解析几何中的定点和定值问题(同名5575)
解析几何中定值与定点问题
7“解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. ⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究. 【实例探究】 题型1:定值问题：例1:已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 ： 的2后焦点，离心率等于 ：(I)求椭圆 c 的标准方程；(H)过椭圆 C 的右焦点作直线I 交椭圆C 于A B 两点，交y 轴于M 点，若MA- \AF,MB 二划朋'，求证孙+心为定值.(II )方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为 偽 Ji)/(曲 jjMQyJ 易知F 点的坐标为(2, 0).MA :. (x Lr ^L -y 0) = ^(2-Xi-yj2JL y 心= ---------- ,v T -- -------- .\ + \ [ +召2J去分母整理得1'' - J将A 点坐标代入到椭圆方程中，得5:则由题意知b = 1.同理鉱二4辭］得:才+10& +5-5^ =Q :.心站是方程？+1X+5-5允二啲两个根, ，”召 +血-10.方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2, 0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k,则直线I的方程是y-k（x-2）. 将直线I的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（l+5t3）x a-20jk3x+20t a-5=0+20疋20^ —5v MA = \AFMB =诵細点坐标代入得石=/一X] 2_召又♦“ 两勺2（x1+ x a）-2x1x2“:石 +爲=—+—二----------------------- ----- =■ =-10.2-兀1 2-巧4_ 2（如+ xj+斤工2例2.已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a2-b2=c2 =1设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1将（1，3/2）代入整理得4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1（2）设AE斜率为k则AE 方程为y-（3/2）=k（x-1）①x2/4+y2/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2 ）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y 得（1/4+k2/3）x2-（2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根据韦达定理x1 •= （k2/3-k-1/4 ）/ （1/4+k2/3［③将③的结果代入①式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ）/（1/4+k2 /3）设AF 斜率为-k，F (x2，y2) 则AF 方程为y- (3/2 ) =-k (x-1 [④x2/4+y2/3=1 ②5不存在，请说明理由.••• MA.(x 1-m,y 1),MB -g-my),5 3k 2,^(x ^m)(x 2 -m) y 1y 13k 2 1 k2x1 1 x2 13k 5 11k 2 X 1X 2 kF X 1 X 2m2k 2 3：!②④联立同样解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3) y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF 斜率为(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。
解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考察重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考察直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考察数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
例2．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值X 围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T 〔m t ,〕的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
〔1〕设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；〔2〕设31,221==x x ，求点T 的坐标； AByOx〔3〕设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点〔其坐标与m 无关〕。
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点、定值、定直线问题解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M （0，1），过M的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。
解：由MA MB ⋅=u u u r u u u r知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直，故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a kx a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k--++同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a -++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a kk a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=a 共线.（1）求椭圆的离心率；即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴.0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x=+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业（13）1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N，两点，2F 为其右焦点，则22MFNF MN+-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中不平行于对称轴的一条弦，M是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OMABk k ⋅=______22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则OA B P α （第4到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为kxy =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=若点A ，B分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y kx =-，直线m 的斜率为112mx ky -=,则直线m 的方程为112(2)x y yx y --=-，111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ABMPOlxym2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)xx y-+， 所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案（13）例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M （0，1），过M的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
14】第十四讲 解析几何中的定点、定值和存在性问题
x1 x2
8mk 4(m2 3) , x x . 1 2 3 4k 2 3 4k 2
2 2
3(m2 4k 2 ) y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) k x1 x2 mk ( x1 x2 ) m . 3 4k 2
2p 2p 2 pk 即 k ( x 2 p) y tan tan 0．
此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx
所以直线 AB 恒过定点 2 p, 所以由（1） （2）知，当 定点 2 p,
2p tan
．
y 2 2 px( P 0) 联 立 消 去 x ， 得 k 2 y 2
3
p y 2
p 0 b 韦 达 定 理 知 由
y1 y2
2p 2 pb ①． , y1 y2 k k
（ 1 ）当
2
时，即
2
时， tan tan 1 所以
y1 y2 1, x1 x2 y1 y2 0 ， x1 x2
1 2k 2 1 ． , y1 y2 2a 16a 2
1 k 2 1 1 1 k 2 ． , pq y1 y2 ( y1 y2 ) a 4a 16a 2 4a 2
2 y12 y2 2 pb y1 y2 0 所以 y1 y2 4 p 2 由①知： 4 p 2 所以 b 2 pk. 因此直线 AB 的方程可 2 4p k
表示为 y kx 2 Pk ，即 k ( x 2 P) y 0 所以直线 AB 恒过定点 2 p, 0 ． （2）当
高考满分数学压轴题20 解析几何中的定值与定点问题(可编辑可打印)
解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A ．B ．C．2p D ．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x ﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-， 故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-， 当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=， 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________． 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩， 同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+,取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（ ） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=； 设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k -+=，2122b x x k =；又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ， 则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+； 当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >） 和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动， 当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（ ）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值， 是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（ ）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ， 若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16， 此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =， 直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足． 故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=， 又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==． 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ， 则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确． 对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=， 当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=； 当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-； 当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=； 当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+， 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ， 则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（ ） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F， 设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题 【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=， 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥， 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =， 当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意； 当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ， 解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++， 代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =， 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=， 又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______． 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2）， 即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+， 过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为（1，0）．。
第49讲 课时2 解析几何中的定点、定值问题
联立xy2＝＝k4xy＋，1，消去 y，得 x2－4kx－4＝0，
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xx11·＋x2x＝2＝－44k.，① 由A→F＝2F→B可得 x1＝－2x2.② 结合①②可求得 k2＝18， 所以|AB|＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4＝92.
