = A + B(+ π) = 1,
2
A=1/2, B=1/π.
例3 已知随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F(x)
对任意实数 x， P( X x) ?
一、分布函数的定义
设 X 是一个随机变量(离散型或非离散型)，称
P( X x) ( x ) 为 X 的分布函数 , 记作 F (x)= P( X x)
注:
o X Xx
x
(1)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
概率分布函数的定义与性质
概率分布函数的定义与性质概率分布函数是概率论中一种常见的函数，用于描述随机变量的分布情况。
在统计学、物理学、金融学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将简单介绍概率分布函数的定义、性质和常见的概率分布函数。
一、概率分布函数的定义在概率论中，随机变量是指取值没有确定性的变量。
例如，投掷一枚硬币，随机变量可以是正面向上、反面向上两种取值。
概率分布函数是一个实函数，其输入参数随机变量X，输出为X的取值在一个区间的概率。
假设随机变量X的可能取值为{x1, x2, ..., xn}，则概率分布函数F(x)的定义为：F(x) = P(X<=x)其中，P(X<=x)为X的取值小于等于x的概率。
概率分布函数描述的是X的分布情况，其中x可以是实数或者整数。
概率分布函数有两个重要的性质。
二、概率分布函数的性质1. F(x)是一个单调不减函数由概率定义可知，随着x的增加，P(X<=x)的概率越来越大，F(x)也随之增加。
因此，概率分布函数F(x)是单调不减的。
2. F(x)的范围在[0,1]随机变量X的取值范围是有限的，因此概率分布函数也是有限的。
对于任意的x，由概率定义可知，P(X<=x)的概率在0和1之间。
因此，概率分布函数F(x)的范围也在[0,1]之间。
三、常见的概率分布函数1. 二项分布概率分布函数二项分布用于描述重复n次的独立实验，每次实验的结果是成功或者失败。
二项分布概率分布函数F(x)的表达式为：F(x) = P(X<=x) = Σi=0^x(n,i)pi(1-p)^(n-i)其中，n表示实验次数，p表示成功的概率，(n,i)表示组合数，即从n个实验中取i个成功的组合数。
二项分布描述的是实验结果是成功的次数为x的概率。
2. 正态分布概率分布函数正态分布用于描述大量随机事件的分布情况。
正态分布概率分布函数F(x)的表达式为：F(x) = (1/2)(1+erf((x-μ)/(σ*√2)))其中，erf(x)是误差函数，μ是均值，σ是标准差。
分布函数
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
(3) 右连续性：F(x)是右连续函数，即对任意的x0，有
lim
x
x
0F(x)F来自(x0)
➢这三个基本性质是判别分布函数的充要条件。
2
§ 2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的分布函数
➢
例1
证明F ( x) 1 [arctan x ], x
2
➢是一个分布函数。
证 显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布 函数。
该函数称为柯西分布函数。
3
§2.1 随机变量及其分布函数
例2 设随机变量的分布函数为：
A Bex x 0 F(x)
0 x0
其中 0 是常数。 求 A, B。
解 因为分布函数右连续，故
又由F () 1得A 1, 从而B 1
§2.1 随机变量及其分布函数
二、用分布函数求事件的概率
随机变量X 的分布函数F(x)=P{Xx}本身就是事件的概率。
容易得到 P{X a} F (a) F (a 0) 前面已得到 P{a X b} F (b) F (a)
P{a X b}
F(b) F(a)
1
二、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质
F(x) P{X x}
容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调 非减函数，即对任意的x1 < x2，有 F(x1) F(x2)；
分布函数的性质与特殊的例子
