三角形中位线专题
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)三角形中位线专项训练(30道)(解析版)1. 题目解析三角形中位线是指连接一个三角形的两个非邻边中点的线段。
在这个专项训练中，我们将解答30道关于三角形中位线的问题，并提供详细的解析，帮助你更好地理解和掌握相关概念和解题方法。
2. 题目设置2.1 第一类题目：中位线长度计算2.1.1 题目1：已知一个三角形的三边长度分别为a, b, c，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(c²+a²-0.5b²)/(2c)。
2.1.2 题目2：已知一个等边三角形的边长为a，求其中位线长度。
解析：等边三角形中位线长等于边长的一半，即中位线长度为a/2。
2.1.3 题目3：已知一个等腰三角形的底边长度为a，腰长为b，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(a²+b²)/(2a)。
2.2 第二类题目：中位线位置关系2.2.1 题目4：在一个等边三角形中，证明中位线与底边垂直且分割底边的比例为2:1。
解析：根据等边三角形的性质，中位线和底边垂直。
利用中位线定义和几何性质，可以证明中位线分割底边的比例为2:1。
2.2.2 题目5：已知在一个等腰三角形中，中位线长为x，底边长为y，求腰长。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以得到腰长为2x-y。
2.2.3 题目6：已知在一个一般三角形中，中位线等分了三角形的面积，证明这个三角形是等腰三角形。
解析：假设中位线等分了三角形的面积，利用三角形面积公式可以得到一个关于中位线和底边的方程。
通过求解这个方程，可以证明这个三角形是等腰三角形。
3. 题目变体上述题目只是针对三角形中位线的一部分问题进行了训练和解析。
专题11 三角形中位线定理(解析版)
专题11 三角形中位线定理【考点归纳】（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：【好题必练】一、选择题1．（2020秋•罗湖区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C．【解析】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，∴DG＝AG＝CG＝EG，在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．2．（2020秋•安丘市期末）如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．【答案】B．【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴＝＝＝，∴△DEF∽△CAB，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积＝2，∴△DEF的面积＝，故选：B．3．（2020秋•长春期末）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，DE为△ABC的中位线，则四边形BCED 的面积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B．【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝60°，又∵DE为中位线，∴DE＝BC＝2，BD＝AB＝2，DE∥BC，∴DF＝BD•sin∠B＝2×，∴四边形BCED的面积为：DF×（DE+BC）＝××（2+4）＝3．故选：B．4．（2020秋•长春期末）△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF 的周长为（）A．4.5B．9C．10D．12【答案】B．【解析】解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．5．（2020秋•绿园区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（）A．5m B．10m C．20m D．40m【答案】C．【解析】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴AB＝2CD＝20（m），故选：C．6．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D．【解析】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．二、填空题7．（2020春•兴化市期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．若BC＝6，则DE的长为．【答案】3【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×6＝3，故答案为：3．8．（2020春•姜堰区期中）已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为6cm，则原三角形的周长为cm．【答案】12【解析】解：∵△DEF的周长为6cm，∴DE+DF+EF＝6，∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点∴DE、DF、EF是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AB＝2EF，AC＝2DF，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（DE+DF+EF）＝12（cm），故答案为：12．9．（2020春•建湖县期中）如图，AB∥CD，AB＝7，CD＝3，M、N分别是AC和BD的中点，则MN的长度．【答案】2【解析】解：延长DM交AB于E，∵AB∥CD，∴∠C＝∠A，在△AME和△CMD中，，∴△AME≌△CMD（ASA）∴AE＝CD＝3，DM＝ME，∴BE＝AB﹣AE＝4，∵DM＝ME，DN＝NB，∴MN是△DEB的中位线，∴MN＝BE＝2，故答案为：2．10．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，BC＝14，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若DF＝12，∠AFC＝90°，则AC＝．【答案】10【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝7，∴EF＝DF﹣DE＝5，在Rt△AFC中，AE＝EC，∴AC＝2EF＝10，故答案为：10．11．（2020•凤山县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点．若BC＝2，则EF的长度为．【答案】1【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝2，∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF为△ACD的中位线，∴EF＝CD＝1，故答案为：1．三、解答题12．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴EB＝ED，∵EB＝ED，F是BD中点，∴EF平分∠BED．【解析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，证明EB＝ED，根据等腰三角形的三线合一证明结论．13．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，E，F分别是BD，CD的中点．求证：AD∥EF．【答案】证明：∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF∥BC，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，∴AD∥EF．【解析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理得到AD∥BC，根据平行公理的推论证明结论．14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AC的中点，AB＝6，求DE的长．【答案】解：∵D为BC的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝3．【解析】根据三角形中位线定理解答．15．如图，在△Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．【答案】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，∴CD＝EF．【解析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DF∥AC，证明四边形DECF是矩形，根据矩形的性质证明．16．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，求△ABC的周长【答案】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，∵△DEF的周长为10，即EF+DE+DF＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（EF+DE+DF）＝20．【解析】根据三角形中位线定理得到AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，根据三角形周长公式计算，得到答案．。
三角形中位线专题练习
三角形的中位线专题小练三角形中位线的概念和性质：1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.例.如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点．求证：∠PMN=∠PNM ．专题小练1．如图，A 、B 两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一他点C ，然后测出AC ，BC 的中点M 、N ，并测量出MN 的长为18m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )A ．AB=36mB ．MN ∥ABC ．MN=21CBD ．CM=21AC第1题图 第 2题图 第3题图2．如图，在△ABC 中，AB=3，BC=6，AC=4，点D,E 分别是边AB ，BC 的中点，那么DE 的长为( )A ．1.5B ．2C ．3D ．43．如图，D,E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是( )A ．6B ．12C ．18D ．244．如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=( )A．50m B．48mC．45m D．35m二．填空题（共3小题）第4题图5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC= ．第5题图第6题图第7题图6．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为．7．如图，平行四边ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．8．如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点．求证：四边形ADEF是平行四边形．。
专题05 三角形中位线(知识点串讲)(解析版)
专题05 三角形中位线重难突破三角形中位线1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.3．相关结论：顺次连接任意四边形中点所得到的四边形是平行四边形.（连接原四边形一条对角线，由中位线定理可证）4．拓展：①梯形的中位线等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）②过三角形一边的中点作另一边的平行线，与第三边交于一点，则这两点之间的线段为三角形的中位线. 如图，过△ABC的边AB的中点作平行于边BC的直线，交边AC于点E，则DE为△ABC的中位线.典例1．（2018春•定兴县期末）如图所示，已知P、R分别是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（）A．逐渐增大B．逐渐变小C．不变D．先增大，后变小【答案】C【解析】解：∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF AR，∴EF的长不变，故选：C．【点睛】根据三角形中位线定理得到EF AR，判断即可．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．典例2．（2018春•柳州期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN ⊥AE于N，若AC＝6，BC＝8，则MN＝___．【答案】2【解析】解：延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，在△BMC和△BMG中，，∴△BMC≌△BMG，∴BG＝BC＝8，CM＝MG，∴AG＝2，同理，AH＝AC＝6，CN＝NH，∴GH＝4，∴MN GH＝2，故答案为：2．【点睛】延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，证明△BMC≌△BMG，得到BG＝BC＝8，CM＝MG，同理得到AH＝AC＝6，CN＝NH，根据三角形中位线定理计算即可．典例3．（2018春•成都期末）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE ＝2，则AC的长等于______．【答案】见解析【解析】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD＝BE＝2，则DF＝1，AF，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AE＝EF＝CF，∴AC AF．故答案为：．【点睛】过D点作DF∥BE，则DF BE＝1，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC AF．典例4．（2018春•吉州区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．【答案】见解析【解析】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE CF4＝2．【点睛】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE CF，然后求解即可．典例5．（2018春•濮阳期末）已知等边三角形ABC的边长为a分别以这个三角形的三边中点为顶点作一个三角形，记为△A1B1C1，再以△A1B1C1各边中点为顶点做三角形记为△A2B2C2，…依次做下去，求△A5B5C5的周长．【答案】见解析【解析】解：等边△ABC的边长为a，∴等边△ABC的周长为3a．∵A2、B2分别是边A1B1、B1C1的中点，∴A2B2是△A1B1C1的中位线，∴A2B2A1B1．同理，A2C2A1C1，C2B2C1B1．∴△A2B2C2的周长等边△A1B1C1的周长．同理，△A3B3C3的周长△A2B2C2的周长等边△A1B1C1的周长．…，∴△A n B n∁n的周长△A1B1C1的周长．