2.1 认识一元二次方程(1)
2.1一元二次方程(1)
什么是方程？什么是方程的解（或根）？ 答：含有未知数的等式叫做方程。使方程
两边成立的未知数的值叫做方程的解。 曾学过哪些方程？
分式方程，一元一次方程，二元一次方程。
什么叫做一元一次方程？
交流合作 根据题意列方程
1、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形 和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边 长为x，可列出方程
例1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并
写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
(1)9 x 5 4 x
2
( 2 )3 y 1 2 3 y
2
( 3)4 x 5
2
(4)(2 x )(3 x 4) 3
注意：
1.要先化成 ax² +bx+c=0 的形式。即先写二次项，再写一次项， 最后是常数项。
2、若方程 ( m 1) x 2
2011 2012 1
mx 1
是关于x
.
的一元二次方程，则m的取值范围是 3、已知
m
(1)请尝试通过对上式适当变形，写出一个以m为
未知数的一元二次方程；
(2)求代数式m2012-2m2011-2011m2010的值．
4、已知两个关于x的二次方程x2+ax+b=0、 x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：关于x的 二次方程 根为1．
例3 一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容 积为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元 一次方程吗?如果是，把它化为一元一次方程的 一般形式.
30 x x
单位：cm
15
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系 数和常数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.
北师大版九上数学2.1认识一元二次方程知识点精讲
一：直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是n的平方根，当时，，，当n<0时，方程没有实数根。
用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。
（1）形如的方程的解是x=。
当p=0时， 0二：配方法配方法：将形如的一类方程，化为形式求解的方法叫做配方法。
一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．三：公式法（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
由配方法得，化简：一元二次方程的求根公式：，公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b为二次项系数，c为常数项。
四：因式分解法因式分解法的步骤是：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0)3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。
认识一元二次方程ppt课件
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
2.1认识一元二次方程(1)
2.课本P32习题2.1第2题（在课本上直接完成）
3.课本P32习题2.1第1题
4.课本P33习题2.1第3题
从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿 着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好 进去了．你知道竹竿有多长吗？
北师大版九年级上册
认识一元二次方程
学习目标
1、通过小组合作探究归纳出一元二
次方程的概念
2、会判断一个方程是否为一元二次 方程
3、会列一元二次方程解决实际问题
旧知回顾
请同学们观察并思考：下面哪些是方程？如果 是方程，你还记得是我们学过的哪种方程？
(1)3 5 x 1 (2)6 5 x x 1 (3)3x 5 x 1 3 2 (4) 1 2x 5 7 (5)3x 4 y 1
2.按要求将这三个方程进行化简。
（1）去掉括号（2）合并同类项（3）等号右边为0 （4）等号左边按按未知数的次数由高到低排列
新知归纳
一元二次方程概念：
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）形式，这样
的方程叫做一元二次方程。
理解应用
判断下列方程是否为一元二次方程（是的画“√”
(8-2x)(5-2x)=18
2.观察下面等式： 102 112 122 132 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于 后两个数的平方和吗？ 解：设五个连续整数中第一个数设为x,则后面的四个整数分别 为 x+1 ， x+2 ， x+3 ， x+4 ，根据题意，可列出方程为:
《认识一元二次方程》第一课时教学设计
《认识一元二次方程》第一课时教学设计作者：牛慧芳来源：《学校教育研究》2020年第02期教学内容：2.1 认识一元二次方程教材分析：（一）教材所处的位置认识一元二次方程是九年级《数学》上册第二章一元二次方程的第一节内容。
方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
学生在七、八年级已经感受了利用方程解决实际问题的经验。
一元二次方程的知识是后续学习《二次函数》、解决函数及综合题的基础。