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
1－4k2 则直线 A1P 的斜率 kA1P＝－11＋＋8k44kk22＋2＝－222kk＋－11， 直线 A1P 的的方程为 y＝－222kk＋－11(x＋2)． 令 x＝0，则 y＝－22kk＋ －11，即 F0，－22kk＋ －11. 因为直线 A1B1 的方程为 x＋2y＋2＝0，
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第八章 解析几何
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第八章 解析几何
方法二：由条件知 A，B，F 三点共线，如图，直线 AB 与抛物线的准线 l 交于 C， 分别过 A，B，F 作直线 l 的垂线段，垂足为 A1，B1，F1.设|FB|＝t，则|AF|＝2t.
根据抛物线定义，有|BB1|＝t，|AA1|＝2t，|FF1|＝2.
第八章 解析几何
y－ y＋
3 3
＝
y1－ x1
3 ·y2＋x2
3
＝
kx1＋1－ x1
3 ·kx2＋x12＋
3
＝
kx1x2＋1－ kx1x2＋1＋
3x2 ＝ 3x1
x1＋x2＋1－ x1＋x2＋1＋
33xx21＝xx12＋＋22－＋
33xx21＝xx2＋1＋22＋＋1
33xx21＝2＋1
3·xx22＋＋22＋＋
解析几何中的定点、定值问题
解析几何中的定点、定值问题解析几何中的定点、定值问题[考情分析把握方向]解析几何中的定值、定点、定直线问题是近几年高考命题的热点,这类问题也是高考题中的一大难点。
此类问题动中有定，定中有动，并且常与轨迹问题、曲线系问题等问题相结合，深入考查直线与圆、圆锥曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等相关知识。
考察数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想方法。
高考年份填空题解答题附加题2010年第9题点到直线的距离为定值第18题证明直线过定点2011年第18题证明直线垂直 2012年第19题证明定值问题[备考策略提升信心]高考中重点关注以下几方面的问题：1．直线方程、圆的方程、直线与圆及直线与圆锥曲线的位置关系，重点是直线与圆的位置关系；2．圆锥曲线的标准方程和几何性质，特别是椭圆的标准方程及几何性质，同时注意它们的图形特征；3．轨迹问题求解的常用方法；数形结合思想以及函数与方程思想的应用；4．求圆锥曲线的方程的运算的要求有所提高，考查趋于方程的变形运算。
[小题训练激活思维]1.已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>过定点(1,1)P ，圆22:1C x y +=，直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，且0OM ON ?=，则直线l 与圆C 的位置关系是。
相切2．若双曲线122=-y x 的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值是。
123．已知O 为坐标原点，定点(1,0)A ，动点M 是直线:2l x =上的点，过点A 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，则线段ON 的长为。
4.已知椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点M 在右准线l 上运动，记直线FM OM AM ,,的斜率分别为321,,k k k ，若椭圆E 的离心率为21，则=+231k kk5.已知直线032:=++-a y ax l 及点)4,3(P .当点P 到直线l 的距离最大时,直线l 的方程是 .变式1：0)()2(:=-++++b a y b a x b a l 变式2：032)2()3(:22=-++++a a y a x a l[核心问题聚焦突破]已知椭圆2222:1x y C a b+=经过点(0,3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 与椭圆交于,A B 两点，点,,A F B 在直线4x =上的射影依次为点,,D K E 。
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。
解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OM AB k k ⋅=______ 22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，假设点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 假设M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕，则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.A B P α〔第4题〕6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=假设点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-， 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
高考解析几何中的定点定值问题
一、解析几何中的定点问题
解析几何中定点问题的两种解法:
(1)引进参数法：引进动点坐标或动线中系数为参数表示变化量， 再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
例1、已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A,B, 且OA⊥OB,则直线AB过定点为______. A
k 2 y k(x 2 p) y 0
AB过定点(2 p,0)
例 2.椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过 点 P1，32且离心率为12.
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不
是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点， 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
y1
y2
2 pa
0
a
0
OA OB x1x2 y1y2 0 (my1 a)(my1 a) By1y2 0
(m2 1)(2 pa) am(2 pm) a2 0 a 2 p
AB : x my 2 p过定点(2 p,0)
思路2：设直线OA，OB
A
代入抛物线解得A,B点 O
B
得直线AB方程
O B
思路1：设直线AB方程 代入抛物线得关键方程 OA⊥OB 得定点
法1：设AB : x my a( AB水平显然不适合）A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
x y
my a 2 2 px
y2
2
pmy
2
pa
ห้องสมุดไป่ตู้
0
高考数学解析几何中的定点定值定线问题
◆直线与圆锥曲线的定点、定值、定线问题一、定点问题定点问题，一般是直线系（或者曲线系）恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据曲线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线系（或者曲线系）方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.例如：（1）直线系1y kx =+中，当k 变化时，恒过定点(0,1)；（2）直线系2(1)y k x +=-中，当k 变化时，恒过定点(1,2)-；（3）已知直线1:40l x y +-=，2:270l x y +-=，则过1l ，2l 交点的直线可以设为(4)(27)0x y m x y +-++-=，即(21)(1)7m x m y m +++--=.直线系(21)(1)740m x m y m +++--=恒过1l ，2l 的交点.1．如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2.一条直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于A 、B 两点，OA OB ⊥（O 为坐标原点）.求证直线l 恒过定点，并求出定点的坐标.3.222122221223231311(0)45|PF |=3|MN|=4.(1)C a b C xC C C y C C yx yab+=>>=已知椭圆：的右焦点F 与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为P ，，圆C 的圆心T 是抛物线上的动点，圆C 与轴交于M,N 两点，且求椭圆的方程。
（2）证明：无论点T 运动到何处，圆C 恒经过椭圆上一点二、定值问题定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.例如（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值；（2）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值；（3）抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1.（4）过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，则A 、B 两点的横坐标之积为定值4221p x x =，纵坐标之积为定值y 1y 2=-p 2.；11AF BF +为定值2p . 【顺便记住)(21x x p AB ++== 2p sin 2θ.】4.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为定值，并求出此定值．5.设000(,)A x y 是曲线2:4C x y =上的一个定点，过点0A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q .证明：直线PQ 的斜率为定值.三.定直线（轨迹）问题证明动点在某一直线上（或某轨迹上）的问题，可以转化为求动点的轨迹问题，基本的方法有直接法和消参法。
解析几何中的定点、定值问题