第三周随机变量及其概率分布3.3分布函数的性质与特殊的例子分布函数的性质任意随机变量的分布函数()x F 都具有如下三条基本性质（1）单调性()x F 是()+∞∞-,上单调非减函数，即()()2121,x F x F x x ≤<∀；（2）有界性R x ∈∀，有()10≤≤x F ，()()0lim ==∞--∞→x F F x ，()()1lim ==∞∞→x F F x ；（3）右连续性()x F X 是关于x 的右连续函数，即R x ∈∀0，有()()00lim x F x F x x =+→，()()000x F x F =+利用分布函数计算随机变量在不同区域上的概率()()()P a X b P X b P X a <≤=≤-≤()()F b F a =-()()()P X a P X a P X a ==≤-<()()()()lim 0x aF a F x F a F a -→=-=--()()()()()1110P X b P X b P X b P X b F b ⎡⎤≥=-<=-≤-==--⎣⎦,()()()()()()()()0P a X b P a X b P X a F b F a P X a F b F a ≤≤=<≤+==-+==--****************************************************************既非离散型也非连续型的随机变量例3.3.1()00101211x x F x x x <⎧⎪+⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩()()()()1212F x F x F x =+()⎩⎨⎧≥<=01001x x x F ，()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110002x x x x x F ****************************************************************例3.3.2既非连续也非离散的分布，康托尔（Cantor）分布⎪⎭⎫ ⎝⎛=32,311C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=98,9792,912 C ，3127819202526,,,,2727272727272727C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=4C 定义函数()10021 02, 12211n n n x k F x x C k k n ,,x -≤⎧⎪-⎪=∈<≤=⎨⎪≥⎪⎩ 当的第个子集时，,对所有 ,2,1=n ，第n 级集合n C 包括12n -个小区间，每个区间的长度为13n ，则所有n C （ ,2,1=n ，）的长度和为131231231231lim 1322=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅+-∞→n n n 。
2.3 随机变量的分布函数-
x 1,
(2)
F(x)
P{ X
x}
P{ X P{ X
1}, 1}
P{ X
2},
1 x 2, 2 x 3,
1,
0, x 1,
即
F(x)
1 3
4, 4,
1 x 2, 2 x 3,
F(x) 1
x 3.
作 业 P57 19
思考与练习
0, x 1,
1、设离散性随机变量 X的分布函数为
F
(
x)
0.4, 0.8,
1 x 1, 1 x 3,
求X的分布律。
1, x 3.
2、可作为某一随机变量的分布函数的是（）
1 A: F(x) 1 x2
B : F ( x) 1 arctan x 1
x
x
（3）F( x)处处右连续.
即
lim
x x0
F
(
x)
F(
x0
),
( x0 ).
重要公式 ——用分布函数计算某些事件的概率
(1) P{a X b} F (b) F (a ),
(2) P{ X a} 1 F (a).
(3)P{X b} F(b) P{X b} (4)P{a X b} F(b) F(a) P{X b} (5)P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
（3）P{ X a} 1 P{ X a} 1 F (a)
（4）P{ X b} P{ X b} P{ X b} F (b) P{ X b}
连续型随机变量分布函数
连续型随机变量分布函数连续型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）在概率论和统计学中起着重要的作用。
它描述了随机变量小于等于一些特定值的概率，并且通过求导可以得到连续型随机变量的概率密度函数（probability density function，简称PDF）。
设X是一个连续型随机变量，其具有一个实数范围和一个局部累积概率的函数F(x)。
F(x)定义为：F(x)=P(X≤x)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率。
任何连续型随机变量的分布函数都满足以下三个基本性质：1.非负性：对于任意的实数x，F(x)≥0。
2.单调性：对于任意的实数x1，x2且x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
3. 有界性：极限limx→∞F(x)=1，limx→-∞F(x)=0。
除了这些基本性质外，CDF还具有以下重要特性：1. 右连续性：F(x)在其定义域上是右连续的，即对于任意实数x，有limh→0F(x+h)=F(x)。
2.概率性：对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)。