（二）教材结构本节通过丰富的实例“花边有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通過观察归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
（三）教学重点1.经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2.了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
3.能准确说出一元二次方程的二次项，一次项、常数项。
（四）教学难点能准确运用一元二次方程解决现实生活中问题。
学情分析：学生在七年级上册《一元一次方程》一章中，已经结合丰富的现实情景，经历了方程概念的归纳过程，初步掌握了利用方程解决问题的基本步骤，为本节的深入学习奠定了基础。
素质目标：（一）知识点经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
（二）能力训练点1.能利用去分母、去括号、移项、合并同类项等方法将一元二次方程转化为一般形式。
2.能准确确定一元二次方程的二次项，一次项、常数项。
（三）德育渗透点1.使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际活动的密切联系，感受与他人合作的重要性。
2.培养学生转化的数学思想。
教学策略：根据新教材的特点。
结合本班学生的实际情况，为了更好的突出本节重点，突破难点，圆满完成教学任务，取得良好的教学效果，本节采用“问题情景—建立模型—解释—应用与拓展的教学流程。
运用观察、比较、讨论、归纳、知识反馈等策略，引导学生多思善讲，在建立模型处适当给予点拨，以调动学生的自觉性、积极性，从而达到感知、归纳、应用、巩固和深化新知的目的。
2.1认识一元二次方程A(1)改
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称
为二次项系数和一次项系数．
一元二次方程的有关概念: ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)
二次项 一次项 常数项
系数 系数 注意： （1）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的形式，其中a ≠０是定义 的一部分，不能漏掉，否则就不是一元二次方程了。 （2）项、系数都要包括前面的符号。
当堂训练（17分钟）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（C ）。 1 A. x²+ =0, B. ax² +bx+c=0, x
C. (x-1)(x+2)=1. D. 3x² -2xy-5y² =0
2. 把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程 +36x-32=0 , 它的二次项系数 的一般形式 5x² 为 5 ，一次项系数为 36 ，常数项为 -32 。 3. m≠1
是一元二次方程．
时，
6.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k ≠±1 时，是一元二次方程; 当k = -1 时，
是一元一次方程．
点拨（10分钟）
一元二次方程概念
上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
解：设竹竿的长 为 x 尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程：
2尺 数学化
x
x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2
x－4
即 x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺
9.
a = －1
2.1认识一元二次方程第1课时教学流程
九上数《2.1认识一元二次方程（第1课时）》教学流程
注：“H”指课件中的幻灯片，如“H4”指课件中的第4张幻灯片。
)
前面已学习了一元一次方程及其解
法。
提问学生，简单过。
学生齐读
通过此三题复习一元一次方程的概念及其解法。
（H3）3´
生2´，师1´
探究新知知识点1
通过此活动理解一元二
次方程的概念。
（H4、H5）①头天晚修自学完成；②生展示答案；③师精讲并归纳一元二次方程的概念。
2 通过此环节进一步掌握
一元二次方程的一般形
式及其相关概念。
（H6）
①分组+普做；②对答案，师点评；
③师傅再教徒弟小组合作学习。
内容二）
进一步掌握一元二次方
程的概念（H7）
对本节课所学知识的归
学生自由谈纳总结（H8）。
北师大版数学九年级上册2.1 认识一元二次方程 教案
第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程●情景导入 根据题意列出方程：如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m ．若扩大后的绿地的面积为936 m 2，求长、宽各增加的长度．【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题，体会数学来源于生活并服务于生活．建议：可以让学生寻找身边的方程实例，以便理解等量关系． ●归纳导入 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽80 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是4 800 cm 2，那么铁皮各角应切去边长为多少的正方形？分析：设各角应切去边长为x cm 的正方形，则可表示无盖方盒的长是(100－2x )cm ，宽是(80－2x )cm.根据题意可得方程：(100－2x )(80－2x )＝4 800.整理，得x 2－90x ＋800＝0.