2021河南中考数学考点素养提升练：第一章 第一节 实数及其运算

第一部分 教材基础过关第一章 数与式第一节 实数及其运算命题点一 实数的有关概念1.(2020河南)2的相反数是( A ) A.-2 B.-12 C.12D.2解析 2的相反数是-2.故选A. 2.(2019河南)-12的绝对值是( B ) A.-12 B.12C.2D.-2解析 负数的绝对值是它的相反数,所以|-12|=12,故选B. 3.(2018河南)-25的相反数是( B ) A.-25 B.25C.-52 D.52解析 只有符号不同的两个数互为相反数,所以-25的相反数是25.故选B. 4.(2016河南)-13的相反数是( B ) A.-13 B.13C.-3D.3解析 绝对值相同,符号不同的两个数互为相反数.故选B.命题点二实数的大小比较5.(2017河南)下列各数中比1大的数是( A )A.2B.0C.-1D.-3解析1,2,0,-1,-3这五个数在数轴上的位置如图所示.由图可知,-3<-1<0<1<2,所以选A.6.(2015河南)下列各数中最大的数是( A )A.5B.√3C.πD.-8解析根据“正数都大于负数”,知-8最小.π在正整数3和4之间,√3在1和2之间,由此可得最大的数是5.故选A.7.(2020河南)请写出一个大于1且小于2的无理数: √3(答案不唯一) .命题点三实数的运算8.(2019河南)计算:√4−2−1=32.解析原式=2-12=32.9.(2018河南)计算:|-5|-√9= 2 .解析原式=5-3=2.10.(2017河南)计算:23-√4= 6 .解析23-√4=8-2=6.11.(2016河南)计算:(-2)0-√83= -1 . 解析原式=1-2=-1.12.(2015河南)计算:(-3)0+3-1= 43.解析(-3)0+3-1=1+13=43.13.(2014河南)计算:√273−|-2|= 1 .解析原式=3-2=1.命题点四科学记数法14.(2020河南)电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1GB=210MB,1MB=210KB,1 KB=210B.某视频文件的大小约为1GB,1GB等于( A )A.230BB.830BC.8×1010BD.2×1030B解析由题意得,1GB=210×210×210B=210+10+10B=230B,故选A.15.(2019河南)成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为( C )A.46×10-7B.4.6×10-7C.4.6×10-6D.0.46×10-5解析0.0000046用科学记数法表示为4.6×10-6,故选C.16.(2018河南)2018年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元.数据“214.7亿”用科学记数法表示为( C )A.2.147×102B.0.2147×103C.2.147×1010D.0.2147×1011解析数据“214.7亿”用科学记数法表示为a×10n的形式,其中a=2.147,n是比数据“214.7亿”的整数位数小1的整数,所以n=10,则数据“214.7亿”用科学记数法表示为2.147×1010.故选C.17.(2017河南)2016年,我国国内生产总值达到74.4万亿元.数据“74.4万亿”用科学记数法表示为( B )A.74.4×1012B.7.44×1013C.74.4×1013D.7.44×1014解析74.4万亿=74400000000000=7.44×1013,故选B.18.(2016河南)某种细胞的直径是0.00000095米,将0.00000095用科学记数法表示为( A )A.9.5×10-7B.9.5×10-8C.0.95×10-7D.95×10-8解析0.00000095用科学记数法表示为9.5×10-7.故选A.19.(2015河南)据统计,2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元.数据“40570亿”用科学记数法表示为( D )A.4.057×109B.0.4057×1010C.40.57×1011D.4.057×1012解析40570亿=4057000000000=4.057×1000000000000=4.057×1012.故选D.考点一实数及其分类1.实数:有理数和无理数统称为实数.2.有理数:整数和①分数统称为有理数.3.无理数:无限不循环小数叫做无理数.易错警示无理数的识别误区识别正误(正确的画“√”,错误的画“✕”).1.√4和√8都是无理数.( ✕)2.sin60°和cos45°都是无理数.( √)3.π,(π-1)0和3.141 592 6都是无理数.( ✕ )4.13和127都是无理数.( ✕ )5.0.010 010 001 000 01和0.020 020 002 000 02…(相邻两个2之间依次多一个0)都是无理数.( ✕ )名师点拨 识别一个数是不是无理数的关键在于这个数用不同形式表示的最终结果是不是无限不循环小数.▶温馨提示 (1)常见的几种无理数类型:(i)开方开不尽的数,如√2,√33等(注意√4、√-83等是有理数);(ii)大多数三角函数,如sin 45°,tan 30°等(注意cos 60°,tan 45°等是有理数); (iii)化至最简后含有π的数,如π3,2π+1等;(iv)有规律但不循环的无限小数,如0.303 003 000 3…(相邻两个3之间依次多一个0). (2)所有的分数都是有理数. 4.正负数(1)正负数的概念: (i)大于0的数叫做正数;(ii)在正数前加上符号“-”(负号)的数叫做负数. ▶温馨提示 0既不是正数也不是负数.(2)正负数的意义:正负数可用来表示具有相反意义的量.一般地,常用来表示具有相反意义的量的词有:收入与支出、升高与降低、前进与后退、海平面以上与海平面以下等.5.实数的分类(1)按定义分:{有理数{整数{正整数零负整数分数{正分数负分数}有限小数或② 无限循环小数 无理数{正无理数③ 负无理数 }无限不循环小数(2)按性质分:实数{正实数{④ 正有理数 {正整数正分数正无理数⑤ 0 负实数{负有理数{负整数负分数负无理数考点二 实数的相关概念1.数轴:规定了原点、正方向和⑥ 单位长度 的直线.⑦ 实数 和数轴上的点是一一对应的.2.相反数:如果两个数只有符号不同,那么我们称其中的一个数是另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数.0的相反数为0.若实数a,b 互为相反数,则a+b=⑧ 0 .▶温馨提示 相反数的几何意义:在数轴上分别位于原点的两旁,且到原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数.3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数.若实数a,b 互为倒数,则ab=⑨ 1 . ▶温馨提示 (1)非零实数a 的倒数是1a ,0没有倒数.(2)倒数等于它本身的数是±1. 4.绝对值(1)定义:在数轴上,表示数a的点到原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|.(2)性质:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的⑩相反数,0的绝对值是0.|a|={a,a>0; 0,a=0; -a,a<0.▶温馨提示因为一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到原点的距离,所以一个数的绝对值不可能为负数,即|a|≥0.5.平方根、算术平方根、立方根名称定义性质平方根如果x2=a(a≥0),那么x就叫做a的平方根,记作±√a正数的平方根有两个,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0算术平方根如果x2=a(x≥0,a≥0),那么x就叫做a的算术平方根,记作√a0的算术平方根是0立方根若x3=a,则x就叫做a的立方根,记作√a3正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根易错警示平方根与算术平方根的概念混淆填空:1.4的算术平方根是 2 .2.2的平方根是±√2.3.(-3)2的平方根是±3.名师点拨(1)一个正数的平方根有两个,且互为相反数,其中正的平方根就是这个正数的算术平方根;(2)只有非负数才有平方根和算术平方根;(3)注意第3题中包含了两次运算.▶温馨提示(1)在应用x2=a(a≥0)时,一定不要忘记a=0的情况;(2)正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;(3)平方根等于它本身的数是0,算术平方根等于它本身的数是0和1,立方根等于它本身的数是0和±1.6.非负数(1)常见的非负数(三种类型):(i)任意一实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0;(ii)任意一实数a的平方是非负数,即a2≥0;(iii)若a是非负数,则√a也是非负数,即√a≥0(a≥0).(2)非负数的性质:(i)非负数有最小值,最小值是0;(ii)若干个非负数之和仍是非负数;(iii)几个非负数的和等于0,则每个非负数都等于0.考点三实数大小的比较1.数轴比较法:数轴上右边的数总比左边的数大.2.类别比较法:正数大于0和一切负数,0大于一切负数.3.绝对值比较法:两个负数比较大小,绝对值大的反而小.4.差值比较法:设a,b是任意两个实数,则a-b>0⇔a> b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b.5.根式比较法:a>b>0⇔√a> √b.6.平方数比较法:a2>b2且a>0,b>0⇔a>b>0.7.商值比较法:设a>0,b>0,ab >1⇔a>b;0<ab<1⇔a<b;ab=1⇔a=b.考点四实数的运算1.运算法则(1)加法:(i)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(ii)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的数的绝对值减去较小的数的绝对值,互为相反数的两个数相加得0;(iii)一个数同0相加,仍得这个数.(2)减法:减去一个数等于加上这个数的相反数.(3)乘法:两数相乘,同号得正,异号得负,再将两个数的绝对值相乘.任何数与0相乘仍为0.(4)除法:除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数,即a÷b=a·1b(b≠0).(5)乘方:求几个相同因数的积的运算.2.运算律有理数的运算律在实数范围内都适用,其中常用的运算律有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.3.混合运算顺序先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减;有括号的,先算括号里的;同一级运算要从左到右依次进行.4.幂运算(1)零次幂:任何非零实数的零次幂都为 1 ,即a0= 1 (a≠0).(2)负整数次幂:a-n=1a n(a≠0,n为正整数).(3)-1的奇偶次幂:-1的偶次幂为 1 ,-1的奇次幂为-1 .考点五科学记数法、近似数、精确度1.科学记数法(1)大数的科学记数法:一个大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,n等于原数的整数位数减去 1 .(2)小数的科学记数法:一个大于0小于1的数可以用科学记数法表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n为负整数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).2.近似数:把一个数四舍五入以后得到的数.3.精确度:近似数与准确数的接近程度.一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位.探究点一实数的有关概念例1 12的绝对值等于( D )A.-2B.2C.-12D.12解析一个正数的绝对值是它本身.故选D.1-1 (2020河南模拟)2-√5的相反数是( B )A.2+√5B.-2+√5C.-2-√5D.2-√5解析2-√5的相反数是-(2-√5)=−2+√5,故选B.方法技巧熟练掌握相反数、绝对值、倒数等相关概念是解答本类题的关键.探究点二平方根、算术平方根、立方根例2 (2020南阳镇平一模)9的平方根是( B )A.3B.±3C.±√3D.81解析±√9=±3,故选B.2-1 (2020山东滨州模拟)若x2=16,则5-x的算术平方根是( D )A.±1B.±4C.1或9D.1或3解析若x2=16,则x=±4,则5-x=1或5-x=9,所以5-x的算术平方根是1或3.故选D.2-2 若8x m y与6x3y n的和是单项式,则(m+n)3的平方根为( D )A.4B.8C.±4D.±8解析由8x m y与6x3y n的和是单项式,得m=3,n=1,则(m+n)3=(3+1)3=64,64的平分根为±8,故选D.2-3 (2020安阳模拟)√81的算术平方根是 3 .解析∵√81=9,(±3)2=9,∴9的平方根是±3,∴9的算术平方根是3,即√81的算术平方根是3.方法技巧 1.正确理解平方根、算术平方根和立方根的定义是解答此类题的关键.2.注意正数的平方根有两个.探究点三实数的大小比较3,π,√2这四个数中,最大的数是( C )例3 (2020驻马店一模)在|-2|,√273 C.πD.√2A.|-2|B.√273=3,π>3>2>√2,解析∵|-2|=2,√273,π,√2这四个数中,最大的数是π.故选C.