3. 导数：如果分布函数F(x)在一些点x上可导，则其导数即为对应的概率密度函数f(x)，即f(x)=dF(x)/dx。
根据这些性质，我们可以使用CDF来计算连续型随机变量在特定取值范围内的概率。
例如，对于正态分布，我们可以使用标准正态分布的CDF 来计算落在一些区间内的概率。
从数学角度来看，连续型随机变量的分布函数F(x)是一个增加的、连续的、非降的函数。
在实际应用中，我们经常使用F(x)来计算概率或者根据已知的分布函数反推随机变量的取值范围。
总之，连续型随机变量的分布函数是一种重要的概率工具，它提供了描述和计算随机事件概率的基础。
通过分布函数，我们可以了解随机变量的特性以及它们在不同取值范围内的概率分布。
在实际应用中，我们可以根据分布函数来进行各种统计分析，进一步推断和解释观测数据的特征和规律。
分布函数与概率密度函数解析：概率密度函数的性质分析
分布函数与概率密度函数解析：概率密度函数的性质分析分布函数与概率密度函数是概率论中常用的两个概念，它们可以描述随机变量的分布特征与概率分布。
其中，概率密度函数是对连续型随机变量分布进行描述的函数，而分布函数则是概率密度函数的积分形式。
本文将对分布函数与概率密度函数的定义、性质及其在实际问题中的应用进行详细的解析和分析。
一、分布函数的定义与性质首先，我们来定义分布函数的概念。
对于一个随机变量X，它的分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)，其中P表示概率。
分布函数具有以下几个性质：1. 范围性：分布函数的值域为[0, 1]。
2. 单调性：随着x的增大，分布函数递增。
3. 右连续性：分布函数在每个点x处均连续。
4. 左极限性：分布函数的左极限存在（可能等于或小于分布函数在该点的值）。
5. 概率性：当x趋于负无穷时，分布函数趋于0；当x趋于正无穷时，分布函数趋于1。
二、概率密度函数的定义与性质接下来，我们介绍概率密度函数的概念。
对于一个连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)定义为：f(x) = dF(x)/dx。
概率密度函数具有以下几个性质：1. 非负性：对于所有的实数x，概率密度函数的取值为非负数。
2. 归一性：概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。
3. 概率性：对于任意实数a和b（a<b），随机变量X落在区间[a, b]内的概率为∫[a,b]f(x)dx。
概率密度函数与分布函数之间存在一种导数与积分的关系，即：F(x) = ∫[-∞, x]f(t)dt。
三、概率密度函数的性质分析概率密度函数在概率论和统计学中具有重要的应用价值。
下面，我们将对概率密度函数的一些相关性质进行进一步分析。
1. 概率密度函数的图像特征：概率密度函数的图像通常是一个连续曲线，且满足非负性和归一性。
在概率密度函数图像中，概率密度函数曲线下的面积表示随机变量落在对应区间内的概率。
2. 概率密度函数的峰值与分布类型：概率密度函数的峰值对应于概率密度函数图像上的最高点，它反映了随机变量的众数或最可能取到的值。
均匀分布的分布函数
均匀分布的分布函数一、引言在概率论与数理统计中，均匀分布是一种常见的概率分布，被广泛应用于各个领域。
均匀分布的特点是概率密度函数在一定区间内是常数，也就是说各个取值概率是相等的。
为了更好地理解均匀分布，需要了解其分布函数的概念以及计算方法。
本文将介绍均匀分布的分布函数定义、性质以及其计算方法。
二、均匀分布的定义均匀分布是一种连续概率分布，在给定区间上的所有取值的概率是相等的。
均匀分布常用符号表示为U(a, b)，其中a和b分别为区间的上下界。
均匀分布的概率密度函数（PDF）为：f(x) = 1 / (b - a)， a <= x <= b对于任意小于a或大于b的值，概率密度函数为0。
均匀分布的分布函数（CDF）是概率密度函数的积分形式，描述的是随机变量小于等于某个特定值的概率。
下面将介绍均匀分布的分布函数及其性质。
三、均匀分布的分布函数及性质1. 分布函数的定义均匀分布的分布函数（CDF）表示为F(x)，对于任意给定的x，F(x)计算的是随机变量小于等于x的概率。
具体计算方法为：F(x) = (x - a) / (b - a)， a <= x <= b当x小于a时，F(x)等于0；当x大于b时，F(x)等于1。
分布函数是一种累积分布函数，表示的是小于等于某个特定值x的概率。
分布函数在统计推断、假设检验等领域中扮演着重要的角色。
2. 分布函数的性质均匀分布的分布函数具有以下性质：（1）F(x)是单调不减的函数。
对于均匀分布，随着x的增大，F(x)逐渐增大，表示了在给定区间内随机变量小于等于某个特定值的概率增大。
（2）F(a) = 0，F(b) = 1。
这表示在取值范围的下界a处的概率是0，在取值范围的上界b处的概率是1。
（3）F(x)是一个连续的函数。
均匀分布的分布函数是连续的，在区间内的任何值都有一个对应的概率。
