2019学年高一数学下学期期末综合练习五(无答案)(新版)人教版
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2019-2020学年新疆喀什巴楚县第一中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年新疆喀什巴楚县第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知直线斜率的绝对值等于1，则此直线的倾斜角（）A．30B．45C．60D．45或135°【答案】D【解析】根据直线斜率求出对应的倾斜角.【详解】=⇒=±，k k11∴当斜率为1时，直线的倾斜角为45；当斜率为1-时，直线的倾斜角为135°.故选：D【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角，属于基础题.2．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D．四边形确定一个平面【答案】C【解析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．下列几何体中，不是．．旋转体的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据旋转体的特征直接判定即可.【详解】由题,B 圆柱,C 圆锥,D 球均为旋转体.故选：A【点睛】本题主要考查了旋转体的辨析,属于基础题.4．已知直线a b ，，平面α，且a α⊥，下列条件中能推出a b ∥的是（ ） A ．b αB ．b α⊂C ．b α⊥D ．b 与α相交【答案】C【解析】根据线面垂直的性质，逐项判断即可得出结果.【详解】A 中，若b α，由a α⊥，可得a b ⊥；故A 不满足题意；B 中，若b α⊂，由a α⊥，可得a b ⊥；故B 不满足题意；C 中，若b α⊥，由a α⊥，可得a b ∥；故C 正确；D 中，若b 与α相交，由a α⊥，可得a b ，异面或平，故D 不满足题意.故选C【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，熟记线面垂直的性质定理即可，属于常考题型. 5．下图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ,则（ ）A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】D 【解析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.【详解】由图可知：10k <,20k >,30k >,且直线3l 的倾斜角小于直线2l 的倾斜角,所以32k k <,综上可知：132k k k <<.故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.6．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是（ ）A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-【答案】A【解析】联立两条直线方程，方程组的解所对应的点即为交点坐标.【详解】 20231322x y x x y ==⎧⎧⇒⎨⎨=+-=⎩⎩， 所以两条直线的交点坐标为(2,3).故选：A【点睛】本题考查直线的交点坐标，属于基础题.7．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据正四棱锥的特征直接判定即可.【详解】正四棱锥俯视图可以看到四条侧棱与顶点,且整体呈正方形.故选：D【点睛】本题主要考查了正四棱锥的俯视图,属于基础题.8．若线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30B．45C．60D．120【答案】C【解析】根据图形找到线面角,进而在直角三角形中求解即可.【详解】如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．故选C．【点睛】本题主要考查了线面角的求解,属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．9C．6D．36【答案】C【解析】由三视图可知，此几何体为四棱锥A-BCFE ， 111V 3323326232A BCFE ABC DEF A DEF V V ---=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选C.10．经过点(8,2)-，斜率是-2的直线方程（ ）A ．x -2y +10=0B ．2x +y -14=0C ．x +y -14=0D ．2x +2y -10=0 【答案】B【解析】根据已知写出直线的点斜式方程整理可得直线标准方程.【详解】经过点(8,2)-，斜率是-2的直线方程为()228y x +=--即2140x y +-=. 故选：B【点睛】本题考查直线的点斜式方程，属于基础题.11．若直线a 不平行于平面,则下列结论成立的是( ) A ．内的所有直线都与直线a 异面 B ．内不存在与a 平行的直线 C ．内的直线都与a 相交D ．直线a 与平面有公共点 【答案】D【解析】试题分析：直线不平行于，包括两种情况：或，当时，内的所有直线都与直线共面，A 错；当时，内必然有直线与直线平行， B 错；从而C 也错；当，直线和平面有无数个公共点，当，直线与平面有唯一公共点，D 正确.【考点】直线和平面的位置关系.12．已知点(),5A a -，(0,10)B 的距离是17 ，则a 的值是（ ）A ．8B ．6C ．±8D ．±6【答案】C【解析】由两点间的距离公式列出方程求解a .【详解】 2[1017a +=，即264a =，8a ∴=±.故选：C【点睛】本题考查两点间的距离公式，属于基础题.二、填空题13．已知点()1,2A ，()1,2B --，则直线AB 的方程是________.【答案】20x y -=【解析】根据两点式直线方程，即可求解.【详解】直线的两点式方程为112121x x y y x x y y --=--， 代入()1,2A ，()1,2B --，得121212x y --=----，整理得直线AB 的方程是20x y -=. 故答案为: 20x y -=.【点睛】本题考查直线方程的求法，属于基础题.14．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积等于_______【答案】323π 【解析】根据球的表面积求出球的半径，再求出球的体积.【详解】设球的半径为R ，则2416S R ππ==，得2R =，球的体积343233V R ππ==.故答案为：323π. 【点睛】 本题考查了球的表面积公式和球的体积公式，属于容易题.15．点P (-1，2)到直线l ：3x =2的距离是________. 【答案】53【解析】利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】直线l ：32x =即320x -=，点P (-1，2)到直线l53=. 故答案为：53【点睛】 本题考查点到直线的距离，属于基础题.16．已知两个平面垂直，下列命题中正确的命题是______.①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面【答案】②【解析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐项判断.【详解】①错误，当一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时不满足条件；②正确，两个平面垂直则一个平面内的一条直线必垂直于另外一个平面内的无数条直线；③错误，在其中一个平面内可以找到一条直线平行于另一个平面，如与交线平行的直线即可；④错误，如果该点在交线上，过交点上一点作垂线不一定垂直另一个平面.故答案为：②【点睛】本题考查命题的真假判断、空间中直线与平面之间的位置关系，属于中档题.三、解答题17．已知正四棱台1111ABCD A B C D -上､下底面的边长分别为4､10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.【答案】116843+ 【解析】先求出四棱台的高与斜高，由上下底面积加侧面积可得正四棱台的表面积. 【详解】解：如图，正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,10,6AB A B AA ===,在等腰梯形11ABB A 中，过A 作11AE B A ⊥于E ，则110432A E -==, 所以2222116333AE AA A E =-=-=,所以正四棱台的表面积为2214104(410)331168432++⨯⨯+⨯=+【点睛】此题考查棱台的表面积的求法，考查数形结合的解题思想，属于基础题.18．直线1l 经过点A (3，2)，且与直线2l ：4x +y -2=0 平行（1）求直线1l 的方程；（2）求此两条直线间的距离；【答案】（1）4140x y +-=；（21217. 【解析】（1）根据题意设直线1l 的方程为40x y m ++=，代入点()3,2A 求出m 即可求得直线1l 的方程；（2）直接利用两平行直线间的距离公式求解即可.【详解】（1）根据题意设直线1l 的方程为：40x y m ++=，因为直线1l 过点()3,2A ，所以122014m m ++=⇒=-，所以直线1l 的方程为：4140x y +-=；（2）两直线间的距离为()22141217=41---+. 【点睛】本题考查直线间的位置关系、两平行直线间的距离，属于基础题.19．如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，（1）证明：直线BD 平行于平面EFG ； （2）证明：直线AC 平行于平面EFG .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由中位线的性质可得//FG BD ，即可推出线面平行；（2）由中位线的性质可得//EF AC ，即可推出线面平行.【详解】（1）F ，G 分别是BC ，CD 的中点，∴FG 为CBD 的中位线，则//FG BD ,又FG ⊂平面EFG ，BD ⊄平面EFG ，∴//BD 平面EFG .（2）E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF 为BAC 的中位线，则//EF AC ，又EF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，//EF ∴平面EFG .【点睛】本题考查线面平行的证明，属于基础题.20．（1）求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标.（2）已知点P 的横坐标是7，点P 与点N (-1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标.【答案】（1）()0,0或()10,0；（2）1-或11.【解析】（1）设x 轴上点的坐标为(),0x ，由距离公式可得关于x 的方程，解方程可得；（2）设点P 的纵坐标为y ，由距离公式可得关于y 的方程，解方程即可.【详解】（1）设x 轴上点的坐标为(),0x ， 由距离公式可得()()22501213x -+-=，解得0x =或10x =， 所以所求点的坐标为()0,0或()10,0；（2）设点P 的纵坐标为y ，由距离公式可得()()2271510y ++-=，解得1y =-或11y =， 所以点P 的纵坐标为1-或11.【点睛】本题考查两点间的距离公式，属于基础题.21．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长AB=1.（Ⅰ）求异面直线A 1B 与 B 1C 所成角的大小；（Ⅱ）求证：平面A 1BD ∥平面B 1CD 1．【答案】（Ⅰ）60（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据异面直线所成角的定义，易知图中1BA D ∠就为所求角，又三角形1BA D 为正三角形；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理，要证平面A 1BD ∥平面B 1CD 1 可转化为两相交直线BD 和A 1B 平行于平面B 1CD 1即可【详解】（Ⅰ）因为B 1C//A 1D ，所以1BA D ∠为异面直线A 1B 与B 1C 所成角．第 11 页 共 11 页 在1BA D ∆中，易得13BA D π∠=（Ⅱ） 11111111//A BD //A BD A BD A D B C A D B C B C ⎫⎪⊆⇒⎬⎪⊄⎭面面面，11D //A BD B １同理：面11D B CD B ⊆１１面，11C B CD B ⊆１面，且111D C B B B ⋂=１ 所以111//A BD B CD 平面平面【考点】1、异面直线的角；2、面面平行；4、线面平行和线线平行. 22．已知直线l 经过两条直线1l :40x y +-=和2l :20x y -+=的交点，直线3l :210x y --=；(1)若3l l ∥，求l 的直线方程；(2)若3l l ⊥，求l 的直线方程．【答案】(1) 210x y -+=； (2) 270x y +-=【解析】(1)先求出1l 与2l 的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l【详解】（1）由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得13x y =⎧⎨=⎩， ∴1l 与2l 的交点为()1,3.设与直线210x y --=平行的直线为20x y c -+=，则230c -+=，∴1c =.∴所求直线方程为210x y -+=.（2）设与直线210x y --=垂直的直线为20x y c ++=， 则1230c +⨯+=，解得7c =-．∴所求直线方程为270x y +-=.【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．。
陕西省榆林二中2017-2018学年高一下学期中考试数学试题(无答案)
榆林市二中2019--2019学年第二学期期中考试高一年级数学试题考试时间： 120 分钟 满分： 150 分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( )A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°2．直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A.()－1，15B.()－∞，12∪()1，＋∞C ．(－∞，1)∪()15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪()12，＋∞3．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝04．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4 B.21313 C.52613 D.72010 5．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝46．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝07．函数f (x )＝3sin()x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π8．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法：①OP 的中点坐标为()12，1，32；②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确说法的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 9．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 10．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角11．若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为( ) A.3π2 B.3π4 C.3π8 D.3π1612．已知cos α＝－513，且α为第三象限角，求tan α( )A.1213 B ．－1213 C.125 D ．－125二、填空题：把答案填写在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 14．已知sin()5π2＋α＝15，那么cos α＝________．15．tan 300°＋sin 450°的值为 = . 16．直线y ＝2x ＋1被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为________.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程和重要的演算步骤（本题共6小题，共70分）17. (10分) 已知角α的终边上有一点的坐标是P (3a ，4a )，其中a ≠0，求sin α，cosα.18.（12分）化简：(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋ tan(－1 089°)tan(－540°)(2)tan （π－α）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－α－π）sin （－π－α）19.（12分）求过点(2,3)且与两坐标轴的交点到原点的距离相等的直线方程． 20.（12分）已知函数f (x )＝a sin()2ωx ＋π6＋a2＋b ()x ∈R ，a >0，ω>0的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω，a ，b 的值； (2)求出f (x )的单调递增区间．21.（12分）已知sin θ＝45，π2＜θ＜π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．22.（12分）) 过原点O 的圆C ，与x 轴相交于点A (4,0)，与y 轴相交于点B (0,2)．(1)求圆C 的标准方程；(2)直线L 过B 点与圆C 相切，求直线L 的方程，并化为一般式．。
高中数学必修二 北京市丰台区 — 学年度 高一下学期期末练习数学试题(含答案)
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为 ，
9.如图所示，在复平面内，复数 ， 所对应的点分别为A，B，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 并结合复数的几何意义得到 的表示.