∴在|-2|,√273-1 (2020信阳模拟)在0,-√2,π,|-1|中,最小的数是( B )A.0B.-√2C.πD.|-1|解析 ∵|-1|=1,∴-√2<0<|-1|<π, ∴最小的数是-√2,故选B.3-2 (2020河南模拟)在0,-π,-1,2中,最小的数是( D ) A.0B.-1C.2D.-π方法技巧 1.类别比较法:在比较实数的大小时,如果一组数里有正数、0、负数,那么可直接比较几个正数的大小或几个负数的大小,从而确定最大的数或最小的数.注意负数比较大小时,绝对值大的反而小.2.数轴法(或数形结合法):一般分两步,(1)把各数在数轴上表示出来;(2)按数轴的位置排序得出结论.探究点四 实数的运算例4 (2019南阳宛城一模)计算:(-1)0+√-83= -1 .4-1 (2019河南模拟)计算(-2)×3的结果是( B ) A.-5B.-6C.1D.6解析 根据有理数乘法法则先确定积的符号为负,再将两数的绝对值相乘即可. 4-2 计算:(√3−1)0+(12)-1= 3 .方法技巧 熟练掌握绝对值、立方根、零指数幂、负整数指数幂等相关概念和性质是解答此类题的关键.探究点五 科学记数法例5 (2020河南模拟)2019年前10个月,我国货物贸易进出口总值达到25.63万亿元.数据“25.63万亿”用科学记数法表示为( C )A.25.63×1011B.2.563×1012C.2.563×1013D.0.256 3×1014解析数据“25.63万亿”用科学记数法表示为2.563×1013.故选C.5-1 (2020驻马店一模)快快乐乐看春晚,平平安安过大年,2020年1月24日8点,中央广播电视总台《2020年春节联欢晩会》如约而至.据不完全统计,截至2020年1月24日24时,春晚新媒体平台直播观看量累积达到11.16亿人次.数据“11.16亿”用科学记数法表示为( C )A.11.16×108B.11.16×104C.1.116×109D.1.116×108解析11.16亿=1116000000=1.116×109.故选C.5-2 (2020三门峡一模)三门峡作为河南的“西大门”,位于豫晋陕三省交界黄河南金三角地区,在2020年谋划了总计5000亿元左右的一系列项目,涵盖生态环保、黄河安澜、水资源节约集约利用、产业转型升级和创新发展、开放合作、城乡融合发展、保护传承弘扬黄河文化等七大领域.其中5000亿用科学记数法表示为( C )A.5×103B.5×1010C.5×1011D.0.5×1011解析5000亿=500000000000=5×1011.故选C.5-3 (2020信阳模拟)截止到4月21日0时,国外感染新型冠状病毒肺炎的人数已经突破2570000,“山川异域,风月同天”,携手抗“疫”,刻不容缓.其中2570000用科学记数法表示为( A )A.2.57×106B.2.57×105C.25.7×105D.2.57×107解析2570000=2.57×106.故选A.方法技巧把绝对值大于10或大于0且小于1的数写成a×10n(1≤|a|<10,n为整数)的形式,关键是确定a与n.当原数中含有需要转换的单位(如万、亿)时,应先将原数进行单位转换,再确定a 与n 的值.把用科学记数法表示的数还原为原数时,应先根据n 的符号确定小数点移动的方向,再根据n 的数值确定小数点移动的位数.一、选择题1.(2020周口扶沟一模)下列各数中,比-2小的是( B ) A.-1 B.-3 C.-13 D.0解析 根据负数比较大小时,绝对值大的反而小,可知-3<-2<-1<-13<0.故选B. 2.(2020周口鹿邑一模)下列各数中,倒数最小的是( B ) A.-5 B.-15 C.5D.15解析 ∵-5的倒数是-15,−15的倒数是-5,5的倒数是15,15的倒数是5, 且-5<-15<15<5,∴-15的倒数最小.故选B.3.(2020河南模拟)-32 020的相反数是( C ) A.-2 0203 B.2 0203C.32 020 D.-32 020解析 -32 020的相反数是32 020.故选C. 4.(2020河南模拟)-23的绝对值是( B )A.-23B.23C.-32D.32解析 ∵-23的绝对值等于其相反数, ∴-23的绝对值是23.故选B.5.(2020南阳内乡一模)若有理数a,b在数轴上所对应的点的位置如图,则下列说法正确的是( D )A.a>bB.-b<-1C.-a<bD.|-b|<|a|解析由题中数轴知,-2<a<-1,0<b<1,∴a<b,∴选项A不符合题意.∵0<b<1,∴-1<-b<0,∴选项B不符合题意.∵-2<a<-1,∴1<-a<2,∵0<b<1,∴-a>b,∴选项C不符合题意.∵-2<a<-1,0<b<1,∴1<|a|<2,0<|-b|<1,∴|-b|<|a|,∴选项D符合题意.