解析几何中的定点、定值问题郭炜一、椭圆中的定点问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定点问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点的直线的方程；(2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过交变式、已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=1．（1）若过点C1（-1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为65，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．二、椭圆中的定值问题与椭圆有关的参数的定值问题解决方法：例3、例4、例5、 椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．例3【解答】 (1)当直线AM 的斜率为1时， 直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得：5x 2＋16x ＋12＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45.(2)设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)， 则⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为此方程有一根为－2，所以x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k2， 同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2.所以k MP ＝k PN ，M 、P 、N 三点共线，所以直线MN 过x 轴上的一个定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.例6、【解答】 (1)由题意，即可得到椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为：x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x 24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝12k 5(k 2＋4)，y 1y 2＝－6425(k 2＋4)， 又A (－2,0)， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝－64(k 2＋1)25(k 2＋4)＋4k 5·12k 5(k 2＋4)＋1625＝0， 即可得∠MAN ＝π2.。
解析几何中的定点、定值问题 (1)
解析几何中的定点、定值问题【典例1】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，直线0x y +-=与圆222x y b +=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）设5(,0)4P ，过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值.【解析】（1）∵椭圆C 的离心率为2，∴a =，∵直线0x y +=与圆222x y b +=相切，∴1b ==，∴a ==∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+.由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=，1221222212m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴12242x x m +=+，2122312m x x m -=++，112255,,44PA PB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121212525416x x x x y y =-+++223641721616m m --=+=-+. 当直线l 与x 轴重合时，552,02,044PA PB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎪⎭⎝⎭ 25721616=-=-. ∴故PA PB ⋅为定值716-. 【典例2】已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>： 离心率等于12，()23P ，、()3,2-Q 是椭圆上的两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【解析】（1）由题意可得2222212491c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝4，b 23=，c ＝2．∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）设()11,y x A ，()22,y x B ，当BPQ APQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ， 则PB 的斜率为k -，直线PA 的直线方程为()23-=-x k y ，联立()222311612y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，得()()()0482********22=--+-++k x k k x k ．∴()12823234k k x k -+=+．同理直线PB 的直线方程为()23--=-x k y ， 可得()()22282382323434k k k k x k k ---++==++．∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k --=+， ()()()12121212121223234AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--===---2221612413448234k k k k k k-⋅-+==-+，AB∴的斜率为定值12. 【典例3】已知点Q是圆22(y 36:M x ++=上的动点，点N ，若线段QN 的垂直平分线MQ 于点P .（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程（Ⅱ）若A 是轨迹E 的左顶点，过点()8,3-D 的直线l 与轨迹E 交于B ，C 两点，求证：直线AB 、AC 的斜率之和为定值.【解析】（Ⅰ）由题可知，线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P ， 所以PN PQ =，则6PM PN PM PQ +=+=> 所以P 的轨迹是以M N 、为焦点的椭圆，设该椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则26,a c ==24b =，可得动点P 的轨迹E 的方程为22194x y +=.（Ⅰ）由（Ⅰ）可得，过点D 的直线l 斜率存在且不为0， 故可设l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,B x y C x y ，由22194y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22249189360k x kmx m +++-=，()()()()2222218449936144940km k m k m ∆=-+-=-+>2121222189364949km m x x x x k k -+=-=++ 而()()()()()()()()()()2211221121212123333333333AB AC y x y x kx m x kx m x y yk k x x x x x x +++++++++=+==++++++ ()()()1212121223639kx x k m x x m x x x x ++++=+++()22222293618236494993618394949m km k k m m k k m km k k -⎛⎫⨯++-+ ⎪++⎝⎭=-⎛⎫+⨯-+ ⎪++⎝⎭()833m k =-由于直线l 过点()3,8D -，所以38k m -+=，所以13AB AC k k +=（即为定值）【典例4】已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的右焦点2F 与抛物线x y 42=的焦点重合，且其离心率为21. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 中点为P ，问OP MN k k ⋅（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由．【解析】（1）抛物线x y 42=的焦点为()0,1，∴椭圆C 的半焦距为1=c ， 又椭圆的离心率21==a c e ，2=∴a ，则322=-=c ab ． ∴椭圆C 的方程为13422=+y x . （2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为m kx y +=，联立⎩⎨⎧=-++=0124322y x m kx y 得()0124843222=-+++m kmx x k . 0>∆即只需3422+<k m ． 设()11,y x M ，()22,y x N 则221438k km x x +-=+，()221214362k mm x x k y y +=++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∴22433,434k m k km P ，k k km k mk OP 4343443322-=+-+=∴ 43-=⋅∴OP MN k k【典例5】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与圆O ：223x y +=有且仅有两个公共点，点P 、1F 、2F 分别是椭圆C 上的动点、左焦点、右焦点，三角形12PF F（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在椭圆第一象限部分上运动，过点P 作圆O 的切线1l ，过点O 作OP 的垂线2l ，求证：1l ，2l 交点Q 的纵坐标的绝对值为定值．【解析】（1）依题意122b cb ⎧=⎪⎨⨯=⎪⎩12b c a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的方程是13422=+y x ． （2）设点()00,y x P ，()11,y x Q ，则12432020=+y x ，设直线1l 与圆Q 的切点为H ，由几何知识得到：OQ OP OH PQ ⋅=⋅，222OQ OP PQ +=， 所以2222221131OQ OP PQOQ OP OH +=⇒⋅=，即22001x y ++22111x y +=13， 又因为OP OQ ⊥，所以010101100y y x x y y x x +=⇒=-， 代入上式得：22222200000022********010010000020333311111114333312x x x y x y y y x y y x x y x x x +--⎛⎫++-+=⇒=-=== ⎪++⎝⎭，所以2112y =，即1y =【典例6】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆C的离心率2e ==，即222a b =.因为点)在椭圆C 上，所以22211a b+=. 由22222211a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩. 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的面积.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是m kx y +=，联立方程组22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=，()228420k m∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+.212MNk=+，点O到直线MN的距离是d=由OM ON OD+=，得2412Dkmxk-=+，2212Dmyk=+.因为点D在曲线C上，所以有2222421212142km mk k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m+=.由题意，四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为OMDNS MN d===.由22122k m+=，得OMDNS∆OMDN.