【归纳】只含有__一个未知数x __的__整式__方程，并且都可以化成__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程．【教学与建议】教学：通过图形的变化感受等量关系的确定，归纳出一元二次方程的定义．建议：一元二次方程定义三个关键点：①只含有一个未知数；②整式方程；③未知数的最高次数是2次．命题角度1 判断一元二次方程一元二次方程的定义：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2次；③整式方程．【例1】(1)下列方程中一定是一元二次方程的是(C)A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．y 2－x ＝1C ．x 2－1＝0D ．1x＋x 2＝1 (2)下列方程：①3x 2＝x －1；②x ＋x 2＝4；③1x 2＋2x ＋1＝1；④(2x －1)(x －2)＝2x 2－1；⑤3x 2＝2x (x －1).其中是一元二次方程的有__①⑤__．(填序号)命题角度2 辨识一元二次方程的各项及其系数先把方程化为一般形式，再确定二次项及其系数、一次项及其系数、常数项．【例2】(1)写出下列方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．①3x 2－2x ＋1＝0；②5x (x －2)＝4x 2－3x .解：①依次是3x 2，3，－2x ，－2，1；②依次是x 2，1，－7x ，－7，0.(2)将方程2(t －2)＝(t ＋1)2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．解：一般形式为t 2＋5＝0，二次项为t 2，二次项系数为1，一次项为0，一次项系数为0，常数项为5. 命题角度3 根据一元二次方程的概念求待定字母的值或取值范围根据一元二次方程中二次项系数不为零，未知数的最高次数是2，求待定字母的值或取值范围．【例3】(1)若关于x 的方程(a －2)xa 2－2－2x －5＝0是一元二次方程，则(D)A ．a ＝2B ．a ＝±2C ．a ＝2D ．a ＝－2(2)当实数m 满足条件__m ≠－4__时，(m ＋4)x 2－mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程．命题角度4 一元二次方程的应用问题找准等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题．【例4】(1)今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为40 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，且面积比原来增加500 m 2.设原来绿地的长边为x m ，则可列方程为(A)A ．x 2－40x ＝500B ．x 2＋40x ＝500C．(x－40)2＝500 D．x2－1 600＝500(2)已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为x，则依题意可得到的方程是__(x－2)2＋x2＋(x＋2)2＝371__．命题角度5一元二次方程的根这类题目一般先把方程的根代入方程再求字母或代数式的值．【例5】(1)若关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0有一个根为2，则k的值为(B)A．－2 B．－1 C．1 D．2(2)若m是方程2x2－3x－5＝0的一个根，则6m2－9m＋2 023＝__2__038__．命题角度6一元二次方程根的估算先把方程化为一般形式，方程的解夹在方程左边的代数式的值大于0和小于0这两个未知数的值中间．【例6】(1)根据下列表格的对应值判断方程2x2－x－2＝0的一个解x的范围是(D)x 1.1 1.2 1.3 1.42x2－x－2－0.68－0.320.080.52A．1.1<x<1.2 B．1.3<x<1.4C．1<x<1.2 D．1.2<x<1.3(2)填表并回答问题：x－2－101234x2－5x＋6201262002x2－4x＋21472－1－2－12①根据上表可知方程x2－5x＋6＝0的根是__x1＝2，x2＝3__；②根据上表可知方程x2－4x＋2＝0的根x的值介于__0与1____3与4__之间．高效课堂教学设计1．使学生了解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．▲重点理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．▲难点在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．◆活动1创设情境导入新课(课件)一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)◆活动2实践探究交流新知【探究1】(多媒体出示)幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？【探究2】(多媒体出示)观察等式102＋112＋122＝132＋142.你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？【探究3】(多媒体出示)如图，一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m ．如果梯子的顶端下滑1 m ．那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子的底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动x m ，那么你能列出怎样的方程？【活动总结】由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (1)__(8－2x )(5－2x )＝18__； (2)__x 2＋(x ＋1)2＋(x ＋2)2＝(x ＋3)2＋(x ＋4)2__；(3)__(x ＋6)2＋72＝102__．