利用二次函数解决实际问题
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
二次函数的实际应用问题解题技巧
二次函数的实际应用问题解题技巧二次函数是一种在数学中非常重要的函数,它在各个领域都有广泛的应用,比如物理、工程、经济学等等。
本文将介绍二次函数的一些实际应用问题解题技巧,以及如何在实际问题中应用这些技巧。
正文:1. 二次函数的实际应用问题二次函数在数学中主要用于描述抛物线、双曲线等曲线的情况。
在各个领域,二次函数都有广泛的应用,下面列举几个例子:- 物理学:在物理学中,二次函数主要用于描述质点的运动轨迹,如牛顿第二定律、万有引力定律等。
- 工程学:在工程学中,二次函数主要用于描述机械、电气、建筑等领域中的问题,如压力、张力、电流等。
- 经济学:在经济学中,二次函数主要用于描述供求关系、价格变化等。
例如,抛物线可以用来描述通货膨胀率的变化。
2. 二次函数的解题技巧在实际问题中,我们需要用到二次函数的一些基本性质和解题技巧,下面列举一些常见的解题技巧:- 求抛物线与x轴的交点:通过用x=0和x=抛物线顶点式来求解。
- 求抛物线的对称轴:通过用y=-b/2a来求解,其中a和b是二次函数的系数。
- 求二次函数的极值:通过用抛物线的对称轴和x轴的交点来求解。
- 求二次函数的图像形状:通过用抛物线的顶点坐标和参数方程来求解。
3. 拓展除了上述技巧,我们还可以利用二次函数的一些特殊性质来解决实际问题。
例如,我们可以通过用二次函数的对称性来解决实际问题,如求解一个二次函数的极值、图像形状等。
此外,我们还可以利用二次函数的性质来解决实际问题,如求解一个二次函数的方程、求抛物线的解析式等。
二次函数在数学中有着广泛的应用,而且在实际问题中,我们需要用到二次函数的基本性质和解题技巧来解决实际问题。
掌握这些技巧,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
用二次函数解决生活问题
用二次函数解决生活问题二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型．将实际问题中的变量关系转化成二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式例1 如图1，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式．分析：由函数图象的对称轴为y 轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y =ax 2+k （a ≠0，k ≠0）．解：设函数关系式为y =ax 2＋k （a ≠0），由题意可知，A 、B 两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．则21.5 3.053.5.a k k ⎧+=⎨=⎩，解得a =－0.2，∴抛物线对应的函数关系式为y =-0.2x 2＋3.5．例2 如图2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米（即MO ＝6米），小孔顶点N 距水面4.5米（NC ＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图3中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．分析：观察图3的图象可知抛物线的对称轴为y 轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y =ax 2＋6．又因为AB ＝20，所以OB ＝10，故B （10，0）又在抛物线上，可代入求值．解：设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2＋6．依题意，得B （10，0）．∴a ×102＋6＝0．解得a =－0.06．即y =－0.06x 2＋6．当y =4.5时，－0.06x 2＋6=4.5，解得x =±5．∴DF ＝5，EF ＝10．即水面宽度为10米．二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y 与x 的关系式 例3 如图4，用长为l2 m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C =∠D =∠E ．设CD =DE =xm ，五边形ABCDE 的面积为Sm 2．问当x 取什么值时，S 最大?并求出S 的最大值．分析：本题可通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决．解：连结EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ． 图4 图 2 图3 图1∵∠DCB =∠CDE =∠DEA ，∠EAB =∠CBA =90°，∴∠DCB =∠CDE =∠DEA =120°．∵DE =CD ，∴∠DEC =∠DCE =30°，∴∠CEA =∠ECB =90°．∴四边形EABC 为矩形，∴∴AE =6－DE =6－x ，DF =12x ，EC =x 3． ∴S =)60(364332<<+-x x x ． 故当4)433(236=-⨯=x 时，312=最大S m 2． 关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面。
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
二次函数解决实际问题(可用)
