哈密顿图判定问题的多项式时间算法

哈密顿图判定问题的多项式时间算法姜新文等**（４１００７３，国防科技大学计算机学院，长沙）Abstract: 本文给出一个称为 问题的定义及其多项式时间判定算法。

已经证明包括哈密顿图判定问题在内的众多 完全问题可以多项式归结到 问题。

问题的多项式时间判定算法就是 完全问题的多项式判定算法。

本文结果暗示 。

本文涉及的内容属于简单的图论问题算法设计的入门性范畴，被计算机、数学和信息安全等类专业本科以上知识背景覆盖。

相关专业本科甚至专科以上学生通过适当求教算法设计、计算复杂性、图论、运筹学和密码算法相关教师和权威可以阅读本文。

Key words: Algorithm, problem, problem, complete problem1 问题引入及若干定义哈密顿图判定问题是 完全问题。

为了求解该问题，我们需要对问题进行转化。

为缩短证明长度，以分段确认，分割围歼，综合众多意见，我们提出 问题，并将注意力集中在 问题多项式时间判定上。

算法是一堆动作的有序集合。

为一个问题设计算法是容易的，将一些动作凑在一起即可。

设计算法的困难性和严肃性在于，你的算法是否实现了你的计算目标？于是需要证明。

而如何证明常常让人无从着手。

问题是一个人工构造的问题，它的特别的结构特性，使我们容易找到时间复杂性为关于问题规模的多项式函数算法并证明其正确性。

该问题的定义已经可以在很多文章中查到。

为了本文的完整性，我们首先转述对 问题的定义。

定义1称 , , , , 是加标多级图(labeled multistage graph)，如果满足以下条件：1. 为顶点集合， ∪ ∪ ∪⋯∪ ， ∩ ∅，0 , ， 。

如果 ∈ ，0 ，称 所在级为 级，也称 是 级的顶点。

称为 的级。

2. 为边的集合， 中的边均为有向边，它用三元组〈 , , 〉表示。

如果〈 , , 〉∈ ，1 ，则 ∈ ， ∈ 。

称〈 , , 〉为 的第l级的边。

3. 和 都只包含唯一顶点。

称 中的唯一顶点为源点，记为 ，称 中的唯一顶点为汇点，记为 。

4. 对每个顶点 ∈ ，都有一个边集 ( )作为标记， ( )⊆ 。

称 ( )为 的边集。

例如，图1所示的两个图，都是加标多级图。

各个顶点的边集的一组可能的取值定义如下。

对左边的图， (1) ， (2) ， (3) , , , ， (4) , , ， (5) , , ， (6) , , , ， (7) ， (8) , , , ， ( ) , , , , 。

对右边的图, (1) ∅， (2) ∅， (3) ∅， (4) , , ， (5) , , ， (6) , , ， (7) (7 ) , , , ， (8) , , , ， ( ) ∅。

定义2设 , , , , 是一个加标多级图， ⋯ ⋯ (1 ， )是 中一**Please visit /u/1423845304 for revision information条路径。

如果对任意的 ， ∈ 1,2,⋯, ， ⋯ ∈ ( )，称 中的这条路径为简单路径。

如果对任意的 ， ∈ 1,2,⋯, 2 或者 ∈ 1,2,⋯, 1 ， ⋯ ∈ ( )，称 中的这条路径为半简单路径。

(我们约定：一条路径属于一个边集，是指该路径上所有边属于该边集)图1 多级图的两个实例显然，根据定义，简单路径必为半简单路径。

现在提出一个问题。

设 , , , , 是一个加标多级图。

问： 中是否存在一条简单路径，即是否存在路径 ⋯ ⋯ ，使得对路径上除 外的所有顶点 ，有 ⋯ ∈ ( )?这个问题就是要判定一个多级图中简单路径的存在性。

我们称这个问题为 问题，即多级图简单路径（Multistage-graph Simple Path）问题。

不是所有图都有简单路径。

一个图是否存在简单路径，取决于图，同时也取决于各个顶点的边集的取值。

例如，对于图1中左图，S 1 3 4 6 D是一条简单路径。

而右图中没有简单路径。

本文讨论中将经常用到边集。

由于边的集合当然地可以表示图，所以我们常常不加区分地说一个点属于这个边集，一条边属于这个边集，一条路径属于这个边集，等等。

2 求解 问题的 算法2．1 四个基本算子定义基本算子1： 。

设 是边集 的任意子集， ， ∈ 。

定义 | ∈ , is on a path ⋯ , and all the edges on ⋯ are contained in 。

的目的是整理边集 。

中可能包含一些零零散散的边。

这些边因为不可能在 到 路径上，因而从 中去掉。

如果用| |表示 中边的数目，可以设计 (| |)的算法计算 。

定义3如果 , , , , 中存在一条路径 ⋯ ⋯ ，使得边〈 , , 〉∈ ( )， ( )， ( )，⋯， ( )，⋯， ( )，我们称边〈 , , 〉可由 ( )达到 ( )，路径 ⋯ ⋯ 称为〈 , , 〉由 ( )达到 ( )的路径，或者由 到达 的路径，有时候还简称〈 , , 〉的可达路径。

