合肥工业大学 考研 材料成型基本原理课件19
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点存在两族正交的滑移线族。根据这一原理结合边界条件可解出滑移线场和 速度场，从而求出塑变区内的应力状态和瞬时流动状态，计算出力能参数。
3．上限法 从变形体的速度边界条件出发，对塑变区取较大的单元，根
据极值原理，求出塑变能为极小值时满足变形连续条件和体积不变条件时的 动可容速度场，计算出力能参数，但不考虑塑变区内的应力状态是否满足平 衡方程。
x y Y
（当
x > y ）。
（4）将经过简化的平衡微分方程和塑性条件联立求解，并利用边界条 件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。 由于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，
故此得名“主应力法”。又因这种解法是从切取基元体或基元板块着
手的，故也形象地称为“切块法”（Slab method）。
（1）切取基体。
（2）列出基元体沿x轴方向的平衡微分方程。
PP l h lh ( ( dσ dσ)l)d lh dh 2τ 2τ ld lx dx 00
x x x x x x x x
2 d x dx h
（3）采用常摩擦条件。 （m为摩擦因子，）
z rY
联解得
2τ d z dr h
d z d r
（19-8）
接触面满足常摩擦条件，对上式进行积分得
2τ z dr C h 当 r re 时 z ze C ze 2 re h
得
2τ z (re r ) ze h
4．有限元法 5.板料成形理论
第二节 主应力法及其求解要点
主应力法是金属塑性成形中求解变形力的一种近似解法。它通过对 应力状态作一些近似假设，建立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条 件，使求解过程大大简化。其基本要点如下： （1）把变形体的应力和应变状态简化成平面问题（包括平面应变状态 和平面应力状态）或轴对称问题，以便利用比较简单的塑性条件，即:
第十九章 塑性成形力学的工程应用
第一节 金属塑性成形问题的求解方法概述
塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状态和应变状态 的基本方程。 对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准则中，共包 含六个未知数（ ） ，属静不定问题。再利用六个应力应变关系式（本 ij 构方程）和三个变形连续性方程，共得十三个方程，包含十三个未知数 （六个应力分量，六个应变或应变速率分量，一个塑性模量），方程式 和未知数相等。但是，这种数学解析法只有在某些特殊情况下才能解， 而对一般的空间问题，数学上的精确解极其困难。
d y d x （19-2）
y
2mK xC h
图19-2 平行砧板间平面应变锻粗及垂直 应力 的分布图形
ye 表示工件外端（x xe 式中的 ）处的垂直压应力（绝对值），
xe 0 ，则由式（19-2）得； 若该处为自由表面有
ye 2 K
由式（19-3）和式（19-4a），可方便求出宽度为a、高度为 h的工件平面应变自由镦粗时接触面上的压应力 y 和单位 变形力p （均为绝对值）：
第四节 滑移线的基本理论
滑移线就是塑性变形体内最大切应力的轨迹线。 因为最大切应力成对出现，相互正交，因此，滑移线 在变形体内呈两族互相正交的网络，即所谓的滑移线场。 滑移线法就是针对具体的变形过程，建立滑移线场，然 后利用滑移线的特性求解塑性成形问题，确定变形体内的 应力分布和速度分布，进而计算变形力，分析变形和决定 毛坯的合理外形、尺寸等。 严格地说，滑移线法只适用于求解理想刚塑性材料的平面 变形问题，但对于主应力互为异号的平面应力问题，某些 轴对称问题以及有硬化的材料，也可推广应用。
dθ dθ 因 d 是一极小微量，故 sin ，同时略去二阶微量， 2 2
则上式化简为 h dr 2τ r dr r h dr rh d r 0 假定为均匀镦粗变形，有
d r d r
得
2τ d r dr h
（19-7）
所以按绝对值的简化屈服方程，因 r ，故有:
y
的分布图形见图19-2b)所示。
（7）将 y应力沿接触面积分可求出镦粗力和 单位压力。 xe mKxe P 2l y dx 2lxe ( y e ) （19-4） 0 h mKxe P P p ye （19-4a） F 2lxe h
二、 轴对称镦粗的变形力
所确定的最大切应力，符号为正，其指向称为第一剪切方向。另一最大 4