四、均匀分布的分布函数计算方法均匀分布的分布函数可以通过不同的方法进行计算。
分布函数的应用与分析
分布函数的应用与分析随着现代科学技术的不断发展，人们对大量数据的处理和分析需求也越来越高。
分布函数作为一种常见的数学工具，被广泛应用于各种数据分析和研究领域，如金融风险管理、物理学、天文学等。
本文将着重介绍分布函数的应用和分析方法。
一、分布函数的概念与基本性质分布函数是概率论中用于描述随机变量的概率分布的函数。
它的定义为：$F(x) = P(X\leq x)$其中，X为随机变量，x为实数。
分布函数可以用图像形式表示，通常为一个从0到1的连续曲线，横轴为随机变量的取值，纵轴为概率。
分布函数具有以下基本性质：1. $0 \leq F(x) \leq 1$，即分布函数的值域在0到1之间。
2. $F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$，即当随机变量趋于负无穷时，分布函数趋近于0；当随机变量趋于正无穷时，分布函数趋近于1。
3. 单调不减性：$x_1 \leq x_2$时，$F(x_1) \leq F(x_2)$。
4. 右连续性：$\lim_{x\rightarrow x_0^+} F(x) = F(x_0)$，即当随机变量的取值从右侧无限趋近于某一点时，分布函数的极限等于该点的函数值。
5. 左极限：$\lim_{x\rightarrow x_0^-} F(x) = F(x_0)-$，即当随机变量的取值从左侧无限趋近于某一点时，分布函数的极限等于该点的函数值减去左极限。
二、分布函数在金融风险管理中的应用分布函数在金融风险管理中的应用非常广泛。
其中，最常用的是正态分布函数和t分布函数。
在金融风险管理中，它们通常用于衡量资产价格的波动性和风险。
以正态分布函数为例，它的表达式为：$F(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \int_{-\infty}^{x}{e^{-(t-\mu)^2/2\sigma^2}dt}$其中，$\mu$表示随机变量X的期望，$\sigma$表示标准差。
随机变量的分布函数
1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
Xμ 引理 若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ
2
若 X ~ N ( ,
2)
x ,则 F ( x)
P (a X b) F (b) F (a ) b a P( X a) 1 F (a) a 1
F (b 0 ) F ( a )
P (a X b) F (b 0) F (a 0)
sin x, 0 x 例1.设F ( x) , F ( x)是否为r.v的分布函数. 其他 0,
例2.r.v. X 的分布函数 A Be F ( x) 0, 求A, B.
F ( x ) 1; F () lim F ( x) 0, F ( ) lim x
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
(3) lim F ( x) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0
用分布函数表示概率
7 7 41 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) . 2 2 48
课堂练习: 设r.v. X 的概率密度为f ( x) Ae , x 求 : (1) A; (2) P{0 X 1}; (3) X 的分布函数.
x
二、常见连续型随机变量的分布
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e
1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
分布函数、均匀分布、指数分布函数.
记作： X ～ U [a, b]
分布函数为: F ( x)
x
0, xa f (t )dt , b a 1,
x a，
a x b， x b.
均匀分布的概率背景
因为 P{c X c l}
例1 已知 F x A arctan x B ，求 A、 B。 解
F
2
A B 0
A
F
2
1
A B 1
1 B 2
1 所以 F x arctan x 2
1
例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x)
c l
c
f ( x)dx
P{ X xk } F ( xk ) F ( xk 0)
例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为
0 1 10 F x 2 5 1
求 X 的分布律。
x3 3 x 4 4 x5 x5
解 X 的可能取值为 3，4，5。
1 P X 3 F 3 F 3 0 10
f ( x)可积 F ( x)连续
2.
