2018年上海交大附中自主招生数学试卷

2018年上海交大附中自主招生

数学试卷

2018.03

第一部分

1. 已知

13x x +=-，求3311000x x ++.

2.

11(1)

x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.

3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .

4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.

5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.

6. DE 为BC 的切线，正方形ABCD 边长为200，BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.

7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.

8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.

9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（

12

m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.

10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.

第二部分（科学素养）

1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.

2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-

（1）14

b =

；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）

3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）

4. 附加题（25分） （2 points ） solve the following system of equations for 2122.22

21

w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩

（4 points ）

Compute 98∞

（6 points ）

Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.

The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to x

A ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤

⎢⎥+⎣⎦

B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，

find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：

[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =