认识一元二次方程-课件ppt

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质疑探究
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NO.14 Middle School，Daqing
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的 顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端 下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
1
8m 7m
6m
x
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x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25
所以1.1＜x＜1.2 因此x的整数部分是1，十分位是1。
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五个连续整数，前三个数的平方和等于后两 个数的平方。您能求出这五个整数分别是多
k ≠±1 时，是一元二次方程．当k ＝－1 时，
是一元一次方程．
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１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺， 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉 汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程．
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为：
9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36
9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0
6m xm
根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102
你能化简这个方程吗?
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1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 2.什么叫一元一次方程？
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质疑探究
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布置作业
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１．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一 边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
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1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠__3_____
时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程，并且都可
以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二
次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、
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如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶 端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙
数学化1m
m. 6 如果设梯子底端滑动
8 m
7m
x m，那么滑动后梯
子底端距墙 (x＋6) m;
少吗？
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A同学的做法： 设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四 个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意， 可得方程： x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2 即：x2-8x-20=0
x
-1 0
x2-12x 13
0
…
11
12
… -11
0
所以，x=0或x=12
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课堂小结
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本节课你又学会了哪些新知识呢？ １．学习了什么是一元二次方程，以及它的
一般形式ax2＋bx＋c＝０（a，b，c为常数 ，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项 、常数项、二次项系数、一次项系数． ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系
x
0.5
1
1.5
2
( 8-2x)(5-2x)
28
18
10
4
（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
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用“夹逼”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数x的取值范围内排除一部分取值； ②根据题意所列的具体情况再次进行排除； ③列出能反映未知数和方程的值的表格进行再 次筛选； ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。
一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
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下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
(1)7x2－6x＝0
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－－31x －1 ＝0 (4) －y22 ＝0
x
-3 -2
…
9
10
x2-8x-20 13
0
… -11
0
所以，x=-2或x=10
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B同学的做法： 设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四 个数 依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得 方程：(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2 即：x2-12x=0
备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四
周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个
宽度吗？
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解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图
案的长为（8－2x）m,宽为（5－2x）m,根据题意,可得
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一元二次方程的概念 由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0.
（ x＋６）２＋７２＝１０２
宽为(x＋2) m，依题意得方程： x
5
(x＋5) (x＋2) ＝54
即
x
54m2
x2 ＋ 7x－44 ＝0
2
X＋5
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教师寄语
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进一步计算：
x
0 0.5
1
1.5
2
x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
所以1.1＜x＜1.2 因此x的整数部分是1，十分位是1。
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乙同学的做法：
x
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
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甲同学的做法：
x
0 0.5
1
1.5
2
x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
所以1＜x＜1.5
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方程：
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
你能化简这个方程吗?
8
x
x 数学
（8－2x）
x
化5
18m2
x
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观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？ 一
般 化
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依
次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．
根据题意，可得方程：
x2 ＋ (x＋1)2 ＋ (x＋ 2)2 ＝(x＋3)2 ＋ (x＋4)2
.
你能化简这个方程吗?
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第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程
北师大版 2018.3.18
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教室地面有多宽 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准
二次项系数为5，一次项系数为36 ，常数项为－ 32 .
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对于方程(8－2x)(5－2x)=18，即2x2-13x+11=0 （1）x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2．5吗? 说说你的理由，并与同伴进行交流． （2）根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？ 4 说说你的理由． （3）完成下表：
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在上一节课的问题中，梯子底端滑动的距离 x(m)满足方程(x+6)2+72 =102，把这个方程 化为一般形式为 x2+12x-15=0 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? （2）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正 确吗?为什么? （3）底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么? （4）x的整数部分是几?十分位是几?
解：设竹竿的长
为x尺,则门的宽 度为(x－4)尺,长 为 (x－2)尺,依题
意得方程：
2尺 x
数学化 x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2 即 x2－12 x ＋20 ＝x－0 4
4尺
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x
0.5
1
1.5
2
( 8-2x)(5-2x)
28
18
10
4
（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
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对于方程(8－2x)(5－2x)=18，即2x2-13x+11=0 （1）x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2．5吗? 说说你的理由，并与同伴进行交流． （2）根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？ 4 说说你的理由． （3）完成下表：