可展曲面的展开
机械制图-展开
组成，求它的展开图，就是要求出属于立体
表面的所有多边形的实形，并将他们依次连 续地画在一个平面上。
三棱锥的表面展开图
s’ SB SA
Z
SC
A
C
a’
b’
c’ c
H面投影
A S
B
s
a A
b
漏斗的表面展开图
a’
A B SA A
1’
Ⅱ
Ⅰ Ⅳ
D
s’ C c
3 4
Ⅲ S
Ⅲ
C
b s
2 1
d
a
二.可展曲面立体的表面展开
曲面上相邻两素线为相交或平行的两直线， 由于相邻两素线构成一平面，故为可展曲面。 如柱面展开时，先在柱面上引若干条互相 平行的素线，然后将相邻两素线间的表面近似 地作为一个四边形平面来画展开图，最后将各 素线的端点连成直线或光滑曲线。
截头圆柱面的展开图
d
不可展曲面立体表面的近似展开
曲面相邻两素线为交叉两直线或为曲线时， 不能构成一平面，故为不可展开的曲面。 不可展曲面只能采用近似展开，其方法是 将曲面分成若干较小部分（同一曲面可有不 同的分法），使每一部分的形状接近于一可 展曲面，画出其展开图。 如球面的展开，可按柱面或锥面展开，也 可把两种方法结合起来。
展开，而圆锥面又可分成若干三角形。
变形接头的展开
b’
实长
a’
c2 b a：
在可展曲面中，由弦代弧作图展开，展开是 近似的，但不称为近似展开，而称为展开的近 似结果，此种结果的误差是可以消除的（当 n时）； 在不可展曲面中，近似展开的误差是不可以 消除的。所以展开的近似结果和近似展开是不 同的，要加以区别。
按立体表面的真实形状和大小，依次连续 地摊平在一个平面上，称为立体的表面展开。 展开所得的图形称为展开图。（放样图）
曲面和钣金的展开问题
经常有朋友提到某钣金件或某曲面如何展开的问题，可惜其中大部分实例却往往又是不可展开的。
因此，我想在此谈谈自己对展开问题的看法。
钣金的展开与曲面的展开，就其本质来说是同一个问题。
钣金件的中心层是一个曲面，如果此曲面可展开，那么该钣金件就是可展开的。
因此在下面主要讲一下曲面的展开问题。
根据自己工作的经验，在这里给出一个“曲面展开”的粗略含义：当一个曲面与一个平面图形有点点对应的关系，并且曲面上任一微段的两个端点与平面上对应的两点距离相等，则称此平面为该曲面的一个展开（为了便于说明问题，避免问题的复杂化，上面的含义不是一个严格意义上的定义，其中中心层的概念没有明朗化，而且“任一微段……距离相等”严格来说应是一个极限的关系）。
通俗一点讲就是在曲面展开为平面的过程中其面上的任一个“纤维”长度保持不变。
很容易证明一下几个定理：定理一：如果某曲面可展开，则此展开是唯一的。
（唯一的意思是：如有两个平面图形都是某曲面的一个展开，则该两个平面图形必全等）定理二：如果某曲面是可展开的，那么它的任一部分也是可展开的。
现在我要告诉大家一个不好的消息，其实在诸多曲面中只有及其少量的曲面是可展开的，大量的曲面是不可展开的。
展开的分类：1、直接可展开的曲面（如由单一开口不自交轮廓拉伸形成的曲面等）。
2、剪开后可展开的曲面（如圆柱面、圆锥面等）。
我们经常遇到譬如有三个平钣（不在一个平面上）组成的零件，每两个平面有一条公共边（就像方盒子的一个角一样），此零件就不能直接展开但如果剪开其中的一条公共边，就可以展开了。
因此在SW的钣金中就有切口的概念。
3、可分为有限个部分展开的曲面（如圆柱面与圆锥面相结合的曲面等）。
4、不能展开的曲面（很容易证明如球面、椭球面等不可展开）钣金件的概念：以前SW的钣金在一个概念上是分得十分清楚的，如用一般的版金功能生成的钣金件都是可展开的，这相当于实际生产中的折角，滚圆等工艺。
可展曲面的表面展开图
` 13 – 3 可展曲面的表面展开一、柱面的展开柱面展开时，先在柱面上引若干条互相平行的素线，然后将相邻素线间的表面近似地作为四边形平面来画展开图，最后将各素线的端点依次光滑连接即得。
这种利用平行的素线来画展开图的方法，称为平行线法。
（一）正圆柱面（正圆柱管）的表面展开正圆柱面的表面展开图是个矩形，可用计算法．．．求得展开长度够画出。
设圆柱直径为d，高度为H，其表面展开图矩形的底边L=πd,高为H。
也可以用作图法．．．（平行线法）来作出它的表面展开图。