【详解】因为 ， 与 对应， 与 对应，
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数 和复平面内的点 一一对应，同时复数 和平面向量 也一一对应.
丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球与正方体位置关系，分析出球 半径，由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的 ，
所以球的半径为 ，所以球的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的 ；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的 .
2019-2020学年辽宁省锦州市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年辽宁省锦州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．求值：sin150°＝（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知复数z满足z（l+i）＝2﹣i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A＝b cos B，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形4．已知＝（﹣1，2），＝（3，m），若，则m＝（）A．4B．3C．D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C 为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（2x﹣）B．f（x）＝2sin（2x﹣）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）8．定义运算：＝ad﹣bc．已知α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，则cosβ＝（）A．B．C．D．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°10．已知函数f（x）满足f（x）＝f（x+π），当0≤x≤时，f（x）＝4sin2x；当≤x ＜π时，f（x）＝x﹣4，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点，则a 的最小值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为πB．图象关于点（，0）对称C．图象关于y轴对称D．在区间（，π）上单调递增12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列选项正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若n∥α，n⊥β，则α⊥β三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点P（﹣1，3），则cosθ＝，cos2θ＝．14．复数范围内关于x的方程x2+x+1＝0的解集为．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，P在底面ABC内的射影D位于直线AC 上，且AD＝2CD，PD＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知||＝4，||＝3，（2）＝61，求：（1）向量与的夹角θ；（2）||．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，E，F，G分别为BB1，AC，AA1的中点．（1）求证：平面BFG∥平面A1EC；（2）求证：BF⊥平面ACC1A1．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小：（2）求cos A+cos C的最大值．20．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF＝1：3（S△PEF表示△PEF的面积）．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．22．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin C sin（B+）＝sin A．（1）求的值；（2）已知函数f（B）＝k（sin B+cos B）+sin B cos B（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，求函数f（B）的值域．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．求值：sin150°＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°＝．故选：A．2．已知复数z满足z（l+i）＝2﹣i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数z满足（1+i）z＝2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（2﹣i），∴2z＝1﹣3i，∴z＝i．则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A＝b cos B，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形解：在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得sin A cos A＝cos B sin B，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝．若A＝B，则△ABC为等腰三角形，若A+B＝，则C＝，△ABC为直角三角形，故选：D．4．已知＝（﹣1，2），＝（3，m），若，则m＝（）A．4B．3C．D．解：∵，又∵，∴＝0即﹣1×3+2m＝0即m＝故选：D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C 为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°解：由正弦定理得得＝得sin C＝，∵c＞a，∴C＞A，得C＝60°或120°，故选：B．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．7．函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（2x﹣）B．f（x）＝2sin（2x﹣）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）解：根据函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝2，•＝+，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×+φ＝，∴φ＝﹣，故f（x）＝2sin（2x﹣），故选：A．8．定义运算：＝ad﹣bc．已知α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，则cosβ＝（）A．B．C．D．解：∵α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，∴sinα＝＝，∴＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝cosβ﹣sinβ＝﹣．∴cosβ﹣＝﹣．整理得10cos2β+4cosβ﹣1＝0，解得cosβ＝或cosβ＝﹣（舍），故选：B．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°解：不妨设BB1＝1，则AB＝，•＝（）•（）＝+++＝0+cos60°﹣12+0＝0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B．10．已知函数f（x）满足f（x）＝f（x+π），当0≤x≤时，f（x）＝4sin2x；当≤x ＜π时，f（x）＝x﹣4，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点，则a 的最小值为（）A．B．C．D．解：函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点等价于方程f（x）﹣ax＝0在[0，2π）有五个不同的实数根，即函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象在[0，2π）有五个交点，结合图象可得，当直线y＝ax过点（2π，4）时，a取得最小值，此时，．故选：A．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为πB．图象关于点（，0）对称C．图象关于y轴对称D．在区间（，π）上单调递增解：将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1 的图象向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+π）﹣1＝﹣cos2x﹣1 的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）＝﹣cos2x的图象．关于函数g（x），它的最小正周期为＝π，故A正确；令x＝，求得g（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；由于它是偶函数，故它的图象关于y轴对称，故C正确；在区间（，π）上，2x∈（π，2π），y＝cos2x单调递增，故g（x）＝﹣cos2x单调递减，故D错误，故选：ABC．12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列选项正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若n∥α，n⊥β，则α⊥β解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若n∥α，n⊥β，由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确．故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点P（﹣1，3），则cosθ＝﹣，cos2θ＝．解：角θ的终边上的点P（﹣1，3）到原点的距离为：r＝＝，由任意角的三角函数的定义得cosθ＝＝﹣．可得cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×（﹣）2＝．故答案为：﹣，．14．复数范围内关于x的方程x2+x+1＝0的解集为{﹣+i，﹣﹣i}．解：x2+x+1＝0，即为x2+x+＝﹣1+，可得（x+）2＝﹣，即x+＝±i，解得x＝﹣+i或﹣﹣i，则解集为{﹣+i，﹣﹣i}．故答案为：{﹣+i，﹣﹣i}．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝100m．解：由题意可得AB＝600，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°﹣75°＝105°，∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由正弦定理可得：，即＝，∴BC＝300，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴tan30°＝＝，∴DC＝100．故答案为：100．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，P在底面ABC内的射影D位于直线AC 上，且AD＝2CD，PD＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．解：因为AB＝BC，所以△ABC外接圆的圆心M在BO上，设此圆的半径为r，因为BO＝4，所以（4﹣r）2+32＝r2，解得，因为OD＝OC﹣CD＝3﹣2＝1，所以，设QM＝a，易知QM⊥平面ABC，则QM∥PD，因为QP＝QB，所以，即，解得a＝1，所以球Q的半径，表面积．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知||＝4，||＝3，（2）＝61，求：（1）向量与的夹角θ；（2）||．解：（1）∵||＝4，||＝3，∵（2）＝4||2﹣3||2﹣4•＝37﹣4•＝61∴•＝||•||•cos＜，＞＝﹣6∴cos＜，＞＝﹣∴＜，＞＝120°∵向量与的夹角θ＝120°…（2）∵||2＝||2+||2﹣2•＝16+9+12＝37∴||＝…18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，E，F，G分别为BB1，AC，AA1的中点．（1）求证：平面BFG∥平面A1EC；（2）求证：BF⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）在△AA1C中，点F为AC的中点，G为AA1的中点，∴GF∥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵E是BB1的中点，G为AA1的中点，∴A1G∥BE，且A1E＝BE，∴四边形A1GBE是平行四边形，∴A1E∥GB，∵GB∩GF＝G，∴平面BFG∥平面A1EC．（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB＝BC，点F为AC的中点，∴BF⊥AC，又AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，∴AA1⊥BF，又AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BF⊥平面ACC1A1．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小：（2）求cos A+cos C的最大值．解：（1）在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．所以，由于0＜B＜π，所以B＝．（2）由（1）得：A+C＝，所以＝＝．由于，所以当时，cos A+cos C的最大值为1．20．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？解：（1）由题意，A＝50，b＝60，T＝3；故ω＝，故y＝50sin（t+φ）+60；则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，φ＝﹣；故y50sin（t﹣）+60；（2）在第一个3分钟内求即可，令50sin（t﹣）+60＞85；则sin（t﹣）＞；故＜t﹣＜，解得，1＜t＜2；故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF＝1：3（S△PEF表示△PEF的面积）．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．【解答】证明：（1）由题知四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，又CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD∴AB∥平面PCD又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF∴EF∥AB，又AB∥CD∴EF∥CD，由S△PEF：S四边形CDEF＝1：3，知E、F分别为PC、PD的中点，连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中FG为中位线，∴EG∥PB，∵EG∥PB，EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．解：（2）∵PA＝2，AD＝AB＝1，∴，，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD在Rt△CDE中，，在△ACE中由余弦定理知，∴，∴S△ACE＝，设点F到平面ACE的距离为h，则，由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA＝A，得DG⊥平面PAC，且，∵E为PD中点，∴E到平面ACF的距离为，又F为PC中点，∴S△ACF＝S△ACP＝，∴由V F﹣ACE＝V E﹣ACF，解得，∴点F到平面ACE的距离为．22．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin C sin（B+）＝sin A．（1）求的值；（2）已知函数f（B）＝k（sin B+cos B）+sin B cos B（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，求函数f（B）的值域．解：（1）因为sin C sin（B+）＝sin A，所以sin B•sin C+cos B•sin C＝sin（B+C）＝sin B•cos C+cos B•sin C，即sin B•sin C＝sin B•cos C．又0＜B＜π，所以tan C＝1，可得C＝…2分可得＝＝﹣2+，…4分（2）由题意函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，得，2cos2A ﹣cos A＜0，所以0＜cos A＜，所以角A的范围是，由（1）知C＝，所以，…6分设t＝sin B+cos B＝sin（B+），因为，所以t∈（1，），…8分则sin B cos B＝，令y＝h（t）＝t2+kt﹣，t∈（1，）．（i）当k≥﹣1时，h（1）＝k，h（）＝k+，此时f（B）的值域为（k，k+），…9分（ii）当﹣≤k＜﹣1时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（）＝k+，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k+），…10分（iii）当﹣＜k＜﹣时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（1）＝k，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k），…11分（iv）当k≤﹣时，h（）＝k+，h（1）＝k，此时f（B）的值域为（k+，k）．…12分。