利用二次函数解决实际问题类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）1、如图，有长为24 m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？(2)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．2、如图，已知正方形ABCD 边长为8，E ，F ，P 分别是AB ，CD ，AD 上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE ⊥PF ，PE ＝PF ，问当AE 为多长时，五边形EBCFP 面积最小？最小面积是多少？3、如图，在ABC ∆中，90B∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小，最小面积为多少？☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？2、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x （100≤x ≤150）亩。
预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x ）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使收益最大？最大收益是多少？3．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+． （1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（总成本＝进价×销售量）4、某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价每件售价(万元)每件成本每件成本(万元)每年其他每年其他费用(万元)每年最大产每年最大产销量(件)甲6a20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.甲6a20200乙201040＋0.05x2806a20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.a20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5. 201040＋0.05x2801040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.80其中a为常数，且3≤a≤5.其中a为常数，且3≤a≤5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式；(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．☆类型三、利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题（车船通行问题）1、一座抛物线拱桥梁在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽6m,当水位上升1m时，水面宽为多少？(精确到0.1m)。
二次函数的实际问题
二次函数的实际问题二次函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
通过二次函数可以描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、金融领域的利润分析等。
本文将通过几个不同的实际问题，来说明二次函数在各个领域中的应用。
问题一：投掷运动考虑一个常见的物理问题，即投掷运动。
假设有一个物体从地面上以初始速度v₀竖直向上抛出，受到重力的作用下落。
我们希望能够描述物体的运动轨迹，并找到物体在空中的最高点和落地点。
首先，我们可以建立一个二次函数来表示物体的高度y与时间t之间的关系。
假设物体的初始高度为h₀，则物体的高度可以表示为：y(t) = -gt² + v₀t + h₀其中g表示重力加速度。
通过这个二次函数，我们可以计算出物体的运动轨迹，以及物体在空中的最高点和落地点的时间和高度。
问题二：利润分析在金融领域中，我们经常需要对企业的利润进行分析和预测。
假设一个企业的销售额与广告投入之间存在某种关系，我们可以建立一个二次函数来描述销售额与广告投入之间的关系。
假设销售额为P，广告投入为x，则二次函数可以表示为：P(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数。
通过这个二次函数，我们可以分析销售额与广告投入之间的关系，并找到使得利润最大化的最优广告投入额。
问题三：物质衰变在化学领域中，物质的衰变速率也可以用二次函数来描述。
假设一个物质的衰变速率与时间的关系可以用二次函数表示：R(t) = -kt² + bt + c其中k、b、c为常数。
通过这个二次函数，我们可以分析物质的衰变速率与时间之间的关系，并预测物质的衰变情况。
总结：通过以上三个实际问题的例子，我们可以看到二次函数在不同领域中的应用之广泛。
二次函数可以方便地描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、企业的利润分析以及物质的衰变情况等。
掌握二次函数的概念和应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。
本文通过具体的实际问题，说明了二次函数的应用。
二次函数实际应用例题
二次函数实际应用例题：例1 某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+2041.写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。
在这个问题中，每件服装的利润为（x-42），而销售的件数是（-3x+204），那么就能得到一个y与x之间的函数关系，这个函数是二次函数.要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.解：（1）由题意，销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系为y=（x－42）（－3x+204），即y=－3x2+330x-8568（2）配方，得y=－3（x－55）2+507∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元.答：省略。