∴△A5B5C5的周长．【点睛】据三角形中位线定理知，△A2B2C2的各边的边长是△A1B1C1的各边边长的，△A3B3C3是△A2B2C2的各边的边长的，找出规律即可得出结论．本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．典例6．（2018春•南山区期末）如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG（∠ACB﹣∠ABC）；③EF （AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④【答案】A【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF∥AB，故①正确；∵△AFG≌△AFC，∴∠AGC＝∠ACB，∵∠AGC＝∠B+∠BCG，∴∠ACG＝∠B+∠BCG，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，∴∠BCG（∠ACB﹣∠B），故②正确；∵△AFG≌△AFC，∴AC＝AG，∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，∵F、E分别是CG、BC的中点，∴EF BG，∴EF（AB﹣AC），故③正确；∵∠AFG＝90°，∴∠EAF＜90°，∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，∴∠AFE＞∠EAF，∴AE＞EF，∵EF（AB﹣AC），∴（AB﹣AC）＜AE，延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，∵在△ACE和△MBE中∴△ACE≌△MBE（SAS），∴AC＝BM，在△ABM中，AM＜AB+AC，∵AE＝EM，∴2AE＜AB+AC，∴AE（AB+AC），即（AB﹣AC）＜AE（AB+AC），故④正确；故选：A．【点睛】求出F为CG中点，根据三角形的中位线性质即可判断①，求出∠ACG＝∠AGC＝∠B+∠BCG，即可判断②；根据三角形中位线性质即可判断③，求出2AE＜AB+BC和AE＞EF，即可判断④．巩固练习1．（2018春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】D【解析】解：∵点D，E分别AB、BC的中点，∴DE AC＝3.5，同理，DF BC＝3，EF AB＝2.5，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝9，故选：D．2．（2018春•抚顺期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（）A．100°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解析】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴PE AD，PF BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝25°，∴∠EPF＝130°，故选：C．3．（2018春•颍东区期末）如图在△ABC中，M是BC中点，AP是∠A平分线，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，则MP长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：延长BP交AC于N.∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，∴∠BAP＝∠NAP，∠APB＝∠APN＝90°，∴△ABP≌△ANP（ASA），∴AN＝AB＝12，BP＝PN，∴CN＝AC﹣AN＝22﹣12＝10，∵BP＝PN，BM＝CM，∴PM是△BNC的中位线，∴PM CN＝5．故选：C．4．（2018春•开江县期末）如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形，……如此操作下去，那么第5个三角形直角顶点的坐标为（）A．（，）B．（）C．（）D．（）【答案】B【解析】解：由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（，）；第4个三角形的直角顶点坐标：（，）；第5个三角形的直角顶点坐标：（，）；故选：B．5．（2017秋•洪雅县期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为___．【答案】1【解析】解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG＝AC＝3，GF＝CF，∵AB＝5，AC＝3，∴BG＝2，∵AE是中线，∴BE＝CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF BG＝1 故答案为：1.。
专题1三角形中位线
专题1：三角形中位线【经典例题】例1：如图3，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF= °．例2：如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠CBD=45°，∠ADB=105°，探究EF与PF之间的数量关系，并证明。
例3：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接DC，点M，P，F分别为DE，DC，BC的中点，△ADE可以绕点A在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB＝10，则△PMF的面积S的变化范围是．练习：1.如图，点分别是三边上的中点．若的面积为12，则的面积为 ．2.如图，∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC ，点E 在BC 上，CD=CE ，点P ，M ，N 分别为AB ，AD ，BE 的中点，试探究:PM 与PN 之间的数量关系和位置关系.3.如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AD ＝6，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．51题 3题 4题4. 如图,ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 分别是线段AO,BO 的中点.若AC+BD=24厘米,△OAB 的周长是18厘米,则EF= 厘米.【经典例题】例4已知：如图，在ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ．求证：GF ＝GC ．D E F ，，ABC △ABC △DEF △例5如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC,△BEF 为等腰直角三角形、∠BEF=90°，M 为AF 的中点，求证:12ME CF =。
完整版三角形的中位线经典练习题及其答案
八年级三角形的中位线练习题及其答案1 •连结三角形2 •三角形的中位线于第三边，并且等于3 •一个三角形的中位线有__________ 条.4. 如图△ ABC中，D E分别是ABAC的中点，则线段CD>^ ABC的_______ ,线段。
丘是厶ABC ___________5、如图，D E、F分别是△ ABC各边的中点（1）如果EF= 4cm,那么BC= cm 如果AB= 10cm,那么DF= __________________________ cm（2） ________________________________ 中线AD与中位线EF的关系是____________________________6 .如图1所示，EF是厶ABC的中位线，若BC=8cm贝UEF=_________________________________________________cm7 .三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是 __________________ cm.8.在Rt △ ABC中，/ C=90°, AC=?5 ?BC=?12, ?则连结两条直角边中点的线段长为 ____________ .9 .若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（）A . 4.5cmB . 18cmC . 9cmD . 36cm10. 如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B间的距离为（）A . 15mB . 25mC . 30mD . 20m11. 已知△ ABC的周长为1,连结△ ABC的三边中点构成第二个三角形，？再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( )A 1 1 1 1A、 B C D、2008 2009 20082 2009212.如图3所示，已知四边形ABCD R, P分别是DC BC上的点，E,F分别是AP, RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长不能确定13.如图4,在厶ABC中, E, D, F分别是AB, BC CA的中点，AB=6, AC=4,则四边形AEDF?勺周长是（）A . 10B . 20C . 30D . 40A__________ D的线段叫做三角形的中位线.14. 如图所示，口ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AE=EB求证：OE// BC.15. 已知矩形ABCD中，AB=4cm, AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：EF+GH=5cm；16 .如图所示，在△ ABC中，点D在BC上且CD=CA CF平分/ ACB AE=EB求证:EF=1BD.217.如图所示，已知在口ABCD中, E, F分别是AD, BC的中点，求证：MN/ BC.18.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、arc CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.19.如图，点E, F, G, H分别是CD, BC, AB , DA的中点。
专题 三角形中位线定理的运用(原卷版)
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 三角形中位线定理的运用【例题1】（2022秋•长沙期中）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F ，G 分别是AD ，AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【变式1-1】（2022秋•海淀区期中）如图，BD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是BD ，BC 的中点，连接EF ．若AD ＝4，则EF 的长为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．4【变式1-2】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C D 【变式1-3】（2022春•巨野县校级月考）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，AE 平分∠CAD ，AE ⊥CD 于点E ，点F 是BC 的中点，若AB ＝10，AC ＝6，则EF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【变式1-4】（2022秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AD ＝5，点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点，点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，则EF 长度的可能为（ ）A ．2B ．2.3C ．4D ．7【变式1-5】如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为 ．【变式1-6】（2022春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为 ．【变式1-7】（2022春•本溪期末）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若AB＝CD＝2，则四边形ENFM 的周长是 ．过点C 作CF ∥BE ，交DE 的延长线于点F ，若EF ＝3，求DE 的长．【变式1-9】如图，在△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．【例题2】（2022秋•安岳县期末）如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若∠CFE ＝55°，则∠ADE 的度数为（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°60°，∠B＝75°，则∠ANM＝ ．【变式2-2】（2022•永安市模拟）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB ＝32°，∠A＝75°，则∠AED＝ ．【变式2-3】（2022春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．【变式2-4】（2022•九江二模）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB ＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为 ．【变式2-5】（2022秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E ，F ，G 分别是AB ，DC ，AC 的中点．若∠ACB ＝64°，∠DAC ＝22°，则∠EFG 的度数为 ．【变式2-6】（2022春•鼓楼区期中）如图所示，在△ABC 中，∠A ＝40°，D ，E 分别在AB ，AC 上，BD ＝CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于P ，Q ．求∠APQ 的度数．【例题3】（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知△ABC 中，D 是AB 上一点，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足是E ，F 是BC 的中点．求证：BD ＝2EF．【变式3-1】（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE＝∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．求证：FG＝FH．【变式3-2】（2021秋•互助县期中）如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．【变式3-3】已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．