如图13-4b、c（未被斜截时）所示，先将水平投影（圆）等分（例如12等分），在正面投影右边作一水平线，然后用分规在水平投影上量取弦长12（用弦长代替弧长），在水平线上量取102。
使等于弦长12，依次截取12份，即得圆周展开的近似长度，展开图矩形的高度为圆柱高度H。
（二）斜截正圆柱面（斜口圆柱管）的表面展开。
斜截正圆柱面（斜口圆柱管）展开的方法与正圆柱面展开基本相同，只是相邻素线长度不相等，使斜口部分展成曲线，如图13-4所示。
具体作图步骤如下：（1）底面圆周长，并取若干素线长。
即先将底边（圆）展开成长度为πd的直线，并按图13-4b所示，把它12等分得点10、2、3、………、1，过这些点作铅垂线，并分别量取各素线在正面投影中的实长，得各端点A、B、C、………、A。
（2）斜口展开后的曲线。
用曲线板依次光滑连接A、B、C………、A各点成一点曲线，即得斜口圆柱管的表面展开图。
（三）等径直角弯管的表面展开等径直角弯管是用来连接两根直角相交的圆柱管，在工程上一般是由多节等径斜口圆柱管连接而成，俗称虾米腰。
图13-1集粉管上边部分的弯管即为图13-5a 所示的等径直角弯管（近似于四分之一的圆环面），它的进出口是直径相等的圆柱孔，方向互相垂直。
此弯管实际上是由四段（两个半节，两个全节）组成的，其作图与单一斜口圆柱管基本相同。
画等径直角弯管展开图的步骤如下：（1）等径直角弯管的正面投影图，并按半节中心弧长等分1/4圆周，如图13-5b 。
第十三章 表面展开图
2 ．斜棱柱表面的展开 1)斜棱柱
２）投影分析：
关键是求出正截面的实形，因为棱是垂直正截面
３）作图步骤：
① 作正垂面 P 、垂直于棱线，交棱线 于 1 '、 2' 、 3 '点，并求得其水平投影 △ 123 。 ② 用绕垂直轴旋转法求得正截面的实 形 △ 11 21 31 ，并将各边实长展开成为 一直线 l 。---- l 。 ③ 过 l 。、 2 。、 3 。、 l 。各点引 垂直线，并在对应直线上截取各棱线的 实长，得c。、 a 。、 b。、c。和 f0 、 d 。、 e 。、 f0 点； ④ 依次连接各点
２、近似锥面法
略
二、圆环面的近似展开 １、投影分析
２、作图步骤 ① 把 1 / 4 柱面分割成相等的 12 份，其间隔的近似值为 k ，并过各等分 点在正面投影图上画出圆柱的素线； ② 将圆柱底圆展开成为一直线，使其长度 l=k X12 . ③ 自各等分点画垂线，使它们分别等于相应素线的实长； ④ 光滑连接各端点
13.4 不可展曲面的表面展开
实质是：把不可展的曲面分解为若干较小的部分，然后将每 一小部分表面分解成为可展的平面、柱面或锥面进行展开 一、圆球面的近似展开 投影特点 : 1 ．近似柱面法
① 沿经线方向等分圆球面 的水平投影为 12 份 ② 用相应部分的外切圆柱 面代替该部分圆球面 ③ 将正圆柱面的正面投影 也分割为 12 等份 ④ 以 k 为间隔距离，取相 应的长度 ⑤ 光滑连接所求各点，完 成该部分圆柱面的展开图
13.3 可展曲面的展开
一、柱面的展开 1 ．截头正圆柱表面的展开
１）截头正圆柱 ２）投影分析 ３）作图步骤：
① 首先将圆柱底圆分割成 n ( n ＝12 ）等份，并过各等份点在 正面投影图上画出圆柱的素线。 ② 将圆柱底圆展开成为一直线。 ０。－12 。，并截取 12 等份， 点间的弧长近似值 k ; ③ 自各等分点作垂线，使它们 分别等于相应素线的实长
工程制图课件——展开图
πd
作图步骤：⑴ 将俯视图圆分成十二等分，并过各等分点在主视图上作出素线；
⑵ 将圆柱底圆的展开长度πd分成十二等分，过等分点作素线并在
其上求得各断点；
⑶ 光滑连接各点即得展开图。
12
作出五节直角弯管的展开图。 作图分析：多节圆柱弯管常用于通风、除尘的管道中。图示为一五节等径直 角弯管。其中中间的三节为整节（两面带斜口），端部的两节为半节（一面 带斜口）。 图中所示的半节斜面的倾斜角=11.25°。若将各节一顺一倒排列恰可构成
一圆管。因此如有现成的直圆管即可按图示位置切成五节，
第12章 展开图 •12.1 概 述 •12.2 平面立体的展开 •12.3 可展曲面的展开 •12.4 不可展曲面的近似展开
12.1.1展开图