例2 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为.（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米.，时，该运动员是不是距水面高度为5米.解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为.由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为.解得或∵抛物线对称轴在轴右侧，∴又∵抛物线开口向下，∴.∴抛物线的解析式为（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即时，∴此时运动员距水面的高为因此，此次跳水会失误.例3.一男生掷铅球，铅球行进高度(m)，与水平距离(m)之间的关系是1.在直角坐标系画出函数图象，并求出铅球掷出的距离；2.在体育加试中，男生铅球的优秀成绩为11m，若上述抛物线顶点不变，开口方向不变，试计算成绩优秀时，铅球出手的最低高度是多少？分析：求铅球掷出的距离，就是求时，的值是多少.当铅球掷出的距离为11m时，抛物线过点（11，0），并且抛物线的顶点不变，那么求出这条抛物线的解析式，并且求出出手高度（抛物线与轴交点）.解：（1）当时，，解得.不合题意，舍去. 铅球推出的距离为10米.（2）抛物线配方成, 顶点坐标为（4，3）如果抛物线过（11，0），顶点为（4，3），设抛物线为，，..因此出手高度最低为米.例4.某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线形组成的、为牢固起见，每段护拦需按间距0.4m加设不锈钢管（如图）作成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用如图所示的直角坐标计算.1.求该抛物线的解析式；2.计算所需不锈钢管立柱的总长度.分析：为了求出抛物线的解析式，把抛物线放在直角坐标系中，根据题意可知道，C（1，0），A（－1，0），B（0，0.5），且B为抛物线的顶点，从而可以求出抛物线的解析式.要求不锈钢立柱的总长度，就要求出B1、B2、B3、B4的纵坐标，而B3与C3的横坐标为0.2，则可求出B3的纵坐标，同理，C4的横坐标为0.6，从而可求出所有立柱的长及所需钢管的总长度.解：（1）在直角坐标系中，设函数解析式为，B点坐标为（0，0.5），C点坐标为（1，0）抛物线的解析式为（2）分别过AC的五等分点C 1、C2、C3、C4作轴的垂线，交抛物线于B1B2、B3、B4点，则C1 B1、C2 B2、C3 B3、C4 B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C3、C4的坐标为（0.2，0）（0.6，0），则B3、B4的横坐标分别为把分别代入,得. 由对称性可求得B1、B2的纵坐标.所以四条立柱的长为C1 B1＝C4 B4＝0.32（m）, C2 B2=C3 B3=0.48(m).所需不锈钢立柱的总长为答：所需不锈钢立柱的总为长80m.。
二次函数在实际生活中的应用
第15课时┃二次函数的应用
解 析
(1)根据“若销售单价每个降低 2 元， 则每周可多卖出 20 个”列销售量 y(个)与降价 x(元)之间的函数关系式；(2)根据 “总利润＝单个产品利润×销售量”列二次函数，然后利用 配方法求最大利润；
回归教材
考点聚焦
考向探究
第15课时┃二次函数的应用
第15课时┃二次函数的应用
例3
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ，其
中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米 (如图15－5所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最 大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请 说明理由．
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园
的面积最大？并求出这个最大值．
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结
合函数图象y＝30－2x(6≤x＜15) (2)当矩形苗圃
园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃面积最大，
最大值为112.5平方米 (3)6≤x≤11
图15－5
回归教材 考点聚焦 考向探究
第15课时┃二次函数的应用
解：(1)根据题意得：(30－2x)x＝72， 解得：x＝3或x＝12， ∵30－2x≤18， ∴x≥6，∴x＝12；
回归教材
考点聚焦
考向探究
第15课时┃二次函数的应用
例 3 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ， 其中 一边靠墙， 另外三边由长为 30 米的篱笆围成． 已知墙长为 18 米(如 图 15－5 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米． (2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最 大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说 明理由．
完整二次函数的实际应用题
完整二次函数的实际应用题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的实际应用价值。