【变式3-4】（2021春•崇川区校级月考）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【变式3-5】（2022春•富平县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，取BC边的中点M，连接EM、FM．求证：（1）△MEF是等腰三角形；（2）OG＝OH．【变式3-6】（2022春•瑶海区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点（1）若DE＝2，则BC＝ ；若∠ACB＝70°，则∠AED＝ °；（2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO．【变式3-7】（2022春•虎丘区校级期中）如图，线段AM是∠CAB的角平分线，取BC中点N，连接AN，过点C作AM的垂线段CE垂足为E．（1）求证：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的长度．【例题4】（2021春•莆田期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：∠AHF ＝∠BGF ．【变式4-1】（2022春•西峰区校级月考）如图，四边形ABCD 中，AD ＝BC ，P 是对角线BD 的中点，N 、M 分别是AB 、CD 的中点，求证：∠PMN ＝∠PNM ．【变式4-2】（2021春•歙县期中）如图，CD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥CD 于E ，F 是AC 的中点，（1）求证：EF ∥BC ；（2）猜想：∠B 、∠DAE 、∠EAC三个角之间的关系，并加以证明．【变式4-3】如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，求证：∠QPA＝∠PQA．【变式4-4】一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC 于M，N，求证：∠OMN＝∠ONM．【变式4-5】（2022春•船营区校级月考）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．【例题5】（2022秋•任城区期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于点E ，点F 是BC 的中点，若AB ＝10，AC ＝6，则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式5-1】（2022春•綦江区校级月考）如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，BD ＝16，AC ＝30，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF ＝（ ）A ．15B ．.16C ．17D ．8【变式5-2】（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12 CF．【变式5-3】如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P 为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．【变式5-4】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN ＝ ．【变式5-5】（2022春•香坊区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，AB＝20，CD＝12，∠B+∠C＝120°，则EF的长为 ．【变式5-6】（2022秋•张店区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G 分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【变式5-7】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12（AC﹣AB）；（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．【变式5-8】（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG=12（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．【变式5-9】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．。
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）【苏科版】1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC=12×4＝2，故选：B．3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=12BC，GF=12AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即12BC+12AD＞EF，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52 D ．3【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN =12DE ＝2，故选：B ．5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，∵BD ∥CH ，∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，∵∠A ＝90°，∴∠ECH ＝∠A ＝90°，在△DNB 和△HNC 中，{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC，∴△DNB ≌△HNC （ASA ），∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，∴MN =12EH ＝2.5，故选：A ．6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，在△ACF 和△GCF 中，{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°，∴△ACF ≌△GCF （ASA ），∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，∴EF =12BG ＝1.5，故选：A ．7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （ASA ），∴BE ＝GE ，∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF ∥GC ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠BEA ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C ．8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（ ）A ．85 B ．43 C ．1 D ．23 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，∴DH =12FC ，DH ∥AC ，∴∠HDE ＝∠F AE ，在△AEF 和△DEH 中，{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH，∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，∴AF =43，故选：B ．9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．12【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF ，∵CG ⊥AD ，∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF=12GB＝1，故选：A．10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=12AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=12AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，∴∠DFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴DF ＝BD ＝7，∴DE ＝DF +EF ＝11，∴BC ＝2DE ＝22，故答案为：22．12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为14×64＝16．以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n ﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n ．13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN 为等边三角形，∴△PMN 的周长为9，故答案为：9．14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝10，且AD BD =32，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，∴∠CFD ＝90°，∵DC ＝10，CF ＝8，∴DF =√CD 2−CF 2=6，∴AD ＝2DF ＝12，∵AD BD =32，∴BD ＝8，∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD ＝4，故答案为：4．15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，∵MF ∥DC ，∴∠FGC ＝∠EFM ，∵EM ∥AB ，∴∠FEM ＝∠FHB ，∵∠BHF 与∠CGF 互余，∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，∴△EMF 是直角三角形，∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，故答案为：√13．16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2.5，故答案为：2.5．18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，在△AEB 和△AEF 中，{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ），∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，∴CF ＝2DE ＝4（cm ），∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），故答案为：6．19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN=180°−130°2=25°．故答案为：25°．20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣AB+AC）=12（13﹣10+6）＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共10小题）21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，同理：FG∥BC，FG=12BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，即EF ＝5；（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（12CD ）2＝EF 2，∴AB 2+CD 2＝4EF 2．23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12BD，同理：ME∥AC，ME=12AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，在△AEC 和△AED 中，{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED，∴△AEC ≌△AED （ASA ），∴CE ＝DE ；（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，∵△AEC ≌△AED ，∴AD ＝AC ＝6，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，∴EF =12BD =2．25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG =12BD ，FH =12CE ，∴FG ＝FH ．26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，∴DG =12CF ，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEG 中，{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，∴AF =12CF ．28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，∴GN =12AC ，同理可得，GM=12BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM=12AC=12BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=12BD，FG∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG=12AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG=12BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=12BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF=12 BDFH∥EC，FH=12 EC∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。
三角形的中位线定理专题培训课件
猜想四边形EFGH的形状并证明.
A
H
E
变式1：若AC=BD, 四边形EFGH是什么图 D 形？
变式2：若AC⊥BD, 四边形EFGH是什么 G 图形？
B
F
变式3：若AC=BD,且 AC⊥BD, 四边 C 形EFGH是什么图形？
由此，你得到什么结论？
变式训练
（1）顺次连结对角线相 A 等的四边形各边中点所得 E 的四边形是什么？
B
（2）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
H
菱形
F E
B
（3）顺次连结对角线相等
A
且垂直的四边形各边中点
所得的四边形是什么？
E
D
G
C A
H
D
F
G
H
D
C
G
B
F
C
结论
实际上，顺次连接任意四边形各边中点所得到 的四边形一定是平行四边形，但它是否是特殊的平 行四边形取决于原四边形的对角线.