12.1 概 述图
在工业生产中，经常遇到金属板材制件， 如防护罩、管道、容器、反应塔等。如图 12 - 1所示，为饲料粉碎机上的集粉筒， 它是由变形接头、圆锥管、偏交圆柱管和 四节弯管所组成，它们都是用板材卷曲焊 接而成。在制造这些板材制件时，必需先 在板材上画出制件的展开图（俗称放样）， 然后按其下料成型，再将接缝焊接而成。 将制件表面按其实际形状大小，依次摊平 在同一平面上，称为表面展开。展开后所 得到的平面图形，称为展开图。
8
[例一] 图示为一变形接头，试画出该接头的展开图。
作图步骤：
⑴ 用直角三角形法求出图中
一般位置直线的实长；
⑵ 从视图左边的对称中心处
开始按三角形法依次展开各
表面；
⑶ 根据展开图下料后再按交线位置成型。
展开图的画法(非常有用)
1155
§8－2 可展曲面的展开
例8－6 已知圆柱面叉管的投影图，主管直径
为D1，支管直径为d1，试作其展开图。
最后，作主管 展开图。为了 便于作图，将 主管正截面 （底圆）展开 成长度为D1的 直线，使其位 于主管底圆正 面投影的延长 线上。
第一篇 画法几何 第八章 立体表面展开
1166
§8－2 可展曲面的展开
锥面
锥面可以看作为棱线无限增多的棱锥面， 因而其展开方法与棱锥面类似，采用三角 形法。
第一篇 画法几何 第八章 立体表面展开
1177
§8－2 可展曲面的展开
例8－7 已知截头圆锥的投影
图，试作其展开图。
圆锥面上各素线长度相等，在正 面投影中外形素线反映实长。锥底圆 的水平投影反映实形。 若圆锥没有 被截断，则它的展开图为一扇形，扇 形的半径L等于素线实长，扇形的弧长 等于直径为D的底圆的周长。 对于截 头圆锥，可通过截交线上点的正面投 影作水平线，与外形素线交于各点， 从而得到被截断的各素线实长。
第一篇 画法几何 第八章 立体表面展开
66
§8－1 多面体表面展开
例8－1 已知料斗下部出料管的投影图，试作其展
开图。
从展开作图可以看出， 这样展开所得到的上、下两 部分棱柱表面的展开图可以 拼画在一起，从而可节省板 料，而且上、下两部分连接 处的展开折线在安装时能准 确地拼合。
第一篇 画法几何 第八章 立体表面展开
变形接头
在圆形和矩形之间由平面和锥面组合而成的表 面为变形接头或方圆接头的表面，在钣金工中俗 称天圆地方。变形接头在工程中应用较广，如料 斗、管道中的渐变段等。
第一篇 画法几何 第八章 立体表面展开
2255
复习思考题
曲面展开
分别为U， 向网格线数量 向网格线数量。 N u ， Nv －分别为 ，V向网格线数量。
近似展开中最佳展开基点的研究
2）最佳基点位置的假设 最佳展开基点位置主要与曲 面曲率的分布， 面曲率的分布，即曲面的弯曲状 况有关， 况有关，它的位置应有助于避免 在任一方向上产生较大的误差积 累。 于是提出如下的假设： 于是提出如下的假设：过最 佳展开基点的一对参数曲线把曲 面片分为四个区域， 面片分为四个区域，这四个区域 曲面展开的难易程度（ 曲面展开的难易程度（产生误差 的可能性）应近似相同。 的可能性）应近似相同。
CATIA
二、曲面展开方法
2）专用系统 主要见 长与规则 曲面零件 的展开
二、曲面展开方法
2.基于物理模型的展开 2.基于物理模型的展开 （1）有限元逆向法
有限元逆向法（ 有限元逆向法（一步 模拟法） 模拟法）的基本思想是在考 虑板料成形参数的前提下， 虑板料成形参数的前提下， 把工件模型离散化， 把工件模型离散化，忽略变 形的中间状态， 形的中间状态，经过逆向计 算，得到毛坯最初的轮廓形 状。有限元逆向法考虑了材 料加工时的实际变形情况， 料加工时的实际变形情况， 有利于成形、分析一体化。 有利于成形、分析一体化。
曲面展开 一、概述 二、曲面展开方法 三、所做的主要研究工作 近似展开中最佳展开基点的研究 四、有关文献与展望
一、概述
1.曲面展开的定义 1.曲面展开的定义 曲面Σ 曲面Σ1
∑ = f ( ∑1 )
平面Σ 平面Σ
曲面展开是曲面向平面的映射过程。 曲面展开是曲面向平面的映射过程。根据初始条件和映 射规则的不同，形成了不同的展开方法。 射规则的不同，形成了不同的展开方法。 2.可展曲面 2.可展曲面 （1）可展曲面是可以经过连续的延展变形，不发生皱褶和撕 可展曲面是可以经过连续的延展变形， 裂地与平面相贴合的曲面。 裂地与平面相贴合的曲面。 可展曲面可以准确地展开 为平面。 为平面。
