三角形中位线专题

三角形中位线专题

中点处理方案1（利用角平分线与垂直构造中位线）

例1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB的中点

（1）求证：DE∥BC；

（2）若AC=8，BC=5，求DE的长。

例2.如图，BF是△ABC的角平分线，AM⊥BF于M，CE平分△ABC的外角，AN⊥CE于N。（1）求证：MN∥BC；

（2）若AB=c，AC=b，BC=a，求MN的长。

中点处理方案2（倍长法构造中位线）

例3. 如图，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，AB 的中垂线交AB 于N ，交EF 于M 。 求证：)(2

1MN AE BF -=

例4. （任家路中学月考）已知：如图，两个直角三角形△ABC 和△BEF ，∠ABC=∠BEF=90°，AB=BC ，BE=EF ，连接AF ，点M 为AF 的中点，连ME 。

（1）如图1，当F 在BC 边上时，求证：CF=2ME ；

（2）如图2，将△BEF 绕顶点B 逆时针转一个角度，当F 在△ABC 内部时，上述结论是否仍然成立?为什么？

（3）如图3，将△BEF 绕顶点B 逆时针旋转一个角度，当F 在△ABC 外部时，过B 作BH ⊥ME 于H ，EH=2，BH=4，ME=5，求四边形CFEB 的面积。

中点处理方案3（寻找中点，产生两次中位线）

例4.四边形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，若AB=5，CD=4，求MN的取值范围。

例5.如图，AD是△ABC的角平分线，AD=AC，BE⊥AD于E。

（1）求证：AB-AC=2DE；（2）求证：AB+AC=2AE。

例6.如图，△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE，CD的中点，连接M、N的直线交AB于P，交AC于Q，求证：AP=AQ。

综合应用

例6. 已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E 在AC 上，EF ⊥AC 交AB 于F ，连接BE ，CF ，M 、N 分别为CF 、BE 的中点。

（1）求CE

MN 的值； （2）将△AEF 绕A 点顺时针旋转45°，则（1）中结论是否仍成立？证明你的结论。

（3）将△AEF 绕A 点顺时针旋转一个锐角，上述结论是否成立，试证明。

例7. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 与点B 在AC 的同侧，∠DAC>∠BAC ，且DA=DC ，过点B 作BE ∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连MD ，ME 。

（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD 与ME 的数量关系是 ；

（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明结论。