二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是

这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122

22>>=+b a b

y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθθ)(sin ,cos (b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]

2016年高考卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考、卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：

若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .

文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.

文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：

结论1 抛物线2

2y px =的接四边形同时接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.

结论2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的接四边形同时接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.

请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.

定理 1 若两条二次曲线

22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，

则这四个交点共圆.

证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①

式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项

的系数相等，得a b b a

λ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②

的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.

定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.

证明 由21,l l 组成的曲线即

111222()()0a x b y c a x b y c ++++=

所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：

22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③

必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.

充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③

左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b a

λ-=-. 此时曲线③即

220x y c x d y e '''++++= ④

的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.

推论1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.

证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.

(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.

(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-

+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.

由此可得欲证成立. 高考题1 (2016年高考卷文科第20题)已知椭圆E ：()22

2210x y a b a b

+=>>的一个焦

点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；

(2)设不过原点O 且斜率为12

的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.

解 (1)(过程略)椭圆E 的方程是2

214

x y +=. (2)设1,1()A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y . 可得222212121,144

x x y y +=+=，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得 12121212()()()()4

x x x x y y y y +-=-+- 0

121212120

124()4AB x y y x x k x x y y y -+====--+-

0012CD y k x ==- 所以0AB CD k k +=，由推论1得,,,A B C D 四点共圆. 再由相交弦定理，立得=MA MB MC MD ⋅⋅.

竞赛题1 (2014年全国高中数学联赛赛区预赛第13题)设A 、B 为双曲线λ=-22

2

y x 上的两点，点N (1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点.

(1)确定λ的取值围；