CAD中曲面展开的技巧知识点
CAD中曲面展开的技巧知识点在计算机辅助设计（CAD）中，曲面展开是一项重要的技术，它允许我们将复杂的曲面体展开为平面形状，方便后续的加工和制作。
本文将介绍CAD中曲面展开的技巧知识点，帮助读者更好地理解和应用这一技术。
一、曲面展开的基本原理曲面展开是通过将曲面体沿着一定方向进行切割，并将各个切割表面展开到平面上来实现的。
在进行曲面展开前，我们需要先确定展开的方向和方式，这通常取决于曲面的形状和设计需求。
二、利用CAD软件进行曲面展开现代CAD软件提供了强大的曲面展开功能，可以自动计算和生成展开的平面图形。
下面是一些常用的CAD软件中曲面展开的技巧知识点：1. AutoCAD：在AutoCAD中展开曲面可以使用命令“FLATTEN”，通过选择需要展开的曲面体即可生成展开的平面图形。
2. SolidWorks：SolidWorks提供了多种展开曲面的工具，比如“铆接展开”和“整圆展开”等，通过选择合适的工具可以实现不同形状曲面的展开。
3. CATIA：在CATIA中，曲面展开主要使用“平面投影”和“拓扑转换”等功能，可以根据曲面的几何特征进行展开。
三、曲面展开的应用领域曲面展开技术广泛应用于各个领域，包括航空航天、汽车制造、建筑设计等。
下面介绍一些常见的应用场景：1. 飞机制造：在飞机制造中，翼型曲面的展开是关键步骤之一。
通过展开翼型曲面，可以得到翼面板的平面图形，方便后续的铆接和制造。
2. 汽车车身设计：汽车车身的曲面展开可用于生产车身板件的裁剪。
通过将曲面展开成平面，可以得到车身零部件的模具设计图纸。
3. 管道布局：在管道布局中，曲面展开可以帮助确定管道的几何形状和长度，确保管道的制造和安装的准确性。
四、曲面展开的技巧和注意事项在进行曲面展开时，有一些技巧和注意事项可以帮助提高展开结果的质量和准确性：1. 合理选择展开方向：根据曲面的形状和设计需求，合理选择展开的方向和方式，以确保展开后的平面图形能够满足后续的加工和制作要求。
Flash8.0在“可展曲面的展开”课件制作中的应用
２ 制 作 方 法
根 据 图 １中 的设 计 构 思 ， 作该 动 画课 件 需 制 要 ８ 场 景 （ ① ～⑧标 注 ） 主要 场景 制作 如下 。 个 用 ， ２ １ 场 景① ． 场 景 ①一 一 题 目和 目录 ， 立 的 图层 及 相 应 建 的文字 内容 、 图形 与 动作设 计见 表 １ 。 铵 钮 １ 层 中 ，重 点与 难点 ” “ 展 曲面 的 ～４ “ 、可 简 介” “ 、 圆柱面 的展 开 图绘 制 ” “ 、 圆柱 面实物 的制
第４卷 Ｏ
第 ４ 期
Ｓ Ｉ Ｈ Ｐ
船 海 工 程
ｏＣＥＡＮ ＥＮＧ１ ＮＥＥ ＮＧ ＲＩ
Ｖｏ 。 ０ Ｎ ４ ｌ４ ｏ ．
Ａｕ ． ０ １ ｇ ２ １
２ １ 年 Ｏ 月 ０１ ８
关 于 提 高 航 海 类 专 业 英 语 教 学 质 量 的探讨
王 婷 张 晓川 ，
（ 江苏联合职 业技 术学院 无锡交通分院 船舶工程 系， 苏 无锡 ２ ４ ５ ） 江 １１１ 摘 要： 为满 足职业院校中船舶及相关专业 的教学需求 ， 采用 Ｆａｈ ． ｌ ８ ０软件 制作 “ ｓ 可展曲面 的展 开” 媒 多
体课件 ， 介绍课件 的设计思 路 、 制作过程 、 关键步骤 。
（ 天津理 工大学海运 学院 ， 天津 ３ ０ ８ ） ０ ３ ４
摘
要： 中国是船员输 出大国 ， 船员 的英语水 平 ， 直接影 响中国在船员在 国际劳务市场 的份额 。针 对现阶
段航海 专业 教学 中存 在的问题 ， 出提高航海类专业英语教 学质 量的建议 ， 提 以期 培养满足 现代航海 需要 的高
２ ２ 场景③ ． 场 景 ③—— 可展 曲面 的简介 （ 第一 部分 ） 。动 画制作见 图 ３ 。
曲面展开
最小误差 0.006012 0.005775 0.005194 0.005277 0.005167 0.005012
结论：影 响很小。 即最佳展 开基点主 要与曲面 自身几何 属性有关。
10*10 12*12 15*15
最佳展开基点 (2,2) (3,2) (5,4) (6,5) (7,6) (8,7)
最佳展开基点参数值 (0.333333,0.333333) (0.500000,0.250000) (0.571429,0.428571) (0.555556,0.444444) (0.545455,0.454545) (0.500000,0.428571)
R
p
R
p
E 投影图
x r y E H h r cos R cos
180
H
360 R
L
L H h r cos
H
o
L
P
圆锥展开图 y
x P y x
o 圆柱展开图
L R2 H 2
R H h r cos
H
二、曲面展开方法
（3）展开系统
1）通用系统
主要见长
与板壳类零
基带：由基元组成的十字形条带。
近似展开中最佳展开基点的研究
2.近似展开的误差评价
展开误差的 评价从面积、参 数曲线长度和形 状（对角线）三 个方面进行，最 后把这三项误差
相对面积误差： 相对长度误差：
S |SS| S
Lu
1 m
m i1
|
Lui Lui Lui
|
Lv
1 n
n | Lvj Lvj
弹簧-质点系统示意图
然后通过求解系统的运动方程，使弹簧质点系统变形, 释放变形能量，由初始平面映射得到曲面展开的最终形 状。
cad展开下料作图
立体表面的展开在生产中，经常用到各种薄板制件，如管道、容器等，图11-1所示的集粉筒即为其例子之一。
制造这类制件时，通常是先在薄板上画出表面展开图，然后下料成型，再用咬缝或焊缝连接。
图11-1 集粉筒将立体表面按其实际大小和形状，依次连续地展平在一个平面上，称为立体表面的展开。
展开后所得的图形，称为展开图。
立体表面分为可展与不可展两种。
平面立体的表面都是平面，是可展的；曲面立体的表面是否可展，则要根据组成其表面的曲面是否可展而定。
凡是相邻两条素线彼此平行或相交（能构成一个平面）的曲面，是可展曲面，如柱面和锥面等。
凡是相邻两条素线成交叉两直线（不能构成一个平面）或母线是曲线的曲面，是不可展曲面，如球面、环面等。
不可展表面可采用近似作图法展开。
绘制展开图有两种方法：图解法和计算法。
图解法是根据展开原理得到的，其实质是作立体表面的实形，而作实形的关键是求线段的实长和曲线的展开长度。
图解法具有作图简捷、直观等优点，目前应用较广。
计算法是用解析计算代替图解法中的展开作图过程，求出曲线的解析表达式及展开图中一系列点的坐标、线段长度，然后绘出图形或直接下料的方法。
随着计算机技术的发展，这种方法更显示出准确、高效、便于修改、保存等优点，它必将得到日益广泛的应用。
11.1 图解法展开11.1.1 平面立体的表面展开作平面立体的表面展开图，就是分别求出属于立体表面的所有多边形的实形，并将它们依次连续地画在一个平面上。
1.斜截四棱柱管的展开,图11-2a为斜截四棱柱管的立体图。
由于从两面投影图（图11-2b）中可直接量得各表面实形的边长，因此作图较简单，具体作图步骤如下：1)按各底边的实长展开成一条水平线，标出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅰ诸点；2)过这些点作铅垂线，在其上分别量取各棱线的实长，即得诸端点A、B、C、D、A。
3)用直线依次连接各端点，即可得展开图。
见图11-2c。
图11-2 斜截四棱柱管的展开2.吸气罩的展开如图11-3a为矩形吸气罩的立体图。
可展的扭曲曲面展开(幕墙实际应用)
可展的扭曲曲面展开（幕墙实际应用）-工作记录
王俊雄2013.8.7
很久前就想编写个程序：用GH或rhinoscript展开扭曲的曲面（可展的曲面），但参考了很多vb代码始终没能把它给写出来。
最近有个工程是扭曲的飘带，材料为铝单板，分格后单块板子类似于圆锥体，但几百块铝板没有一块是相同的。
一块铝板分两个大面焊接，两个大面加两个扭曲的折边，那么一块铝板就需要展开4个曲面，如果用rhino的手工命令展开，要重复N多步骤！！最可恶的是rhino里的展平命令展平后的面都默认定位在原点，而且方向不一，展开前就不得不在原曲面上作个点标记方向，展开后和原来的曲面对比，然后要移动，要镜像，要旋转，每块展开的曲面都需要手工检查方向是否正确。