2019-2020学年山西省太原市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山西省太原市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．162．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．15．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±47．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．29．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣211．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．15．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．16【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解．解：在等差数列{a n}中，由a1＝1，d＝2，得a4＝a1+3d＝1+3×2＝7．故选：B．2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】可以先求出方程x（x﹣1）＝0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；解：x（x﹣1）＝0，可得x＝1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选：D．3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．解：∵；∴；∴k＝2．故选：A．4．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．1【分析】利用余弦定理即可求出a的值．解：因为A＝30°，b＝，c＝1，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝＝1，故a＝1．故选：D．5．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b【分析】通过举例利用排除法可得ABC不正确，即可得出结论．解：由a＜b，取a＝﹣2，b＝﹣1，可知A，B不正确；取a＝﹣1，b＝1，可得C不正确．故选：D．6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】根据等比数列的性质知：a1a3a5＝（a2q）3＝8，a2q＝a3＝2，a2a4＝a32＝4．解：设等比数列{a n}的公比为q，则a1a3a5＝•a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．又a2a4＝•a3q＝a32＝22＝4．故选：B．7．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值．解：cos45°cos15°+sin15°sin45°＝（cos45°﹣15°）＝cos30°＝，故选：B．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．2【分析】根据向量的平方等于模的平方，利用数量积定义和数量积的性质即可得出．解：∵||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，∴＝1，＝4，•＝﹣1，∴|+|2＝（+）2＝+﹣2•＝1+4﹣2＝3，故|+|＝，故选：B．9．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．【分析】利用数列{a n}的通项公式求出数列{a n}的前4项，得到{a n}是周期为3的周期数列，从而a2020＝a1，由此能求出结果．解：在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），∴＝，＝﹣，＝0，∴{a n}是周期为3的周期数列，∵2020＝673×3+1，∴a2020＝a1＝0．故选：A．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+＝（+）（x+2y）＝3+，当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，故选：B．11．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）【分析】由已知对a进行分类讨论，然后结合二次不等式的性质可求．解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，当a≠0时，可得，解可得，﹣1＜a＜0，综上可得，﹣1＜a≤0，故选：C．12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038【分析】差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，可得a2019＞0，a2020＜0．再利用求和公式及其性质即可得出．．解：∵等差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，∴a2019＞0，a2020＜0．于是S4038＝＝＞0，S4039＝＝4039•a2020＜0．∴使S n＞0成立的最大正整数n是4038．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式进行计算即可．解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为：＝．故答案为：．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30 km．【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B＝75°﹣30°＝45°，在△ABC中，根据正弦定理得：＝，即＝，∴BC＝30km，则这时船与灯塔的距离为30km．故答案为：3015．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为2．【分析】由题意可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，代入要求的式子+，化简求得结果．解：∵已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，∴+＝+＝＝＝2，故答案为2．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为3240．【分析】由数列递推式判断数列的特征，4项一组，求和后得到一个等差数列，然后求和即可．解：设a1＝a，由a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l，得a2＝a+1，a3＝2﹣a，a4＝7﹣a，a5＝a，a6＝a+9，a7＝2﹣a，a8＝15﹣a，a9＝a，a10＝a+17，a11＝2﹣a，a12＝23﹣a．可知：a1+a2+a3+a4＝10，a5+a6+a7+a8＝26，a9+a10+a11+a12＝42，…10，26，42，…是等差数列，公差为16，∴数列{a n}的前80项和为：20×10+×16＝3240．故答案为：3240．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列{b n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，a4＝7，可得a1+d＝3，a1+3d＝7，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；（2）设等比数列{b n}的公比为q，由b1＝a1＝1，b4＝a14＝q3＝27，解得q＝3，数列{b n}的前n项和S n＝＝（3n﹣1）．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．（2）由题意利用诱导公式，求得结果．解：（1）∴已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣．（2）＝＝﹣cos2α＝﹣．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b的值．（2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．（2）∵A+B+C＝180°，A＝60°，B＝45°．∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝+＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×＝9+3．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．【分析】（1）写出f（x）解析式，根据正弦函数的周期及对称中心可得答案；（2）条件等价于sin（x+）≥，解之即可解：由题可得f（x）＝＝1+sin x+cos x﹣1＝sin（x+），（1）由f（x）解析式可得其最小正周期T＝2π，令x+＝kπ，则x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z；（2）由f（x）≥1得sin（x+）≥，解得2kπ+≤x+≤2kπ+π，k∈Z，则2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．【分析】（1）根据平面向量数量积的运算得到f（x）解析式，结合正弦函数性质即可得到答案；（2）由f（x）≤2得到sin（2x+）≤，解之即可解：由题得f（x）＝＝1+sin2x+cos2x＝1+sin（2x+）（1）则函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，令2x+＝kπ，解得x＝（k∈Z），即函数的对称中心为（，1）（k∈Z）；（2）当f（x）≤2时，即1+sin（2x+）≤2，所以sin（2x+）≤，则﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤kπ（k∈Z），即x的取值范围是[﹣+kπ，kπ]（k∈Z）（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用定义的应用求出结果．（2）利用（1）的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．整理得：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得：，解得：a n＝n（n+2）．所以．所以：＝＝选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式，再由等差数列的定义求使{b n}为等差数列的λ值；（2）由（1）知，，令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，利用错位相减法求得T n，进一步求得数列{a n}的前n项和S n．解：由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，∴，得，，，…（n≥2）．累加得：＝＝．∴（n≥2）．a1＝5适合上式，∴．则b n＝＝．＝．若{b n}为等差数列，则λ﹣1＝0，即λ＝1．故存在实数λ＝1，使得{b n}为等差数列；（2）由（1）知，．令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，则，．∴＝，得．∴数列{a n}的前n项和S n＝n•2n+1+n．。
第六章平面向量及其应用综合训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用 章末综合训练一、选择题1. 下列结论中，不正确的是 ( ) A ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的意义是相同的 C ．若向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣，则 a =b ⃗ D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗2. 设 a ，b ⃗ 是向量，则“∣a ∣=∣b ⃗ ∣”是“∣a +b ⃗ ∣=∣a −b⃗ ∣”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知向量 a 与 b ⃗ 方向相反，a =(1,−√3)，|b ⃗ |=2，则 |a −b⃗ |= ( )A ． 2B ． 4C ． 8D ． 164. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =3，b =7，cosB =−12，则 c = ( )A ． 4B ． 5C ． 8D ． 105. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√326. 如图所示，为了测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 作为测量基点，从 A 点测得 M 点的仰角 ∠MAN =60∘，C 点的仰角 ∠CAB =45∘，∠MAC =75∘，从 C 点测得 ∠MCA =60∘，已知山高 BC =500 m ，则山高 MN （单位：m ）为 ( )A ． 750B ． 750√3C ． 850D ． 850√37. 已知在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b =1，c =√3，且 2sin (B +C )cosC =1−2cosAsinC ，则 △ABC 的面积是 ( )A ．√34B ． 12C ．√34或√32D ．√34或 128. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗是平面内两个夹角为 2π3的单位向量，设 m ⃗⃗ ，n ⃗ 为同一平面内的两个向量，若 m ⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∣n ⃗ −e 1⃗⃗⃗ ∣=12，则 ∣m ⃗⃗ −n ⃗ ∣ 的最大值为 ( )A ． 12B ． 32C ．√3−12D ．√3+12二、多选题9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列计算错误的是 ( )A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. △ABC 满足下列条件，其中有两个解的是 ( )A ． b =3，c =4，B =30∘B ． b =12，c =9，C =60∘C ． b =3√3，c =6，B =60∘D ． a =5，b =8，A =30∘ 11. 设 a ，b⃗ 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是 ( ) A ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则 a⊥b ⃗ B ．若 a ⊥b ⃗ ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣C ．若 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣，则存在实数 λ，使得 b⃗ =λaD ．