完整二次函数是指二次函数的导数为零的函数，其图像是一个开口向上或向下的抛物线。
本文将通过几个实际题例，来探讨完整二次函数的应用。
例一：火箭发射假设一个火箭发射到离地面 h 米的高度时，其速度为 v 米/秒。
已知此火箭发射的过程可以用一个完整二次函数来描述，其中 h 是时间 t 的函数。
试找到这个函数表示的抛物线的顶点、开口方向和最大高度。
解：由于抛物线的顶点在 t = -b/2a 处，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数。
而开口方向则取决于二次项系数的正负。
假设这个函数为 h(t) = at^2 + bt + c。
要找到顶点，即求解 t = -b/2a。
根据解析几何的知识，顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 -(b^2 - 4ac)/4a。
因此，顶点的坐标为 (-b/2a, -(b^2 - 4ac)/4a)。
根据问题描述，火箭发射的过程中速度为 v 米/秒，即 h'(t) = v。
由于 h(t) = at^2 + bt + c，我们可以求导，得到 h'(t) = 2at + b。
将 h'(t) = v 代入，得到 2at + b = v。
通过这个方程求解 t 的值，就可以得到对应的时间。
最后，要求出抛物线的开口方向，只需判断 a 的正负即可。
如果 a > 0，则抛物线开口向上；如果 a < 0，则抛物线开口向下。
例二：炮弹的弹道现有一艘炮艇，需要向距离 x 米的目标射击，并且保证炮弹击中的高度为 y 米。
已知炮艇大炮的射击速度为 v 米/秒，角度为α 弧度。
试找到一个二次函数，可以描述炮弹的弹道轨迹。
解：炮弹的弹道轨迹可以用一个二次函数来描述，其中 x 是时间 t 的函数。
假设这个函数为 x(t) = a t^2 + b t + c。
根据物理学原理，炮弹的水平速度始终保持不变，即 dx(t)/dt =v*cos(α)。
二次函数的实际应用总结
二次函数的实际应用总结二次函数是高中数学中重要的一类函数。
它具有形如y=ax^2+bx+c的特点，其中a、b、c是实数且a不等于0。
二次函数有许多实际应用，涉及到物理、经济和生活中的各种问题。
本文将总结几个二次函数的实际应用。
一、物体自由落体物体自由落体是一个常见的物理问题，可以用二次函数来描述。
当一物体从高处自由落下时，它的高度与时间之间的关系可以由二次函数表示。
设物体自由落下的高度为H（米），时间为t（秒），重力加速度为g（9.8米/秒²），则有公式H = -gt²/2。
其中负号表示高度的减小，因为物体向下运动。
通过这个二次函数，我们可以计算物体在不同时间下的高度，进而研究物体的运动规律。
例如，我们可以计算物体自由落地所需的时间，或者计算物体在某个时间点的高度。
这在工程设计和物理实验中具有重要意义，帮助我们预测和控制物体的运动。
二、开口向上/向下的抛物线二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
对于开口向上的抛物线，我们可以将其应用到生活中的一些情景。
比如，一个喷泉的水柱，水流高度与时间之间的变化可以用开口向上的二次函数来描述。
同样，开口向下的抛物线也有实际应用。
例如，一个弹簧的变形量与受力之间的关系常常是开口向下的二次函数。
通过了解抛物线的性质和方程，我们可以更好地理解和解决与之相关的问题。
三、经济学中的应用二次函数在经济学中也有广泛的应用。
例如，成本函数和收入函数常常是二次函数。
企业的成本与产量之间的关系可以用二次函数来刻画。
同样，市场需求和供给也可以用二次函数来表达。
在经济学中，研究成本、收入、需求和供给的函数对于决策和市场分析至关重要。
通过对二次函数的运用，我们可以计算某一产量下的成本和收入，并了解市场价格的影响因素。
这有助于企业决策和经济政策的制定。
四、其他实际应用除了以上提到的应用，二次函数还可以用于建模和预测其他实际问题。
二次函数的实际应用实例
二次函数的实际应用实例二次函数是高中数学中的重要内容，它广泛应用于实际生活中的各个领域。
本文将就二次函数的实际应用举例说明其在现实生活中的重要性和作用。
1. 抛物线的建筑设计在建筑设计中，抛物线是一个常见的曲线形状，许多建筑物的外形和结构都采用了抛物线的形状。
例如，著名的法国巴黎卢浮宫的玻璃金字塔，其设计就采用了二次函数的曲线，使得整个建筑物看起来美观而富有立体感。
2. 炮弹的轨迹预测在军事领域中，掌握炮弹的轨迹是重要的战术指导。
二次函数可以模拟炮弹的轨迹，帮助军事专家预测炮弹的飞行轨迹和落点。
通过测量和计算炮弹的初速度、发射角度和空气阻力等因素，可以得到一个二次函数来描述炮弹的运动轨迹，为军事作战提供重要的参考依据。
3. 跳伞运动员的自由落体跳伞运动是一项极具挑战性和刺激性的运动。
在空中自由落体的过程中，跳伞运动员会受到重力的作用，其下落的轨迹可以用二次函数来描述。
通过观察和计算下降的速度和时间，可以得到运动员下落的二次函数，帮助运动员进行准确的跳伞时间和地点选择。
4. 投掷物的运动轨迹在体育比赛中，如篮球、铅球、飞镖等项目中，投掷物的运动轨迹是重要的判定依据。
通过研究和分析投掷物的飞行轨迹，可以得到二次函数来描述其运动状态。
这样运动员可以更好地掌握投掷的力度和角度，提高命中的准确性。
5. 导弹的飞行轨迹在军事技术中，导弹的飞行轨迹预测是一门重要的科学。
通过利用二次函数，可以描述导弹的飞行轨迹和速度变化。
这有助于军事专家预测导弹的落点和机动能力，从而制定出更加有效的军事战略。
综上所述，二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
从建筑设计、军事战术、体育比赛到军事技术，二次函数的实际应用不胜枚举。
了解和掌握二次函数的特性和用途，对我们理解和应用数学知识具有重要意义。
【初中数学知识点解析】二次函数的实际问题应用
题型2：实际问题中的决策
8．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已 知产销两种产品的有关信息如表：