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 A
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
B
F
C
温馨提示 1.三角形有三条中位线；
2.三角形在三角形中，连结一个顶点和它的对边中
点的线段，叫做 三角形的中线。
A
中点 D
E中点
顶点 B
C顶点
议一议 A 概念对比 A
D
证明：如图，连接AC
G
同∵理点E得FE/：、/12FG分AHC/别/是12 A边C AB、BC的中点
C
G H/ /E F
∴四边形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
专题22 三角形中位线定理应用问题(解析版)
专题22 三角形中位线定理应用问题1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.对三角形中位线的深刻理解（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14 【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，1214∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DF BC =EF AB =DE AC =12，∴△DEF ∽△ABC ，∴S △DEFS △ABC =（DE AC ）2＝（12）2=14， ∵等边三角形ABC 的面积为1，∴△DEF 的面积是14.【对点练习】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A ．【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ＝BC ＝＝5，且O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 为△BCD 的中位线，∴OE ＝CB ＝2.5。
【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。
【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．【解析】1．【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB ，解得EF ＝2，则DH =12EF ＝1． 【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB ，即EF 6=BE 3BE ，解得：EF ＝2，∴DH =12EF =12×2＝1，【对点练习】（2019广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是 cm ．【答案】8．【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。
专题16 三角形中位线定理(解析版)
专题16 三角形中位线定理一．选择题1．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则下列说法正确的是（）A．CE＝BC B．DE＝AB C．∠AED＝∠C D．∠A＝∠C 解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE BC，故B选项说法错误；CE与BC不一定相等，故A选项说法错误；BD与DE不一定相等，B选项说法错误；由平行线的性质知∠AED＝∠C，故选项C说法正确；∠A与∠C不一定相等，故选项D说法错误；故选：C．2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，故选：B．3．A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后分别步测出AC，BC的中点D，E，并测出DE 的长为20m，则AB的长为（）A．10m B．20m C．30m D．40m解：∵点D，E是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝40m，故选：D．4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF ＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．5．如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CE＝CD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB的长为（）A．10 B．12 C．14 D．16解：∵DE是△ABC的中位线，BF＝20，∴DE＝BF＝10，∵CE＝CD，∴CD＝DE＝8，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝16，故选：D．6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AF⊥BD于点E，交BC于点F，点G是AC的中点，若BC＝10，AB＝7，则EG的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3.5解：∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴BF＝AB＝7，AE＝EF，∵BC＝10，∴CF＝3，∵点G是AC的中点，∴AG＝CG，∴EG＝CF＝，故选：A．7．如图，在△ABC中，BC＝20，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，DF＝4，连接AF，CF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（）A．10 B．12 C．13 D．20解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝10，∴EF＝DE﹣DF＝10﹣4＝6，在Rt△AFC中，AE＝EC，∴AC＝2EF＝12，故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E、F分别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形BEDF的周长是（）A．10 B．12 C．14 D．16解：∵D、E分别为AC、BC边上的中点，∴BE＝BC＝4，DE是△ACB的中位线，∴DE＝AB＝3，∵D、F分别为AC、AB边上的中点，∴BF＝AB＝3，DF是△ABC的中位线，∴DF＝BC＝4，∴四边形BEDF的周长＝BE+DE+DF+BF＝4+3+4+3＝14，故选：C．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．10．如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（）A．13 B．9 C．5 D．4解：∵点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，∴DG＝EF＝PC＝15＝，DE＝FG＝AB，∵四边形DEFG的周长为28，∴DE＝FG＝×（28﹣﹣）＝，∴AB＝13，∵AP⊥BP，BP＝12，∴AP＝＝＝5，故选：C．11．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD＝5，连接BF并延长交AD于G，∵AD∥BC，∴∠GAC＝∠BCA，∵F是AC的中点，∴AF＝CF，∵∠AFG＝∠CFB，∴△AFG≌△CFB（AAS），∴BF＝FG，AG＝BC＝3，∴DG＝5﹣3＝2，∵E是BD的中点，∴EF＝DG＝1．故选：A．12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（）A．2B．5 C．4D．10解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE＝BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF＝HF，∴DF＝AH，∵△DFE的面积为1，∴DE•DF＝1，∴DE•DF＝2，∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，∴AB•AC＝8，∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE＝AC，∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），∴AC＝4，∴BC＝＝2．故选：A．二．填空题13．如图，已知线段AB，将线段AB沿某个方向平移4个单位得到线段DC，其中点D是A的对应点，且点D不在直线AB上．连接AC，BD交于点O，若E是CD中点，则OE的长度值是．解：如图，连接AD，BC，根据平移的性质知：AD＝4，AB＝CD且AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，∴O点是AC的中点，∵E是CD中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE＝AD＝2．故答案是：2．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝4，则DN＝．解：连接CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝2，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴MN＝BC，MN∥BC，∵CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形NDCM是平行四边形，∴DN＝CM＝2，故答案为：2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、AD的中点．若AB＝6，则EF的长度为．解：在Rt△ABC中，D为AB的中点，∴CD＝AB＝3，∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF＝CD＝，故答案为：．16．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的面积是．解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC＝2DE＝5，∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝×5×12＝30，∵D是AB的中点，∴△ACD的面积＝△ABC的面积×＝15．故答案为：15．17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线．①点M是边BC中点，则DM＝；②探究：点M是边BC上一点，BM＝3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN、ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．解：（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，∴2AC2＝BC2＝202，∴AC＝10，∵D，M分别是AB，BC的中点，∴DM＝AC＝5；（2）如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′＝90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′＝90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5，∴＝，∴＝，∴DO′＝；当∠MON＝90°时，∵△DOE∽△EFM，∴＝，∵EM＝＝13，∴DO＝，故答案为：或．三．解答题18．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．证明：连接EH，GH，GF，∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为其对角线，∴EG、HF互相平分．19．如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，求点P的坐标．解：∵A（0，8）B（4，0），∴AB＝4，∵点M，N分别是OA，OB的中点，∴MN∥AB，MN＝OB＝2，OM＝4，∴点P的纵坐标为4，∵△ABP是直角三角形，∴∠APB＝90°或∠ABP＝90°，①当∠APB＝90°时，则PN＝AB＝2，∴PM＝2+2，∴P（2+2，4），②当∠ABP＝90°时，过点P作PC⊥x轴于C，则四边形MOCP是矩形，过P作PC⊥x轴于C，则△ABO∽△BPC，∴＝＝1，∴BP＝AB＝4，∴PC＝OB＝4，∴BC＝8，∴PM＝OC＝4+8＝12，∴P（12，4），综上可得点P的坐标为（2+2，4）或（12，4）．20．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E 是AB的中点，连结EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为3，求△AEF的面积．解：（1）∵DC＝AC，CF平行∠ACD，∴F是AD的中点，又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BC；（2）∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BC，EF：BD＝1：2，如图，连接DE，则S△DEF：S△DEB＝1：2，又∵四边形BDFE的面积为3，∴S△DEF＝1，又∵F是AD的中点，∴S△DEF＝S△AEF＝1．21．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．解：（1）∵AD是高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，E是AB的中点，∴DE＝AB＝3，AE＝AB＝3，同理可得，AF＝DF＝AC＝2，∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；（2）EF垂直平分AD，理由如下：∵EA＝ED，FA＝FD，∴EF是AD的垂直平分线．22．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．（1）若EF＝5cm，则AB＝cm；若BC＝9cm，则DE＝cm；（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．解：（1）∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EF＝AB．又EF＝5cm，∴AB＝10cm．同理，DE＝BC＝4.5cm；故答案是：10、4.5（2）互相平分，理由：如图，连接DF，∵AD＝EF，AD∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形，∴中线AF与DE的关系是互相平分．23．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵BE是∠B的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB＝AB，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）由（1）得，DE＝BC＝5，DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1；（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF＝（BC﹣AB）；当点F在线段DE的延长线上时，EF＝（AB﹣BC）．。
