2014年北师大版九上《2.1认识一元二次方程(1)》ppt课件
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北师大九年级数学上册《一元二次方程》课件(共17张PPT)
1.判断下列哪些是一元二次方程
(×1)4x25y22 (×5)y2 1 80
y
×23x429 ×62x3y0
3y2 1 y√
3
4x2 0 √
×7 x2 3 x 4x2 7 8 ×a2x b xc0
(a、b、c为常数 )
考点1、一元二次方程的概念及相关问题。
1、一元二次方程定义： 把握住：①整式方程②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2 2、一元二次方程一般形式：
3x24x10
49x2212 0 1
强调：在选择解方程的方法时， 应先考虑直接开平方法和因式分解法； 再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
考点3、一元二次方程根的判别式。
3.根的判别式△=___b_2－__4_a_c_： （1）△＞0时 __原__方__程__有__两__个__不__相__等__的__实__数根 （2）△＝0时 __原__方__程__有__两__个__相__等__的__实__数__根 （3）△＜0时 __原__方__程__无__实__数__根__________
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
(×1)4x25y22 (×5)y2 1 80
y
×23x429 ×62x3y0
3y2 1 y√
3
4x2 0 √
×7 x2 3 x 4x2 7 8 ×a2x b xc0
(a、b、c为常数 )
考点1、一元二次方程的概念及相关问题。
1、一元二次方程定义： 把握住：①整式方程②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2 2、一元二次方程一般形式：
3x24x10
49x2212 0 1
强调：在选择解方程的方法时， 应先考虑直接开平方法和因式分解法； 再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
考点3、一元二次方程根的判别式。
3.根的判别式△=___b_2－__4_a_c_： （1）△＞0时 __原__方__程__有__两__个__不__相__等__的__实__数根 （2）△＝0时 __原__方__程__有__两__个__相__等__的__实__数__根 （3）△＜0时 __原__方__程__无__实__数__根__________
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我们，还在路上……
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
北师大版初中九年级上册数学课件-《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件优选全文
0
-0.75
1
5.25
从上表中你能得出方程5x2 -24x+28的根是几吗？如果能，写出方程的根，如果不能，请写出方程根的取值范围
B
1、一个长方形的周长为30厘米，面积为54厘米，设宽为x厘米。
解(1)设长方形的宽为x厘米,则长为(15-x)厘米. x(15 -x)=54
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
(1)都是整式方程 (2)只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
a≠0
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0-7x+3=0
x2-5x =0
2x2-5x-11=0
温馨提示：某一项的系数包括它前面的符号。
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
解：移项：ax2 -2bx+a-2x2 =0
合并同类项：(a-2)x2-2bx+a=0
所以，当a≠2时是一元二次方程；
(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。 (2)x可能小于0吗？说出理由. (3)x可能大于15吗？说出理由. (4)能否想一个办法求得长方形的长x?
x
15-x
x
1
2
3
4
5
6
7
x2 -15x+54
40
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1
5.25
从上表中你能得出方程5x2 -24x+28的根是几吗？如果能，写出方程的根，如果不能，请写出方程根的取值范围
B
1、一个长方形的周长为30厘米，面积为54厘米，设宽为x厘米。
解(1)设长方形的宽为x厘米,则长为(15-x)厘米. x(15 -x)=54
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
(1)都是整式方程 (2)只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
a≠0
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0-7x+3=0
x2-5x =0
2x2-5x-11=0
温馨提示：某一项的系数包括它前面的符号。
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
解：移项：ax2 -2bx+a-2x2 =0
合并同类项：(a-2)x2-2bx+a=0
所以，当a≠2时是一元二次方程；
(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。 (2)x可能小于0吗？说出理由. (3)x可能大于15吗？说出理由. (4)能否想一个办法求得长方形的长x?
