2020年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何

《2018年高考文科数学分类汇编》
第九篇：解析几何
一、选择题
1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22
214
x y a +=的一个焦点为(20)，
，则C 的离心率为
A ．1
3
B ．12
C D
2.【2018全国二卷6】双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，
且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为
A ．1
B ．2
C
D 1
4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆
()
2
222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是
A ．[]26，
B ．[]48，
C ．
D ．⎡⎣
5.【2018全国三卷10】已知双曲线22
221(00)x y C a b a b
-=>>：，，则点(4,0)
到C 的渐近线的距离为
A
B ．2
C ．
2
D ．
6.【2018天津卷7】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1
d
和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为
A
22
1412
x y -=
B
22
1124
x y -= C
22
139
x y -=
D 22
193
x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2
21 3=x y -的焦点坐标是
A ．(−2，0)，(2，0)
B ．(−2，0)，(2，0)
C ．(0，−2)，(0，2)
D ．(0，−2)，(0，2)
8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5
x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A.2
B.2
C.2
D.4
二、填空题
1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则
AB =________．
2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线
段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为
5
2
，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点
(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，
(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r
，则点A 的横坐标
为 ．
7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24
x +y 2
=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则
当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．
8.【2018上海卷2】2.双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，21
2
x x y y +=₁₂₁，
的最大值为__________ 三、解答题
1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C
交于M ，N 两点．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．
2.【2018全国二卷20】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
3.【2018全国三卷20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +
=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．
（1）证明：12
k <-
； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r
．证明：
2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．
4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3
，焦距为.
斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；
（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44
Q -共线，求k .
5.【2018天津卷19】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆
的离心率为
3
，||AB = （I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．
6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1
)2，焦点
12(F F ，圆O 的直径为12F F ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为
26
，求直线l 的方程． 7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在
不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆
x 2+
2
4
y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． 8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：
²8y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.
（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；
（2）设t =3，
2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案 一、选择题
1.C
2.A
3.D
4.A
5.D
6.C
7.B
8.C 二、填空题
1. 22
2.)0,1(
3.4
4.022
2=-+x y x 5.2 6.3 7.5
8.x y 2
1
±= 9.32+
三、解答题
1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM 的方程为y =112x +或1
12
y x =--．
（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．
由2(2)2y k x y x
=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2
k ，y 1y 2=–4．
直线BM ，BN 的斜率之和为 122112
1212122()
22(2)(2)
BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=
+=++++．① 将112y x k =
+，222y
x k
=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()88
2()0y y k y y x y x y y y k k
++-++++=
==．
所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．
2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由2(1)
4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k ++=
． 所以2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．
因此l 的方程为y =x –1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
0022
000
5(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．
3.解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，22
22
143
x y +=．
两式相减，并由
1212=y y k x x --得1212
043
x x y y k +++⋅=． 由题设知
1212x x +=，122y y m +=，于是3
4k m
=-
． 由题设得302m <<
，故1
2
k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则
331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．
由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．
又点P 在C 上，所以34m =
，从而3
(1)2P -，
2
3=．
于是1||22
x FA ==-uu r ．
同理2||=22
x FB -uu r ．
所以121
4()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．
故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．
4.解：
（Ⅰ）由题意得2c =
，所以c =
又c e a =
=
，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2
213
x y +=．
（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，
由22
13
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2
2
2
3644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，21233
4
m x x -=，
则12|||AB x x =-==
易得当20m =
时，max ||AB ，故||AB
． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，
则221133x y += ①，22
2233x y += ②，
又(2,0)P -，所以可设1
112
PA y k k x ==
+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122
(2)13
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2
1312
1
1213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =
+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(
,)4747x y C x x --++，同理可得22
22712(,)4747
x y D x x --++．
故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471
(,)44
QD x y =+-u u u r ，
因为,,Q C D 三点共线，所以34437
171()()()()04444
x y x y +--+-=，
将点,C D 的坐标代入化简可得
12
12
1y y x x -=-，即1k =． 5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259
c a =，又由222
a b c =+，可得23a b =．
由||AB ==,从而3,2a b ==．
所以，椭圆的方程为22
194
x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，
点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得
||=2||PM PQ ，
从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．
易知直线AB 的方程为236x y +=，
由方程组236,,
x y y kx +=⎧⎨
=⎩消去y ，可得26
32x k =+．
由方程组22
1,94,
x y y kx ⎧+
⎪=⎨⎪=⎩
消去y ，可得12
94x k =+． 由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2
182580k k ++=，解得
89k =-，或12
k =-．
当89k =-
时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，112
5
x =，符合题意． 所以，k 的值为1
2
-
． 6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，
可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1
(3,)2在椭圆C 上，
所以2222311,
43,
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩
，解得2
24,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．
（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =-
-+，即000
3x y x y y =-+．
由2
20001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）
因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以222222000000()()(
24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==．
因此，点P 的坐标为(2,1)．
②因为三角形OAB 的面积为
26， 所以21 26AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，
由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，
所以2222
121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，
所以22
022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012
y =，因此P 的坐标为102(,)． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．
7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4
B y y ．
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，
所以1y ，2y 为方程202014()422
y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．
因此，PM 垂直于y 轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212
002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384
PM y y x y x =+-=-
，12||y y -= 因此，PAB △
的面积32212001||||4)24PAB
S PM y y y x =⋅-=-△． 因为22
00
01(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △
面积的取值范围是4
． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，
抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离，
由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。