概率密度的性质
⑴ 非负性 ⑵
f ( x) 0
f ( x)dx＝1
由于
F ()
f ( x)dx＝1
f ( x) F ( x)
(3) f (x)在点x 处连续，则
3、连续性随机变量的特点
(1)
(2)
(3) F(x)连续。
第四节 随机变量的分布函数
随机变量及其分布函数的基本性质
随机变量及其分布函数的基本性质随机变量是概率论中最基本的概念之一，是对随机事件的量化描述。
简单来说，随机变量就是在一个随机试验中可能出现的某个数值。
在数学上，随机变量可以看作是一个实数值函数，它将样本空间中的每个元素映射到实数轴上的某个点上。
分布函数是描述随机变量分布情况的工具，它定义为随机变量取某个值或小于等于某个值的概率。
换言之，分布函数描述了随机变量的累积分布情况。
本文将就随机变量及其分布函数的基本性质进行详细探讨。
一、随机变量的分类在概率论中，随机变量可以分为连续型和离散型两类。
离散型随机变量只取有限个或可数个值，比如掷骰子得到的点数；连续型随机变量可以取任意实数值，比如身高、体重等。
二、随机变量的基本性质1. 取值范围和概率随机变量的取值范围可以是有限或无限的，但概率和必须等于1。
如果随机变量取值范围是有限的，则每个可能的取值的概率都是非负的，且所有概率之和等于1。
如果随机变量取值范围是无限的（比如连续型随机变量），则需要借助于概率密度函数，将其转化为相应的概率。
2. 分布函数每个随机变量都对应一个分布函数，分布函数可以分为累积分布函数和概率质量函数。
累积分布函数是指随机变量小于等于某一值的概率，记为F(t)，可以表示为F(t) = P(X <= t)。
概率质量函数是指随机变量取某个值的概率，记为f(x)，可以表示为f(x) =P(X = x)。
两者的关系可以用以下公式表示：F(t) = sum[f(x), x <= t]。
3. 期望和方差期望是衡量随机变量平均水平的值，表示随机变量在多次试验中平均取值的大小。
方差则是用来度量一个随机变量取值的离散程度的量，表示随机变量的取值与其期望的离差平方之和的平均。
对于离散型随机变量，期望和方差可以表示为以下公式：E(X) = sum[x * f(x), x in X]Var(X) = E[(X - E(X))^2] = sum[(x - E(X))^2 * f(x), x in X]对于连续型随机变量，则需要对其概率密度函数进行积分求解。
分布函数 ppt课件
例1 设有函数 F(x)
概率论
F(x)
sin
x 0
0 x
其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解 注意到函数 F(x)在[ 2, ] 上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0
x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.
P( x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
o x1 X x2
x
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
概率论
F ( x) P( X x), x
oX x x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量.
X 0 1 2 3
pk
1 8
3 8
3 8
1
8
0 1 23
概率论
(1) x 0，F ( x 1，F ( x) P( X x) P( X 0) 1 ; 8
(3)1 x 2，F ( x) P( X x)
P( X 0) P( X 1) 4 ; 8
oX x
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (, x] 内的 概率.
请注意 :
概率论
(1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量.
(2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
(3) 对任意实数 x1<x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为：
一般地
概率论
连续型随机变量的分布函数
连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。
本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。
一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。
分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。
二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。
概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。
通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。
三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。
均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。
均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。
概率论-2-4分布函数
1 2
1
arcsin
x a
,
a xa
1,
xa
（3）随机变量X的密度函数为
f
(x)
F ( x)
1
0,
a2 x2 , a x a 其它.
答案：D
答案：B
答案：A
答案：A
本节练习
习题二：12
F (4) F (2) 1 0 1 5 1 1.
3
63 2
答案：B
四、连续型随机变量的分布函数
已知连续型RV.X的概率密度为f(x)，则其分布
函数为 F(x) P{X x} P{ X x}
f (x)
即有
F
(
x)
x
f
(
x)dx
ox
x
F(x)在点x的函数值，等于曲线f(x)之下，Ox轴的区间
x)
1
x
x
,
x0
0,
x0
（1）求X的概率密度函数 f ( x).
（2）用分布函数求概率
PX 3, P 2 X 5, PX 1.
解 在 x 0 处 F (x) 具有连续导数，故按题设得
f
(
x)
F
(
x)
(1
1 x)2
,
0,
x0 x 0
而在 x 0
时，由
F
(
x)
1
x
x
,
0, F (x) 不可导， 因为
F(x)的图形为 F( x)
1
a
bx
例5 （1）设r.v X服从指数分布，其概率密度为
f ( x) 1 ex ,
0,
求X的分布函数F(x).
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x0 0, 1 , 0 x 1 3 F ( x) 1 , 1 x 2 2 x2 1,
不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形， 在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).
F ( x)
1
1 2
12 13 16
0
O
16
O O
1
2
x
已知 X 的分布律为
X
1
1 2
0
1 3
1
2
求X的分布函数，
并画出它的图形。 1 1 P 12 12 ( x 1) 0 1 2 ( 1 x 0) F ( x) P{ X x} 5 6 (0 x 1) 11 12 (1 x 2) ( x 2) 1
试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数. 解： 注意到函数 F(x)在 [ 2, ]上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数. 或者
F () lim F ( x) 0
x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是随机变量的 分布函数.
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比，试求 X 的分布函数. 解：设 F(x) 为 X 的分布函数，
•例:设随机变量X的分布律为 即
X P -1 1/4 2 1/2 3 1/4
求X的分布函数,并求 P{X≤1/2},P{3/2<X ≤5/2},P{2≤ X≤ 3}. 解:由概率的有限可加性 得
x 1 0, 1 / 4, 1 x 2 F ( x) 3 / 4, 2 x 3 x3 1,
(, x] 的概率.