若存在实数 λ，使得 b ⃗ =λa ，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣12. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 a ，b ，c ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有 △ABC 满足 sinA:sinB:sinC =2:3:√7，且 △ABC 的面积 S =6√3，请运用上述公式判断下列结论正确的是 ( ) A ． △ABC 的周长为 10+2√7B ． △ABC 三个内角 A ，B ，C 满足 2C =A +B C ． △ABC 外接圆的直径为4√213D ． △ABC 的中线 CD 的长为 3√2三、填空题13. 在 △ABC 中，sinA:sinB:sinC =3:2:4，则 cosC = ．14. 已知 A ，B ，C 三点共线，若 O 是这直线外一点，满足 mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点 A 分 BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的比为 ．15. 已知 △ABC 的面积为 3√15，且 AC −AB =2，cosA =−14，则 BC 的长为 ．16.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB=4，BC=CD=2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足BEBC =AFAB=λ，当AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，则实数λ的值是．四、解答题17.已知a=(1,2)，b⃗=(−3,2)，当k为何值时：(1) ka+b⃗与a−3b⃗垂直？(2) ka+b⃗与a−3b⃗平行？平行时它们是同向还是反向？18.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点．19.已知平面向量a，b⃗，c满足∣a∣=4，∣∣b⃗∣∣=3，∣c∣=2，b⃗⋅c=3，求(a−b⃗)2(a−c)2−[(a−b⃗)⋅(a−c)]2的最大值．20. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a =1，B =π3，△ABC 的面积为3√34．(1) 求 △ABC 的周长； (2) 求 cos (B −C ) 的值．21. 已知 △ABC 的外接圆半径为 R ，其内角 A ，B ，C 的对边长分别为 a ，b ，c ，设 2R (sin 2A −sin 2B )=(a −c )sinC ． (1) 求角 B ；(2) 若 b =12，c =8，求 sinA 的值．22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数． (1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
上海市川沙中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市川沙中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题 1.函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =______.【答案】π 【解析】 函数y =3sin （2x +π3）的最小正周期是2π2=π，故答案为：π．2.若扇形圆心角为120o ，扇形面积为43π，则扇形半径为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为2π3，设扇形半径为r ，则212π4π,2233r r ⨯==. 【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制的转化，考查扇形面积公式212S r α=⋅⋅，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，已知12a =，24a =-，则4a =________. 【答案】-16 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用通项公式求出即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，得216d a a =-=-，则()41323616a a d =+=+⨯-=-.故答案为：16-【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.4.若数列{}n a 满足：11a =，12()n n a a n N *+=∈，则前8项的和8S =_________.【答案】255 【解析】 【分析】根据已知判断数列n a 为等比数列，由此求得其前8项和.【详解】由于12n n a a +=，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，故()8811225512S ⨯-==-.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5.已知3sin(),(,)52ππααπ-=∈，则sin 2α=_________. 【答案】2425- 【解析】 【分析】根据诱导公式求得sin α的值，根据同角三角函数的基本关系式求得cos α的值，根据二倍角公式求得sin2α的值.【详解】依题意()3sin πsin 5αα-==，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==-，所以3424sin 22sin cos 25525αα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数基本关系式，二倍角公式，属于基础题.6.函数sin()y x ϕ=+，[0,]ϕπ∈为偶函数，则ϕ=_______. 【答案】2π【解析】 【分析】根据诱导公式以及ϕ的取值范围，求得ϕ的值.【详解】根据诱导公式可知，ϕ是π2的奇数倍，而[]0,ϕπ∈，所以π2ϕ=.【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查三角函数的奇偶性，属于基础题.7.在ABC ∆中，60,16A AC ︒==,其面积S =，则BC长为________. 【答案】49 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求得AB ，然后根据余弦定理求得BC . 【详解】由三角形面积公式得1sin 602AB AC ⨯⨯⨯=o ,解得55AB =，由余弦定理得49BC ===. 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8.设n S 表示等比数列{}n a ()*n N ∈的前n 项和，已知1053S S =，则155SS =______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式化简已知条件，求得5q 的值，由此求得所求表达式的值.【详解】由于数列为等比数列，故10551055113,21S q q q S q -==+==-.15315551127112S q S q --===--. 【点睛】本小题主要考查数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.9.数列{}n a 中,111,32,n n a a a +==+则通项n a =____________. 【答案】1231n -⨯- 【解析】因为数列的首项为1，递推关系式两边加1，得到等比数列{1}n a +，其公比为3，首项为2，因此可知1113?23?21n n n n a a --+=∴=-。
2019-2020学年福建省三明市高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）某市教育行政部门为了解线上教学效率，从该地小学三年级、初中一年级、高中三年级抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法2．（5分）sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A．﹣B．C．﹣D．3．（5分）某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分为87，89，90，91，92，93，94，96，则这组数据的平均数是（）A．91B．91.5C．92D．92.54．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，恰有53个点落入阴影图形M中，则图形M的面积的估计值为（）A．0.47B．0.53C．0.94D．1.065．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最小值是（）A．2B．C．4D．86．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则cos A＝（）A．B．C．D．7．（5分）如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：，相关系数为r1；方案二：剔除点（10，32），根据剩下数据，得到线性回归方程：，相关系数为r2；则（）A．0＜r1＜r2＜1B．0＜r2＜r1＜1C．﹣1＜r1＜r2＜0D．﹣1＜r2＜r1＜0 8．（5分）已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a4＝8，a1a5＝﹣20，则＝（）A．10B．12C．28D．909．（5分）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y（单位：万件）之间的关系如表：x1234y m284256根据表中数据，求得回归直线方程为＝15x﹣2，则表中m的值为（）A．12B．13C．16D．2210．（5分）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为（）A．700 m B．640 m C．600 m D．560 m二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.11．（5分）若﹣1＜＜＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＜B．lna2＞lnb2C．a﹣＞b﹣D．+＞﹣1 12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣11，且3（2n﹣13）a n+1＝（2n﹣11）a n，则下列结论正确的是（）A．数列{a n}的前10项都是负数B．数列{a n} 先增后减C．数列{a n} 的最大项为第九项D．数列{a n}最大项的值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知事件A，B互相对立，且P（A）＝2P（B），则P（A）＝．14．（5分）设变量x，y满足不等式组，则目标函数z＝2x+y的最大值为．15．（5分）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是；若标签的选取是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是．16．（5分）已知tanα＝2tan，则＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，17．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1．（1）证明{2a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）在全国高中数学联赛培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩（单位：分）如茎叶图所示：（1）从甲的6次成绩中随机抽取2次，试求抽到119分的概率；（2）若从甲、乙两名学生中选择一人参加全国高中数学联赛，你会选择哪一位？说明理由．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝2﹣2cos B．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．20．（12分）（1）已知a＞b＞0，m＞0．求证：＜（2）设f（x）＝（3≤x≤4），利用（1）的结论证明f（x）＞．21．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求q的值；（2）设数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n，且b1＝1，求数列{b n}的通项公式．22．（12分）2020年新冠病毒爆发，许多志愿者积极参加抗疫活动．现有甲、乙两位志愿者同时徒步从A地出发赶往C地，甲不经B地直接匀速前往C地，他的速度（单位：千米/小时）范围由函数v（x）＝5sin（+2x）﹣10cos2x+5（＜x＜）决定，乙经B地接人后前往C地，速度为8千米/小时，此间在B地停留15分钟，其中AC＝5千米，AB＝4千米，BC＝2千米，如图．（1）求v（x）的取值范围；（2）若甲以最快速度赶往C地，且志愿者的对讲机的有效通话距离是3千米，试问这一路上甲、乙两人的对讲机是否能正常通话？请说明理由．（3）甲、乙到达C地后原地等待，为使两位志愿者在C处互相等待的时间不超过1小时，甲的速度v（x）中x应控制在什么范围内？2019-2020学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）某市教育行政部门为了解线上教学效率，从该地小学三年级、初中一年级、高中三年级抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法【分析】直接根据样本的特点确定答案．【解答】解：∵抽取的学生有明显差异，故应该分层抽样法进行，故选：C．【点评】本题考查抽样方法的判断，考查抽签法、随机数法、分层抽样、系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】先利用诱导公式得cos140°＝﹣cos40°，代入原式，再利用两角差的正弦公式求解．【解答】解：sin40°cos10°+cos140°sin10°＝sin40°cos10°﹣cos40°sin10°＝sin30°＝．故选：D．【点评】本题考查诱导公式、两角和与差的正弦公式．同时考查学生的运算能力．属于基础题．3．（5分）某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分为87，89，90，91，92，93，94，96，则这组数据的平均数是（）A．91B．91.5C．92D．92.5【分析】根据平均数的定义计算即可．【解答】解：计算这组数据的平均数是＝×（87+89+90+91+92+93+94+96）＝91.5．故选：B．【点评】本题考查了平均数的计算问题，是基础题．4．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，恰有53个点落入阴影图形M中，则图形M的面积的估计值为（）A．0.47B．0.53C．0.94D．1.06【分析】根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系．【解答】解：由题意，设不规则图形的面积为S，则＝，∴S＝1.06．故选：D．【点评】本题考查了几何概型的应用：利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规则图形面积的大小，关键是要根据几何概型的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案．5．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最小值是（）A．2B．C．4D．8【分析】先根据a+b的值，利用＝（）（a+b）利用均值不等式求得答案．【解答】解：∵a+b＝1∴＝（）（a+b）＝2++≥2+2＝4故最小值为：4故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了学生综合分析问题的能力和对基础知识的综合运用．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则cos A＝（）A．B．C．D．【分析】由题意设a＝4k，b＝5k，c＝6k，利用余弦定理求出cos A的值．【解答】解：由于△ABC中，a：b：c＝4：5：6，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，由余弦定理得：cos A＝＝＝．故选：C．【点评】此题考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．7．（5分）如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：，相关系数为r1；方案二：剔除点（10，32），根据剩下数据，得到线性回归方程：，相关系数为r2；则（）A．