第四章转动参考系
转动参照系
例：一光滑直管中有一质量为 m 的 一光滑直管中有一质量为 小球，直管以匀角速度绕一端旋转。 小球，直管以匀角速度绕一端旋转。 初始条件： 初始条件：小球距转轴为 a, 球相对 于管子的速度为零。分析小球的运 于管子的速度为零。 动规律和受到的约束反作用力。 动规律和受到的约束反作用力。 z
y
ω
N F离 x
& x = Aωeωt − Bωe−ωt
[ 例 ]( 续)
& 初始条件： 当 t = 0 时，x = a, x = 0 初始条件：
A= B = a/ 2
a ω t −ω t 于是得到小球的运动规律： 于是得到小球的运动规律： x = (e + e ) 2 & Nz = −2mωx = −maω2 (eωt − e−ωt )
F科
v v v v & F = −2mω ×v' = 2mω x k 科 v v v v v && = mg + F + F + N mr C 科 离
m&& = mω2 x x m&& = 0 = Ny − mg y & m&& = 0 = 2mω x + Nz z
v v 2v 2 F = mω r = mω x i 离
特殊情况：定轴转动，恒定角速度
v dω ≡0 dt
M
三、 相对 平衡
v v v v v 2 ma' = F + mω R − 2mω × v'
三、相对平衡 质点相对于转动参照系静止不动的问题，
ω R
P
θ
O
v v 即 v' = 0, a' = 0 v v v v v v v v v v & × r − m(ω⋅ r )ω + mω2r − 2mω × v' = 0 ma' = F − mω
四章转动参考系-PPT精选文档
）的瞬时加速度。
牵连加速度vt也可以看成是在该瞬时将P点固结在动参考刚体
上，跟随动参考刚体一起运动时所具有的加速度，即受动参考
刚2体0s‘s的系系拖中中带的的或观观牵察察连者者而只只产能能生观观的测测加到到速v度v和 观和 。无a测a法不区到分 中v 的v 、 v e 、 va 和 、 a vt和 ea c
v
a ( x y y ) i ( y x x ) j ( x y ) d i ( y x ) d j
牵
3、 (y ix j)由 于 平r 板作变角速度转动所引起
连 加
的加速度，切向加速度
速
度
第四章
？ 4、2 ( y i x j ) 2 k 称v 为 科2 里 奥v 利加速度
方向垂直于与 v构成的平面，在平板平面内。
第四章
OP ＝R 时的速度
动点－P
定系－地面OXY
动系－直管oxy
绝对速度 va＝？
相对速度 vr ＝u＝ui 牵连速度 ve ＝(Rω) j
yY
va x
vr P
X
O
P
v a v e v r v e j v r i R j u i
第四章
二、加速度合成公式
牵连速度ve是动参考系（平面转动参考系）上与点P重
合的点(称为牵连点）的瞬时速度。
牵连速度ve也可以看成是在该瞬时将P点固结在
动参考刚体上，跟随动参考刚体一起运动时所具 有的速度，即受动参考刚体的拖带或牵连而产生 的速度。
第四章转动参考系
第四章转动参考系第四章转动参考系第四章思考题为什么在以⾓速度ω转动的参照系中，⼀个⽮量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ?+=*dt d dt d 在什么情况下0=*dtd G在什么情况下0=?G ω⼜在什么情况下0=dtd G式（4.1.2）和式（）都是求单位⽮量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别你能否由式（）推出式（）在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现⾃⼰⾝轻如燕，这是什么缘故惯性离⼼⼒和离⼼⼒有哪些不同的地⽅圆盘以匀⾓速度ω绕竖直轴转动。
离盘⼼为r 的地⽅安装着⼀根竖直管，管中有⼀物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性⼒的作⽤对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有⽆不同为什么⾃⾚道沿⽔平⽅向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发⽣东西偏差如以仰⾓ 40朝北射出，或垂直向上射出，则⼜如何在南半球，傅科摆的振动⾯，沿什么⽅向旋转如把它安装在⾚道上某处，它旋转的周期是多⼤在上⼀章刚体运动学中，我们也常采⽤动坐标系，但为什么不出现科⾥奥利加速度第四章思考题解答.答：⽮量G 的绝对变化率即为相对于静⽌参考系的变化率。
从静⽌参考系观察变⽮量G 随转动系以⾓速度ω相对与静⽌系转动的同时G 本⾝⼜相对于动系运动，所以⽮量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ?+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω?是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ?=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=?G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=?G ω，此时瞬时转轴与G 平⾏，此时动系的转动不引起G 的改变。