切应力方向称为第二剪切方向。第一、第二两剪切方向相互正交。
二、 最大切应力迹线——滑移线的形成
一族称α 为滑移线，另
一族称为β 滑移线。 滑移线场中，两条滑移线
的交点称为节点。
滑移线场与主应力迹 线场相交成45°角。已知 滑移线场便可作出主应力 迹线场，反之，已知主应 力迹线场也可作出滑移线 场。
图 19-3 表示平行砧板间的轴 对称镦粗。图中基元板块的平 衡方程式为
dθ Pr r hr dθ 2 θh dr sin 2 2τr dθdr ( r d r )(r dr
dθ sin 2τr dθdr ( r d r )( r dr )h dθ 0 图19-3 轴对称镦粗变形及基元板 2 块受力分析
图19-1 连杆模锻时的金属流动平面和流 动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
第三节 主应力法的应用
一、 长矩形板坯变形力
设长矩形板坯在变形某
y
瞬时的宽度为a，高度为h， 长度为l(la)，故可近似地 认为坯料沿l向无变形，属 于平面变形问题。用主应力 法计算变形力的步骤如下：
450角，即得α、β族线。
（ 4 ）α 线的切线方向与ox轴的夹角以ω 表示，并规定ox轴的正向为ω 角
的量度起始线，逆时针旋转形成的ω 角为正，顺时针旋转形成的ω 角为负。
四、 滑移线的微分方程
由图可知 滑移线的微分方程为
对族 对族
对族 对族
dy dy tan tan dx dx dy dy tan tan( )tan( cot tan ) cot dx 2 dx 2
(19-1)
mK Y
K 2Y Y / 3
（4）列出的简化屈服方程。因为式（19-1）中的应力代表其绝对值，
对于镦粗变形，可判断出的 y 绝对值必大于的 x 绝对值，所以有
2 y x 2K Y 3
（ 5 ）联解平衡微分方程和简化屈服 方程，并将摩擦条件代入得：
则； 若
ze Y
τ mK（K Y / 2）
则可由上述公式求出高度为h、直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的 z 压应力和单位变形力p：
m d z Y [1 ( r )] h 2 p Y (1 md ) 6 h
（19-11）
（19-12）
否则由相邻变形区提供的边界条件确定。
（19-9）
P 1 p 2 F πre
re 0
1 z dF 2 πre
re 0
[
2τ 2 τ re (re r ) ze ]2πr dr ze h 3 h
（19-10）
ze 为工件外端（ r re ）处的垂直压应力。若该处为自由表面， re 0
（三）汉基第一定理（跨线特性）及其推论
同一族的一条滑移线转到另一条滑移线时，则沿另一族的任一条滑 移线方向角的变化及平均应力的变化 均 m 为常数。
1,1 ,1 ,2 2, 常数 2 常数 1,1 2 ,1 2 1, 2 1 2,2 常数 m mm 1,1 m2 ,1 m1 ,2 m 2 , 2 常数 m m 1,1 2 ,1 m 1, 2 m 2,2
一、 平面变形应力状态的特点
链接
一、 平面变形应力状态的特点
最大切应力为：
max
1 ( 1 3 ) K 2
而作用在最大切应力平面上的正应力 恰好等于中间主应力 ，即 或平均应力 m 2 1 1 m 2 ( 1 3 ) ( x y ) 2 2
由应力莫尔圆的几何关系可知有如下关系：
链接
x m K sin 2 y m K sin 2 xy K cos 2
（19-21）
式中，ω是最大切应力 平面与x轴的夹角。
对于理想刚塑性材料，K为常数
平面塑性应变状态的三个主应力也 可以用平均应力与最大切应力K来表示，
Βιβλιοθήκη Baidu
（ 19-23）
五、滑移线的主要特性
（一）汉基（H．Hencky）应力方程
m 2 K （） （沿 线） m 2 K （） （沿 线）
汉基应力方程是滑移线场理论中很重要 的公式，根据汉基应力方程可推导出滑移线 场的一些主要特性。
三、 通过圆锥孔型挤压的变形力
圆柱体从锥形凹模 挤出或锻件充填圆锥 形模孔（腔）形成凸 台属于这种类型。
四、 在板料成形中的应用
1．板料成形的特点 （1） 板料成形大多可作为平面应力问题处理。 （2）板料成形大多在室温下进行，需要考虑加工硬化。 （ 3 ）板料成形过程中，变形区的板料厚度是变化的，但 为简化计算，往往忽略板厚的变化。 （4）在必要时，还需考虑板料的各向异性的影响。
m a y 2 K [1 ( x )] h 2
（19-5）
ma （19-6） p 2 K (1 ) 4 h 否则由相邻变形区所提供的边界条件确定。