三角形的中位线习题归类(绝对经典,绝对震撼)
三角形的中位线习题归类一、 直接应用1． 如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．2．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点 所围成的三角形的周长是_________cm ．3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角 边中点的线段长为_______．4．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为_______．5．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE的长为10m ，则A ，B 间的距离为_______．6.已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形， •再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推， 第2010个三角形的周长是（ ）A 、20081B 、20091C 、220081D 、220091 7．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6， AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．408.如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．9.如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．10.如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．11.已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．12.如图，△ABC 中，AD=41AB ，AE=41AC ，BC=16.求DE 的长.(角平分线的垂线必有等腰三角形)13.如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=10，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．14.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点.求证：（1）DE ∥AB ； （2）DE=21（AB+AC ）如图17，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M . 求证：MN ∥BC .B G A E F H D C二、中点寻线，线组形（多个中点）1.如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点 ，G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．证明四边形EGFH 是平行四边形；2.如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点。
三角形中位线定理 - 专题突破
三角形中位线定理 - 专题突破一、填空与选择题：1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于___________．2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．4．如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定5.若顺次连接四边各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（）．A、等腰梯形B、对角线相等的四边形C、平行四边形D、对角线互相垂直的四边形6.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（）A、菱形B、对角线互相垂直的四边形C、矩形D、对角线相等的四边形二、解答题1．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．(2)如果四边形EFGH是正方形，需要添加的条件是_______________2．已知：如图，在△ABC 中，CF 平分∠ACB ，CA=CD ，AE=EB ．求证：EF=12BD ．3.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
专题07 三角形中的中位线与中垂线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题07三角形中的中位线与中垂线模型【模型1】三角形中位线如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 的中点，根据三角形中位线的性质，可得BC DE BC DE 21,//=且,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得ABC ADE S S ∆∆=41。
【模型2】梯形中位线如图，已知CD AB //，E、F 分别为梯形两腰AD、BC 的中点，根据梯形中位线的性质，可得)(21,////CD AB EF EF CD AB +=且,【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法如图，在ABC ∆中，已知点D 为AB 的中点，通常情况下，过点D 作BC DE //，可知DE 为ABC ∆的中位线。
【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法如图，在ABC ∆中，已知点D 为AB 的中点，通常情况下，过点D 作BC DE //，可知BC 为ADE ∆的中位线。
【模型3】中垂线模型如图，已知直线l 是AB 的垂直平分线，点A 是直线l 上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。
【例1】已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．【答案】1DG =【分析】延长CG 交AB 于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG ，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC ），从而得出DG 的长．【解析】解：延长CG 交AB 于点E ．AG 平分BAC ∠，CG AG ⊥于G ，CG EG ∴=，4AE AC ==，2BE AB AC ∴=-=，∵CG EG =，D 为BC 的中点，112DG BE ∴==．故答案为1DG =.【例2】如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，点E 、F 分别为边BC 、DC 的中点，连接EF ，求证：EF ．【答案】见解析【分析】连接AC 、BD ，交于点O ，根据三角形的中位线定理知EF BO =，在菱形ABCD中，60ABC ∠=︒，易知60BCO ∠=︒，解直角三角形OBC 知2BC ,从而得证．【解析】证明：如图，连接AC 、BD ，交于点O ，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，12EF BD BO ∴==，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AC BD ∴⊥，30CBD ∠=︒，60BCO ∴∠=︒，sin 60222BO BC BC BE ∴=⋅︒==⋅=，EF ∴=．【例3】已知：如图，在△ABC 中，D 在边AB 上．（1）若∠ACD =∠ABC ，求证：AC 2=AD·AB ；（2）若E 为CD 中点，∠ACD =∠ABE ，AB =3，AC=2，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】(1)利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解；(2)过C 作CF ∥EB 交AB 的延长线于F ，转化成(1)中的相似关系，列比例式，代入AB 和AC 的值即可求解．【解析】(1)在ABC 和ACD △中，ACD ABC ∠=∠，∠A=∠A ，∴ABC ∽ACD △，∴AD AC AC AB=，∴2AC AD AB =⋅；(2)过C 作CF ∥BE 交AB 的延长线于F ，由于E 为CD 中点，∴BF=BD ，∠F=∠ABE ，∵ACD ABE ∠=∠，∴ACD F ∠=∠，∠A=∠A ，∴AFC △∽ACD △，∴AC AF AD AC=，∴2AC AD AF =⋅，∵2AC =，3AB =，则3AD BD =-，3AF AB BF BD =+=+，∴22(3)(3)BD BD =-+，解得：一、单选题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC 边的中点，1OE =，则AB 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证明点O 为AC 的中点，而点E 是BC 边的中点，可证OE 为△ABC 的中位线，利用中位线定理解题即可．【解析】解：由平行四边形的性质可知AO =OC ，而E 为BC 的中点，即BE =EC ，∴OE 为△ABC 的中位线，OE =12AB ，由OE =1，得AB =2．故选B ．2．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE =2cm ，则AB 的长为（）A ．4cmB ．8cmC ．2cmD ．6cm【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，得到OA =OC ，结合EC =EB ，得到OE 是△ABC 的中位线，根据中位线定理，得到AB =2OE 计算选择即可．【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA =OC ，因为EC =EB ，所以OE 是△ABC 的中位线，所以AB =2OE ，因为OE =2，所以AB =4(cm)．故选A ．3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，若DE =4，则BC 等于（）A ．2B ．4C ．8D ．10【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解析】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，DE =4，∴BC =2DE =2×4=8，故选：C ．4．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，AE 平分BAD ∠交BC 于点.E 点F ，G 分别是AD ，AE 的中点，则FG 的长为（）A ．32B 10C ．4D ．5【答案】B 【分析】由AE 平分∠BAD 得∠BAE =∠DAE ，根据矩形ABCD 可得△ABE 是等腰直角三角形，所以BE =AB =6，从而可求EC =2，连接DE ，由勾股定理得DE 的长，再根据三角形中位线定理可求FG 的长．【解析】解：连接DE ，如图所示：四边形ABCD 是矩形，90BAD B C ∴∠=∠=∠=︒，6AB CD ==，8AD BC ==，AD ∥BC ，DAE AEB ∴∠=∠，AE ∵平分BAD ∠，45DAE BAE ∴∠=∠=︒，BAE AEB ∴∠=∠，6AB BE ∴==，2EC BC BE ∴=-=，222226210DE CE CD ∴=++=，点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，FG ∴是ADE 的中位线，1102FG DE ∴==；故选：B ．二、填空题5．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 延长线上的一点，AD ＝24，点E 是BC 上一点，BE ＝10，连接DE ，M 、N 分别是AB 、DE 的中点，则MN ＝____．【答案】13【分析】连接BD ，取BD 的中点F ，连接MF 、NF ，由中位线定理可得NF 、MF 的长度，再根据勾股定理求出MN 的长度即可．【解析】连接BD ，取BD 的中点F ，连接MF 、NF ，如图所示∵M 、N 、F 分别是AB 、DE 、BD 的中点∴NF 、MF 分别是△BDE 、△ABD 的中位线∴11//,//,5,1222NF BE MF AD NF BE MF AD ====∵90ACB ∠=︒∴AD BC⊥∵//MF AD∴MF BC⊥∵//NF BE∴NF MF⊥在Rt MNF △中，由勾股定理得13MN ===故答案为：13．6．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC 的度数为________．【答案】135°【分析】连接BD ，根据三角形中位线定理得到EF ∥BD ，BD ＝2EF ＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC ＝90°，计算即可．【解析】解：连接BD ，∵E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，EF ＝2，∴EF ∥BD ，BD ＝2EF ＝4，∴∠ADB ＝∠AFE ＝45°，又∵BC ＝5，CD ＝3，∴BD 2+CD 2＝25，BC 2＝25，∴BD 2+CD 2＝BC 2，∴∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝135°，故答案为：135°．7．梯形ABCD 中，AB CD ，点E ，F ，G 分别是BD ，AC ，DC 的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG 的周长是______________．【答案】92【分析】连接AE ，并延长交CD 于K ，利用“AAS”证得△AEB ≌△KED ，得到DK=AB ，可知EF ，EG 、FG 分别为△AKC 、△BDC 和△ACD 的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG ，可求得答案．【解析】连接AE ，并延长交CD 于K ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE=∠DKE ，∠ABD=∠EDK ，∵点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．∴BE=DE ，在△AEB 和△KED 中，BAE DKE ABD EDK BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△KED （AAS ），∴DK=AB ，AE=EK ，EF 为△ACK 的中位线，∴EF=12CK=12(DC-DK)=12(DC-AB)，∵EG 为△BCD 的中位线，∴EG=12BC ，又FG 为△ACD 的中位线，∴FG=12AD ，∴EG+GF=12(AD+BC)，∵两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3，∴EG+GF=3，FE=32，∴△EFG 的周长是3+32=92．