化简得2x 2－13x ＋11＝0，x 2－8x －20＝0，x 2＋12x －15＝0.归纳：上面的方程都是只含有__一__个未知数x 的__整式__方程，并且都可以化为__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为__二次项____一次项__和__常数项__，a ，b 分别称为__二次项系数和一次项系数__．◆活动3 开放训练 应用举例例1 下列方程哪些是一元二次方程？为什么？(1)7x 2－6x ＝0; (2)2x 2－5xy ＋6y ＝0；(3)2x 2－13x －1＝0; (4)y 22＝0； (5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax 2这一项．例2 关于x 的方程(k 2－1)x 2＋2(k －1)x ＋2k ＋2＝0，当k __≠±1__时，是一元二次方程；当k __＝－1__时，是一元一次方程．【方法指导】当k 2－1≠0，即k ≠±1时，方程是一元二次方程．当k 2－1＝0时，且2(k －1)≠0时，即k ＝－1时是一元一次方程．◆活动4 随堂练习1．把方程－5x 2＋6x ＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为(C)A ．x 2＋65 x ＋35＝0 B ．x 2－6x －3＝0 C ．x 2－65 x －35 ＝0 D ．x 2－65 x ＋35＝0 2．一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是__2x 2－x －7＝0__．3．把方程(1－3x )(x ＋3)＝2x 2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．解：原方程化为一般形式是：5x 2＋8x －2＝0，其中二次项是5x 2，二次项系数是5，一次项是8x ，一次项系数是8，常数项是－2.◆活动5 课堂小结与作业学生活动：你这节课的主要收获是什么？教学说明：理解一元二次方程的概念及一般形式．作业：1.课本P32中的随堂练习．2．课本P32习题2.1中的T 1、T 2、T 3.本节课通过阅读、分析，找出题中的等量关系，会用一元二次方程解决实际问题，让学生切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．。
2.1 认识一元二次方程(分层练习,5种题型)(解析版)
2.1认识一元二次方程分层练习考查题型一判断一元二次方程考查题型二一元二次方程的一般形式1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0【详解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故选：B．2．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10【详解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，（3）将2821x x -=化为一般形式为：28210x x -+=则：二次项系数为1，一次项系数为8-，常数项为21；（4）将()()112x x x +-=化为一般形式为：2210x x --=则：二次项系数为1，一次项系数为2-，常数项为1-；（5）将()()4152x x x -=+化为一般形式为：249100x x --=则：二次项系数为4，一次项系数为9-，常数项为10-；（6）将()22264x x -=+化为一般形式为：2540x x +=则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．考查题型三一元二次方程的解∴22112210,10x x x x +-=+-=，∴()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．考查题型四一元二次方程的解的估算A ．解的整数部分是3，十分位是1B ．解的整数部分是3，十分位是2C ．解的整数部分是3，十分位是3D ．解的整数部分是3，十分位是4【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．考查题型五已知一元二次方程求未知数的值解得x＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．3．若方程(m－2)2-2m x+(3－m)x－2=0是关于x的一元二次方程，试求代数式m2+2m－4的值．【详解】解：根据题意，得m2－2=2且m－2≠0，解得m=±2且m≠2，所以m=－2，m2+2m－4=(－2)2+2×(－2)－4=4－4－4=－4．。
数学北师大版九年级上册课题：§2.1 认识一元二次方程 (第1课时)教学设计
课题：§2.1 认识一元二次方程（第1课时）【北师大版九年级上学期】宁德市福安县（市、区）学校福安三中姓名罗清声内容分析：1. 课标要求北师大版九年级上学期“§2.1认识一元二次方程”一节包括一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解的概念．《义务教育数学课程标准》对一元二次方程一节相关的内容没有提出具体的教学要求，但可以参照对方程概念的要求，即能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．2. 教材分析知识层面：教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．本节以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。
本节内容实在前面所学方程的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。