这是个繁重的活儿，能秒杀性急的童鞋！
为解决这个问题，重温script功课，终于编了个小程序告别了繁重手工步骤。
此小程序估计可以提高8倍的工作效率，减轻身体劳累，且确保正确无误。
总结：一点想法，一些做法，这就是rhino和GH给我的最好启发。
思路：由曲面上3个点确定展开后方向正确（就是正反面的确定），利用Xform转换展开的曲面。
核心函数：UnrollSurface。
下面上图：
1.部分飘带三维图：
2.展开：
3.GH图：
源文件就不放上了，重在思路。
可展曲面的展开
g（7）
b（2）
f（6）
c（3）
e（5）
d（4）
两面投影
（2）圆周展开
d′
c′ b′ a′
g′ f′ e′
在展开图中按周长展开圆周成直 线，并将其十二等分。
1′ 2′ 3′ 4′ 5′ 6′ 7′
1。 2。 3。 4。 5。 6。 7。
展开图
a（1）
g（7）
b（2）
f（6）
c（3）
e（5）
d（4）
两面投影
（3）量取实长
d′
c′ b′ a′
g′ f′ e′
FG E D C B A
1′ 2′ 3′ 4′ 5′ 6′ 7′
1。 2。 3。 4。 5。 6。 7。
展开图
a（1）
g（7）
b（2）
f（6）
c（3）
e（5）
d（4）
两面投影
过各等分点1。、2。、3。、…… 作铅垂线，在各铅垂线上量取其素线的 实长，分别得端点A、B、C、……等。
（4）曲线连接
d′
c′ b′ a′
g′ Байду номын сангаас′ e′
FG E D C B A
1′ 2′ 3′ 4′ 5′ 6′ 7′
1。 2。 3。 4。 5。 6。 7。
展开图
a（1）
g（7）
b（2）
f（6）
c（3）
e（5）
d（4）
两面投影
用光滑的曲线依次连接A、B、 C、……等各点，即得斜口圆柱管的 展开图。
4. 等径直角弯管的展开
O。
展开图
θ D
则 θ
360° 2L
D L
180°
机械制图-可展曲面的展开
过各等分点1。、2。、 3。、……作铅垂线，在各铅垂 线上量取其素线的实长，分别得 端点A、B、C、……等。
两面投影
现代工程图学
10
（4）曲线连接
e′ d′ a′ b′ c′ A B f′ g′ E F G
D
C
1′ 2′ 3′
4′
5′ 6′ 7′
1。 2。
3。
4。
5。
6。
7。
展开图
a（1）
g（7）
b（2） c（3） d（4）
f（6） e（5）
用光滑的曲线依次连接A、 B、C、……等各点，即得斜 口圆柱管的展开图。
两面投影
现代工程图学
11
在管道设计中，等径直角弯管用来连接两根垂直相交、 且直径相等的圆管。由于圆环是不可展曲面，因此在设计 弯管时，一般不采用图（a）所示的圆环，而是采用多段圆 柱组成，如图（b）所示。图（b）示为工程上常用的五节 斜口圆管拼接而成的直角弯管，中间三节叫全节，首尾两 节叫半节，半节可用一个全节在对称面处分开得到。
各节对称位置处 作圆弧切线，并 连接各对应交点。
擦除辅助线， 并描深。
现代工程图学
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D
E
C
B
A
从等径直角弯管的五节中， 取一个单元节B节，按斜口圆柱 管的展开方法进行展开，得如图 所示的展开图。
等径直角弯管
B
单元节B
B节展开图
现代工程图学
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将图示等径直角弯管中的B节、D节分别绕其轴线 。 旋转180 ，如图（a）所示，则各节就可拼成一个圆柱 管，见图（b）示。因此，可将圆柱管按图（c）示方法 割成所需节数，再焊接成所要的弯管。
可展曲面展开图的参数表示法
可展曲面展开图的参数表示法
张磊;辛洪兵
【期刊名称】《机械设计与制造》
【年(卷),期】2005(000)005
【摘要】画法几何中通常采用手工绘制展开图,作图结果不精确.这里介绍了参数法绘制可展曲面的推导过程,并在AutoCAD2004软件上编程验证了参数展开的有效性.该方法可用于扩展计算机图形软件的曲面展开算法.