当动系作平动或瞬时平动且G 相对动系瞬时静⽌时，则有0=dtd G；若G 随动系转动引起的变化G ω?与相对动系运动的变化dtd G *ω-=dtd 是平⾯转动参考系的单位⽮对时间的微商，表⽰由于动系转动引起j i ,⽅向的变化率。
转动参考系
第四章转动参照系本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④地球自转产生的影响。
第一节平面转动参照系本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。
一、绝对运动、相对运动、牵连运动有定系οξηζ，另一平面以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。
运动质点P相对板运动。
由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。
绝对速度、加速度记为；相对速度、加速度记为V',a'。
二、平动参照系中的速度、加速度1、v和a的计算公式速度：（为牵连速度）加速度：其中，牵连加速度a l为：（转动加速度+向心加速度）科里奥利加速度：2、科里奥利加速度a c①它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。
②它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度中的发生改变，两者各贡献，结果科氏加速度为。
三、平面转动参照系问题解答例关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。
[例1]P263 4.1题等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。
三角形转一周时，P点走过AB。
求P质点在A 点之速度、加速度（已知AB=b）解：（1）相对动系（直角三角形）的速度v r=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向）A点的牵连速度（方向垂直）由V=V r+V e，利用矢量合成法则，得到（2）加速度，因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速牵连加速度，大小，方向沿科氏加速度注意到，所以其大小方向与AB边垂直（见图4.1.1）由，利用矢量合成法则则得到：与斜边的夹角第二节空间转动参照系本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V、加速度a的计算公式。
第四章-转动参考系
转动参考系
§4.1 平面转动参考系
di j d t dj i dt
r xi yj
dr d d e e xi yj dt dt dt
r k xi yj xj yi
r r 2 0
r Acht +Bsht
t 0, r a
2r 2mr R m r 2m asht 2ma 2sht
0 r
r acht
[补充例题4.1]
v vj sin vk cos k
2
d 2 a sin d sin gdcos a
§4.4 地球自转所产生的影响
1. 有关地球运动的几个量
T 86164 s
7.292 10 rad/s 1016 rad/s 2
5
R 6.378 106 m
RSE 1.496 1011 m
2
3. 相对平衡
相对加速度 牵连加速度
科氏加速度
dr d r d a 2 r r 2 dt dt dt
2
a a at aC F mat 0
刚体运 动
[例 ]
u uj k r bi b ut j v b ut i u b j 2 2 a b 2u i b ut j
2 r 2 v
r
2 r r 2 v a a
第四章转动参照系
(4.2.1)
(4.2.2)
(4.2.3)
(4.2.4)
d G dGx dGy dGz i j k ,是 i , j , k 固定不动时的 G 变化率. 式中 dt dt dt dt
*
* dG dG 故 包含两部分:一为观测者在 S 系所观测出来的 G 的变化率 dt dt
(4.2.10)
式中
d 2 at r ( r ) r dt * d r ac 2 2 v dt
(4.2.11)
如质点 P 固着在 S 系上不动,则 v 0 ,故 a 0， ac 0 ,而 a 与 at
其中 又
vM vA AM vr vA R r j , AM r j
rr R
故
R r r
R vr r AM AM R j r
dt dt di dj dk dr yj zk x y z v xi dt dt dt dt y)i ( y x) j (x
（4.1.3）
及y 为 P 对转动参照系 上式中的 x （平板） 诸轴的分速度，
2