0＜r1＜r2＜1B．0＜r2＜r1＜1C．﹣1＜r1＜r2＜0D．﹣1＜r2＜r1＜0【分析】根据散点图知变量x、y具有正线性相关关系，且点（10，32）是离群值，剔除离群值后，线性相关性强些，是正相关，由此得出正确的结论．【解答】解：根据相关变量x，y的散点图知，变量x、y具有正线性相关关系，且点（10，32）是离群值．方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成正相关；方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是正相关．相关系数0＜r1＜r2＜1．【点评】本题考查了散点图与线性相关关系的应用问题，是基础题8．（5分）已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a4＝8，a1a5＝﹣20，则＝（）A．10B．12C．28D．90【分析】利用递增等差数列通项公式列出方程组，求出a1＝﹣2，d＝3，由此能求出的值．【解答】解：∵递增等差数列{a n}，的前n项和为S n，且a2+a4＝8，a1a5＝﹣20，∴，且d＞0，解得a1＝﹣2，d＝3，则＝＝10．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法与应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y（单位：万件）之间的关系如表：x1234y m284256根据表中数据，求得回归直线方程为＝15x﹣2，则表中m的值为（）A．12B．13C．16D．22【分析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得m 值．【解答】解：，，样本点的中心为（）．代入＝15x﹣2，得，解得m＝16．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．10．（5分）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为（）A．700 m B．640 m C．600 m D．560 m【分析】首先在Rt△AMD中，算出AM的值，然后在△MAC中，利用正弦定理算出AC 的值，最后在Rt△ABC中，利用三角函数的定义即可算出山的高度BC．【解答】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝14200，∴AM＝＝400．∵△MAC中，∠AMC＝45°+15°＝60°，∠MAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠MCA＝180°﹣∠AMC﹣∠MAC＝60°，由正弦定理，得＝＝400，在Rt△ABC中，BC＝AC sin∠BAC＝400×＝600m．故选：C．【点评】本题主要考查解三角形的实际应用问题．着重考查了三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 11．（5分）若﹣1＜＜＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＜B．lna2＞lnb2C．a﹣＞b﹣D．+＞﹣1【分析】先将条件进行化简，然后分别判断每个不等式是否成立．【解答】解：因为﹣1＜＜＜0，所以b＜a＜﹣1，所以a+b＜0，ab＞0，故，故A正确；a2＜b2，所以lna2＞lnb2，故B错误；a＞b，﹣＞﹣，所以a﹣＞b﹣，故C正确；取特殊值＝﹣，＝﹣，满足﹣1＜＜＜0，+＝﹣＜﹣1，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣11，且3（2n﹣13）a n+1＝（2n﹣11）a n，则下列结论正确的是（）A．数列{a n}的前10项都是负数B．数列{a n} 先增后减C．数列{a n} 的最大项为第九项D．数列{a n}最大项的值为【分析】由3（2n﹣13）a n+1＝（2n﹣11）a n⇒＝×，进而有数列{}是首项为1，公比为的等比数列，求出a n＝，再由数列的单调性及项的特点选出正确选项即可．【解答】解：∵3（2n﹣13）a n+1＝（2n﹣11）a n，∴＝×，又＝＝1，∴数列{}是首项为1，公比为的等比数列，∴＝（）n﹣1，∴a n＝．∴当n≤6时，a n＜0；当n≥7时，a n＞0．又a n+1﹣a n＝﹣＝，∴当n≤6时，a n+1＞a n；当n＝7时，a n+1＝a n；当n≥8时，a n+1＜a n．∴（a n）max＝a7＝a8＝．∴选项B与选项D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及数列单调性的应用，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知事件A，B互相对立，且P（A）＝2P（B），则P（A）＝．【分析】由对立事件的性质，得P（A）+P（B）＝3P（B）＝1，解出P（B），由此能求出P（A）．【解答】解：∵事件A，B互相对立，且P（A）＝2P（B），∴P（A）+P（B）＝3P（B）＝1，∴P（B）＝，∴P（A）＝2P（B）＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）设变量x，y满足不等式组，则目标函数z＝2x+y的最大值为8．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，2），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x，结合图象直线过A（3，2）时，直线在y轴是的截距取得最大值，此时z最大，z的最大值是8，故答案为：8．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．（5分）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是；若标签的选取是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是．【分析】标签的选取是无放回的，基本事件总数n＝4×3＝12，利用列举法求出两张标签上的数字为相邻整数包含的基本事件有6个，由此能求出两张标签上的数字为相邻整数的概率；标签的选取是有放回的，基本事件总数n＝4×4＝16，利用列举法求出两张标签上的数字为相邻整数包含的基本事件有6个，由此能求出两张标签上的数字为相邻整数的概率．【解答】解：一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是无放回的，基本事件总数n＝4×3＝12，两张标签上的数字为相邻整数包含的基本事件有6个，分别为：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），∴两张标签上的数字为相邻整数的概率是p＝＝；标签的选取是有放回的，基本事件总数n＝4×4＝16，两张标签上的数字为相邻整数包含的基本事件有6个，分别为：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），∴两张标签上的数字为相邻整数的概率是p＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知tanα＝2tan，则＝3．【分析】先将cos（）化成，然后代入原式展开，化简．再将结合tanα＝2tan化简出来，然后代入结论即可．【解答】解：cos（）＝＝＝．则＝①．tan（）＝＝②，又，解得，代入②式得，再代入①式得：原式＝3．故答案为：3．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式的运算问题，要注意抓住角之间的关系进行分析，联系公式．属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，17．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1．（1）证明{2a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用构造法的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1．令b n＝2a n+1，则b n+1＝2a n+1+1＝6a n+3，则：（常数），所以数列{2a n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列．解：（2）由于数列{2a n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，整理得．所以＝，＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，构造新数列，数列的求和，分组法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18．（12分）在全国高中数学联赛培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩（单位：分）如茎叶图所示：（1）从甲的6次成绩中随机抽取2次，试求抽到119分的概率；（2）若从甲、乙两名学生中选择一人参加全国高中数学联赛，你会选择哪一位？说明理由．【分析】（1）根据茎叶图得出甲的6次培训成绩，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）计算甲、乙二人的平均数和方差，比较大小即可．【解答】解：（1）甲的6次培训成绩为94，102，115，118，119，124；从甲的6次培训成绩中随机抽取2次，所有的可能情况为：（94，102）（94，115），（94，118），（94，119），（94，124），（102，115），（102，118），（102，119），（102，124），（115，118），（115，119），（115，124），（118，119），（118，124），（119，124）共15种；其中含有119的共有（94，119），（102，119），（115，119），（118，119），（119，124）共5种；故所求的概率为P＝＝．甲的6次培训成绩的平均分为＝×（94+102+115+118+119+124）＝112，方差为＝×[（﹣18）2+（﹣10）2+32+62+72+122]＝；乙的6次培训成绩的平均分为＝×（102+105+112+113+117+123）＝112，方差为＝×[（﹣10）2+（﹣7）2+02+12+52+112]＝；所以＝，＞；因此选乙更合适．【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了数据分析与判断能力，是基础题．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝2﹣2cos B．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【分析】（1）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin B＝2﹣2cos B，两边平方，可得5cos2B﹣8cos B+3＝0，结合范围﹣1＜cos B＜1，即可解得cos B的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用三角形的面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理即可解得b的值．【解答】解：（1）∵sin（A+C）＝2﹣2cos B，∴sin B＝2﹣2cos B，∴两边平方，可得：sin2B＝（2﹣2cos B）2，可得5cos2B﹣8cos B+3＝0，∵﹣1＜cos B＜1，∴cos B＝．（2）由（1）可知sin B＝＝，∴S＝ac sin B＝2，可得ac＝5，∴由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B＝20，可得b＝2．【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20．（12分）（1）已知a＞b＞0，m＞0．求证：＜（2）设f（x）＝（3≤x≤4），利用（1）的结论证明f（x）＞．【分析】（1）由已知利用作差法证明；（2）把函数f（x）的解析式变形，然后结合（1）中结论放缩，再由配方法证明f（x）＞．【解答】证明：（1）﹣＝．∵a＞b＞0，m＞0，∴a﹣b＞0，a（a+m）＞0，∴＞0．∴＞0，即＜；（2）∵3≤x≤4，∴x2＞x+2＞0．由（1）得，f（x）＝＝＞＝＝．∵3≤x≤4，∴，则，∴f（x）＞．即f（x）＞．【点评】本题考查不等式的证明，训练了利用作差法及配方法证明函数不等式，考查推理论证能力，是中档题．21．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求q的值；（2）设数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n，且b1＝1，求数列{b n}的通项公式．【分析】（1）由等差中项的定义和等比数列的通项公式，解方程可得q；（2）运用等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的恒等式、数列的错位相减法求和，化简整理计算可得所求通项公式．【解答】解：（1）由a3+2是a2，a4的等差中项，可得2（a3+2）＝a2+a4，又a2+a3+a4＝28，可得3a3+4＝28，解得a3＝8，所以2（a3+2）＝+a3q，即2q2﹣5q+2＝0，因为q＞1，可得q＝2；（2）由（1）可得a n＝2n，设数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为S n＝2n2+n，当n≥2时，S n﹣S n﹣1＝2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝4n﹣1，当n＝1时，S1＝3也满足上式，所以（b n+1﹣b n）a n＝4n﹣1，即b n+1﹣b n＝（4n﹣1）•，则b n﹣b1＝b2﹣b1+（b3﹣b2）+（b4﹣b3）+…+（b n﹣b n﹣1）＝3•+7•+11•+…+（4n﹣9）•+（4n﹣5）•，设T n＝3•+7•+11•+…+（4n﹣9）•+（4n﹣5）•，T n＝3•+7•+11•+…+（4n﹣9）•+（4n﹣5）•，上面两式相减可得，T n＝3•+4（++…++）﹣（4n﹣5）•＝+4•﹣（4n﹣5）•，所以T n＝8﹣﹣1﹣（4n﹣5）•＝7﹣（4n+3）•，即b n﹣b1＝7﹣（4n+3）•，所以b n＝8﹣（4n+3）•，【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的递推式的运用，数列的错位相减法求和，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．22．（12分）2020年新冠病毒爆发，许多志愿者积极参加抗疫活动．现有甲、乙两位志愿者同时徒步从A地出发赶往C地，甲不经B地直接匀速前往C地，他的速度（单位：千米/小时）范围由函数v（x）＝5sin（+2x）﹣10cos2x+5（＜x＜）决定，乙经B地接人后前往C地，速度为8千米/小时，此间在B地停留15分钟，其中AC＝5千米，AB＝4千米，BC＝2千米，如图．（1）求v（x）的取值范围；（2）若甲以最快速度赶往C地，且志愿者的对讲机的有效通话距离是3千米，试问这一路上甲、乙两人的对讲机是否能正常通话？请说明理由．（3）甲、乙到达C地后原地等待，为使两位志愿者在C处互相等待的时间不超过1小时，甲的速度v（x）中x应控制在什么范围内？【分析】（1）由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数v（x）为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质可得其取值范围；（2）设时间为t小时，求出两人间的距离，可判断其是否能通话；（3）由两人互相等待的时间不超过1小时，得出v（x）∈[2.5，5]，由此可得x的范围．【解答】解：（1）＝＝，∴v（x）∈（0，5]．（2）设经过t小时甲乙之间的距离为f（t）（单位：千米），乙到C需要1小时，则，①当时，f2（t）＝（5t）2+（8t）2﹣2×8t×5t cos A＝15t2，两人可以通话；②当时，即f（t）＜3，两人可以通话；③当时，，∴，两人可以通话综上，这一路上两人的对讲机都能正常通话．（3）∵乙的步行速度是8千米/小时，到B处停留15分钟，乙由A到C共花1小时，为使两位示志愿者在C处互相等待的时间不超过1小时，甲步行的速度v（x）∈[2.5，5]，即，，又，∴．【点评】本题考查解三角形的应用，考查余弦定理，考查正弦函数的性质，在求两人间距离时注意分类讨论．本题考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．。
上海市北虹高级中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
题
18.已知等比数列an 为递增数列，且 a52 a10, 2a1 a3 5a2. （1）求an 的通项公式；
（2）令 cn 1 (1)n an ，不等式 ck 2019(1 k 100, k N *) 的解集为 M ，求所有
ak k M 的和.