故选D.6.(2020洛阳三模)据统计,截至目前,我国外汇储备规模为30988亿美元.将30988亿用科学记数法表示为( C )A.30988×108B.3.0988×1011C.3.0988×1012D.3.0988×1013解析将30988亿用科学记数法表示为3.0988×1012.故选C.7.(2020商丘梁园一模)下列各数中,最小的是( A )A.-πB.-3C.-√D.0解析∵4<5<9,∴2<√5<3,∵√5<3<π,∴−π<−3<−√5,∵零大于负数,∴-π<-3<-√5<0,∴最小的是-π.故选A.二、填空题8.(2020平顶山模拟)计算:√(-3)2-|-2|= 1 .解析原式=3-2=1.9.(2020周口西华一模)计算:|3|-√83= 1 . 解析 原式=3-2=1.10.(2020焦作一模)计算:|-12|+√-83=−32 . 解析 原式=12−2=−32.11.(2019平顶山二模)计算:(-1)2 019+√643= 3 . 解析 原式=-1+4=3. 三、解答题12.计算:(12)-1-(2 019-π)0+2sin 30°. 解析 原式=2-1+2×12=2-1+1=2. 13.计算:(π-3.14)0-(12)-2+√273−√8.解析 原式=1-4+3-2√2=−2√2.A 组 基础题组一、选择题1.(2020河南模拟)下列各数中最小的是(D) A.π B.3C.√10D.114解析 ∵π>3,√10>3,3>114,∴最小的是114.故选D.2.(2020郑州一模)-√3的相反数是(A) A.√3 B.-√3 C.√33 D.-√33 解析 -√3的相反数是√3.故选A.3.(2019平顶山二模)2-√5的绝对值是(B)A.2+√5B.-2+√5C.-2-√5D.2-√5解析2-√5的绝对值是-(2-√5)=−2+√5.故选B.4.下列实数中最大的是(D)A.-32B.πC.√15D.|-4|解析∵|-4|=4,4>√15>π>−32,∴所给实数中,最大的是|-4|.故选D.5.(2020重庆)下列各数中,最小的数是(A)A.-3B.0C.1D.2解析∵-3<0<1<2,∴这四个数中,最小的数是-3.故选A.6.(2020山东滨州)冠状病毒的直径约为80~120纳米,1纳米=1.0×10-9米,若用科学记数法表示110纳米,则正确的结果是(C)A.1.1×10-9米B.1.1×10-8米C.1.1×10-7米D.1.1×10-6米解析110纳米=110×10-9米=1.1×10-7米.故选C.7.(2019信阳一模)比较-135,1213,−123,1715的大小,结果正确的是(B)A.-135<−123<1715<1213B.-123<−135<1213<1715C.-123<−135<1715<1213D.-135<−123<1213<1715解析 ∵正数大于负数,负数中绝对值大的反而小, ∴-123<−135<1213<1715.故选B. 二、填空题8.实数m 、n 在数轴上的位置如图所示,化简|n-m|-m 的结果为 -n .解析 由题中数轴可得-1<n<0<1<m, ∴|n-m|-m=m-n-m=-n.9.(2019南阳一模)计算:(π-3)0+(-14)-1= -3 .解析 原式=1+(-4)=-3.10.(2020重庆)计算:(15)-1−√4= 3 . 解析 原式=5-2=3. 三、解答题11.(2020原创)计算:-22-(-1)2 020+|1-√2|+√81. 解析 -22-(-1)2 020+|1-√2|+√81 =-4-1+√2-1+9 =3+√2.12.(2020许昌长葛一模)计算:-14-|√3−1|−√7-14−(-12)2.解析 -14-|√3−1|−√7-14−(-12)2=-1-√3+1−3√32−14=-5√32−14.13.(2020原创)计算:(-1)2 020+√83−√16+|√2-2|. 解析 原式=1+2-4+2-√2=1−√2.B组提升题组1.下列四个运算中,只有一个是正确的,则这个正确运算的序号是(D)①30+3-3=-3;②√5−√2=√3;③(2a2)3=8a5;④-a8÷a4=-a4.A.①B.②C.③D.④解析①30+3-3=1+127=1127,故①错误;②√5−√2≠√3,故②错误;③(2a2)3=8a6,故③错误;④-a8÷a4=-a4,故④正确.故选D.2.(2020贵州铜仁)实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,则下列结论正确的是(D)A.a>bB.-a<bC.a>-bD.-a>b解析根据题中数轴可得,a<0,b>0,且|a|>|b|,则a<b,-a>b,a<-b.故选D.。