【典例7】已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，1F，2F是椭圆C的焦点，12MF F∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅰ）过动点()tP,1作直线交椭圆C于A，B两点，且PBPA=，过P作直线l，使l与直线AB 垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．【解析】（Ⅰ）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得226a c+=，又椭圆离心率为12，即12ca=，解得2a=，1c=，又2223b a c=-=，所以椭圆C的标准方程22143x y+=．（Ⅰ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为()1y t k x-=-，联立()2234121x yy t k x⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k++-+--=，由题意，>0∆， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则()221438k k t k x x +--=+，因为PB PA =，所以P 是AB 的中点． 即1212x x +=，得()24382=+--k k t k ， 043=+kt ①又l AB ⊥，l 的斜率为1k -，直线l 的方程为()11--=-x k t y ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.【典例8】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆C 的离心率e =，所以c a =，即a =.因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点，所以a =1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为m kx y +=.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222214220k x kmx m +++-=， 所以设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 所以221212232221m k OA OB x x y y k --⋅=+=+.① 因为直线l 和圆M 相切，所以圆心到直线l的距离3d ==， 整理，得()22213m k =+，② 将②代入①，得0OA OB ⋅=，显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,0).1. 过点(0,1)C 的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)B a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .（1）求该椭圆的标准方程；（2）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值. 【解析】（1）由已知得1,2c b a ==，得2a =， ∴椭圆的方程为2214x y +=，椭圆的右焦点为)F，此时直线l的方程为13y x =-+，由222170344y x x x y ⎧=-+⎪⇒-=⎨⎪+=⎩，解得120,x x ==，1216||7CD x ∴=-==；（2）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线的斜率存在，设直线l 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠+=2101k k kx y 且 代入椭圆的方程，化简得()081422=++kx x k ，解得01=x 或14822+-=k kx ， 代入直线l 的方程，得11=y 或1441222+-=k k y ，所以，D 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-1441,1482222k k k k ，又直线AC 的方程为12x y +=，直线BD 方程为12(2)24ky x k+=+-， 联立解得421x ky k =-⎧⎨=+⎩，即(, 2+1)4k k Q -，而P 的坐标为1,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0(4,21)4OP OQ k k k ⎛⎫∴⋅=-⋅-+= ⎪⎝⎭，即OP OQ ⋅为定值.2. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB ∆面积为定值.【解析】（1）因为1C，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时， 点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =所以)111223NAB S MN AB ∆=⋅=3=. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程，得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得λ=λ=， 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =，所以点N到直线l的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆3. 圆9:22=+y x O 上的动点P 在x 轴、y 轴上的射影分别是1P ，2P ，点M 满足122133OM OP OP =+． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）点()1,0A ，()3,0-B ，过点B 的直线与轨迹C 交于点S ，N ，且直线AS 、AN 的斜率AS k ，AN k 存在，求证：AN AS k k ⋅为常数．【解析】（1）设()00,y x P ，()y x M ,，则()0,01x =，()02,0y =，由122133OM OP OP =+.得00002332133x x x x y y y y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩代入92020=+y x ，所以点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）当SN 的斜率不存在时，AS ，AN 的斜率也不存在，故不适合题意； 当SN 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线SN 的方程为3-=kx y 代入椭圆方程整理得()032244122=+-+kx x k ，202>⇒>∆k 设()11,y x S ，()22,y x N ，则2214124k k x x +=+，2214132k x x +=⋅，则()()()2121212212122111644411x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k ANAS ++-=--=-⋅-=⋅＝2222222322441632961664114143232214k k k k k k k k k ⋅-⋅+-++++==+， 故AN AS k k ⋅为常数12.4. 如图，O 为坐标原点，椭圆22221x y C a b=+=（0a b >>）的焦距等于其长半轴长，,M N 为椭圆C 的上、下顶点，且||23MN =（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于异于,M N 的,A B 两点，直线,AM BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3．【解析】（1）由题意可知：2c a =，223b =222a b c =+，有3,1,2b c a ===，故椭圆C 的方程为：22143x y +=． （2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，用,A B 的横坐标表示T 的纵坐标，再联立l 的方程和椭圆的方程，消去y 得()2243880k x kx ++-=，利用韦达定理化简T 的纵坐标后可得所求的定值.设()()1122,,,A x y B x y （021≠x x ），联立直线方程和椭圆方程得22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()2243880k x kx ++-=， 122843k x x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +＝，又2:BN l y x =，1:AM l y x =，由2211y y x x y y x x ⎧+=⋅-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩1=111kx x +==，整理得到=，故1y ⎤=⎥⎦2kx xx x x x +++-=33x x x x +-==．故点T 的纵坐标为3．5．已知以椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l ：(0)y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【解析】（1）因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，所以22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆E 的方程为22142x y +=. （2）设()()1111,0A x y x y ≠，()()2222,0B x y x y ≠，则()11,C x y --，11AO y k x =， 因为1AO k k ⋅=，所以11x k y =， 联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得()222124240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，()121222212my y k x x m k +=++=+， 所以1211121122y y y k x x k x +==-=-+， 直线BC 的方程为：()11112y y y x x x +=-+，令0y =，由10y ≠，得13x x =-， 所以()13,0M x -，11211134y yk x x x ==+，所以11121122024y yk k x x +=-+⨯=.所以122k k +为定值0. 6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点F 的坐标为20（，），且点2（在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点（直线不与x 轴垂直），已知点A 与点P 关于x 轴对称，证明：直线PB 恒过定点，并求出此定点坐标．【解析】（1）由已知得22222421{ 2a b a b c c +==+=，解得228{ 4a b ==， ∴椭圆C 的标准方程22184x y +=.