（6）利用应力边界条件求积分常数C：
当
x xe
y y e ，时有
C ye 2mK xe h
所以得
2mK xe x y e （19-3） y h
(19-24)
（二） 滑移线的沿线特性
ma mb 2 K ab
（19-25）
几点结论：
（1）若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点的平均应力，
则可确定该滑移线场中各点的应力状态。 （2）若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同。 （3）如果在滑移线场的某一区域内，两族滑移线皆为直线，则此区域 内各点的应力状态相同，称为均匀应力场。
1 m K 2 m 3 m K
过点P并标注其应力分量的微分面为物理平面，如图19-6d所示。显然， 应力莫尔圆上一点对应一个物理平面，应力莫尔圆上两点之间的夹角为相应物 理平面间夹角的两倍。
将一点的代数值最大的主应力的指向称为第一主方向（ 1 的作用线）。由第一主方 向顺时针转
图19-7 滑移线网络的形成
三、 关于α、β滑移线和ω角的规定
（1）当α、β族线构成右手坐标系时，代数值最大的主应力σ1的作用 方向位于第一与第三象限 （2）滑移线两侧的最大切应力 组成顺时针方向的为α族线，组 成逆时针方向的为β族线； （3）当已知主应力σ1和σ3方向 时，将它们沿顺时针方向旋转
1 3 s
（2）根据金属流动的方向，沿变形体整个（或部分）截面（一般为纵 截面）切取包含接触面在内的基元体，且设作用于该基元体上的正应力
都是均布的主应力。
（3）在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应力为主应力， 即忽略摩擦力对塑性条件的影响，从而使塑性条件大大简化。即有：
对大量实际问题，则是进行一些简化和假设来求
解。根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。
1 ．主应力法（又称初等解析法） 从塑性变形体的应力边界条件出发，
建立简化的平衡方程和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力和变形 的力能参数，但不考虑变形体内的应变状态。
2．滑移线法 假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑变区内任一
3．上限法 从变形体的速度边界条件出发，对塑变区取较大的单元，根
据极值原理，求出塑变能为极小值时满足变形连续条件和体积不变条件时的 动可容速度场，计算出力能参数，但不考虑塑变区内的应力状态是否满足平 衡方程。
x y Y
（当
x > y ）。
（4）将经过简化的平衡微分方程和塑性条件联立求解，并利用边界条 件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。 由于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，
故此得名“主应力法”。又因这种解法是从切取基元体或基元板块着
手的，故也形象地称为“切块法”（Slab method）。
（1）切取基体。
（2）列出基元体沿x轴方向的平衡微分方程。
PP l h lh ( ( dσ dσ)l)d lh dh 2τ 2τ ld lx dx 00
x x x x x x x x
2 d x dx h
（3）采用常摩擦条件。 （m为摩擦因子，）
z rY
联解得
2τ d z dr h
d z d r
（19-8）
接触面满足常摩擦条件，对上式进行积分得
2τ z dr C h 当 r re 时 z ze C ze 2 re h
得
2τ z (re r ) ze h
4．有限元法 5.板料成形理论
第二节 主应力法及其求解要点
主应力法是金属塑性成形中求解变形力的一种近似解法。它通过对 应力状态作一些近似假设，建立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条 件，使求解过程大大简化。其基本要点如下： （1）把变形体的应力和应变状态简化成平面问题（包括平面应变状态 和平面应力状态）或轴对称问题，以便利用比较简单的塑性条件，即:
第十九章 塑性成形力学的工程应用
第一节 金属塑性成形问题的求解方法概述
塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状态和应变状态 的基本方程。 对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准则中，共包 含六个未知数（ ） ，属静不定问题。再利用六个应力应变关系式（本 ij 构方程）和三个变形连续性方程，共得十三个方程，包含十三个未知数 （六个应力分量，六个应变或应变速率分量，一个塑性模量），方程式 和未知数相等。但是，这种数学解析法只有在某些特殊情况下才能解， 而对一般的空间问题，数学上的精确解极其困难。
d y d x （19-2）
y
2mK xC h
图19-2 平行砧板间平面应变锻粗及垂直 应力 的分布图形
ye 表示工件外端（x xe 式中的 ）处的垂直压应力（绝对值），
xe 0 ，则由式（19-2）得； 若该处为自由表面有
ye 2 K
由式（19-3）和式（19-4a），可方便求出宽度为a、高度为 h的工件平面应变自由镦粗时接触面上的压应力 y 和单位 变形力p （均为绝对值）：
第四节 滑移线的基本理论
滑移线就是塑性变形体内最大切应力的轨迹线。 因为最大切应力成对出现，相互正交，因此，滑移线 在变形体内呈两族互相正交的网络，即所谓的滑移线场。 滑移线法就是针对具体的变形过程，建立滑移线场，然 后利用滑移线的特性求解塑性成形问题，确定变形体内的 应力分布和速度分布，进而计算变形力，分析变形和决定 毛坯的合理外形、尺寸等。 严格地说，滑移线法只适用于求解理想刚塑性材料的平面 变形问题，但对于主应力互为异号的平面应力问题，某些 轴对称问题以及有硬化的材料，也可推广应用。
dθ dθ 因 d 是一极小微量，故 sin ，同时略去二阶微量， 2 2
则上式化简为 h dr 2τ r dr r h dr rh d r 0 假定为均匀镦粗变形，有
d r d r
得
2τ d r dr h
（19-7）
所以按绝对值的简化屈服方程，因 r ，故有:
y
的分布图形见图19-2b)所示。
（7）将 y应力沿接触面积分可求出镦粗力和 单位压力。 xe mKxe P 2l y dx 2lxe ( y e ) （19-4） 0 h mKxe P P p ye （19-4a） F 2lxe h
二、 轴对称镦粗的变形力
所确定的最大切应力，符号为正，其指向称为第一剪切方向。另一最大 4
切应力方向称为第二剪切方向。第一、第二两剪切方向相互正交。
二、 最大切应力迹线——滑移线的形成
一族称α 为滑移线，另
一族称为β 滑移线。 滑移线场中，两条滑移线
的交点称为节点。
滑移线场与主应力迹 线场相交成45°角。已知 滑移线场便可作出主应力 迹线场，反之，已知主应 力迹线场也可作出滑移线 场。
图 19-3 表示平行砧板间的轴 对称镦粗。图中基元板块的平 衡方程式为
dθ Pr r hr dθ 2 θh dr sin 2 2τr dθdr ( r d r )(r dr
dθ sin 2τr dθdr ( r d r )( r dr )h dθ 0 图19-3 轴对称镦粗变形及基元板 2 块受力分析
图19-1 连杆模锻时的金属流动平面和流 动方向 a)流动平面 b）连杆模锻件 c）流动方向
第三节 主应力法的应用
一、 长矩形板坯变形力
设长矩形板坯在变形某
y
瞬时的宽度为a，高度为h， 长度为l(la)，故可近似地 认为坯料沿l向无变形，属 于平面变形问题。用主应力 法计算变形力的步骤如下：
450角，即得α、β族线。
（ 4 ）α 线的切线方向与ox轴的夹角以ω 表示，并规定ox轴的正向为ω 角
的量度起始线，逆时针旋转形成的ω 角为正，顺时针旋转形成的ω 角为负。
四、 滑移线的微分方程
由图可知 滑移线的微分方程为
对族 对族
对族 对族
dy dy tan tan dx dx dy dy tan tan( )tan( cot tan ) cot dx 2 dx 2
(19-1)
mK Y
K 2Y Y / 3
（4）列出的简化屈服方程。因为式（19-1）中的应力代表其绝对值，
对于镦粗变形，可判断出的 y 绝对值必大于的 x 绝对值，所以有
2 y x 2K Y 3
（ 5 ）联解平衡微分方程和简化屈服 方程，并将摩擦条件代入得：
则； 若
ze Y
τ mK（K Y / 2）
则可由上述公式求出高度为h、直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的 z 压应力和单位变形力p：
m d z Y [1 ( r )] h 2 p Y (1 md ) 6 h
（19-11）
（19-12）
否则由相邻变形区提供的边界条件确定。
（19-9）
P 1 p 2 F πre
re 0
1 z dF 2 πre
re 0
[
2τ 2 τ re (re r ) ze ]2πr dr ze h 3 h