2 处可仍按原先 O12 的径向及横向进行投影,因此
vr [v cos t (r vt )sin t ] v [v (r vt )t ] v 2rt
(1)
v [(r vt )cos t v sin t ] r
相等.所以 a t 只和 S 系的转动有关,故称为牵连加速度.它又包括
第四章 空间转动参考系 (302宿舍作品)
（2）三种惯性力 ）
1 2 3
变角速转动惯性力 惯性离心力 科里奥利力
课堂巩固
①变角速转动惯性力
1.表达式：
& − mω × r
2.原因：由于转动参考系作变角速转动所引起的。 由于转动参考系作变角速转动所引起的。 由于转动参考系作变角速转动所引起的
3.特点：如果转动是匀速的，则此项惯性力即为 零。
相对加速度、牵引加速度与科里奥利加速度（ 相对加速度、牵引加速度与科里奥利加速度（二）
由4.2.4式得
dω d ω dω dω = + ω ×ω = + ω ⋅ sin 0 = dt dt dt dt 2 ω × (ω × r ) = ω (ω ⋅ r ) − ω r
* * *
相对加速度、牵引加速度与科里奥利加速度（ 相对加速度、牵引加速度与科里奥利加速度（三）
图1
η
ω
S′
y
j
x
ζ
r
i θ
k
相对速度和牵引速度（ 相对速度和牵引速度（一）
ω矢量在z轴，即ω=ωk 如果p点为平面上运动着的一个质点，则p点的位矢为
r = xi + yj
(4.1.1)
因p和坐标轴都以ω转动由
di di dθ • = ⋅ =θ j dt dθ dt • dj dj dθ = ⋅ = −θ i dt dθ dt
dG dGx dGy dGz di dj dk =( i+ j+ k) + Gx + Gy + Gz dt dt dt dt dt dt dt d∗G = + Gx (ω×i +ω× j +ω×k) （4.2.4） dt d∗G = +ω×(Gxi + Gy j + Gzk) dt d∗G = +ω×G dt
转动参考系
两次积分, 并考虑初始条件, 得
x 0, y 1 gt3 cos , z h 1 gt 2
3
2
消去时间, 得到轨道方程
y2 8 2 cos2 z h3
9g
到达地面
y 1 8h3 cos
力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭.
而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者
冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题
假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有
t 0, x y z 0, x y 0, z h
2 科里奥利力
当物体 (质点) 相对地球运动时, 应同时考虑惯性 离心力和科里奥利力的作用. 由于质点离地轴的距离 的变化不太大, 惯性离心力可以用重力代替. 研究质点 运动只要考虑科里奥利力.
例一质 点在北半球的某点P上以 速度 v' 相对于地球运动, P点的纬
度的 角为 速. 度图中就S沿N是着地该轴轴,.
也可以简写a为
a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
其中
aa'tddd2td**2rt
r
r
d *
dt
r
r
2
r
ac
2
d*r dt
2
v'
理论力学第四章 转动参照系
2 v
j
v
科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z
i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
真实性
质点的相对运动微分方程式
o1 是惯性坐标系(定系)，oxyz 是非惯性坐标系(动系)，
M 为所研究的质点(动点)。
牛顿第二运动定律相对惯性系适用
maa F
引入 Se mae
aa ae ar ac
（牵连惯性力） （科氏惯性力）
mar F mae mac
牵
o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2
x
0
dx xdx x
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡
z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg
理论力学第4章转动参考系
v v r
相对速度 牵连速度
▪ 对于刚体来说，上一章的 公式显然没有第一项 v 。
▪ P 点对静止系的加速度
▪ 科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
▪ 在静止系中的观察者看来, 牵连运动(即 ) 可使相对速度 v 发生改变, 而相对运动 ( 即 v ) 又同时使牵连速度 r 中的 r 发生 改变, 即科里奥利加速度 2 v 是由牵连 运动与相对运动相互影响所产生的. ▪ 其方向垂直于 及 v 所决定的平面并且依右
手螺旋法则定其指向. ▪ 如 与v 者中有一为零, 则此项加速度即为零.