故答案为：92．8．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，点F 分别是边BC ，边CD 上的动点，且BE ＝CF ，AE 与BF 相交于点P ．若点M 为边BC 的中点，点N 为边CD 上任意一点，则MN +PN 的最小值等于_____．101-【分析】作M 关于CD 的对称点Q ，取AB 的中点H ，连接PQ 与CD 交于点N'，连接PH ，HQ ，当H 、P 、N'、Q 四点共线时，MN+NP ＝PQ 的值最小，根据勾股定理HQ ，再证明△ABE ≌△BCF ，进而得△APB 为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH ，进而求得PQ ．【解析】解：作M 关于CD 的对称点Q ，取AB 的中点H ，连接PQ 与CD 交于点N '，连接PH ，HQ ，则MN '＝QN '，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠AEB ＝∠BFC ，∵AB ∥CD ，∴∠ABP ＝∠BFC ＝∠AEB ，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠BAE +∠ABP ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴PH ＝112AB =，∵M 点是BC 的中点，∴BM ＝MC ＝CQ ＝112BC =，∵PH+PQ≥HQ，∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ==的值最小，∴PQ1，此时，若N与N'重合时，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ1-的值最小，1-．9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP BC的长为_______．【答案】4【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=12AD=12BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=12FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【解析】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位线，又∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC为等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x，∵EM∥BF，∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，则△BFP≌△MEP（ASA），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ，∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．10．如图，梯形ABCD 中，90D ∠=︒，AB CD ，将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD 延长线上的点E 处．联结AE 、BE ，设BE 与边AD 交于点F ，如果4AB =，且12AEF ABF S S =△△，那么梯形ABCD 的中位线等于______．【答案】8【分析】由根据三角形的面积公式，由12AEF ABF S S =△△得12DE AB =，进而求得DE =2，从而求得底边EC 的长，于是可求得CD 的长，进而求得梯形ABCD 的中位线．【解析】解：过点B 作BM ⊥CE 于点M，如下图，∵AB CD ，90D ∠=︒，∴∠ADC =180°-∠A =180°-90°=90°，∵12AEF ABF S S =△△，∴122121AEF ABF DE AF DE AB AF AB S S === △△，∵4AB =，∴DE =2，∵BM ⊥CE ，∴∠BMD =90°，∴四边形ABMD 是矩形，∴DM =AB =4，∴EM =2+4=6，∵将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD 延长线上的点E 处，∴BE =BC ，∵BM ⊥CE ，∴EC =2EM =12，∴CD =12-2=10，∴梯形ABCD 的中位线为：()14+10=72⨯，故答案为：8．11．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．下列结论正确的是__________．（填序号）①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③EA 平分GEF ∠；④FB 平分EFG Ð；⑤四边形BEFG 是菱形．【答案】①②③【分析】由中点的性质可得出EF CD ，且12EF CD BG ==，结合平行即可证得②结论成立，由2BD AD =2BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且12GP BE =，2AO EO =，通过证APG EPG ≌D D 得出AG EG EF ==得出①成立，再证GPE FPE D @D 得出④成立，此题得解．【解析】解：令GF 和AC 的交点为点P，如图E 、F 分别是OC 、OD 的中点，EF CD ∴ ，且12EF CD =，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且AB CD =，AB EF∴FEG BGE \Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），点G 为AB 的中点，1122BG AB CD FE \===，在EFG ∆和GBE ∆中，BG FE FEG BGE GE EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFG GBE SAS \D @D ，即②成立，EGF GEB\Ð=Ð，FE BG =，GF BE ∥\（内错角相等，两直线平行），2BD BC = ，点O 为平行四边形对角线交点，12BO BD BC \==，E 为OC 中点，BE OC ∴⊥，∴∠BEA =90︒，∵GF BE ∥，∴∠APG =∠BEA =90︒，GP AC \^，∵G 为AB 中点，∴1122GE AB CD EF ===，即①正确；∵GE =EF ，GP AC ⊥，∴EA 平分GEF ∠即③正确；另外，无法判断FB 平分EFG Ð和四边形BEFG 是菱形成立，故④⑤错误；综上所述，正确的有①②③，故答案为：①②③．12．如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF =2，CF =6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，BF =DF ，则△ADE 的面积为_____．【答案】【分析】根据折叠的性质、平行线的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的判定和性质和30°直角三角形的性质求解即可．【解析】解：∵纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ．∴AD =DF ，AE =EF ．∵DE ∥BC ，∴DE 为 ABC 的中位线．∴DE =12BC =12(BF +CF )=12×(2+6)=4．∵BF =DF ，∴ BDF 为等边三角形．∴∠B =60°．在Rt AFB 中，∠BAF =30°，BF =2，∴AF∴四边形ADFE 的面积=12×DE ×AF =12∴ ADE 的面积=12故答案为：三、解答题13．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：AHF BGF ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】连接BD ，取BD 的中点，连接EP ，FP ，根据三角形中位线定理即可得到PF=12AD ，PF ∥AD ，EP=12BC ，EP ∥BC ，进而得出∠AHF=∠BGF ．【解析】解：如图所示，连接BD ，取BD 的中点，连接EP ，FP ，∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴EP 是△BCD 的中位线，PF 是△ABD 的中位线，∴PF=12AD ，PF ∥AD ，EP=12BC ，EP ∥BC ，∴∠H=∠PFE ，∠BGF=∠FEP ，又∵AD=BC ，∴PE=PF ，∴∠PEF=∠PFE ，∴∠AHF=∠BGF ．14．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE =.【答案】见解析【分析】可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=12 AB，又由AD=12AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=12BC．所以DE=2BC.【解析】证明：取BC的中点F，连EF，AF，∵点E、F分别为边BC，AC的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=12 AB，即EF∥AD，∵AD=12 AB，∴EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形；∴AF=DE.∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，∴AF=12 BC，∵四边形AFED是平行四边形，∴BC=2DE.15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE=4cm，∠A=45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）【答案】菱形ABCD 的面积是22.7cm²，梯形DEBC 的中位线长是3.7cm ．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =DC =AB ，∵DE ⊥AB ，∴∠AED =90°，∵∠A =45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴AE =DE =4，由勾股定理得，224442AD +=∴AB =42，∴菱形ABCD 的面积为DE ×AB =4×422，∵BE =42-4，CD =AD =42∴梯形DEBC 的中位线长（42-4+42÷2=42．答：菱形ABCD 的面积是22.7cm²，梯形DEBC 的中位线长是3.7cm ．16．如图，已知在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，OE 是△ABC 的中位线，连接AE 并延长，与DC 的延长线相交于点F ，且AF =AD ，连接BF .证明四边形ABFC 为矩形【答案】证明见解析【分析】先通过平行四边形及中位线的性质证明△ABE ≌△FCE ，从而得到四边形ABFC 为平行四边形，再结合等腰三角形的三线合一证明∠ACF =90°即可得到答案．【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ∥，AB =CD∴∠ABE ＝∠FCE ．∵OE 是△ABC 的中位线∴BE =CE在△ABE 和△FCE 中，ABE FCE BE CE BEA CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△FCE (ASA )∴AB =CF∴四边形ABFC 为平行四边形∴CF =CD又∵AF =AD∴∠ACF =90°∴四边形ABFC 为矩形17．已知：如图，在等边ABC ∆中，060ADE ∠=，且DE 交ABC ∆外角平分线CE 于点E.（1）当点D 为BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系；（2）当点D 不是BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系.【答案】（1）AD DE =，见解析.（2）AD DE =，见解析.【分析】（1）AD=DE ．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF 是等边三角形，再证明△AFD ≌△DCE 即可得到结论；（2）AD=DE ．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF 是等边三角形，再证明△AFD ≌△DCE 即可得到结论；【解析】（1）结论：AD=DE ，理由如下：如图:过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．又∵DF ∥AC ，∴∠BDF=∠ACB=60°，∴△BDF 是等边三角形，∴DF=BD ，∠BFD=60°，∵BD=CD ，∴DF=CD∴∠AFD=120°．∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ADF=∠EDC=30°，在△AFD 与△EDC 中，AFD DCE DF CD ADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AFD ≌△DCE （ASA ），∴AD=DE ；（2）结论：AD=DE ；理由如下：如图2，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，又∵DF ∥AC ，∴∠BDF=∠ACB=60°，∴△BDF 是等边三角形，∴BF=BD ，∠BFD=60°，∴AF=CD ，∠AFD=120°，∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ，∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD ，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC ，∴∠FAD=∠EDC ，在△AFD 和△DCE 中，DAF EDC AF CD AFD DCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AFD ≌△DCE （ASA ），∴AD=DE.18．ABC 中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将ABC 绕点A 顺时针旋转n°得到AEF ，E 与B 是对应点，如图1．（1）延长BC 、EF ，交于点K ，求证：∠BKE=n°；（2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA 的面积；（3）如图3．当n=150时，取BE 的中点P 和CF 的中点Q ，直接写出2PQ的值．【答案】（1）见解析；（2）12+（3）8-【分析】（1）根据旋转的性质可得AEF B ∠=∠，利用三角形的外角性质可得BKE KPA AEF ∠=∠-∠，从而得到BKE BAE n ∠=∠=︒；（2）连CF ，作FH AC ⊥于H ，根据条件得到ACF ∆是等边三角形，则90EFC ∠=︒，从而根据CEF ACF CEFA S S S ∆∆=+四边形计算即可；（3）取CE 中点G ，连接PG ，QG ，构造△GPQ 为等腰三角形，并结合中位线定理以及旋转的性质求解∠PGQ=30°，再作CN ⊥FA 于N 点，结合旋转的性质求解出sin15︒=最后在△GPQ 中运用“三线合一”的性质求解出PQ 的长度得出结论．