这些概念是全章后继内容的基础。
能力层面：本章开篇，教科书利用花边有多宽这一典型的数学生活问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要．接着，通过五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和的问题以及梯子的底端滑动距离的问题，又得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数”和“最高次数”两个方面进行归纳，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）．这样编排，不仅可以使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识．思想层面：引入一元二次方程概念的过程中，教科书在“边空”中多次安排提示性设问“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？”再在“思考”栏目中提出归纳几个方程共同特点的学习任务；在给出一元二次方程概念、一般形式后，通过“为什么规定a≠0？”引导学生辨析概念；最后通过例题，让学生用概念做判断．这样安排，体现了概念学习的一般过程，教科书在归纳具体方程的共同特点、辨析概念的关键词等关键环节中设置问题，引导学生进行独立思考与发现．3. 学情分析本班为自己任课的班级，学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。
2.1认识一元二次方程教学设计2024—2025学年北师大版数学九年级上册
将方程转化为一般形式的一元二次方程：
0.8x - y = 0
求解这个方程，得到商品的原价 x。
【答案】
x - 5y = 0
解得：
x = 5y
5. 题型五：应用一元二次方程解决实际问题
【例题】一个长方体的长、宽、高分别为 l、w、h，其体积 V 可以用一元二次方程表示为：
V = lwh
强调一元二次方程在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用一元二次方程。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于一元二次方程的短文或报告，以巩固学习效果。
学生学习效果
1. 理解一元二次方程的定义和标准形式，能够正确识别和写出一般形式的一元二次方程。
2. 掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法等，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，为下一节课做好铺垫。
核心素养目标
本节课的核心素养目标主要有以下几点：
1. 逻辑推理：通过学习一元二次方程的定义和性质，培养学生的逻辑推理能力，使其能够正确理解和运用一元二次方程。
2. 数学建模：引导学生将实际问题转化为数学模型，培养学生的数学建模能力，使其能够运用一元二次方程解决实际问题。
- 问题描述：某商品打折后的价格为一元二次方程的形式
- 方程设定：设商品原价为x元，折扣为a（0<a<1），则打折后价格为ax^2 + bx + c元
- 求解目标：求出商品的原价x
④ 艺术性和趣味性
- 使用颜色、图标、图形等元素，使板书设计更具艺术性
- 通过有趣的例子、生活情境或小故事，将一元二次方程与现实生活相结合，提高学生的学习兴趣
九年级数学(北师大版)上册教案：认识一元二次方程
第二章一元二次方程2．1 认识一元二次方程（一）课题 2.1 认识一元二次方程课型新授课教学目标1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“未铺地毯区域有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
教学重点一元二次方程的概念教学难点如何把实际问题转化为数学方程学情分析本课通过丰富的实例：未铺地毯区域有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。
通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。
教学后记教学内容及过程教师活动学生活动一、通过实例引入新课1．在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。
2．进人本单元的第一节：认识一元二次方程? 板书课题，明确本节课的中心任务。
3．播放“未铺地毯区域有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。
4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示出题目中的各个量？5．让学生回答他们的答案是什么，给予点评，让学生核对答案，可以以学生举手示意的方式掌握全班的情况。
6．继续进行下二个问题：板书P31的等式，提出问题：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?8．让学生说出自己的答案，点评，其他学1．认真听讲，对本单元(一元二次方程) 有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。
2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；3．很有兴趣地观看课件，对“未铺地毯区域有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。
一元二次方程(1)课件浙教版八年级下册数学
2、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0得： 32+3a+a=0
a 9 4
例题学习
一元二次方程
例2、已知一元二次方程
2x2
bx c 0
的两个根为
x1
5 2
和 x2 3 ，求这个方程.