产品 每件售价 每件成本 (万元) (万元)
甲
6
a
乙
20
10
每年其他 费用(万元)
20 40＋0.05x2
每年最大产 销量(件) 200 80
其中a为常数，且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2 与x的函数关系式；
2 ∴当x＝
3
22
22
8
a，即E是BC的中点时，y取得最小值，
2 即△DHE的面积取得最小值，最小值是
27 a2.
8
类型3 建立二次函数模型解决动点探究问题
6．如图所示，直线y＝ 1 x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C 2
和点B(1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线 AC
1 2
x2＋
5 2
x－2代入，
得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，且最大值为4.
∴D(2，1)．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵S△ACD＝
1 2
AC·DE，AC＝2 5.
∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，
则DE的最大值为
4＝ 1 AC 1
4 2
＝4 5 . 55
要点提示
利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二 次函数解析式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问 题的目的．
类型1 建立平面直角坐标系解决实际问题
用二次函数解决实际问题
实际问题
郝提
活动一：一抛物线型拱桥，建立了如图所示的直角坐标系后， 抛物线的表达式为：y=-1/25x2+16 (1)拱桥的跨度是多少？ (2) 拱桥最高点离水面几米？ (3) 一货船高为12米，货船宽至少小于多少米时，才能安全 通过？
解：（1） 令-1/25x2+16=0，解得X1=20,X2=-20, A（-20，0） B（20，0）︱AB︳=40，即拱桥的跨 度为40米。 （2）令x=0，得y=16， A y C
O x
谈谈你的学习体会
抽象 转化 运用 数学知识
实际问题 解题步骤：
数学问题
问题的解决
1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形。 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。 3、选用适当的解析式求解。 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
-10 （3）令-1/25x2+16=12,解得X1=-10，X2 =10,
︱x1-x2︳=20.即货船宽应小于20米时，货船才能安全 通过。 一、根据已知
即拱桥最高点离地ห้องสมุดไป่ตู้16米
o
10
B x
函数的表达式 解决实际问题
二、根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题
活动二、如图是抛物线形拱桥，当水面宽4m时，桥洞顶部离水面 2m。
y M(0,2) 1m o B (2,0)x D
M
2m
（2）水面下降1米，即当y=-1时 -0.5x2+2=-1 解得x1=-√6 x2=√6 CD=︱x1-x2︳=2√6 水面宽增加 CD-AB=（2√6-4）米
A
4m
B
解法二：（1)以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐 标系。设二次函数的解析式为y=ax2(a≠0）抛物线经过点（2，-2），可 得，a=-0.5 抛物线的解析式为：y=-0.5x2
二次函数解决实际问题(可用)
利用二次函数解决实际问题类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）（不含相似形知识点）1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2．(1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式； (2)当x为何值时，广告牌面积S最大？最大值为几？2、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．(1)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？(2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?4、明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？5、如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？▲6、（探究）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的x养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x7、如图，在ABC ∆中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小，最小面积为多少？☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？▲2、（讨论）某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?最大利润为多少？3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x （100≤x ≤150）亩。
二次函数解决实际问题归纳