【总页数】3页(P40-42)
【作者】张磊;辛洪兵
【作者单位】北京工商大学机械自动化学院,北京,100037;北京工商大学机械自动化学院,北京,100037
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72;TP391.73
【相关文献】
1.钣金不可展曲面展开有限元逆算法的研究与实现 [J], 洪晴;黄翔;李泷杲;鲍益东
2.多级变速传动系统转速图在CAD中的参数表示法 [J], 阎树田
3.针对不可展曲面的近似展开方法浅析 [J], 罗振华;蒋芬;蒋威
4.Flash8.0在“可展曲面的展开”课件制作中的应用 [J], 周志华
5.Flash8．0在“可展曲面的展开”课件制作中的应用 [J], 周志华
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曲面展开后上面的曲线变成什么样了？
可展曲面展开后上面的曲线变成什么样子了？作者：@末到江南先一笑如果一张曲面的高斯曲率为零，那么这个曲面就可以展开成一个平面。
圆柱和圆锥是两种最常见的可展曲面。
一个典型的不可展曲面的例子是圆球面。
如果一张曲面是可展的，并且在这张曲面上画了一条线，然后将这个曲面展开成平面，那么原来曲面上的曲线在展开后的平面上是什么样子？这个问题困扰我八年了。
这是一个很有趣的问题，不知道有没有人专门研究过。
最近我的数学瘾犯了，就把这个问题系统地算了一下。
具体思路就是找曲面展开过程中的不变量。
可展曲面的展开过程是一个保长变换，所以展开过程中的不变量就是保长变换下的不变量。
曲面微分几何中，曲面的高斯曲率和曲面上曲线的测地曲率是保长变换下的不变量。
已知可展曲面的高斯曲率为零，所以高斯曲率在这时是一个平庸不变量。
剩下的非平庸不变量就是曲面上曲线的测地曲率了。
所以问题的关键就是算曲线的测地曲率。
空间曲线的Frenet 活动框架空间曲线使用弧长作为参数。
空间曲线曲率的定义：曲面上的活动框架如果曲面上的坐标系为正交黎曼坐标，那么活动框架就可以这样选取：曲面上的曲线的测地曲率是保长变换下的不变量。
测地曲率是不变量，它的平方自然也是不变量。
测地曲率的定义跟空间曲线的曲率的定义稍有不同。
假设曲面已经取了正交黎曼坐标系，那么测地曲率的平方为：先来计算。
一个很有趣的结果是，如果里面不含有曲面的切向矢量的成分，那么这条曲线就是一条测地线。
根据上式可以得到测地线微分方程为：但是现在感兴趣的是测地曲率，不是测地线。
如果用活动框架法，可以写作：于是得到：因为所以得到测地曲率为因为所以得到测地曲率的刘维尔公式为：应用实例I: 圆柱上面的曲线展开后变成什么了 圆柱的参数方程为：几个重要的量：现在有一张平面 截过这个圆柱，就可以得到一条截面曲线。
这条曲线本身是一个椭圆，现在要研究的是，如果把这个圆柱沿着母线剪开然后摊开，这个椭圆会变成什么曲线。
截过之后得到了一条空间曲线，这条空间曲线的参数方程为：一次微分得到：因为, 所以如果可以求出上面的积分，那么就可以完全用弧长将空间曲线表示出来。
可展曲面展开图的画法_机械工程图学基础教程（第2版）_[共2页]
![可展曲面展开图的画法_机械工程图学基础教程（第2版）_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/5a494c9dc850ad02df8041ba.png)
第9章焊接图及展开图简介261的表面）和不可展曲面（球面、圆环面、螺旋面等不能摊平的表面）。
对于不可展曲面，可以采用近似的方法将其展开。
9.2.1 平面立体展开图的画法由于平面立体的表面由若干个平面多边形组成，故其展开图为若干个多边形所组成的平面图形。
求作平面立体表面的展开图，实际上就是根据投影图求出各平面多边形的实形（各棱线的实长），并将其依次连续地画在一个平面上，一般可采用图解法，展开图的外边界线应画成粗实线，而内部的表示相邻表面交线的线条则画成细实线。
棱柱和棱台（棱锥）是最常见的平面立体，其展开图的求解及作图过程如图9-7所示。
（a）斜截四棱柱的投影图和展开图（b）四棱台的投影图和展开图图9-7 平面立体展开图的画法示例9.2.2 可展曲面展开图的画法对于相邻素线为平行或相交两直线的直纹曲面（其母线为直线），由于其相邻两素线可构成一平面，故该直纹曲面为可展曲面，如柱面、锥面（常用的是圆柱面和圆锥面）等。
1．圆柱面的展开图圆柱面的相邻两条素线相互平行，可以用平行线法求作其展开图。
完整正圆柱面的展开图是一个矩形，矩形的一条直角边是圆周的展开线，即长度等于圆周周长的直线；另一条直角边是圆柱面的高。
为了求作非完整正圆柱面的展开图，可先在圆柱面上作出若干条互相平行的素线，然后求出每一条素线的实长，得到每一条素线在展开图上相应的一个端点，最后将这些端点依次连成光滑曲线即可。
【例9-1】求作图9-8（a）所示的斜截正圆柱面的展开图。
解由于正圆柱面各素线的正面投影反映实长，而底圆的周长为πD，因此可采用作图与计算相结合的方法绘制斜截正圆柱面的展开图。
具体的作图方法与步骤如下。
（1）将圆周分成若干等份（图中为12等份），并在正面投影上绘出相应素线的投影，得到各素线与正圆柱面斜截面交点的投影a′、b′、c′、d′、e′、f′、g′，如图9-8（a）所示。
（2）将圆周展开成长度为πD的直线，并将其分成与圆周相等的份数，如图9-8（b）所示。
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O′
θ
O。
O
展开图
两面投影
画圆锥的展开图时，可先计算出圆锥展开后的扇形角，然后 根据扇形角和圆锥素线的长度，画出圆锥的展开图。 在展开图中, 扇形的圆心为圆锥
的中心，扇形半径等于圆锥的素线长度
L，扇形的弧长等于圆锥底圆的圆周D.