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15-x
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x2 -15x+54
40
北师大版九年级数学上册第2章《认识一元二次方程》说课课件
01
说教材
说教材
本节课的教材来源于北师大版九年级上册数学教材， 是初中数学重要的一部分。本节课主要介绍了一元 二次方程的概念、特点以及解法，并通过实际问题 引导学生理解和应用一元二次方程。
02
说学情
说学情
学生们已经学习过代数基础知识，包括一 元一次方程的解法和应用。他们对代数概 念有一定的了解，但对于一元二次方程的 概念和解法还不够熟悉。此外，学生们对 数学的学习兴趣和动力有所不足，需要通 过生动有趣的教学方法激发他们的学习兴 趣。
03
说教学目标
说教学目标
知识目标：了解一元二次方程的概念、特点和解法，能够正 确列写一元二次方程，并运用解方程的方法解决实际问题。 能力目标：培养学生的数学思维能力和解决问题的能力， 提高他们的代数运算技巧和逻辑推理能力。 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学学 习兴趣和自信心，培养合作意识和团队精神。Fra bibliotek合作探究
将学生分组，每个小组给出一个实际问题，要求将 问题转化为一元二次方程，并解决问题。例如，小 组可以提出一个问题：甲乙两人年龄之和为30岁， 甲的年龄是乙的平方，求甲、乙的年龄。学生们可 以通过讨论和合作，列出方程并解答问题。
归纳总结
引导学生总结一元二次方程的解法和应用规律，概 括出解一元二次方程的一般步骤。例如，学生可以 总结出一元二次方程的解法包括因式分解法、配方 法和求根公式等，并讨论在不同情况下选择合适的 解法。
谢谢
04
说教学重难点
说教学重难点
教学重点：一元二次方程的概念、特点和解法的讲 解和理解，以及如何运用解方程的方法解决实际问 题。 教学难点：如何引导学生理解一元二次方程的几何 意义和解法的应用。
认识一元二次方程 北师大版九年级数学上册
符合要求的范围．
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
认识一元二次方程 第一课时 课件(共32张PPT) 北师大版九年级数学上册
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，不符合定义；
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
4. 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它 的二次项系数、一次项系数和常数项：
【选自教材P32 习题2.1 第2题】
方程
一般形式
二次项 系数
一次项系 数
常数项
3x2=5x-1 3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
(x+2)(x-1)=6 x2 ＋x－8＝0
1
1
－8
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0
－7
复习导入
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程
(组)及分式方程，其中前两种方程想属一于想整：式什方么程是.
2.什么叫一元一次方程？
一元二次方程呢？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程
叫做一元一次方程.
地毯问题
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，
为(x－4)尺，长为(x－2)尺，
依题意得方程： (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即：x2－12x ＋20 ＝ 0
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
只含有一个未知数 x 的整式方程， 并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的 形式， 这样的方程叫做一元二次方程．
北师大版 数学九年级上册第二章《2.1 认识一元二次方程》课件
知识模块二 一元二次方程有关概念的应用
(一)自主探究
1．下列方程中，是一元二次方程的是( C )
A．x2＋2y－1＝0 C．2x2＝2x－1
B．x＋2y2＝5
D．x2＋ 1 －2＝0 x
2．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为__x_2－__2_x_＋__9_＝__0___， 其二次项系数为__1____，一次项系数是_－__2___，常数项是 __9____ ．
练习
1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取 值范围是_a_≠__1__ ．
2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_m__＝__－__2 时，它是一元一次方程；当m满足_m_≠_－__2__ 时，它是一元二次 方程．
3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二
xm
3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ (1)(100－2x)(50－2x)＝3600 (2)(x＋6)2＋72＝102
归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化 成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a 是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
(二)合作探究
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个 角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分 折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底 面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
答：由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt
5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的 一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的 解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …
北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
2.1一元二次方程北师大版九年级数学上册习题PPT课件2
长a、率b分为别x，称依为题二意4次可项．列系方数【程和为一内( 次项蒙)系数古． 赤峰中考】某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
北师大版数学九年级上册.1用公式法解一元二次方程课件
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二 象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值
范围是k≥ .