二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。
（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。
例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。
（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。
这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。
如何通过二次函数应用解决实际问题
如何通过二次函数应用解决实际问题二次函数作为一种基本的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
通过二次函数的应用，我们可以解决许多实际问题。
以下从八个方面探讨如何通过二次函数应用解决实际问题。
一、建筑和工程在建筑和工程领域，二次函数可以用于计算建筑物的重心、稳定性等。
例如，在桥梁设计中，可以利用二次函数计算桥梁的弯曲程度和承重能力。
此外，二次函数还可以用于优化工程中的资源分配和成本预算等问题。
二、金融和投资在金融和投资领域，二次函数可以用于计算复利、评估投资风险等。
例如，在股票交易中，可以利用二次函数计算股票价格的波动范围和趋势，从而制定合理的投资策略。
此外，二次函数还可以用于评估贷款的利率和还款计划等。
三、物理学和工程学在物理学和工程学领域，二次函数可以用于描述物体的运动规律、分析机械系统的动态特性等。
例如，在力学中，可以利用二次函数描述物体的加速度、速度和位移等物理量之间的关系；在机械工程中，可以利用二次函数分析机械系统的稳定性和振动等问题。
四、计算机科学在计算机科学领域，二次函数可以用于图像处理、数据分析和机器学习等方面。
例如，在图像处理中，可以利用二次函数进行图像的平滑处理、边缘检测等操作；在数据分析和机器学习中，可以利用二次函数进行回归分析、分类预测等任务。
五、生物学和医学在生物学和医学领域，二次函数可以用于描述生长曲线、药物动力学等。
例如，在生长曲线研究中，可以利用二次函数描述个体生长速度的变化规律；在药物动力学中，可以利用二次函数分析药物在体内的吸收、分布和排泄等过程。
六、经济学和商业在经济学和商业领域，二次函数可以用于研究需求供给曲线、企业成本最小化等问题。
例如，在需求供给曲线研究中，可以利用二次函数描述商品价格与需求量之间的关系；在企业成本最小化分析中，可以利用二次函数优化生产流程和资源分配等。
七、地理学和环境科学在地理学和环境科学领域，二次函数可以用于模拟气候变化、水资源分布等问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用二次函数解决实际问题
二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的
能力。
通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应
用这一数学工具。
本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利
用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系
假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它
的高度与水平距离的关系。
首先，我们可以建立抛物线方程：
h = ax² + bx + c
其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。
当小球达
到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点
坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。
通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。
有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测
在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。
二次函数是一种常用的曲
线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。
具体做法是，
通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点
之间的误差最小化。
然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数
据进行预测。
这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题
二次函数也可以应用于最优化问题的求解。
以抛物线形式的二次函
数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的
距离最小。
这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的
最短距离。
我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。
具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：
通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。
通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也
提升了数学在实际应用中的能力。
因此，在学习和应用二次函数时，
我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利
用二次函数。