∴椭圆C的离心率2c e a ===. (2)设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -， 可设PB 的直线方程为m kx y +=，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=14822y x mkx y ，整理得()222214280k x kmx m +++-=，∴2121222428,2121km m x x x x k k --+==++，AF FB k k =，∴121222y y x x =--， 整理得，()()1212240kx x m k x x m +-+-=，∴()2222842402121m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，解得4m k =-， ∴PB 的直线方程为：()44y kx k k x =-=-， 直线PB 恒过定点()4,0.7. 为1F ，2F ，其离心率为2，过2F 的直线 l 与 C 交于,A B 两点，且1AF B △的周长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为P ，证明：当 l 的斜率为13时，点 P 在以 AB 为直径的圆上． 【解析】（1）1AF B △的周长等于11AF AB BF ++ 12214AF AF BF BF a =+++=，所以4a =，从而a =因为2c e a ==，所以1c =，即2221b a c =-=，椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）由（1）得()0,1P ，()21,0F ．设()11,A x y ， ()22,B x y ， 依题意，l 的方程为31x y =+，将l 的方程代入C 并整理，可得211610y y +-=， 所以12611y y +=-，12111y y =-． ()()121211PA PB x x y y ⋅=+--()()()()1212313111y y y y =+++--()121210220y y y y =+++= 所以PA PB ⊥，综上， 点P 在以AB 为直径的圆上.8. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的一个焦点与28y x =的焦点重合且点A 为椭圆上一点（l ）求椭圆方程；（2）过点A 任作两条与椭圆C 相交且关于2x =对称的直线，与椭圆C 分别交于P 、Q 两点，求证：直线PQ 的斜率是定值.【解析】（1）抛物线28y x =的焦点为()2,0F ， 则椭圆C 的一个焦点为()2,0F ，故224a b =+把点(A 带入椭圆方程得：224214b b +=+，解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 所以，椭圆C 方程为22184x y +=（2）由题意，可设直线AP 的方程为()2y k x =-则直线A Q 的方程为()2y k x =--设()11P ,x y ，()22Q ,x y ，则()112y k x =-()222y k x =- 把直线AP 的方程与椭圆C 方程联立得：()()()2222128840k x k x k ++-+--=12x ⋅=，故1x =2x =所以()()2121212122PQk x k x y y k x x x x ⎡⎡-+--+-⎣⎦⎣⎦==--()()1212121244x x x x k x x k x x k --+⋅=-++-= 22212244212244421224421224422222222=+-+-+---+-+++--⋅=k k k k k k k k k k k k k所以，直线PQ的斜率是定值2.。
2025高考数学必刷题 第77讲、定点、定值问题 (学生版)
第77讲定点、定值问题知识梳理1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =，用一个参数表示另外一个参数()k f m =，即可带用其他式子，消去参数k ．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：2()0y kg x -+=，只要因式()0g x =，就和参数k 没什么关系了，或者说参数k 不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ．③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．必考题型全归纳题型一：面积定值例1．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()(),0,0,A a B b --O 为坐标原点，且1OAB S = .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上第一象限内任意一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.例2．（2024·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，渐近线方程为02x y ±=，点()2,0A 在C 上；(1)求双曲线C 的方程；(2)过点A 的两条直线AP ，AQ 分别与双曲线C 交于P ，Q 两点（不与A 点重合），且两条直线的斜率1k ，2k 满足121k k +=，直线PQ 与直线2x =，y 轴分别交于M ，N 两点，求证：AMN 的面积为定值.变式1．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点)M ，且左焦点为()1F ．(1)求椭圆E 的方程；(2)ABC 内接于椭圆E ，过点()4,1P 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD AQ PD = ，证明：PBC 面积为定值，并求出该定值．变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知1l ，2l 既是双曲线1C ：2214yx -=的两条渐近线，也是双曲线2C ：22221x ya b-=的渐近线，且双曲线2C 的焦距是双曲线1C .(1)任作一条平行于1l 的直线l 依次与直线2l 以及双曲线1C ，2C 交于点L ，M ，N ，求MNNL的值；(2)如图，P 为双曲线2C 上任意一点，过点P 分别作1l ，2l 的平行线交1C 于A ，B 两点，证明：PAB 的面积为定值，并求出该定值.变式3．（2024·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆22:14x C y +=，,A B 是椭圆上的两个不同的点，O 为坐标原点，,,A O B 三点不共线，记AOB 的面积为AOB S .(1)若()()1122,,,OA O x y x y B == ，求证：122112AOB S x y x y =- ；(2)记直线,OA OB 的斜率为12,k k ，当1214k k =-时，试探究2AOB S 是否为定值并说明理由.题型二：向量数量积定值例4．（2024·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 是C 的左、右焦点，过1F 的动直线l 与C 交于不同的两点A ，B 两点，且2ABF △的周长为椭圆C 的其中一个焦点在抛物线24y x =准线上，(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点5,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明:MA MB ⋅ 为定值.例5．（2024·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知()4,M m 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，且M 到C 的焦点的距离为5.(1)求抛物线C 的方程及点M 的坐标；(2)如图所示，过点()2,0P 的直线l 与C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ= ，QB PB μ=，求证：λμ+是定值.例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到()10B ,的距离的2倍.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若点P 与点Q 关于点B 对称，过B 的直线与点Q 的轨迹Γ交于E ，F 两点，探索BE BF ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式4．（2024·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，点Q 为椭圆E 的左顶点，直线QA ，QB 分别交4x =于M ，N 两点，O 为坐标原点，求证：OM ON ⋅为定值．变式5．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.①若MB AN = ，求k 的值；②若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.题型三：斜率和定值例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知()221:1044x y C a a a+=<<-，()222:144x y C b b b+=>-．(1)证明：2y x =-总与1C 和2C 相切；(2)在（1）的条件下，若2y x =-与1C 在y 轴右侧相切于A 点，与2C 在y 轴右侧相切于B 点．直线l 与1C 和2C 分别交于P ，Q ，M ，N 四点.是否存在定直线l 使得对任意题干所给a ，b ，总有AP AQ BP BQ k k k k +++为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．例8．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线2111:2(0)C y p x p =>与抛物线2222:2(0)C x p y p =>在第一象限交于点P .(1)已知F 为抛物线1C 的焦点，若PF 的中点坐标为()1,1，求1p ；(2)设O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k .若斜率为2k 的直线l 与抛物线1C 和2C 均相切，证明12k k +为定值，并求出该定值.例9．（2024·河南许昌·高二统考期末）已知PAB 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(0,3),(0,3),-且直线PA ，PB 的斜率之积是3-，设点P 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程；(2)经过点(1,3)且斜率为k 的直线与曲线H 交于不同的两点E ，F （均异于A ，B ），证明：直线BE 与BF 的斜率之和为定值.变式6．（2024·河南商丘·高二校考阶段练习）已知12A A B ，，是椭圆()222210x y a b a b+=>>的顶点（如图），直线l 与椭圆交于异于顶点的P Q ，两点，且2//l A B ，且2A B =，(1)求此椭圆的方程；(2)设直线1A P 和直线BQ 的斜率分别为12k k ，，证明12k k +为定值.变式7．（2024·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点()1,0M 的直线为,l N 为圆22:(2)4C x y +-=与y 轴正半轴的交点.(1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程：(2)证明：若直线l 与圆C 交于,A B 两点，直线,AN BN 的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值例10．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的离心率为2，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切．