−± ²+××
已知某一元二次方程的根为x=
，则此方程
×
可能是( D )
A.3x ²+5x +1=0
B.3x²-5x+1=0
C.3x²-5x-1=0
D.3x²+5x-1=0
变式：用公式法解方程 x²+4 x=2 ,其中求得b²-4ac的值是( )
A.16
B.±4
C.32
D.64
典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.
例 5：若x²+3xy-2y²=0，则
点拨：方程两边同时乘
=
,得
− ±
.
+ × − = ,
设 = ,则 ² + − = ,
+
=
− ,−
< ,所以原方程无解.
新课导入
用配方法解一元二次方程2x²+4x+1=0.
请每位同学编一道一元二次方程，每个小组从中选择一个， 并
北师大版九年级数学上册 (认识一元二次方程)一元二次方程教学课件
9x2 + 12x + 4 = 4x2 - 24x + 36
一次项系数：36
5x2 + 36x - 32 = 0
常数项：-32
还有其他方法吗？
思考
你能设法估计问题一中四周未铺地毯部分的宽度 x (m) 吗？ 我们知道，x 满足方程 ( 8 - 2x )( 5 - 2x ) = 18. (1) x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由. x 小于 0 时，( 8 - 2x ) > 8，( 5 - 2x ) > 5，( 8 - 2x )( 5 - 2x ) > 40. 故不可能. x 大于 4 时，( 8 - 2x )小于0，不符合实际， x 大于 2.5 时， ( 5 - 2x ) 小于0，不符合实际. (2) 你能确定 x 的大致范围吗？ 0 < x < 2.5.
……
得左边的计算结果大于右边的计
求得近似解
算结果，那么方程的解就在这两 个值之间．
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
情景导入
一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长 和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
例4 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3； 一次项是-8x,系数是-8； 常数项是-10.
随堂练习
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》课件
通过上表，你能确定方程2x2 –13x+11=-4的一个解吗？
方程2x2 –13x+11=-7的一个解呢？
一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端到地面的垂直距离为 8m，如果梯子的顶端下滑1m，那 么梯子的底端向右滑动多少米？
1.滑动前，梯子的底端距离墙 6 m 2.滑动过程中，梯子的长度有没有变？ 3.滑动后梯子的顶端距离地面 7 m
x(6-x)= 1/3(10x+6-x)
化成一般形式为: x2 -3x+2=0
根据题意得x的范围是:0 < x ≤ 6
x12 3 456 Nhomakorabeax2 -3x+2
0 0 2 6 12 20
x =1 或 x=2 当x =1 时这个两位数是15
当x =2时这个两位数是24
练习：
解设苗圃的宽为x,则长为(x+2)根据题意得:
程的左边等于0, 则找出值最接近于0且小于0的数，这个 数就是方程精确到十分位的取值。
X的大致范围 是1.1< x <1.2， 因此的整数部分是1,十分位是1
练习：
有一个两位数,个位数字与十位数字之和等于6,而且这两个数字 的积等于这个两位数的 1/3,求这个两位数.