【解析】（1）设CK 、AE 交于点P ，AEF ∆ 是ABC ∆旋转所得，AEF ABC ∴∆≅∆，AEF B ∠∠∴=，BKE KPA AEF ∠=∠-∠ ，BAE KPA B ∠=∠-∠，BKE BAE n ∴∠=∠=︒；（2）连CF ，作FH AC ⊥于H ，AEF ABC ∆≅∆ ，4EF BC ∴==，6AF AC ==，150AFE ACB ∠=∠=︒，ACF ∴∆是等边三角形，60AFC ∴∠=︒，1506090EFC AFE AFC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，11641222CEF S CF EF ∆∴=⋅=⨯⨯=，132AH AC == ，FH ===11622ACF S AC FH ∆∴=⋅=⨯⨯=12CEF ACF CEFA S S S ∆∆∴=+=+四边形（3）如图，取CE 中点G ，连接PG ，QG ，则PG ，QG 为△BCE 和△FCE 的中位线，∴122PG BC ==，122QG EF ==，△GPQ 为等腰三角形，根据中位线定理可得：∠BCE=∠PGE ，∠CEF=∠CGQ ，∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC ，∴在四边形ABCE 中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，作CN ⊥FA 于N 点，根据旋转可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，∴∠CAN=30°，在Rt △CAN 中，AC=6，∠CAN=30°，∴CN=3，AN =∴NF=AN+AF=6+由勾股定理得：FC ==∴4CN sin CFN CF ∠==，即：sin15︒=此时，作GM ⊥PQ ，则根据“三线合一”知GM 平分∠PGQ ，∠MGQ=15°，PM=QM ，∴15242MQ GQ sin =︒=⨯= ，∴2PQ MQ ==∴228PQ ==-19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是线段AB 延长线上一动点，连结CE ．（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．①求证：CF=CE；②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．AF；（3）1【答案】（1（2）BM=2【分析】（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论；（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论．（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=1PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可2得出结论．【解析】（1）解：①证明：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°．∵CF⊥CE，∠FCE=90°，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE（ASA），∴CE=CF．②∵△DCF≌△BCE，∴DF=BE=m，∴AF=4-m，AE=4+m，由四边形ABCD是正方形得∠A=90°，∴EF（2）解：在直线AB上取一点G，使BG=BE．∵M为EF的中点，∴FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，∴AF=AG．∵∠A=90°，∴FG AF，∴2BM，∴BM AF．（3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR．∵Q为AP的中点，∴BQ=12 PR．∵CP=2，CR2244+42PR≥CR-CP=22，∴BQ的最小值为221．。
三角形的中位线 专题练习题 含答案
三角形的中位线专题练习题1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB 的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是()A．18米B．24米C．28米D．30米2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C 的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为____．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是____cm.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)若DE＝10 cm，则AB＝____cm；(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？证明你的猜想．7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；(2)请证明你的结论．8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若DE＝2，则EB＝____．11．如图，△ABC 的周长是1，连接△ABC 三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2017个三角形的周长为________．12．如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．13．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3.(1)求证：BN ＝DN ；(2)求△ABC 的周长．14．如图，在▱ABCD 中，AE ＝BF ，AF ，BE 相交于点G ，CE ，DF 相交于点H.求证：GH ∥BC且GH ＝12BC.15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点G.求证：GF ＝GC.方法技能：1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．易错提示：对三角形中位线的意义理解不透彻而出错答案：1. C2. C3. A4. 55. 86. (1) 20(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝12AB，AF＝12AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形8. D9. C10. 211.1 2201612. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝12BD，EH∥BD，同理可证FG＝12BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝4114. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝12BC15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝12AB.在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝12DC＝12AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC。
第九章+单元专题复习--三角形中位线复习(1)+课件-2023-2024学年苏科版数学八年级下册
一、三角形中位线的定义及性质
【问题1】 什么是三角形的中位线？三角形有几条中位线？
【问题2】 三角形的中位线性质是什么？
符号语言：
数学化认识
定义：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的
A
中位线.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于
2
第三边的一半．
1
符号语言：
的四边形呢？
C
感悟新知
例 2 如图 9.5-1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，点E是边 AD的中点，点F在对角线 AC上，且
AF=
AC，连接EF．
若AC=10，则EF=________．
感悟新知
例 2 如图 9.5-1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，点E是边 AD的中点，点F在对角线 AC上，且
E
C
例题讲解
例1 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分
别是四边中点，线段EH和 FG有怎样的关系？为
什么？
A
【追问1】你能用同样的方法判断EF与GH的关系吗？
H D
E
B
G
F
【追问2】四边形EFGH是什么四边形？请说明你的理由
【追问3】若四边形ABCD中AC与BD相等，四边形EFGH又会是怎样
AF=
AC，连接EF．
若AC=10，则EF=________．
解题秘方：紧扣矩形的性质和三
角形中位线定理求解 .
感悟新知
知1－练
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ BD=AC=10，OA=
∵ AF=
中考数学总复习《三角形中位线综合》专题训练(附答案)
中考数学总复习《图形的旋转综合题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.2．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．l l l，正方形1234且垂直于于点Ｅ，分别交24,l l于点F，G，1,2===．EF DG DF（1）AE=____，正方形ABCD的边长＝____；（2）如图2，将AEG∠绕点A顺时针旋转得到AE D∠''，旋转角为(090)αα<<，点D'在直线3l'''，使点,B C''分别在直线24,l l上．上，以AD'为边在的E D''左侧作菱形AD C B①写出B AD∠''与α的函数关系并给出证明；'''的边长．②若α=30°，求菱形AD C B5．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．6．(1)如图1，在△ABC中BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=1∠ABC(0°＜∠CBE2（2）类比引申如图2，四边形ABCD中AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．8．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．9．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，当ABC的三个内角均小于''，连接如图1，将得到A P C已知当ABC有一个内角大于或等于≥︒，则该三角形的“费马点”为120如图4，在ABC中三个内角均小于为ABC的“费马点”，求PA PB+参考答案：1．解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE∴∠DCE=60°，DC=EC∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时由旋转的性质得，BE=AD∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE由（1）知，△CDE是等边三角形∴DE=CD∴C△DBE=CD+4由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小此时，CD=23cm∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形∴当点D与点B重合时，不符合题意②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=∠CBE-∠ABC=∠CAD-∠ABC=60°，∠BDE＜60°∴∠BED=90°由（1）可知，△CDE是等边三角形∴∠DEC=60°∴∠CEB=30°∵∠CEB=∠CDA∴∠CDA=30°∵∠CAB=60°∴∠ACD=∠ADC=30°∴DA=CA=4∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=∠CBE+∠ABC=∠CAD+∠ABC=120°＞90°∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=180°-∠CBE-∠ABC=180°-∠CAB-∠ABC=60°又由（1）知∠CDE=60°∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC而∠BDC＞0°∴∠BDE＞60°∴只能∠BDE=90°∴∠BDC=30°∴∠BCD=60°-30°=30°∴∠BDC=∠BCD∴BD=BC=4∴OD=14cm∴t=14÷1=14s综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．2．（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点∴CO=AO=BO，∠CBO=60°∴△CBO是等边三角形∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°∴∠CHP=∠CPH=60°∴△CPH是等边三角形∴PC=PH=CH，∴OH=PB∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP∵∠OPQ=∠OCP=60°∴∠POH=∠QPB∵PO=PQ∴△POH≌△QPB∴PH=QB∴PC=BQ．（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．在Rt△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点∴CO=AO=BO，∠CBO=60°∴△CBO是等边三角形∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°∴∠CHP=∠CPH=60°∴△CPH是等边三角形∴PC=PH=CH3．（1）如图1将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′∴△ABP′≌△CBP∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3在Rt△PBP′中BP=BP′=2∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22∵AP=1∴AP2+PP′2=1+8=9∵AP′2=32=9∴AP2+PP′2=AP′2∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′在Rt△AED′和Rt△B′MA 中'''B M AE AB AD =⎧⎨=⎩ ∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL ）∴∠D′AE+∠B′AM=90°∠B′AD′+α=90°∴∠B′AD′=90°﹣α；②过点E 作ON 垂直于l 1分别交l 1，l 2于点O ，N若α=30°，则∠ED′N=60°，AE=1，故EO=，EN=，ED′=533由勾股定理可知菱形的边长为：2584133+=．5．