概率论第三章第3节条件分布,独立性

自然地引出如下定义：
§3条件分布
定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称
P{ X
xi
|Y
yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij p• j
,i 1,2,
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。
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X 的取值是 1， 2， ， 并且 X Y．
X ,Y 的联合分布律为
( 其中q 1 p )
P X m， Y n qm1 p qnm1 p qn2 p2
n 2,3, ; m 1,2, , n 1. 目 录 前一页 后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布
例2（续）
X 的边缘分布律为
lim
0 P{ y Y y }
存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数， 写成 P{ X x |Y= y }，或记为 FX|Y(x|y).
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
FX |Y
(x
|
y)
lim
0
P{X x, P{ y
y
Y
Y y
y
}
PX m P X m， Y n p2 qn2 n
p 2 q m1 pq m1 , 1q
n m1
m 1,2,
§3条件分布
Y 的边缘分布律为
P{Y n} P{ X m,Y n}
n1
m
p2qn2 (n 1) p2q n2 , n 2,3,
m 1
P X m， Y n qn2 p2 , n 2,3, ; m 1,2, n 1
P X m， Y n qn2 p2 , n 2,3, ; m 1,2, n 1
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为
当m=1,2,3,… 时，
P{Y n | X m} P{ X m,Y n} P{X m}
第三章 随机变量及其分布
§3 条件分布
• 条件分布律 • 条件分布函数 • 条件概率密度 预备知识：条件概率、联合分布率和边缘概率
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第三章 随机变量及其分布
一 、离散型随机变量的条件分布律
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
p2q n2 pqnm1 , pq m 1
n m 1, m 2,
PX m pqm1, m 1,2,
P X m， Y n qn2 p2 , n 2,3, ; m 1,2, n 1
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第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0)
20
P{ X
i 1
xi
|Y
yj}
i 1
pij p• j
p• j p• j
1.
即条件分布率是分布率。
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例1 Y X x1 x2
xi p j
y1
y2
…
yj
pi
p11
p12
…
p1 j
p1
p 21
p 22
… p2 j
p 2
p i1
pi 2
…
p ij
pi
p 1
p2
… p j
的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),
且中途下车与否相互独立。以 Y 表示在中途下车的人 数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下 车的概率；
（2）二维随机变量（X,Y ) 的概率分布。
解：
(1)
P{Y
m
|
X
n}
C
m n
p m (1
p)nm ,
m 0,1, , n, n 0,1,2, .
}
F(x, y ) F(x, y )
lim
0 FY ( y ) FY ( y )
P( X
x2 Y
y2 )
Fra Baidu bibliotek
p22 p•2
第三章 随机变量及其分布
§3条件分布
例2 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击
到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标
所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次
数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。
解：Y 的取值是 2， 3， 4， ；
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第三章 随机变量及其分布
在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为 §3条件分布
当 n=2,3,… 时，
P{X m | Y n} P{ X m,Y n}
P{Y n}
qn2 p2
1
,
(n 1) p2qn2 n 1
m 1,2, , n 1;
P{Y n} (n 1) p2qn2 , n 2,3,
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：
P{ X xi } pi• pi j , i 1,2, j 1
P{Y y j } p• j pi j , j 1,2, i 1
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第三章 随机变量及其分布
由条件概率公式 P( A | B) P( AB) P(B)
第三章 随机变量及其分布
同样对于固定的 i, 若P{X= xi}>0, 则称
§3条件分布
P{Y
yj
|X
xi }
P{X xi ,Y y j } P{X xi }
pij pi•
,
j 1,2,
为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。
条件分布律具有分布律的以下特性：
10 P{ X= xi |Y= yj }0；
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第三章 随机变量及其分布
(2) 联合分布率为
§3条件分布
P{X n,Y m} P{Y m | X n}P{X n}
C
m n
pm (1
p)nm
n
n!
e
,
m
0,1,
n,
n
0,1,2,
二、条件分布函数
设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于
P{Y y} 0, 所以 P{X x | Y y} 无意义.
因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概 念。
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第三章 随机变量及其分布
定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ，§3条件分布 P{ y- < Y y + }>0, 若对于任意实数 x，极限
lim P{X x | y Y y }
0
P{X x, y Y y }