§4.2 空间转动参考系
G Gx i G y j Gz k
di dj dk i , j, k dt dt dt
§4.1 平面转动参考系
▪ 在平板参考系上取坐标系 O xy, 它的原点 和静止坐标系原点 O 重合, O xy绕着通过
O点并垂直于平板的直线(即z轴)以角速度
转动.令单位矢量 i , j 固着在平板上的
x轴
和 y 轴上. P 为平板上运动着的一质点
▪ 因 P 和坐标轴都以 转动 所以有 di dj j , i dt dt
为 a0
2 ma F ma0 m r m( r ) m r 2m v
§4.4 地球自转所产生的影响
第24讲结束
r xi yj
▪ 则 P 点相对静止坐标系的速度（不是对平板， 因为对平板， i , j 都是常矢量）为
dr di dj dk i y j z k x v x y z dt dt dt dt y )i ( y x) j (x
第4章 转动参照系
第四章 转动参照系 §4.1 平面转动参照系考虑一旋转的平面参照系oxy ，记为S ′（如平板），其角速度ω沿轴，其原点与静止坐标系(z S ξηo )的原点重合。
令单位矢量、固着在平板上的o i j x 轴和轴上，ω可表为y k ωω=。
再考虑平板上的运动质点P (想象为一小虫)，其位矢为j i r y x += 严格应为：)()()()()(t t y t t x t j i r +=d d d x y x y dt dt dt ==+++r i j v i j ) ()(xy y x ωω=++−+i j i j 其中v j i ′=+y x 应为相对速度（即对转动参照系而言）；0v r ωj i =×=+−x y ωω应为点所在处的牵连速度 P 于是，点的速度为：P r ωv v ×+′=与刚体力学中定轴转动公式r ωv ×=比较可见此处多出了相对速度这一项，原因是刚体上的质点相对刚体是没有相对运动的。
v ′ya j i ′=+yx 为相对加速度； r j i 222ωωω−=−−y x 为平板转动引起的向心加速度；(方向由点指向o 点)P r ωj i ×=+− x y ωω为平板作变角速转动引起的切向加速度（方向与r 垂直，在平板上。
匀速转动时为0）；向心加速度 + 切向加速度 = 牵连加速度；(用表示)t a v ωj i ′×=+−222x yωω为科里奥利加速度。
(用表示)c a 故上式又可写成v ωr r ωa a ′×+−×+′=22ω 或简写为t c ′=++a a a a与平动情况相比，不仅牵连加速度项不同，这里还多了一项，这是转动参照系所特有的。
c a 必须明确两点：1. 平面转动参照系是非惯性系。
这是因为对固结在平面上的点来说，0,0′′≡=v a 。
这时，质点的加速度就等于牵连加速度，所以是非惯性系。
平面转动参考系
第一节 平面转动参考系
设平面参考系 S′ 以角速度 ω 转动， 在平面参考系上建立坐标系 O-xy ， 原点与静止坐标系 S 原点 O 重合。 则转动矢量 ω = ωk 沿 z 轴方向。 设该平面参考系为一平板，P 为平板 上运动着的一点，则其位矢为
r = xi + yj ( 4.1.1)
2
这一项叫做科里奥利加速度，简称科氏加速度。是牵连运动 与相对运动相互影响所产生。方向垂直角速度和相对速度， 但角速度恒沿 k 方向，所以科氏加速度在 xy 平面内。
3
根据上述分析可以将加速度简写成
& a = a ′ + ω × r − ω 2 r + 2ω × v ′
( 4 .1 .6 )
若令
& at = ω × r − ω 2 r a c = 2ω × v ′
考虑到 (4.1.2) 式，求 (4.1.1) 式对时间的微商后得质点 P 对 静止坐标系的速度
v= dj dk di dr & & & = xi + yj + z k + x + y + z dt dt dt dt & & = ( x − ωy ) i + ( y + ωx ) j
现在求 P 点对静止坐标系的加速度 dv & & & & a= = ( && − 2ωy − ω 2 x ) i + ( && + 2ωx − ω 2 y ) j − ωyi + ωxj x y dt 对 (4.1.5) 的讨论 相对加速度 向心加速度 切向加速度 另外还有
第四章转动参考系
ac 2 v ——科里奥利加速度
是由于质点P对转动的 S 系有一相对速度，从而 与 v 相互 影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。 对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加 速度与科里奥利加速度三者的矢量和。 注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一 个在转动参照系中质点P的速度与加速度的，如果从转动参照 系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。
x y 1）. 为质点P对转动参照系的轴向加速度分量，它的合成：
2）
a ———相对加速度 xi yj y i x j k ( xi yj ) ω r
是由于平板作变角速度转动所引起的切向加速度，如平 板以匀角速度转动，则此项加速度为零。
3）
2 2 xi yj r
2
沿矢径指向O点，它是由于平板以角速度 转动所引起 的向心加速度。 2）、3）两项加速度都是由于平板转动所引起的，所以为牵连 加速度。
4） 2 y i 2 x j 2ω ( xi yj ) 2ω v
dv di dj a ( y y )i ( x x ) j ( x y ) ( y x ) x y dt dt dt 2 2 ( y x 2 y )i ( x y 2 x ) j x y
2 a a ω r r 2ω v a a ω r 2 r 2ω v
于是：
F mω r m 2 r 2mω v ma
G ——牵连变化率，转动参照系绕着O点以角速度 转动
第4章 转动参考系
⎧ x = −4ω 2 y sin λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ y = 2 gtω cos λ − 4ω 2 y ⎨ ⎪ z = − g − 4ω 2 cos λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩
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14
§4.4 地球自转所产生的影响
一 惯性离心力
考虑地球自转时，可以认为其角速度是沿着地轴的一个恒 矢量，即 ω = 0. 因此，只需考虑惯性离心力和科里奥利力 即可；若质点相对于地球静止，则只需考虑惯性离心力 . 惯性离心力产生的影响： a) 重力与引力大小不相等（两极除外）. b) 重力与引力方向不一致（两极除外）. 注 惯性离心力所产生的影响一般都比较小，当研究 质点相对于地球的运动时，惯性离心力的效应只要用重 力来代替引力即可 .
a ωt x = ( e + e −ωt ) = achωt 2
管对小球的竖直反作用力和水平反作用力分别为
Ry = mg
a ωt −ωt Rz = 2mω x = 2mω ( e − e ) = 2maω 2shωt 2
2
惯性系
⎧m r − rθ 2 = Fr = 0 ⎪ ⎨ ⎪m rθ + 2rθ = Rθ ⎩
所以质点 P 的绝对加速度可简写为
dω ⎧ at = × r + ω (ω ⋅ r ) − ω 2 r ⎪ ⎪ dt ⎨ d *r ⎪a = 2ω × = 2ω × v′ c ⎪ dt ⎩
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a = a′ + at + ac
8
若 S ′系以匀角速度转动，则
理论力学-转动参考系
′ i 、j 、k 随S 系以同一角速度ω 转动 ∴ 在静止参照系S上所看到的G的变化率为：
di dj dk dG dGx dGy dGz = + Gy + Gz k + Gx i+ j+ dt dt dt dt dt dt dt
i 以ω 绕O转动，即i 是距离O为单位长的动点对O的位矢
则
v = v′ + ω × r
即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
2. P点对静止坐标系S的加速度： dv d − ωy )i + ( y + ωx ) j (x a= = dt dt 2 2 yi + ω xj − 2ωy − ω x )i + ( − 2ωx − ω y) j − ω x y = ( 2 ( yi − xj ) i + j ) − ω ( xi + yj ) − 2ω (− x j + y i ) − ω x y = ( 2 = a ′ − ω r + ω × r + 2ω × v ′
、y 为P对转动参照系诸轴的分速度， 其中x 合成为v ′ − 相对速度
y
j
P
S′
r i
O
x
ξ
若P在平板上不动，则此项速度为零。
ω k
z
又-ωy及 ωx 为由于平板转动而带着P一同转动所引起， 故为牵连速度在坐标轴上的分量，即轴向分量。
∴ 两者的合成即牵连速度：
ω × r = ωk × ( xi + yj ) = ωxj − ωyi
第四章 转动参照系
式中 r ′ 为质点相对 o′ 的位矢。
P197例 秒后p P197例4.3 求t秒后p点的速度和加速 度 建立坐标系o 解：建立坐标系o-xyz
ω α R P v’ y
v v v v = v′ + vt v v v v vt = ω × r = −ωv′t sinαi v v v v ∴v = v′sinα j − v′cosαk −ωv′t sinαi
解 建 动 o− xy ： 立 系
v v dv′ a′ = =0 dt
x ω v’ ac
r v & ω ×r = 0 v 2r 2 −ω r = −ω xi v v v v v 2ω × v′ = 2ωk × v′i = 2ωv′j
r r r 2 a = −ω xi + 2ωv′j
•
4.2 空间转动参考系
任一矢量： 2. 任一矢量： G = G x i + G y j + G z k
dG y dG z dG dG x di dj dk = i+ j+ k + Gx + G y + Gz dt dt dt dt dt dt dt
由泊松公式：
di =ω ×i dt
dj =ω × j dt
dk = ω × k 代入上式得： dt
a= dv di dj & & & & = ( && − yω − yω )i + ( && + xω + xω ) j + ( x − yω ) + ( y + xω ) x & y & dt dt dt
& & & & = ( && − yω − xω 2 − 2 yω )i + ( && + xω − yω 2 + 2 xω ) j x y
理论力学课件：第四章_转动参照系
为r 的圆柱上作纯滚动，圆管中心的速度 v0 u 。试求小球在图示
位置时的绝对速度和绝对加速度
解：运动分析： 小球相对圆管运动：圆周运动
C
o1h
u
j
牵连运动：平面平行运动（纯滚动）
v小tv球的uv绝j0 对u速i度：3vrorMj
v' vt
3r
ui 2uj
u
u 3r
ho
3
r
v0
a v sin 4 2t2 7
§4.2非惯性系动力学
一、相对运动微分方程
在惯性系下：
ma
F
m{a
'
a0
d0 dt
r
20
v
'
0
(0
r
)}
F
牵m连a惯' 性 力FF：tm{maa00dmdtd0dt0
r
0 (0
r
m0
(0
r )}
r)
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平动惯性力 转动惯性力 惯性离心力
科里奥利力：
第四章 转动参考系
§4.1(2)转动参照系 §4.3 非惯性系动力学 §4.4 地球自转的影响
1
§4.1转动参照系
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复习平动参考 系、相对运动：
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１第四章 转动参考系自学辅导习题（2012年使用）一、选择题(每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的)。
1.坐标系xyz o −以角速度i ˆω=ωK 绕x 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt iˆd ω=；0dt jˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt jˆd ω=；j ˆdt kˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=1.C2.坐标系xyz o −以角速度j ˆω=ωK 绕y 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt iˆd ω=；i ˆdt jˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt iˆd ω−=；0dt jˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=2.B3.坐标系xyz o −以角速度k ˆω=ωK 绕z 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt i ˆd ω=；0dt j ˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt iˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=3.A4.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=； B.k ˆdt i ˆdω=； C.i ˆdt iˆd ×ω=K ； D.i ˆdt iˆd ω=4.C5.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.i ˆdt j ˆd ω−=； B.0dt jˆd=；２ C.k ˆdt j ˆd ω=； D.j ˆdtj ˆd ×ω=K ； 5.D6.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.0dt k ˆd =； B.i ˆdtk ˆd ω=； C.j ˆdt k ˆd ω−=； D.k ˆdtk ˆd ×ω=K 6.D7.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=； B.k ˆdt i ˆd ω−=；0dtj ˆd =； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=； D.i ˆdt i ˆd ×ω=K ；j ˆdtj ˆd ×ω=K ； 7.D8.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt i ˆd ω−=；i ˆdtk ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ×ω=K ；k ˆdtk ˆd ×ω=K 8.D9.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.0dt j ˆd =；i ˆdtk ˆd ω=； C.k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.j ˆdt j ˆd ×ω=K ；k ˆdtk ˆd ×ω=K 9.D10.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B. i ˆdt i ˆd ×ω=K ；j ˆdtj ˆd ×ω=K ；k ˆdt k ˆd ×ω=K ；３ C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdtk ˆd ω= 10.B11.在匀加速直线运动的车厢内，自由下落小球的相对轨迹是：[ ]A.沿铅垂直线；B.沿向后倾斜的直线；C.抛物线；D.双曲线。
11.B12.在不同的惯性系中，同一质点的加速度之间的关系以及速度之间的关系是：[ ]A.加速度和速度分别相同；B.加速度和速度分别不相同；C.加速度相同和速度相差一常矢量；D.速度相同，但加速度相差一常矢量。
12.C13.两个质点的位置矢量分别为：k ˆ)t 4t 3(j ˆt i ˆt 2r 221−+−=K ，k ˆt 3j ˆt i ˆ)4t 12t 5(r 321−++−=K 。
则在2t =瞬间，第二个质点相对于第一个质点的相对速度为：[ ]A.k ˆ11j ˆ16i ˆ6−+；B.kˆ11j ˆ6i ˆ6−+； C.k ˆj ˆ16i ˆ6−+； D.kˆ11j ˆ16i ˆ2−+。
13.A14.两个质点的位置矢量分别为：k ˆ)t 4t 3(j ˆt i ˆt 2r 221−+−=K ，k ˆt 3j ˆt i ˆ)4t 12t 5(r 321−++−=K 。
则在2t =瞬间，第二个质点相对于第一个质点的相对加速度为：[ ]A.k ˆ11j ˆ16i ˆ10−+；B.kˆ11j ˆ14i ˆ6−+； C.k ˆ6j ˆ14i ˆ10−+； D.kˆ11j ˆ14i ˆ2−+。
14.C15.在运动参照系中运动的质点，其绝对速度'0v v v K K K +=，适用于那种类型的运动参照系？（式中v ′K 为相对速度，0v K 为牵连速度）[ ]A.只适用于平动参照系；B.只适用于平面转动参照系；C.适用于任何类型的运动参照系；D.只适用于空间转动参照系。
15.C16.在运动参照系中运动的质点，其绝对加速度t a a a G G G +′=，适用于哪种类型的运动参照系？４（式中a ′G 为相对加速度，t a G 为牵连加速度）[ ]A.平面转动参照系；B.空间转动参照系；C.一般运动参照系；D.平动参照系。
16.D17.在运动参照系中运动的质点，其绝对加速度c t a a a a K G G G ++′=（式中a ′G 为相对加速度，t a G 为牵连加速度，c a K 为科氏加速度），则该表达式： [ ]A.仅适用于平面转动参照系；B.仅适用于空间转动参照系；C. 适用于任何类型的运动参照系；D.仅适用于平动参照系。
17.C18.质点相对于运动参照系的动力学方程：t F F a m G G G +=′适合于哪种类型的运动参照系(式中m为质点质量,a ′G 为相对加速度,F G 为外力,t F G 为惯性力)? [ ]A.只适用于平动参照系；B.适用于任何类型的运动参照系；C.只适用于平面转动参照系；D.只适用于空间转动参照系。
18.B19.质点在非惯性参照系中处于平衡时，科氏加速度c a K ： [ ]A.等于零；B.与相对速度v K ′有关；C.与角速度ωK 有关；D.以上说法都对。
19.A20.自赤道沿水平方向朝北射出的炮弹，落地时将出现的偏移现象为：[ ]A.向西偏移；B.无东西偏移；C.向东偏移；D.无法预测。
20.B二、填空题.1.在一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，此管以匀角速度ωK 绕通过其一端的竖直轴转动，如开始时，小球距转动轴的距离为a，小球相对于管的速度为零，而管的总长则为2a，则小球刚要离开管口时的相对速度的大小=′v 。
1.ωa 3 2.绝对速度等于相对速度与 速度的矢量和。
５2.牵连3.在一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，此管以匀角速度ωK 绕通过其一端的竖直轴转动，如开始时，小球距转动轴的距离为a，小球相对于管的速度为零，而管的总长则为2a，则小球刚要离开管口时的绝对速度的大小=v 。
3.ωa 7 4.绝对速度等于 速度与牵连速度的矢量和。
4.相对5.在一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，此管以匀角速度ωK 绕通过其一端的竖直轴转动，如开始时，小球距转动轴的距离为a，小球相对于管的速度为零，而管的总长则为2a，则小球刚要离开管口时的牵连速度的大小=0v 。
5.ωa 26.在北半球沿河流流向 岸比较陡峭。
6.右7.在一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，此管以匀角速度ωK 绕通过其一端的竖直轴转动，如开始时，小球距转动轴的距离为a，小球相对于管的速度为零，而管的总长则为2a，则小球从开始运动到离开管口所需的时间=t 。
7.)32(n 1+ωA 8.在南半球沿河流流向 岸比较陡峭。
8.左9.小环重mg W =，穿过曲线形)x (f y =的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴Oy 以匀角速度ωK 转动，如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡状态，则此曲线的方程=y 。
9.22x g2ω 10.在转动参照系中，绝对加速度等于相对加速度、牵连加速度与 加速度三者的矢量和。
10.科氏11.小环重mg W =，穿过曲线形)x (f y =的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴Oy以匀角速度ωK 转动，如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡状态，则此曲线对小环的约束反作用力的大小=N 。
６11.y gW 21W 2+ 12.在转动参照系中，绝对加速度等于相对加速度、科氏加速度与 加速度三者的矢量和。
12.牵连13.一直线以匀角速度ωK 在一固定平面内绕其一端O 转动。
在0t =时刻，有一质点P 从O 点出发沿该直线运动，如欲使此质点的绝对速度v K 的量值为常数，则该质点沿此直线的运动规律为 。
13.t sin v r OP ωω== 14.在地球自转的动力学效应中，由于 的作用，重力的量值与引力有所差别，重力的方向也随着纬度的改变而变化。
14.惯性离心力15.P 点离开半顶角为α的圆锥顶点O，以速度v K ′沿母线作匀速运动，此圆锥则以匀角速度ωK 绕其轴转动。