解：将
x1
5和 2
x2
3代入方程
一种 思想
类比思想
后续还会学习什么呢？ 解
应
法
用
新知引入
2.1一元二次方程
下列方程中哪些是熟悉的方程？分别是什么方程？
什么是一元一次方程？ 只有一个未知数 未知数的最高次数是一次 方程的两边都是整式
什么是二元一次方程？ 有两个未知数 未知数的最高次数是一次 方程的两边都是整式
新知探究
2.1一元二次方程
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)把面积为4m2的一张纸分割成如图的正方形和长方形 两部分，求正方形的边长.
(1) 9x2=5-4x.
(2) (2-x)(3x+4) = 3.
解：
(1)移项，整理，得9x2+4x-5 = 0.
这个方程的二次项系数是9 ，一次项系数是4 ，常数项是-5.
(2) 方程左边多项式相乘，得-3x2 +2x+8 = 3 ， 移项，整理，得-3x2 +2x+ 5 = 0. 这个方程的二次项系数是-3 ，一次项系数是2 ，常数项是5.
解：因为关于x的一元二次方程 (a－2)x2＋3x＋a2－4＝0的常数项为0，
a 2 0 a2 4 0
北师版九年级数学 2.1认识一元二次方程(学习、上课课件)
感悟新知
知识点 2 一元二次方程的一般形式
知2－讲
1. 一般形式：我们把ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数，
a ≠ 0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c
分别称为二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二
特别提醒
次项系数和一次项系数. a ≠ 0 是方程ax2＋bx＋c=0为一
感悟新知
2. 检验一元二次方程根的步骤
知4－讲
步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边
求值.
步骤2：若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二
次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解
(根) 特别提醒
如果一个数是一元二次方程的解(根)，那 么这个数一定能使方程左右两边的值相等.
感悟新知
间比赛一场， 公司共安排了45 场比赛，设参赛选手有
y 人， 则下列方程正确的是( C )
A.y(y＋1)=45
B.y(y－1)=45
C.12y(y－1)=45
D.12y(y＋1)=45
感悟新知
知识点 4 一元二次方程的解(根)(拓展点)
知4－讲
1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是 这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
感悟新知
知2－讲
2. 特殊形式
特殊形式
二次项系数 一次项系数 常数项
ax2＋bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0)
a
ax2＋c=0(a ≠ 0，c ≠ 0)
a
ax2=0(a ≠ 0)
a
b
0
0
c
0
0
感悟新知
知2－练
例2 【母题 教材P32随堂练习T2】 把下列一元二次方程 转化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次 项系数及常数项：
2.1一元二次方程的定义
例3、一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的 顶端距离地面的垂直距离为8m, 如果梯子的顶端 下滑1m，那么梯子的底端滑动多少m?
数学化 1m 8m
7m
6m
xm
X+6
设梯子底端滑动x米，由勾股定理得：
（x+6）² +7 ² =10²
一元二次方程的概念
将上面三个问题得到的三个方程整理为：ax2+bx+c=0 的形式 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . (8-2x)(５-２x)=18
基础练习1：
你能判断下列等式哪些是一元二次方程， 哪些不是吗。 1. 2x2+3xy=5x-3xy 3. 2x2-9x=0
1 5. +x2-3=0 x
2. x2＋3x+2=0 4. x(x+2)=11+2(20x-5) 6. x(x+1)=x(x+7)
把ax2+bx+c=0 （a≠0）称为一元二次方程
什么是一元二次方程？
实际引例1：42页
有一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它 的长8米，宽长5米，如果地毯中央长方形图 案的面积为18平方米，那么花边有多宽？
数学化 5cm
18平方米
5-2x x
8-2x 8cm
用什么模型解决该问题？
解 设：花边的宽为Xm，根据题意，可列方程 （8-2x)(5-2x）= 18
ax2+bx+c=0 (a≠0 ，a，b，c 为常数 )
学习目标：重点: 1会根据题意列一元二次方程。
2会探索一元二次方程的解或近 似解。
方程的解的定义： 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程 的解。一元方程的解又叫方程的根。
2.1一元二次方程(1)导学案
2.1 一元二次方程（1）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1.经历一元二次方程概念的发生过程；2.理解一元二次方程的概念；3.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