(1)求C 的方程；(2)直线()():10l y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，且PQ 平分APB ∠，设直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），判断k k '⋅是否为定值？并说明理由．例11．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点()()3,0,3,0M N -，动点(),P x y 满足直线PM 与PN 的斜率之积为13-，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交曲线C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，AD ⊥x 轴，垂足为D ，连接BD 并延长交曲线C 于点H ．证明：直线AB 与AH 的斜率之积为定值．例12．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系xOy 中，点P 到点)F 的距离与到直线l ：x =P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)过W 上两点A ，B 作斜率均为12-的两条直线，与W 的另两个交点分别为C ，D .若直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高二随堂练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点(在C 上，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.题型五：斜率比定值例13．（2024·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线Γ：22221x y a b-=实轴AB 长为4（A 在B 的左侧），双曲线Γ上第一象限内的一点P 到两渐近线的距离之积为45.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)设过()4,0T 的直线与双曲线交于C ，D 两点，记直线AC ，BD 的斜率为1k ，2k ，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①12k k +为定值；②12k k ⋅为定值；③12k k 为定值例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知椭C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为其左右焦1F ()(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P ()0000,(0)x y x y ≠，点P 在椭圆C 上，过点P 作椭圆C 的切线l ，斜率为0k ，1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，则11201k k k k k +是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.例15．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，左右两个顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 交双曲线的右支于,M N两点，且M 在x 轴上方，当l x ⊥轴时，MN =(1)求双曲线方程.(2)求证：直线12,MA NA 的斜率之比为定值.题型六：线段定值例16．（2024·浙江·高二校联考期中）已知圆1C ：22x y m +=与圆2C ：2240x y x +-=.(1)若圆1C 与圆2C 内切，求实数m 的值；(2)设()3,0A ，在x 轴正半轴上是否存在异于A 的点(),0B b ，使得对于圆2C 上任意一点P ，PAPB为定值？若存在，求b 的值；若不存在，请说明理由.例17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P 为平面上的动点，记其轨迹为Γ.(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P 为圆心的动圆经过点()1,0F -，且内切于圆()22:116K x y -+=；②已知点()1,0T -，直线4l x =-：，动点P 到点T 的距离与到直线l 的距离之比为12；③设E 是圆22:4O x y +=上的动点，过E 作直线EG 垂直于x轴，垂足为G ，且2GP GE = .(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A ，B ，若过点()1,0K 的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交曲线Γ于点M ，N ，直线n 过点()1,0T -且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则线段的比值TP TQ是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.例18．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆22122:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 为1C 上的一个动点(非左右顶点)，连接1AF 并延长交1C 于点B ，且2ABF △的周长为8，12AF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)若椭圆2C 的长轴端点为12,F F ，且2C 与1C 的离心率相等，P 为AB 与2C 异于1F 的交点，直线2PF 交1C 于,M N 两点，证明：||||AB MN +为定值．变式9．（2024·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线()21:0C y px p =>的焦点为1F ，抛物线22:2C y px =的焦点为2F ，且1212F F =．(1)求p 的值；(2)若直线l 与1C 交于M ，N 两点，与2C 交于P ，Q 两点，M ，P 在第一象限，N ，Q 在第四象限，且2MP NQ =，证明：MN PQ为定值．变式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线2:2E x py =（p 为常数，0p >）.点()00,M x y 是抛物线E 上不同于原点的任意一点.(1)若直线00:2x l y x y =-与E 只有一个公共点，求p ；(2)设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为,A B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两点.①证明：PA PB ⊥②试问PC AB PB CD⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式11．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆O ：222x y r +=与直线0x y -+=相切.(1)若直线:25l y x =-+与圆O 交于M ，N 两点，求MN ；(2)已知()9,0C -，()1,0D -，设P 为圆O 上任意一点，证明：PDPC为定值.变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点和上顶点，AB =AB 的斜率为12-.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D .（i ）求OCM 的面积与ODN △的面积之比；（ⅱ）证明：22CM MD +为定值.变式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知圆C 过点()1,2A ，()2,1B ，且圆心C 在直线y x =-上.P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为()0,3-，求证：无论l 的位置如何变化PM PN ⋅恒为定值；(3)对于（2）中的定值，使PM PN ⋅恒为该定值的点P 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P 的集合.变式14．（2024·云南·校联考模拟预测）已知点M 到定点()3,0F 的距离和它到直线l ：253x =的距离的比是常数35．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y kx m =+与圆2216x y +=相切，切点N 在第四象限，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求证：FAB 的周长为定值．题型七：直线过定点例19．（2024·全国·高三专题练习）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1(1,0)F -且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于,A B 两点，2ABF 的周长为8.(1)若2ABF 的面积为7，求直线AB 的方程；(2)过,A B 两点分别作直线4x =-的垂线，垂足分别是,E F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.例20．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上任意一点，12PF F △(1)求椭圆C 的方程；(2)过x 轴上一点()1,0F 的直线与椭圆交于,A B 两点，过,A B 分别作直线2:l x a =的垂线，垂足为M ，N 两点，证明：直线AN ，BM 交于一定点，并求出该定点坐标.例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)过点⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点K (2，0)作与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 点作直线l ：x＝2a c的垂线，其中c 为椭圆C 的半焦距，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.变式15．（2024·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率e =2P ⎛ ⎝⎭在E 上．(1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点．变式16．（2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB= ，3AF FB ⋅=．(1)求椭圆C 的方程；(2)不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k .