【答案】（1） an
2n
（2）
2101 211 3
19.设数列an 和数列bn 满足： an1 2an n2 4n 1, bn an n2 2n(n N *)
（1）若 a1 2 ，求 b1 ；
（2）求证：bn 为等比数列，并求出bn 的通项公式
（3）在（2）的条件下，对于正整数 2, m, k (2 m k ) ，若 5b2, bm, bk 这三项经适当排序后能
【答案】0, 2
【解析】 【分析】 利用反函数定义域直接求解即可
【详解】由题 1 x 1 10 x 2
故答案为0, 2
【点睛】本题考查反三角函数的定义域问题，准确计算是关键，是基础题
3.若函数 f x sin x , 0, 是偶函数，则 等于______
【答案】
2
【解析】
【分析】
利用偶函数的性质直接求解即可
【答案】（1） T
，递增区间：
k
3
, k
6
,
k
Z
（2）零点是
2
,
5 6
【解析】
【分析】
（1）由二倍角公式化简得
f
x
2
sin
2x
6
1
，再求单调性和周期即可（2）解方程求
解即可
【详解】（1）
由题 f x
3 sin 2x
1 cos 2x
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2019-2020学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为30的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）A．9B．10C．11D．122．直线x﹣y+1＝0的倾斜角的大小为（）A．B．C．D．3．已知直线2x+3y﹣2＝0和直线mx+（2m﹣1）y＝0平行，则实数m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．34．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6．已知棱长为的正方体的所有顶点在球O的球面上，则球O的体积为（）A．B．C．D．4π7．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S＝．若c＝2，b sin C ＝4sin A，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．8．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高为．设酒杯上部分（圆柱）的体积为V1，下部分（半球）的体积为V2，则的值是（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则C的值可以是（）A．30°B．60°C．120°D．150°10．设α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，下列选项中正确的有（）A．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β11．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k 的取值可以是（）A．﹣1B．﹣C．0D．112．如图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（）A．该市14天空气质量指数的平均值大于100B．此人到达当日空气质量优良的概率为C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为cm．14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则实数a的取值范围为．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，则＝，b的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某机器人兴趣小组有男生3名，记为a1，a2，a3有女生2名，记为b1，b2，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B的值；（2）若cos A＝，求sin C的值．19．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为3，且与直线4x+3y+7＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝x+1与圆C相交于点A，B，求△ACB的面积．20．工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据上表数据计算得，，，，求回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，若该产品的单价被定为8.7元，且该产品的成本是4元/件，求该工厂获得的利润．（利润＝销售收入﹣成本）附：回归方程中，系数a，b为：，．21．如图，三棱锥P﹣ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°．（1）求证：BC⊥PC；（2）若PA＝AB＝2，直线PC与平面ABC所成的角的正切值为，求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．22．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交于点Q．（1）若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程；（2）若过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．①设线段AB的中点为M，求点M纵坐标的最小值；②设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，问：k1+k2是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为30的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（）A．9B．10C．11D．12【分析】由题意用样本容量乘以高二年级的学生人数占的比例，即为所求．解：由题意可得高二年级的学生人数占的比例为＝，则应从高二年级抽取的学生人数为30×＝10，故选：B．2．直线x﹣y+1＝0的倾斜角的大小为（）A．B．C．D．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．解：直线x﹣y+1＝0的斜率为1，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），由tanθ＝1，得．故选：B．3．已知直线2x+3y﹣2＝0和直线mx+（2m﹣1）y＝0平行，则实数m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据两直线平行，它们的斜率相等，解方程求得m的值．解：∵直线l1：2x+3y﹣2＝0和直线l2：mx+（2m﹣1）y+1＝0平行，∴﹣＝﹣，解得m＝2，故选：C．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】法一：（几何法）连结A1C1、BC1，由A1C1∥AC，得∠BA1C1是异面直线A1B 与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与AC所成角．法二：（向量法）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AC所成角．【解答】解法一：（几何法）连结A1C1、BC1，∵A1C1∥AC，∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），∵A1C1＝A1B＝BC1，∴∠BA1C1＝60°，∴异面直线A1B与AC所成角是60°．解法二：（向量法）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），C（0，1，0），＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，1，0），设异面直线A1B与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，∴异面直线A1B与AC所成角是60°．故选：C．5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【分析】利用正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（A﹣B）的值为0，由A和B都为三角形的内角，得出A﹣B的范围，进而利用特殊角的三角函数值得出A﹣B＝0，即A＝B，利用等角对等边可得a＝b，即三角形为等腰三角形．解：∵a cos B＝b cos A，由正弦定理可得：sin A cos B＝sin B cos A，即sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，即A＝B，∴a＝b，则△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．6．已知棱长为的正方体的所有顶点在球O的球面上，则球O的体积为（）A．B．C．D．4π【分析】易知，正方体的外接球的球心为正方体的体对角线的交点，体对角线长即为球的直径，由此可求出球的半径，则体积可求．解：设球的半径为R，则由已知得：，故R＝1，所以球的体积为：．7．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S＝．若c＝2，b sin C ＝4sin A，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】首先利用正弦定理的应用求出b＝2a，进一步利用二次函数的性质和不等式的应用求出最大值．解：b sin C＝4sin A，利用正弦定理bc＝4a，由于c＝2，整理得b＝2a，所以设y＝＝＝，当时，，所以．故选：D．8．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高为．设酒杯上部分（圆柱）的体积为V1，下部分（半球）的体积为V2，则的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知可得圆柱的底面半径，再由圆柱与球的体积公式分别表示出V1，V2，则解：由题意可知，上部分圆柱的底面半径为R，圆柱的高为，则酒杯上部分（圆柱）的体积为V1＝；下部分（半球）的体积为V2＝．则＝．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则C的值可以是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】直接根据正弦定理即可求出．解：△ABC中，B＝30°，AB＝2＞2＝AC，由正弦定理可得＝，∴sin C＝＝＝，∵0＜C＜180°，∴C＝60°或120°，故选：BC．10．设α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，下列选项中正确的有（）A．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β【分析】对于A，由线面平行的判定定理得m∥α；对于B，α与β相交或平行；对于C，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则线面垂直的判定定理得n⊥β．解：由α，β是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，知：对于A，若m∥n，n⊂α，m⊄α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故A正确；对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则线面垂直的判定定理得n⊥β，故D正确．故选：ACD．11．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k 的取值可以是（）A．﹣1B．﹣C．0D．1【分析】由圆的方程可得圆心坐标及半径，进而求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和半个弦长构成直角三角形可得求出弦长的表达式，由题意可得k的取值范围，进而选出答案．解：由圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4可得圆心C的坐标为（3，2），半径r为2，圆心C到直线y＝kx+3即kx﹣y+3＝0的距离d＝＝，所以弦长MN＝2＝2≥2，即≤1，解得﹣≤k≤0，故选：BC．12．如图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天．下列说法正确的有（）A．该市14天空气质量指数的平均值大于100B．此人到达当日空气质量优良的概率为C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大【分析】结合所给统计图，逐一分析即可解：该市14天空气质量指数的平均值＝＝113.5＞100，故A正确；6月1日至6月13日中空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．空气质量优良的天数为6，故其概率为，故B正确；此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P＝，故C正确；方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大，故D正确．故选：ABCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为cm．【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．解：半径为2的半圆弧长为2π，圆锥的底面圆的周长为2π，其轴截面为等腰三角形如图：圆锥的底面半径为：1∴圆锥的高h＝＝．故答案是．14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为30．【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得a＝0.03∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10＝30．故答案为：30．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则实数a的取值范围为（﹣，）．【分析】根据题意，设P（x，y），若PA＝2PO，则有（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），变形分析可得P的轨迹以及轨迹方程，又由满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则圆（x+1）2+y2＝4与圆x2+（y﹣a）2＝4相交，由圆与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，设P（x，y），若PA＝2PO，则有（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），变形可得：x2+y2+2x﹣3＝0，即（x+1）2+y2＝4，则P的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，半径r＝2的圆，点P在圆x2+（y﹣a）2＝4上，又由x2+（y﹣a）2＝4，其圆心为（0，a），半径R＝2，若满足PA＝2PO的点P有且只有2个，则圆（x+1）2+y2＝4与圆x2+（y﹣a）2＝4相交，则有0＜1+a2＜16，解可得：﹣＜a＜，即a的取值范围为（﹣，）；故答案为：（﹣，）．16．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，则＝6，b的取值范围为（3，3）．【分析】先根据正弦定理，结合二倍角公式即可求出，可得b＝6cos A，再求出A的取值范围，即可求出b的范围．解：由正弦定理可得＝＝＝，∴＝6，∴b＝6cos A，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜B＜90°，30°＜A＜90°，∴30°＜2A＜90°，∴30°＜A＜45°，∴＜cos A＜，∴3＜6cos A＜3，∴3＜b＜3，故答案为：6，（3，3）．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某机器人兴趣小组有男生3名，记为a1，a2，a3有女生2名，记为b1，b2，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．【分析】（1）从5名学生中任选取2名学生，利用列举法求出基本事件有10个，设事件A表示“参赛学生中恰好有1名女生”，利用列举求出事件A包含的基本事件有6个，由此能求出参赛学生中恰好有1名女生的概率．（2）设事件B表示“参赛学生中至少有1名女生”，利用列举法求出事件B包含的基本事件有7个，由此能求出参赛学生中至少有1名女生的概率．