为了描述〈 , , 〉的可达路径，我们引进集合 ( , , )。

( , , )是边集 的子集，其中包含的是〈 , , 〉的可达路径经过的边。

称 ( , , )为〈 , , 〉的可达路径集。

一个加标多级图给定之后，可以计算出所有边的可达路径集。

基本算子2： ( ( , , ))。

( ( , , )) 用来计算〈 , , 〉的 ( , , )的初值：(1) ←〈 , , 〉|〈 , , 〉∈ , ,〈 , , 〉∈ ( )∩ ( )//Collecting edges (2) ( , , )← //Linking edges together如果用 | | 表示 中边的数目，可以设计 (| |)的算法计算 ( ( , , ))。

虽然称作可达路径集， ( )也是边的集合。

本文讨论中的所有涉及路径的集合都是边集，因而，他们的规模是多项式的而不是指数的。

如同英文单词很多，但字母表只有26个字符。

基本算子3： , , ( ) 。

设 ⊆ , ∈ , ( ) ( )| ∈ 。

, , ( ) 等于以下迭代结束时 _ 中的结果：(1) _ ←(2) For all 〈 , , 〉∈ _ :Let be a vertex at stage .If and ( , , )∩ _ contains no path from to , _ ← _ .If , , and ( , , ) contains no path from to , _ ← _ .(3) _ ← _ , where, is the unique vertex of .(4) Repeat step 2 and step 3 until S_ will not change any more.解释一下 , , ( ) 的计算过程。

第二步是去掉 _ 中的边，去边〈 , , 〉的条件是 ( , , )∩ _ 不含 到 然后到 的路径。

第三步是整理边集 _ 。

这个去边和整理的过程反复实施，直到 _ 不再变化。

由于 中包含的边的条数是一个定数，这个计算过程必然终止。

显然，对任意 ( )，有 ( ), , ( ) ⊆ ( )。

可以设计 (| | )的算法计算步骤2。

步骤2和步骤3因而可以在 (| | )内完成。

每次迭代至少减少一条边， _ 最多有| |条边，所以计算 ( ), , ( ) 的时间复杂性为 (| | )。

基本算子4： ( ( , , ))。

( ( , , )) 是用 ( ) ( )| ∈ 中其它的 ( )限制和绑定 ( , , )。

(1) For all 〈 , , 〉∈ ( , , ), if ( | 〈 , , 〉∈ , , ( )∩ ( ), , ( ) contains a path that contains〈 , , 〉 and 〈 , , 〉 , , ( )) ∅then 〈 , , 〉 iskept in ( , , ) else 〈 , , 〉 isdeleted from ( , , ). (2) ( , , )← ( , , ) .(3) Repeat step 1 and step 2 until ( , , ) will not change any more解释一下 ( ( , , )) 的计算过程。

步骤1中，如果 〈 , , 〉 继续留在 ( , , )中，一定有一条这样的路径 ⋯ ，该路径上所有边 的 ( )包含 〈 , , 〉 和 〈 , , 〉。

或者更粗略和更简单地说，〈 , , 〉 能够经过 〈 , , 〉 除非有路径 ⋯ 陪着 〈 , , 〉 经过〈 , , 〉。

( ( , , )) 的复杂性依赖于算子1, 2 and 3。

我们可以在 | |∗ (| | )的时间内完成计算 ( | 〈 , , 〉∈ , , ( )∩ ( ), , ( )包含一条路径，该路径包含〈 , , 〉 和〈 , , 〉 , , ( )) ，从而| |∗| |∗ (| | )时间内完成步骤1。

每次迭代至少减少一条边，因此 ( ( , , )) 的复杂性为| |∗| |∗| |∗ (| | ) (| | )。

修改后的 ( , , )是修改前的 ( , , )子集。

为了方便，我们仍然称其为〈 , , 〉的可达路径集。

2．2 算法、复杂性分析、必要性证明现在给出求解 问题的、由以下四个语句构成的 算法以及关于算法的分析证明。

算法的输入是 , , , , 。

算法中符号 : 表示边的集合 中从第 级到第 级的边，其中1 。

如果 ， : ∅。

ZH Algorithm1. For all ∈ , we use operator 2 to generate ( ) directly.2. For 2 to 12.1 For all 〈 , , 〉 ofstage , call ( ( , , )) to modify ( , , ) 2.2 For all of stage , ( )← ( ), , ( )2.3 For all 〈 , , 〉∈ , , execute the following two steps : ( , , ) 1: ←⋃ ( , , )∩ ( ), , ( ) ∈ // Limit R(e)( , , )← ( , , ) // Tidy R(e)3. Repeat step 2 until no ( , , ) in ( ) ( )| ∈ will change any more.4. If ( ), , ( ) ∅, we claim the existence of a simple path in .Otherwise, we claim that there is no simple path in .解释一下算法的动作。