人教版高中数学必修基础知识-填空版

必修一

（一）集合

1.集合的概念

(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即 、 和 .

（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为

、 和空集；根据集合所含元素的性

质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元

素的集合，用∅表示.

（3）我们约定用 表示自然数集，用 表示正整数集，用 表示整数集，用 表示有理数集，用 表示实数集.

（4）集合的表示方法有 、 和图示法(venn 图).

2.集合间的基本关系

（1）集合与元素的关系

表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“∉”两种情形.

（2）集合与集合之间的关系

集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.

若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为 ，非空子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空真子集的个数为 .

3.集合的运算

集合与集合之间有交、并、补集三种运算.

4.集合运算中两组常用的结论

（1）①__________)(=⋂B A C U ；②;__________)(=⋃B A C U

（2）①________⇔=⋂A B A ；②________⇔=⋃B B A .

（二）函数的概念

（1）函数的定义

设A ，B 是 ，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的 .值域是集合B 的 .

③·映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.

（2）函数的三要素： 、 及 称为函数的三要素.在函数的三要素中其

决定性作用的是 及 ，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.

（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.

2.函数的表示方法

函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.

分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.

（三）函数单调性

1.增函数、减函数

设函数()f x 的定义域为I ：

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当 时，都

有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当 时，都

有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.

2.单调性、单调区间

如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间

上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.

3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：

① ② ；③ ④

4.数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵

坐标的 或 ，即图像的

或 .

5函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数

值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值.

6判断函数单调性的常见方法

①定义法；②图象法；③导数法.

7求函数最值或值域的方法

①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.

8一些重要函数的单调性

1y x x

=+的单调区间： 增区间 ；减区间 . ()0,0b y ax a b x =+

>>的单调区间： 增区间 ；减区间 .

（四）函数奇偶性

(1)奇函数、偶函数

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函

数.

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函

数.

(2)奇偶性

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇偶性.

(3)奇函数、偶函数的性质

①奇函数、偶函数的定义域皆关于 对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不

充分条件）；

②奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称；

③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有 .

④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是 数；

两个奇函数的和、差仍是 ；奇数个奇函数的积为 ；偶数个奇函数的积

为 ；一个奇函数与一个偶函数的积为 ；一个奇函数与一个偶函数（均

不恒为零）的和与差 . ⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间

上具有相反的单调性.

（五）基本函数：一次二次函数

1.(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R

2.函数性质

①当k >0时，为 函数，当k <0时，为 函数；

②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数；

3.函数的解析式的三种形式：

①一般式 ；

②顶点式 ；

③零点式 ；

4.二次函数的图象与性质

①()2

22424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++ ⎪⎝

⎭(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为 ，对称轴方程为 ，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下；

②()2400,0b ac ∆=->∆=∆<时，抛物线与x 轴有 交点. ③单调性：当0a >时，()f x 在 减函数； 在 上是增函

数.0a <，相反.

④奇偶性：()0当时，为b f x = 函数；()0当时，b f x ≠为 函数；

（六）指数函数

1.幂的有关概念

正整数指数幂：=⋅⋅434

21Λn

a a a a n a ； 零指数幂：0a =1( ) ；

负整数指数幂：p a -= (0,a p N +

≠∈)； 正分数指数幂：m n a =

(0,1a m n N n +>∈>、且); 负分数指数幂：m

n a -=