〖学习重点与难点〗重点：一元二次方程的概念，包括它的一般形式。
难点：例1第（4）题包括了代数式的变形和等式变形两个方面，计算容易产生差错，是本节学习的难点。
一、课前准备（把握时间，独立完成）1．知识回忆：什么叫一元一次方程？答：只含有 ，并且未知数的最高次数是 次的方程叫一元一次方程。
2．探索新知：阅读课本第24页合作学习，列出问题（1）、（2）关于未知数x 的方程： （1） ； （2） 。
观察整理后的两个式子：（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 特征（1） ；（2） ； （3） 。
二、自主学习（合作学习，相互帮助）1.下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
(1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2-y=0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0 （6）x 2+3x=-3 （7）x3+7=x 2-5 （8）x 2+4xy+4y 2=02.下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有( )2x 2－32x=0；xx 1-=2x －1；x 2－3y=0 ；x 2－x 2(x 2+1)－3=0A.0个B.1个C.2个D.3个 3.下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A.3(x+1)2= 2(x+1) B .05112=-+xxC.ax 2+bx+c= 0 D.x 2+2x= x 2-1 三、继续探索观察刚刚做题涉及到的一元二次方程，你能否发现他们的共同点？ 能否用共同的形式来表示？一元二次方程通常可写成如下的一般形式：讨论：为什么二次项系数a 不能为0？假如a=0会出现什么情况？b 、c 能不能为0？ 练习：将下列方程化为一般形式，并指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项。
北师大版九年级数学上册2.1认识一元二次方程(教案)
-突破方法：通过图形演示和解的代入验证，让学生直观理解解的含义。
-体会直接开平方法和配方法的原理：这些解法对于学生来说是新的，理解其原理可能存在困难。
-突破方法：通过动态演示和逐步推导，让学生跟随步骤理解解法的原理和步骤。
-将解法应用于具体问题中：学生在面对具体问题时，可能不知道如何选择合适的解法。
在新课讲授环节，我注意到学生在理解一元二次方程的定义时存在一些困难，尤其是对a≠0这个条件的理解。我通过举例和图形演示来帮助他们理解，但从学生的反馈来看，可能还需要更多的时间和练习来巩固这一概念。
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们的积极参与让我感到欣慰，他们通过实际操作对一元二次方程有了更直观的认识。然而，我也观察到一些学生在操作过程中遇到了难题，这提示我在未来的教学中需要提供更多的指导和鼓励。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.一元二次方程的一般形式：引导学生掌握一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0（a≠0），并了解各部分名称及意义。
4.举例说明一元二次方程在现实生活中的应用：通过实际例子，让学生感受一元二次方程在实际问题中的应用价值。
5.解一元二次方程的方法：初步介绍解一元二次方程的几种常用方法，如直接开平方法、配方法等。
2.1认识一元二次方程
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
x
8
x 5
x
（8－2x）
18m2 x
你能化简这个方程吗?
做一做
☞
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动 多少米？ 解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙 数学化 8m 1m
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别
称为二次项系数和一次项系数．
探索思考
☞
下列方程哪些是一元二次方程? (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
“行家”看“门 道”
1 －1 ＝0 (3)2x2－ － 3x 2 y (4) ＝0
－ 2
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
第二章 一元二次方程
做一做
☞
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
做一做
☞挑战自我Fra bibliotek解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案 的长为 m,宽为 （8－2x） （5－2x）m,根据题意,可得方程：
4、你知道x是多少了吗？你还有其它的方法吗？
探索方程(8-2x)(5-2x)=18的解
2x2-13x+11=0
3、根据x的范围0＜x＜2.5进行取值，填出下表
x … … 0.5
5
1
0
1.5
-4
2
-7
… …
2x2-13x+11
4、你知道x是多少了吗？