若()121k k k +=，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知A ､B 分别为椭圆E ∶22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点､椭圆的离心率为3，F 1､F 2为椭圆的左､右焦点，点P 是线段AB 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为7110-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 是圆C ∶x 2+y 2=9上的点处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MG ，MH ，切点分别为G ，H ，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．题型八：动点在定直线上例22．（2024·江苏南通·高二校考阶段练习）已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.例23．（2024·上海·高二专题练习）已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.例24．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C 的离心率2e =，长轴的左、右端点分别为()()122,02,0A A -，(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线1x my =+与椭圆C 交于P Q ，两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线22:163x y E +=，直线:l y x m =+与曲线E 交于y 轴右侧不同的两点,A B ．(1)求m 的取值范围；(2)已知点P 的坐标为()2,1，试问：APB △的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．变式20．（2024·浙江台州·高二校联考期中）已知直线l ：1x my =+与圆C ：2240x y x +-=交于A ､B 两点.(1)若1m =时，求弦AB 的长度；(2)设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=.(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设直线l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .证明：Q ，A ，B ，C 四点共圆，并探究当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.变式22．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1M 、2M ，短轴长为C 上的点P 满足直线1PM 、2PM 的斜率之积为34-．(1)求C 的方程；(2)若过点()1,0且不与y 轴垂直的直线l 与C 交于A 、B 两点，记直线1M A 、2M B 交于点Q ．探究：点Q 是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．变式23．（2024·高二课时练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(P ，且离心率为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．题型九：圆过定点例25．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆2222=1(>>0)x y C a b a b+：的离心率2=e ，左、右焦点分别为12,F F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆M ：2223x y +=的切线l (直线l 的斜率存在且不为零)与椭圆相交于,A B 两点，求证：以AB 为直径的圆是否经过坐标原点.例26．（2024·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.例27．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l 1:10x y -+=过椭圆C :2221(0)4x y b b +=>的左焦点，且与抛物线M :22(0)y px p =>相切.(1)求椭圆C 及抛物线M 的标准方程;(2)直线l 2过抛物线M 的焦点且与抛物线M 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与椭圆的过右顶点的切线交于M ，N 两点.判断以MN 为直径的圆与椭圆C 是否恒交于定点P ，若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.变式24．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线4x =的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为12的直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的值；(3)设点Q 为曲线C 的上顶点，点E 、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．变式25．（2024·广西·高三象州县中学校考阶段练习）在直角坐标系xOy 中，动点M 到定点(1,0)F 的距离比到y 轴的距离大1．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)当0x ≥时，记动点M 的轨迹为曲线C ，过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．变式26．（2024·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点A ()2,0，且点A 到C 的渐近线的距离为7．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()4,0作斜率不为0的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，直线4x =分别交直线AM ，AN 于点E ，F ．试判断以EF 为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．题型十：角度定值例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：MQN ∠为定值.例29．（2024·北京·高三北京八中校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求圆O 和椭圆C 的方程．（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：MQN ∠为定值．例30．（2024·全国·高三专题练习）已知点()20F -，是椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的左焦点，过F 且垂直x 轴的直线l 交E 于P ，Q ，且10||=3PQ .(1)求椭圆E 的方程；(2)四边形ABCD (A ，D 在x 轴上方)的四个顶点都在椭圆E 上，对角线AC ，BD 恰好交于点F ，若直线AD ，BC 分别与直线l 交于M ，N ，且O 为坐标原点，求证：MOF NOF ∠=∠．变式27．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点1F ，A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点，点F 为抛物线2:16C y x =的焦点，且124OF OA OF ==（O 为坐标原点）.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：1MF N ∠为定值.变式28．（2024·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知圆222:(64F x y -+=，N 为圆上一动点，1(F -，若线段1NF 的垂直平分线交2NF 于点M .(1)求动点M 的轨迹方程E ;(2)如图，点(2,P Q 在曲线E 上，,A B是曲线E 上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.变式29．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）已知()2,0A ，()2,0B -分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴的两个端点，C 的焦距为2．()3,0M ，4,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线PM 与C 的另一交点为D ，直线PN 与C 的另一交点为E ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线DE 的倾斜角为定值．变式30．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y 轴，且过()2,1A -，2B ⎛ ⎝⎭两点.(1)求E 的方程；(2)若直线l 与圆O ：2285x y +=相切，且直线l 交E 于M ，N 两点，试判断MON ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
解析几何中定值和定点问题
解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.【实例探究】题型1:定值问题：例1:已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2后焦点，离心率等于：(I)求椭圆C的标准方程;(H)过椭圆C的右焦点作直线I交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA-二心朋'，求证站+心为定值.解：(I)设椭圆C的方程为:- ，则由题意知b = 1.—+y i = 1•••椭圆C的方程为:'(II)方法一：设A、B、M点的坐标分别为二：叮一亠…一―_…亠■-.- 易知F点的坐标为(2, 0)-：MA=\AF,:.（忑,戸一儿）二金总一可厂旳）.吃产兰T Ji 二亠L去分母整理得 ■. 1'1-'i同理鉱二〈脚得:£ +1的+5-5^ =Q :.人禺是方程"+険+5-5斥二血两个祗血 +為=-10.方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为 又易知F 点的坐标为（2，0）.显然直线I 存在的斜率，设直线I 的斜率为k ,则直线I 的方程是 尸如2）.将直线I 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去y 并整理得 （l+5t 3）x a -20jk 3x+20t a -5=0+20i 320^-52-兀］2—抵 4 一 2（如+ xj +斤工2例2•已知椭圆C 经过点A （1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）. 1） 求椭圆方程2） E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值 (1)a2-b2=c2=1将A 点坐标代入到椭圆方程中，得二v MA = \AF^B =希丽椭点坐标代入得召设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1将(1, 3/2)代入整理得4bM-9b 2-9=0解得b2=3 (另一值舍)所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1(2)设AE 斜率为k则AE 方程为y-(3/2)=k(x-1) ①x 2/4+y 2/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是 A (1,3/2 )另一个是E (x1 , y1 )①代入②消去y 得( 1 /4+k 2/3 ) x2-(2k2/3-k) x+k2/3-k-1/4=0 根据韦达定理x1 1= ( k2/3-k-1/4 ) / (1/4+k23 ［③将③的结果代入①式得y1=(-k2/2-k/2+3/8 ) /(1/4+k 2/3)设AF 斜率为-k，F( x2，y2)则AF 方程为y- (3/2) =-k (x-1 ［④x2/4+y 2/3=1 ②②④联立同样解得x2=(k2/3+k-1/4 ) /(1/4+k2/3)y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) /(1/4+k2/3)EF 斜率为( y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。