（19-10）
ze 为工件外端（ r re ）处的垂直压应力。若该处为自由表面， re 0
（三）汉基第一定理（跨线特性）及其推论
同一族的一条滑移线转到另一条滑移线时，则沿另一族的任一条滑 移线方向角的变化及平均应力的变化 均 m 为常数。
1,1 ,1 ,2 2, 常数 2 常数 1,1 2 ,1 2 1, 2 1 2,2 常数 m mm 1,1 m2 ,1 m1 ,2 m 2 , 2 常数 m m 1,1 2 ,1 m 1, 2 m 2,2
一、 平面变形应力状态的特点
链接
一、 平面变形应力状态的特点
最大切应力为：
max
1 ( 1 3 ) K 2
而作用在最大切应力平面上的正应力 恰好等于中间主应力 ，即 或平均应力 m 2 1 1 m 2 ( 1 3 ) ( x y ) 2 2
由应力莫尔圆的几何关系可知有如下关系：
链接
x m K sin 2 y m K sin 2 xy K cos 2
（19-21）
式中，ω是最大切应力 平面与x轴的夹角。
对于理想刚塑性材料，K为常数
平面塑性应变状态的三个主应力也 可以用平均应力与最大切应力K来表示，
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（ 19-23）
五、滑移线的主要特性
（一）汉基（H．Hencky）应力方程
m 2 K （） （沿 线） m 2 K （） （沿 线）
汉基应力方程是滑移线场理论中很重要 的公式，根据汉基应力方程可推导出滑移线 场的一些主要特性。
三、 通过圆锥孔型挤压的变形力
圆柱体从锥形凹模 挤出或锻件充填圆锥 形模孔（腔）形成凸 台属于这种类型。
四、 在板料成形中的应用
1．板料成形的特点 （1） 板料成形大多可作为平面应力问题处理。 （2）板料成形大多在室温下进行，需要考虑加工硬化。 （ 3 ）板料成形过程中，变形区的板料厚度是变化的，但 为简化计算，往往忽略板厚的变化。 （4）在必要时，还需考虑板料的各向异性的影响。
m a y 2 K [1 ( x )] h 2
（19-5）
ma （19-6） p 2 K (1 ) 4 h 否则由相邻变形区所提供的边界条件确定。
（6）利用应力边界条件求积分常数C：
当
x xe
y y e ，时有
C ye 2mK xe h
所以得
2mK xe x y e （19-3） y h
(19-24)
（二） 滑移线的沿线特性
ma mb 2 K ab
（19-25）
几点结论：
（1）若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点的平均应力，
则可确定该滑移线场中各点的应力状态。 （2）若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同。 （3）如果在滑移线场的某一区域内，两族滑移线皆为直线，则此区域 内各点的应力状态相同，称为均匀应力场。
1 m K 2 m 3 m K
过点P并标注其应力分量的微分面为物理平面，如图19-6d所示。显然， 应力莫尔圆上一点对应一个物理平面，应力莫尔圆上两点之间的夹角为相应物 理平面间夹角的两倍。
将一点的代数值最大的主应力的指向称为第一主方向（ 1 的作用线）。由第一主方 向顺时针转
图19-7 滑移线网络的形成
三、 关于α、β滑移线和ω角的规定
（1）当α、β族线构成右手坐标系时，代数值最大的主应力σ1的作用 方向位于第一与第三象限 （2）滑移线两侧的最大切应力 组成顺时针方向的为α族线，组 成逆时针方向的为β族线； （3）当已知主应力σ1和σ3方向 时，将它们沿顺时针方向旋转
1 3 s
（2）根据金属流动的方向，沿变形体整个（或部分）截面（一般为纵 截面）切取包含接触面在内的基元体，且设作用于该基元体上的正应力
都是均布的主应力。
（3）在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应力为主应力， 即忽略摩擦力对塑性条件的影响，从而使塑性条件大大简化。即有：
对大量实际问题，则是进行一些简化和假设来求
解。根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。
1 ．主应力法（又称初等解析法） 从塑性变形体的应力边界条件出发，
建立简化的平衡方程和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力和变形 的力能参数，但不考虑变形体内的应变状态。
2．滑移线法 假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑变区内任一