解：（1）如图1，延长ED 交AG 于点H∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点∴OA =OD ，OA ⊥OD∵OG =OE在△AOG 和△DOE 中同理可求∠BOG′=30°∴α=180°−30°=150°．综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．②如图3，当旋转到A．O、F′在一条直线上时，AF′的长最大∵正方形ABCD的边长为1∴OA=OD=OC=OB=22∵OG=2OD∴OG′=OG=2∴OF′=2∴AF′=AO+OF′=22+2∵∠COE′=45°∴此时α=315°．6．解：（1）∵△BE′A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC．∵∠DBE=12∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =12∠ABC．∴∠ABD＋∠E′BA =12∠ABC，即∠E′BD=12∠ABC．∴∠E′BD=∠DBE．在△E′BD和△EBD中∵BE′=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD ∴△E′BD≌△EBD（SAS）．∴DE′=DE．（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE′A（点C与点A 重合，点E到点E′处），连接DE′．由（1）知DE′=DE．由旋转的性质，知E′A=EC，∠E′ AB=∠ECB．又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°．∴∠E′AD=∠E′AB＋∠BAC=90°．在Rt△DE′A中DE′2=AD2+E′A2∴DE2=AD2+EC2．7．解：（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1∵∠ADC=∠B=90°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF 即∠EAF=∠FAG在△EAF和△GAF中AE AG{EAF FAGAF AF=∠=∠=∴△AFG≌△AEF（SAS）．∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；故答案为：SAS；△AFG；（2）类比引申∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：∵AB=AD∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：∴∠BAE=∠DAG，BE=DG∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=45°∴∠EAF=∠FAG∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线在△AFE和△AFG中,,AE AG FAE FAGAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE≌△AFG（SAS ）∴EF=FG∵FG=DG+DF∴EF=BE+DF故答案为：∠B+∠ADC=180°；（3）联想拓展猜想：DE 2=BD 2+EC 2．理由如下：把△ACE 绕点A 逆时针旋转90°到ABF 的位置，连接DF ，如图3所示：则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°∴∠FAB=∠CAE．BF=CE ，∠ABF=∠C∴∠FAE=∠BAC=90°∵∠DAE=45°∴∠FAD=90°-45°=45°∴∠FAD=∠DAE=45°在△ADF 和△ADE 中,AF AE FAD DAE ADAD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF≌△ADE（SAS ）∴DF=DE∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠C=45°∴∠C=∠ABF=45°∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°∴△BDF 是直角三角形∴BD 2+BF 2=DF 2∴BD 2+EC 2=DE 2．8．（1）证明：如图1∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M 为DE 的中点，∴DM=EM．在△ADM 和△NEM 中∵MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△NEM（AAS ）． ∴AM=MN．∴M 为AN 的中点．（2）证明：如图2∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明如下：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN 为等腰直角三角形．9．（1）解：∵60PC P C PCP ''=∠=︒，∴PCP '△为等边三角形；∴PP PC '= 60P PC PP C ''∠=∠=︒又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥由两点之间线段最短可知，当B ，P ，P ' A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值 最小值为A B '，此时的P 点为该三角形的“费马点”∴180BPC P PC '∠+∠=︒ 180A P C PP C ∠+∠='''︒∴120BPC ∠=︒ 120A P C ''∠=︒又∵A P C APC ≅''∴120APC AP C '∠=∠=︒∴360120APB APC BPC ∠=︒-∠-∠=︒∴120APC BPC APB ∠=∠=∠=︒；∵120BAC ∠≥︒∴BC AC > BC AB >∴BC AB AC AB +>+ BC AC AB AC +>+∴三个顶点中顶点A 到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120︒；④A ．（2）将APC △绕，点C 顺时针旋转60︒得到A P C ''，连接PP '2(PA a PB a PC a a PA ++=最小时，总的铺设成本最低 顺时针旋转90︒得到A P C ''，连接PC 90PCP ACA ''∠=∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H∵60ACB ∠=︒ 90ACA '∠=︒∴30A CH '∠=︒∴12km 2A H A C ''==∴22224223(km)HC AC AH =-=-= ∴2323=43(km)BH BC CH =+=+∴2222(43)2213(km)A B AH BH '=+=+= 2PA PB PC ++的最小值为213km 总的铺设成本2(2)=213PA a PB a PC a a PA PB PC a =++=++（元） 故答案为：213a。
专题15 三角形的中位线（含答案）
专题15 三角形的中位线知识解读三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：（1）位置关系，三角形的中位线平行于第三边；（2）数量关系，三角形的中位线等于第三边长的一半。
位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系。
培优学案典例示范一、中位线反映了线段间的平行和数量关系1．如图4-15-1，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）图4-15-1A．2B．3C．52D．4【提示】由于D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定6理可知DE∥AB，所以∠BFD=∠ABF；又由于BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，就可证得△BDF为等腰三角形，要求DF 的长，只需求BD的长即可．【技巧点评】当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本题是采用中位线来证明两直线平行．跟踪训练1．如图4-15-2，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11图4-15-2 2．如图4-15-3，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．图4-15-3【提示】点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB=2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明△ABFQ△ECF，利用全等三角形对应边相等来证明.【解答】【技巧点评】由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理．跟踪训练2．如图4-15-4，平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM 相交于点Q．试说明PQ与MN互相平分．图4-15-4二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线例3如图4-15-5，已知M、N、P、Q分别是线段AB、BD、CD、AC的中点，四边形MNPQ是平行四边形吗？为什么？【提示】点P、点N分别是CD，BD的中点，很显然PN是△BCD的中位线，所以考虑连接BC，将△BCD补全，然后运用中位线定理解决问题．【解答】图4-15-5 【技巧点评】当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线．跟踪训练3．如图4-15-6，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，EG、FH的延长线相交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】图4-15-6三、由一个中点构造中位线解决问题例4如图4-15-7，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）图4-15-7A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．12＜MN52＜D．12＜MN52【提示】M，N虽然是AD，BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD，取BD的中点G，线段GM和GN可以看成△ABD和△BCD的中位线，利用中位线可求得GM、GN的长分别为1和1.5.在△GMN中利用三角形两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边可求得MN的范围．【技巧点评】当图形中出现中点的时候，就可能应用中位线知识解决问题，如果没有中位线，应考虑构造中位线解决问题．跟踪训练4．如图4-15-8所示．D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP＝AQ．【解答】图4-15-8拓展延伸例5 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图4-15-9①，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图4-15-9②，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．图4-15-9【提示】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠ECF=∠GFH=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．【解答】跟踪训练5.如图4-15-10，D 是△ABC 中AB 边上的中点，△ACE 和△BCF 分别是以AC ，BC 为斜边的等腰直角三角形，连接DE ，DF.求证：DE=DF.【解答】EABFCD图4-15-10竞赛链接例6（武汉竞赛试题）如图4-15-11，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE ，CF 相交于O ，AGLBE 于G ，AHLCF 于H. （1）求证：GH/∥BC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH 的长度。
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三角形中位线专题
中点处理方案1（利用角平分线与垂直构造中位线）
例1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB的中点
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AC=8，BC=5，求DE的长。
例2.如图，BF是△ABC的角平分线，AM⊥BF于M，CE平分△ABC的外角，AN⊥CE于N。
（1）求证：MN∥BC；
（2）若AB=c，AC=b，BC=a，求MN的长。
中点处理方案2（倍长法构造中位线）
例3. 如图，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，AB 的中垂线交AB 于N ，交EF 于M 。
求证：)(2
1MN AE BF -=
例4. （任家路中学月考）已知：如图，两个直角三角形△ABC 和△BEF ，∠ABC=∠BEF=90°，AB=BC ，BE=EF ，连接AF ，点M 为AF 的中点，连ME 。
（1）如图1，当F 在BC 边上时，求证：CF=2ME ；
（2）如图2，将△BEF 绕顶点B 逆时针转一个角度，当F 在△ABC 内部时，上述结论是否仍然成立?为什么？
（3）如图3，将△BEF 绕顶点B 逆时针旋转一个角度，当F 在△ABC 外部时，过B 作BH ⊥ME 于H ，EH=2，BH=4，ME=5，求四边形CFEB 的面积。
中点处理方案3（寻找中点，产生两次中位线）
例4.四边形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，若AB=5，CD=4，求MN的取值范围。
例5.如图，AD是△ABC的角平分线，AD=AC，BE⊥AD于E。
（1）求证：AB-AC=2DE；（2）求证：AB+AC=2AE。
例6.如图，△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE，CD的中点，连接M、N的直线交AB于P，交AC于Q，求证：AP=AQ。
综合应用
例6. 已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E 在AC 上，EF ⊥AC 交AB 于F ，连接BE ，CF ，M 、N 分别为CF 、BE 的中点。
（1）求CE
MN 的值； （2）将△AEF 绕A 点顺时针旋转45°，则（1）中结论是否仍成立？证明你的结论。
（3）将△AEF 绕A 点顺时针旋转一个锐角，上述结论是否成立，试证明。
例7. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 与点B 在AC 的同侧，∠DAC>∠BAC ，且DA=DC ，过点B 作BE ∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连MD ，ME 。
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD 与ME 的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明结论。