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高中文科数学平面向量知识点整理

1、概念

向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a+b =0

向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.

向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r

的长度或模，记作：||a r .

（ 222

22

2||,||a x y a a x y =+==+r r r 。）

零向量：长度为0的向量。a ＝O ⇔｜a ｜＝O .

【例题】1.下列命题：（1）若a b =r r

，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =u u u r u u u r

，则ABCD 是平行四边形。（4）

若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r

。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r

。其中正确的是_______

（答：（4）（5）） 2.已知,a b r r

均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么|3|a b +u u r r ＝_____

（答：13）；

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r

r r r ．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ；

③00a a a +=+=r r r r r

．

⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r

r ．

b

r a

r

C

B

A

a b C C -=A -AB =B u u u

r u u u r u u u r r r

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r

r ．

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r

．

【例题】

（1）①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r

____；

③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r

_____ （答：①AD u u u r ；②CB uu u r ；③0r ）；

（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r

＝_____

（答：）；

（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=u u r u u r u u r

，则合力

123F F F F =++u r u u r u u r u u r

的终点坐标是

（答：（9,1））

4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr

．

①a a λλ=r r ；

②当0λ>时，a λr

的方向与a r 的方向相同；

当0λ<时，a λr

的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r

；③()

a b a b λλλ+=+r r r r ．

⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r

．

【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3

--→

--→

=-，则点P 的坐标为_______

（答：7

(6,)3

--）；

5、向量共线定理：向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

b a λ=r r ．设()11,a x y =r

，()22,b x y =r ，（0b ≠r r ）22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 。

【例题】 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r

，当x ＝_____时a r 与b r 共线且方向相同

（答：2）；

（2）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r

，则x ＝______

（答：4）；