设扇形角为θ,则有:
O。
θ D 则
360° 2 L D L 180°
1′ 2′ 3′
4′
5′ 6′ 7′
1。
2。
3。
4。
5。
6。
7。
展开图
a（1） g（7）
b（2）
c（3） d（4）
f（6） e（5）
过各等分点1。、2。、 3。、……作铅垂线，在各铅垂线上量 取其素线的实长，分别得端点A、B、 C、……等。
两面投影
（4）曲线连接
e′ d′ a′ b′ c′ A B f′ g′ E F G
D
C B
E
A
（a）圆环管 等径直角弯管
（b）圆柱 管
D
C
1′ 2′ 3′
4′
5′ 6′ 7′
1。 2。
3。
4。
5。
6。
7。
展开图
a（1）
g（7）
b（2） c（3） d（4）
f（6） e（5）
用光滑的曲线依次连接A、B、 C、……等各点，即得斜口圆柱管的 展开图。
两面投影
4. 等径直角弯管的展开
在管道设计中，等径直角弯管用来连接两根垂直相交、且直径相 等的圆管。由于圆环是不可展曲面，因此在设计弯管时，一般不采用 图（a）所示的圆环，而是采用多段圆柱组成，如图（b）所示。图（b） 示为工程上常用的五节斜口圆管拼接而成的直角弯管，中间三节叫全 节，首尾两节叫半节，半节可用一个全节在对称面处分开得到。
可展曲面的展开
1. 圆柱表面的展开
H
H
L=
πD
展开图
圆柱表面的展 开图为一矩形， 矩形的一组对边 为圆柱上、下低 圆的周长，另一 组对边为圆柱素 线的实长。
两面投影
作图方法
按俯视图中的水平圆 周展开成一直线，并在两 端点作垂线与圆柱等高， 封闭图形即得展开图。
展开图
两面投影
2. 圆锥表面的展开
圆锥的表面展开为一扇形，如图所示为圆锥的两面投影图及其 展开图。
展开图
θ
圆锥台的表面展开图是两个同圆心的扇形面积相差的部分，如 图所示，为圆锥台的两面投影及其展开图。
展开图 两面投影
3 斜口圆柱管的展开
e′
d′ a′ b′ c′ A B f′ g′ E D C F G
方法与步骤：
（1）等分圆周
（2）圆周展开
1′ 2′ 3′
4′
5′ 6′ 7′
1。 2。
3。
4。
f（6） e（5）
两面投影
（2）圆周展开
e′ d′ a′ b′ c′
f′
g′
在展开图中按周长展开圆周 成直线，并将其十二等分。
1′ 2′ 3′
4′
5′ 6′ 7′
1。
2。
3。
4。
5。
6。
7。
展开图
a（1）
g（7）
b（2） c（3） d（4）
f（6） e（5）
两面投影
（3）量取实长
e′ d′ a′ b′ c′ A B f′ g′ E D C F G
5。
6。
7。
（3）量取实长
（4）曲线连接
展开图
a（1） g（7）
b（2） c（3） d（4）
f（6） e（5）
两面投影
（1）等分圆周
e′ d′ a′ b′ c′
f′
g′
将俯视图的圆周十二等分，并在主视图 上画出各分点的素线长度，
1′ 2′ 3′
4′
5′ 6′ 7′
a（1）
g（7）
b（2） c（3） d（4）