解析几何中的定点和定值问题之欧阳歌谷创编
解析几何中的定点定值问题欧阳歌谷（2021.02.01）考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A、B是抛物线y2=2p x (p>0)上异于原点O点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、ββ=4π时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。
例2．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设(4,0)P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
解析几何中的定点和定值问题之欧阳美创编
解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A、B是抛物线y2=2p x (p>0)上异于原点O同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、βα+β=4π时，证明直线AB例2．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
解析几何中的定点和定值问题之欧阳道创编
解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A、B是抛物线y2=2p x (p>0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。
例2．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，以原点为圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
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解析几何中的定点和定值问题(同名5575)解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、 定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
例2．已知椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>3，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同AB y Ox焦距为2，短轴长为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率5e =过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥u u u r u u u r u u u r ，求m 的取值范围；（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
二、 定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。
如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。
例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线。
（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值。
例5、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。
（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
将第二问的结论进行如下推广： 结论 1.过椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>上任一点0(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值2020b x a y （常数）。
结论 2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上任一点0(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值202b x a y -（常数）。
结论 3.过抛物线22(0)y px p =>上任一点0(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF的斜率为定值0py -（常数）。
例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.例7、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点．(Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程； (Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上21，离心率为2e ﹒（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MPMQ ⋅u u u r u u u u r为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒三、 定直线问题 例9、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2,1)M ，且焦点为1(2,0)F -（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，证明：点Q 总在某定直线上例10、已知椭圆C 的离心率3e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。
试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
四、 其它定值问题 例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为3线方程为3x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O xy +=上动点000(,)(0)P x y x y≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值. 例12、己知椭圆12222=+by a x （a >b >0）,过其中心O 的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切。
探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则22B A 的方程为1=+bya x ，原点O 到直线22B A 的距离为22b a ab r +=， 则与菱形2211B A B A 内切的圆方程为222222b a b a y x +=+。
O x yP QP 2 Q A A 2 B B例13、已知P ),(0y x 是双曲线)0(2≠=a axy 上的一个定点，过点P 作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变。
探索定值：取P),(020x a x ，过P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线 与曲线的另一个交点),(0201x a x P --，其斜率2021xa kPP =∴2202ax k PP -= PP 2的方程为)(02200x x axy y --=-把xa y 2=代入解得),(233042ax x a P 22021ax kP P =∴（定值）证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为 －k 1， ∴PP 1的方程为)(00x x k y y -=- PP 2的方程为)(100x x ky y --=-，与抛物2a xy = 联立解得),(0201y k a k y P --、),(0202ky a ky P ，从而22020221ax y a k P P ==（定值）EX ：过抛物线y 2=2px （P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值。
推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。
x P P 1 Py O五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，三角形ABM 的三个顶点都在椭圆上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0。
（1）求椭圆的方程。
（2）求证：直线AB 的斜率是定值。
分析：（1）x 2+2y 2=3 （2）122、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.分析：M （73-，0） 493、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx （m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点。
（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程。
分析：设点AB 的坐标（2）l ：x=3.4、 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A 、B ，且四边形F1AF2B 是边长为2的正方形。
（1）求椭圆的方程。
（2）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD,连结CM 交椭圆于点P ，证明：OM OPu u u u r u u u rg 为值。
（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标。
分析：（1）22142x y +=（2）由O 、M 、P 三点共线，得42p mp y y x =+，所以OM OPu u u u r u u u rg =4（3）设Q 点（a ，0），由0QM DP =u u u u r u u u rg ，得a=0.5、设P 为双曲线22221(,0)x y a b a b -=>上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，若12PF PF u u u r u u u u r g 的最小值是-1，双曲线的离心23。