解：（1）从5名学生中任选取2名学生，基本事件有10个，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），设事件A表示“参赛学生中恰好有1名女生”，则事件A包含的基本事件有6个，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），∴参赛学生中恰好有1名女生的概率P（A）＝＝．（2）设事件B表示“参赛学生中至少有1名女生”，则事件包含的基本事件有7个，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），∴参赛学生中至少有1名女生的概率P（B）＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2＝ac．（1）求B的值；（2）若cos A＝，求sin C的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算得解sin C的值．解：（1）∵a2+c2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得cos B＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵cos A＝，A∈（0，π），∴sin A＝＝，∴sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sin A cos+cos A sin＝＝．19．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为3，且与直线4x+3y+7＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝x+1与圆C相交于点A，B，求△ACB的面积．【分析】（1）设C（a，0），利用圆心到直线的距离为半径3得到＝3，易得a的值；（2）利用点的直线的距离公式和两点间的距离公式求得相关线段的长度，然后结合三角形的面积公式解答．解：（1）设C（a，0），其中a＞0，因为圆C的半径问3，且与直线4x+3y+7＝0相切，所以＝3．解得a＝2（负值舍去）．得到圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝9；（2）由直线l：y＝x+1知圆心C到直线l的距离为d＝＝．所以AB＝2＝2＝3．所以△ACB的面积为AB•d＝＝．20．工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据上表数据计算得，，，，求回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，若该产品的单价被定为8.7元，且该产品的成本是4元/件，求该工厂获得的利润．（利润＝销售收入﹣成本）附：回归方程中，系数a，b为：，．【分析】（1）由已知求得与的值，则y关于x的线性回归方程可求；（2）由定价求出产量，进一步求得利润．解：（1），，＝，＝80+20×8.5＝250．∴y关于x的线性回归方程为；（2）∵产品定价为8.7元，∴估计产量为﹣20×8.7+250．利润为（﹣20×8.7+250）（8.7﹣4）＝357.2万元．故工厂获得的利润为357.2万元．21．如图，三棱锥P﹣ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°．（1）求证：BC⊥PC；（2）若PA＝AB＝2，直线PC与平面ABC所成的角的正切值为，求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．【分析】（1）推导出BC⊥AC，BC⊥PA，从而得到BC⊥平面PAC，由此能证明BC⊥PC．（2）过A作AH⊥PC于H，推导出BC⊥PH，AH⊥平面PBC，从而∠ABH是直线AB 与平面PBC所成角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，∵PA∩AC＝A，PA、AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂面PAC，∴BC⊥PC．（2）如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，AH⊂平面PAC，∴BC⊥PH，∵PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成角，∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，∵tan∠PCA＝＝，PA＝2，∴AC＝．∴Rt△PAC中，AH＝＝，∵AB＝2，∴Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．22．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交于点Q．（1）若过点P的直线l1与圆O相切，求直线l1的方程；（2）若过点P的直线l2与圆O交于不同的两点A，B．①设线段AB的中点为M，求点M纵坐标的最小值；②设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，问：k1+k2是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）当过P的直线l1的斜率不存在时可得与圆O相切，当直线l1的斜率存在时，设直线的方程，求出圆心O到直线的距离等于半径可得斜率的值，进而求出过P的切线的方程；（2）①设弦AB的中点为M可得OM⊥MP，所以可得数量积•＝0，可得M的轨迹方程，与圆O联立求出交点坐标，可得M的纵坐标的最小值；②设A，B的坐标，直线l1与圆O联立求出两根之和及两根之积，进而求出k1+k2的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值．解：（1）当直线l1的斜率不存在时，则直线l1的方程为：x＝2，圆心O到直线l1的距离d＝2＝r，显然x＝2符合条件，当直线l1的斜率存在时，由题意设直线l1的方程为y﹣4＝k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k+4＝0，圆心O到直线l1的距离为d＝＝2，解得k＝，所以切线方程为x﹣y﹣2+4＝0，即3x﹣4y+10＝0，综上所述：过P点的切线方程为x＝2或3x﹣4y+10＝0；（2）①设点M（x，y），因为M是弦AB的中点，所以MO⊥MP，又因为＝（x，y），＝（x﹣2，y﹣4），所以x（x﹣2）+y（y﹣4）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，联立解得或，又因为M在圆O的内部，所以点M的轨迹是一段圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0以（﹣，）和（2，0）为端点的一段劣弧（不包括端点），在圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0方程中，令x＝1，得y＝2，根据点（1，2﹣）在圆O内部，所以点M的纵坐标的最小值为2﹣；②联立，整理可得（1+k2）x2﹣4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以k1+k2＝+＝+＝2k++＝2k+＝2k+＝2k﹣＝﹣1，所以k1+k2为定值﹣1．。
广西桂林市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)
广西桂林市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共12小题）.1．小明出国旅游，因当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针拨慢1小时，则时针转过的角的弧度数是（）A．B．C．D．2．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，表达了人与自然宇宙之间独特的时间观念，是中华民族悠久文化内涵和历史沉淀、根据多年气象统计资料，某地在节气夏至当日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该地在节气夏至当日为晴天的概率为（）A．0.65 B．0.55 C．0.35 D．0.753．已知向量＝（2，3），＝（m，﹣6），若与共线，那么m＝（）A．B．﹣C．4 D．﹣44．已知圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝4，则它的圆心坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）5．cos（﹣60°）＝（）A．B．C．﹣D．﹣6．已知函数f（x）＝sin（2x+），下列命题正确的是（）A．f（x）的周期为2πB．f（x）的值域为RC．f（x）的图象关于直线x＝成轴对称D．f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称7．对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关8．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝（）A．7 B．12 C．17 D．3410．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．11．直线y＝x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0上的点的最近距离为（）A．B．C．D．012．已知，是单位向量，•＝0．若向量满足|﹣﹣|＝1，则||的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二进制数101（2）转化为十进制数的结果是．14．为更好掌握学生体育水平，制定合适的学生体育课内容，桂林市某高中对本校100名学生平均每周锻炼身体的时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图．根据直方图可知，这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为．15．河水的流速大小为4m/s．一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为4m/s，则小船的静水速度大小为m/s．16．港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．已知向量＝（1，），向量＝（﹣，﹣1）．（1）求和的夹角θ；（2）若⊥（+λ），求实数λ的值．18．已知α，β都是锐角，，（1）求tan2α；（2）求cosβ的值．19．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？20．已知向量＝（sin x，﹣1），向量＝（cos x，）．函数f（x）＝（+）•．（1）求f（x）的最小正周期T及其图象的对称轴的方程；（2）若方程f（x）﹣t＝0在[，]上有解，求实数t的取值范围．21．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．22．若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）的内接矩形的周长的最大值为8．（1）求圆O的方程；（2）若过点P（1，0）的直线l与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线l的斜率k ∈[﹣，]，求+的取值范围．广西桂林市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题（共12小题）.1．小明出国旅游，因当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针拨慢1小时，则时针转过的角的弧度数是（）A．B．C．D．【分析】他需要将表的时针逆时针旋转周角的，即可转过的角的弧度数．解：他需要将表的时针逆时针旋转，则转过的角的弧度数是，故选：B．2．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，表达了人与自然宇宙之间独特的时间观念，是中华民族悠久文化内涵和历史沉淀、根据多年气象统计资料，某地在节气夏至当日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该地在节气夏至当日为晴天的概率为（）A．0.65 B．0.55 C．0.35 D．0.75【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．解：某地在节气夏至当日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该地在节气夏至当日为晴天的概率为：P＝1﹣0.45﹣0.20＝0.35．故选：C．3．已知向量＝（2，3），＝（m，﹣6），若与共线，那么m＝（）A．B．﹣C．4 D．﹣4【分析】利用向量平行的性质直接求解．解：∵向量＝（2，3），＝（m，﹣6），与共线，∴，解得m＝﹣4．故选：D．4．已知圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝4，则它的圆心坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可．解：圆C的方程为：（x+1）2+y2＝4，是标准方程，则圆心坐标（﹣1，0），故选：B．5．cos（﹣60°）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求解即可．解：cos（﹣60°）＝cos60°＝．故选：A．6．已知函数f（x）＝sin（2x+），下列命题正确的是（）A．f（x）的周期为2πB．f（x）的值域为RC．f（x）的图象关于直线x＝成轴对称D．f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：关于函数f（x）＝sin（2x+），它的周期为＝π，故排除A；它的解集为[﹣1，1]，故排除B；当x＝时，f（x）＝，不是最值，故C不对；当x＝﹣时，f（x）＝0，f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，故D正确，故选：D．7．对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【分析】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．8．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，得出结论．解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（2x﹣）的图象，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故选：A．9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝（）A．7 B．12 C．17 D．34【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：∵输入的x＝2，n＝2，当输入的a为2时，S＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S＝6，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S＝17，k＝3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C．10．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[0，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），对应的区域的面积为12．∴＝∴π＝．故选：C．11．直线y＝x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0上的点的最近距离为（）A．B．C．D．0【分析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果．解：由题设知圆心为C（﹣2，1），半径r＝1，而圆心C（﹣2，1）到直线x﹣y﹣1＝0距离为，因此，圆上点到直线的最短距离为，故选：C．12．已知，是单位向量，•＝0．若向量满足|﹣﹣|＝1，则||的最大值为（）A．B．C．D．【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．解：∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值＝＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二进制数101（2）转化为十进制数的结果是5．【分析】括号里的数字从左开始，第一位数字是几，再乘以2的0次幂，第二位数字是几，再乘以2的1次幂，以此类推，进行计算即可．解：由题意可得，（101）2＝1×22+0×21+1×20＝5．