（2）当3=t 时，)0,3(A 。

由曲线τ：x y 82
=)0,0(≥≤≤y t x 知：
点B 的纵坐标为6238=⨯，则)62,3(B 。

由于Q 在线段AB 上，则点Q 的纵坐标取值在]62,0[之间。

由题意)0,2(F ，2=FQ ，则Q 的纵坐标为31222=-，
故)3,3(Q ，OQ 的中点坐标为)23,
23(Q 。

由于22
3≠，由题意可知PF 的斜率存在，则可设直线PF 的方程为：)2(-=x k y ， 所以将点)23,
23
(Q 的坐标代入方程得)223(23-=k ， 解得3-=k ，则直线PF 的方程为)2(3--=x y 。

代入抛物线方程得3
2=P x 。

由于A 、Q 均在直线3=x 上，则AQP ∆的AQ 边边长为303=
-， AQ 边上的高等于37323=-
=-P A x x ， 则P AQP x AQ S -⨯⨯=∆32136
737321=⨯⨯=。

（3）存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上。

当8=t 时，)0,8(A ，点B 的纵坐标为888=⨯，则)8,8(B 。

设),8
(2
n n P ，80≤≤n 。

①若28
2
=n ，则点)4,2(P ，而点)0,2(F ，则x PF ⊥轴。

若以FP 、FQ 为邻边的四边形FPEQ 为矩形，则FQ PF ⊥，
则y FQ ⊥轴，故点)0,8(Q 。

此时点)4,8(E ，由于4888≠=⨯，
则点E 不在τ上，此情况不成立。

②当282≠n 时，直线PF 的斜率可以表示为16828
22-=-=n n n n k PF 由于FQ PF ⊥，则直线FQ 的斜率可以表示为n
n k FQ 8162-=。

所以直线FQ 的方程为)2(8162
--=x n
n y ，
当8=x 时，)28(8162--=n n y n
n 4)16(32-=， 所以)4
)16(3,8(2n Q -。

而在以FP 、FQ 为邻边的四边形FPEQ 中，F 、E 为不相邻的两个顶点， 则=+。

而),28(2n n -=，)4
)16(3,6(2n -=， 则)448,48(22n
n n ++=。

故点)448,68(22n
n n E ++。

当点点E 在τ上时，有)68
(8)448(2
22+=+n n n ， 移项后去分母整理得48152=n ，解得5
162=n 。

而80≤≤n ，则554=n ，故)5
54,52(P 。

综上所述，存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上，此时点)554,52(P 。