X x
说明
X是随机变量, x是参变量。 F(x) 是随机 变量X取值不大于 x 的概率。 由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为：
P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
0, x 0 x F ( x) , 0 x a a xa 1,
1 是不是某一随机变量的分布函数？ F ( x) 2 1 x
不是 因为
x
lim F ( x) 0
1 函数 G ( x) 1 x 2 1
( x 0) ( x 0)
= F(3)-F(2)+P{X=2}
=1-1/4+1/2=3/4
例: 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 1 0.2,1 x 2 F ( x) 0.7,2 x 4 ， 1, x 4
(1)
求 P( X 3) , P(
1 X 3) 及 P( X 2) ; 2
F(x)的示意图 F(x)
1 0.5 0.25 -1 1 2 3 x
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可 以用F(x)的函数值来表示。
P（X<b）=F(b)
P（X≥b）=1-P（X<b）=1 - F(b)
P（a≤X<b）=F(b)-F(a) P（a≤X<b）=P(X < b)-P(X<a)= F(b)- F(a)
离散型随机变量分布函数的计算
设离散型随机变量分布律为 P{X=xk}=pk,k=1,2,… 由概率的可列可加性得X的分布函数为 F(x)= P{X≤x}=∑P{X≤xk}=∑pk 这里和式是对于所有满足xk≤x的k求和.
F(x)是一个阶梯函数,它在 x 的每一个可能取值 点 xk 处发生间断,其跳跃度正好是 p k
1 F (2) F (2 0) F (2 0)
1 0.7 0.5 0.8
(2) 由于 P( X X 0 ) F ( x0 0) F ( x0 0) ,可得 P( X 1) 0.2 0 0.2, P( X 2) 0.7 0.2 0.5,
例1
解:
0 X ~ 1 3
1 1 6
2 1 ，求 F(x). 2
F(x) = P(X x)
当
当
x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0
0 x < 1 时， 1 F(x) = P(X x) = P(X=0) = 3
当
1 x < 2 时， 1 1 1 F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + = 3 6 2 当 x > 2 时，
• P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4 • P{3/2<X ≤5/2} =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2 P{2≤ X≤ 3}
x 1 0, 1 / 4, 1 x 2 • F ( x) 1 / 4 1 / 2, 2 x 3 1 / 4 1 / 2 1 / 4, x 3
PK
0.6 0.3 0.1
f (x)
0
1
2
k
o
x
定义：
设 X 是一个随机变量，称
( x )
F ( x) P ( X x)
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
——— |——>
x 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标， 那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
可作为分布函数
当 x <0 时，F(x) = P(X x) = 0
0
a
当 x > a 时，F(x) =1
ห้องสมุดไป่ตู้
当 0 x a 时， P(0 X x) = kx
(k为常数 )
由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k = 1/a F(x) = P(X x) = P(X<0) + P(0 X x) =x / a
P( X 4) 1 0.7 0.3
故 X 的分布律为
X Pk -1 0.2 2 0.5 4 0.3
分布函数的性质
1．F(x)关于 x 单调不减,即当 x1 x2 时, F ( x1 ) F ( x2 ) ;
F ( ) lim F ( x) 0, F ( ) lim F ( x) 1 0 F ( x ) 1 x x 2． ， ;
P （ a X b ） F ( b ) F ( a ) 3． ;
4．F(x)关于 x 右连续,即对任意 x0 , 都有
F ( x0 0) lim F ( x) F ( x0 )
x x0 0
.
例 设有函数 F(x)
sin x 0 x F ( x) 0 其它
(2) 求 X 的分布律. 解 (1) P( X 3) F (3) 0.7
1 1 P ( X 3) F (3) F ( ) 0.7 0.2 0.5 2 2
P( X 2) 1 P( X 2) 1 P( X 2) P( X 2)
二、分布函数及其基本性质
对于离散型随机变量,分布律可以用来表示其取各 个可能值的概率,但在实际问题中有许多非离散型 的随机变量 , 这一类随机变量的取值是不可列的 , 因而不能像离散型随机变量那样可以用分布律来 描述,但是我们需要求出它落在某个区间内的概率. 为此我们引入分布函数的概念.
为了对离散型的和连续型的随机变量 以及更广泛类型的随机变量给出一种统一 的描述方法，引进了分布函数的概念.