故答案为：5．14．为更好掌握学生体育水平，制定合适的学生体育课内容，桂林市某高中对本校100名学生平均每周锻炼身体的时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图．根据直方图可知，这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为64．【分析】根据直方图求出这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的频率，由此能求出这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数．解：根据直方图可知，这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的频率为：1﹣（0.03+0.06）×4＝0.64，∴这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为100×0.64＝64．故答案为：64．15．河水的流速大小为4m/s．一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为4m/s，则小船的静水速度大小为8m/s．【分析】直接利用向量的线性运算和勾股定理的应用求出结果．解：根据河水的流速大小为4m/s．一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为4m/s，v＝．故答案为：816．港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为8．【分析】由题意利用正弦函数的最小值求出k的值，由此求得正弦函数的最值．解：对于函数y＝3sin（x+φ）+k，由题意可得k﹣3＝2，k＝5．故函数y＝3sin（x+φ）+k，即函数y＝3sin（x+φ）+5，故函数的最大值为3+5＝8，故答案为：8．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．已知向量＝（1，），向量＝（﹣，﹣1）．（1）求和的夹角θ；（2）若⊥（+λ），求实数λ的值．【分析】（1）根据题意，由、的坐标可得||、||以及•的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案；（2）根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得•（+λ）＝2+λ•＝4+2×λ＝0，变形解可得λ的值，即可得答案．解：（1）向量＝（1，），向量＝（﹣，﹣1）．则||＝＝2，||＝＝2，•＝1×（﹣）+×（﹣1）＝﹣2，则cosθ＝＝＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝，（2）若⊥（+λ），则•（+λ）＝2+λ•＝4﹣2×λ＝0，解可得λ＝；故λ＝．18．已知α，β都是锐角，，（1）求tan2α；（2）求cosβ的值．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．（2）先利用同角三角函数的基本关系求得sinα和sin（α+β）的值，然后利用cosβ＝cos[（α+β）﹣α]，根据两角和公式求得答案．解：（1）∵α是锐角，，∴sinα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝﹣．（2）∵α，β均为锐角，，∴sinα＝＝，sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝．19．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？【分析】（1）由茎叶图可知由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，即可写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；（2）求出甲、乙两位选手，去掉最高分和最低分的平均数与方差，即可得出结论．解：（1）由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，所以众数为84，中位数为84；（2）甲选手评委打出的最低分为84，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为86，86，87，89，92，故平均分为（86+86+87+89+92）÷5＝88，＝5.2；乙选手评委打出的最低分为79，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为84，84，84，86，87，故平均分为（84+84+86+84+87）÷5＝85，＝1.6，∴乙选手的数据波动小．20．已知向量＝（sin x，﹣1），向量＝（cos x，）．函数f（x）＝（+）•．（1）求f（x）的最小正周期T及其图象的对称轴的方程；（2）若方程f（x）﹣t＝0在[，]上有解，求实数t的取值范围．【分析】结合平面向量的加法和数量积运算、二倍角公式、辅助角公式将函数化简为f （x）＝sin（2x﹣）+1．（1）根据正弦函数的周期性和对称性即可得解．（2）易得2x﹣∈[，]，结合正弦函数的图象可得函数f（x）的值域，从而得t的取值范围．解：f（x）＝（+）•＝（sin x+cos x，﹣）•（sin x，﹣1）＝sin2x+sin x cos x+＝+sin2x+＝sin（2x﹣）+1．（1）最小正周期T＝＝π，令2x﹣＝+kπ，k∈Z，∴对称轴方程为x＝+，k∈Z．（2）∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈[，1]，∴函数f（x）的值域为[，2]，∵方程f（x）﹣t＝0在[，]上有解，∴实数t的取值范围为[，2]．21．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M）＝．22．若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）的内接矩形的周长的最大值为8．（1）求圆O的方程；（2）若过点P（1，0）的直线l与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线l的斜率k ∈[﹣，]，求+的取值范围．【分析】（1）设矩形对角线所在直线的倾斜角为θ，写出矩形的周长，结合三角函数求最值，可得矩形周长最大时，r＝2，由此可得圆的方程；（2）设直线AB：y＝k（x﹣1），联立直线方程与圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得|PA|，|BP|，把+化为关于k的函数，再由k的范围求得+的取值范围．解：（1）设矩形对角线所在直线的倾斜角为θ，则矩形的周长为．当sin（）＝1，r＝2时，矩形的周长取最大值．∴矩形周长的最大值为，即r＝2．则圆O的方程为x2+y2＝4；（2）设直线AB：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得：（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0．∴，．∴|AP|＝．同理|BP|＝．∴|AP|•|BP|＝（1+k2）•|（x1﹣1）（x2﹣1）|＝（1+k2）•|x1x2﹣（x1+x2）﹣1|＝＝3．∵＜0，∴（x1﹣1），（x2﹣1）异号．∴|AP|+|BP|＝＝＝．∴＝．∵k2∈[0，3]，∴1+k2∈[1，4]，∈[]．∴∈[]。
广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年度第二学期高一数学周末练习五(3月14日)(图片版,无答案)
3.已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是_____． 4．棱长为 1cm 的小正方体组成如图所示的几何体，
那么这个几何体的表面积是
cm2
5.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为 2 的正方形，P 是 BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁 A 处，内壁 P 处 有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 6．如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为 r 的实心铁 球，水面高度恰好升高 r，则、R＝____________________.
（2）若 O 是线段 AM 上任意一点，且 | AB || AC |
2 ，求 OAOB OCOA 的最小值；
（ 3 ） 若 点 P 是 BC 边 上 的 一 点 ， 且 AP AC 2AP AB 2 ， | AP | 2 ， 求
| AB AC AP | 的最小值.
r
7．正方体的直观图如右图所示，则其展开图是 号都填上）.
（要求把可能的序
8. 已知圆台的下底面周长为上底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，侧面积为 84 ，则此圆台的
上底面半径为
.
9. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最
小值为
.
10．有两个相同的直三棱柱，高为 2 ，底面三角形的三边长分别为 3a，4a,5a(a>0)，用它们 a
13. 如图， ABC 中， AB 2 ， AC 4 ， BAC 60 ，延 长 CB 作平行四边形 BEDA ，且 BE 1．当 F 点在线段 DE（含 D 、
E
F
B
D
E 点 ） 上 移 动 时 ， 若 AF AB AC ， 则 的 取 值 范 围 A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019届高一下数学期末综合练习（五）
班级： 姓名： 座号：
一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 不等式2
3210x x --<的解集是（ ）
A ． 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．()1,+∞
C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪
⎝⎭
D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
2. 如右下图是一几何体的直观图、主视图和俯视图，则该几何体的侧视图是（ ）
3.已知0ab >，0bc <，则直线0ax by c ++=通过（ ） A ．第一、二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
4.如果方程2
2
+y 4250x x y k -++=表示圆，那么k 的取值范围是（ ） A ．(,)-∞+∞ B ．(,1)-∞
C ．(,1]-∞
D ．[1,)+∞
5.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a b c 、、，a ，b 60B =︒，那么角A 等于（ ） A ． 135 B ．135或45 C ．45 D ．60
6. 长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，则异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值为（ ）
A B ．15 C D ．1
2
7. 如果0a b >>且0a b +>，那么以下不等式正确的个数是（ ） ①2
3
a b b < ②
11
0a b
>> ③32a ab < ④22a b > A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8. ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2
2
2
2a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）
A
C ．12
D ．12
- 9. 在正项等比数列{}n a 中1321
3,
,22
a a a 成等差数列，则2016
201720142015a a a a --等于（ ） A ．3或-1 B ．9或1 C ．1 D ．9
10. 在函数()y f x =的图象上有点列(,)n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）
A ．()21f x x =+
B ．2()4f x x =
C ．3()log f x x =
D ．3()()4
x
f x =
11. 一艘轮船从海面上从A 点出发，以40nmile/h 的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A 点正西方有一点B ，AB=10nmile ，该船1小时后到达C 点并立刻转为南偏东6
D 点，整个航行过程中存在不同的三点到B 点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（ ）
A ．
3
4
B
C
D
12.已知ABC ∆的三边长分别为5AB =，4BC =，3AC =，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点，给
出下列四个命题：
①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA PB PC ==； ③若5PC =，PC ⊥平面ABC ，则PCM ∆面积的最小值为
152
； ④若5PB =，PB ⊥平面ABC ,则三棱锥P ABC -
的外接球体积为3
； 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，满分12分）
13.在等差数列{}n a 中，若12141524a a a a +++=，则8a =___________.
14.设实数,x y 满足约束条件20,
240,230,
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
则y x 的最大值为 .
15.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：
(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________．(用k 表示)
16.若函数()>0)f x x a =+没有零点，则a 的取值范围是________． 三、解答题 （本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=，试确定m ，n 的值，使 （1）12l l ；
（2）12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为-1.
18.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos
2A =3AB AC ⋅=. （1）求ABC ∆的面积； （2）若6b c +=，求a 的值.
19.三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=且1AB AA =，
D ，
E ，
F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.
（1）求证：DE
平面ABC ；
（2）求证：1B F ⊥平面AEF
.
20.某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元()0m ≥满足31
k
x m =-
+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2015年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为
每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． （1）将2015年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
21.如图，已知定圆2
2
:(3)4C x y +-=，定直线:m 360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N , 与圆C 相交于P ,Q 两点，M 是PQ 中点.
（1）当PQ =时，求直线l 的方程；
（2）设t =AM AN ⋅,试问t 是否为定值,若为定值，请求出t 的值；
若不为定值，请说明理由.
.
22.已知数列{}n a 是首项为114
a =，公比1
4q =
的等比数列，2n b +=14
3log n a (*)n N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅．
（1）求证：{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）若2
114
n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．。