设:这个两位数的十位数字是x,则个位数字是(6-x)
2.1 .2认识一元二次方程
1一元二次方程的定义
经过变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数 是二次，这样的整式方程叫一元二次方程
2一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0 ，a，b，c 为常数 )
3方程ax2+bx+c=0的条件：
（1）当a≠0时，是一元二次方程。
2.1《认识一元二次方程》北师大版 九年级上册教学课件(第2课时)
2．一元二次方程的一般形式是什么？ 答：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常 数，a≠0)．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项
三、探究新知
通过上面列方程的过程我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18．
（1）x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？ 说说你的理由．
则方程x2+px+q=0的正数解满足（ C ）．
A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2
五、课堂练习
2．根据下列表格中的数据，判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0，
a，b，c为常数)的一个解x的取值范围是（ C ）．
（2）0＜x＜2.5． （3）填表如下：
x
0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x) 28
18
10
4
（4）因为当x=1时，(8-2x)(5-2x)=18， 所以x=1是方程(8-2x)(5-2x)=18的解．所以所求宽度为1 m．
四、典例精析
上面问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102， 也就是x2+12x-15=0． （1）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？ （2）底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？ （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ （4）x的整数部分是几？十分位是几？
0.03
0.09
判断：方程ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的一个解x的范
三、探究新知
通过上面列方程的过程我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18．
（1）x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？ 说说你的理由．
则方程x2+px+q=0的正数解满足（ C ）．
A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2
五、课堂练习
2．根据下列表格中的数据，判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0，
a，b，c为常数)的一个解x的取值范围是（ C ）．
（2）0＜x＜2.5． （3）填表如下：
x
0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x) 28
18
10
4
（4）因为当x=1时，(8-2x)(5-2x)=18， 所以x=1是方程(8-2x)(5-2x)=18的解．所以所求宽度为1 m．
四、典例精析
上面问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102， 也就是x2+12x-15=0． （1）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？ （2）底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？ （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ （4）x的整数部分是几？十分位是几？
0.03
0.09
判断：方程ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的一个解x的范
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第二章 一元二次方程
1.认识一元二次方程(1)
回顾与思考
☞
数学与生活
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?
回顾与思考
☞
“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定的
决策吗?
与一元一次方程和分式方程一样,一元二
次方程也是刻画现实世界的一个有效数学
模型。
做一做
☞
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准
即
x2 ＋ 7x－44 ＝0
x 2
54m2
X＋5
独立 作业
知识的升华
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个 数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意 得方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即
x2 ＋2x－8 0＝0.
独立 作业
知识的升华
程 一般形式 二次项 一次项 系 数 系 数 常数 项
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项： 方
2
3x =5x-1
(x+2)(x 1)=6
2
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－ 8＝ 0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
二次项系数为5，一次项系数为36 ，常数项为－ 32 .
小结
拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的 一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数， a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常 数项、二次项系数、一次项系数． • ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系 • 你准备如何去求方程中的未知数呢?
.ห้องสมุดไป่ตู้
你能化简这个方程吗?
做一做
☞
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子 底端距墙 x＋6 m; 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝102
探索思考
☞
下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
“行家”看“门 道”
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 1 2 (3)2x － － 3x － 1 ＝ 0 2 y (4) － 2 ＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2
想一想:
☞
内涵与外延
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠ _______ 3 时，是一元二次方程．
数学化 1m 8m
7m
6m
xm
你能化简这个方程吗?
回顾与思考
☞
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0. （ x＋６）２＋７２＝１０２ 即 x2 ＋12 x －15 ＝0. 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、 一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
解：设竹竿的长 为x尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程： 2尺 数学化
x
x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
x－4
4尺
想一想P44
培养能力之阵地
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 5
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当
k
≠± 1
时，是一元二次方程．当k
＝－1
时，
是一元一次方程．
随堂练
培养能力之源泉
１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺， 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉 汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程．
独立 作业
知识的升华
第32页随堂练习 习题2.1 1 、2题
祝你成功！
独立 作业
１．根据题意，列出方程：
知识的升华
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一 边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m, 宽为(x＋2) m，依题意得方程： 5 x (x＋5) (x＋2) ＝54
备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四
周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
做一做
☞
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图 （8－2x） m,宽为 （ 5－ 2x） 案的长为 m,根据题意,可得方 程： (8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗? 8 x x x 数学 （ 8－ 2x） 化 5 18m2 x
想一想
☞
你能行吗？
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？ 一 般
化 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依 次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ． 根据题意，可得方程： 2 2 2 2 2 x ( x ＋ 1) ( x ＋ 2) ( x ＋ 3) ( x ＋ 4) ＋ ＋ ＝ ＋
1.认识一元二次方程(1)
回顾与思考
☞
数学与生活
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?
回顾与思考
☞
“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定的
决策吗?
与一元一次方程和分式方程一样,一元二
次方程也是刻画现实世界的一个有效数学
模型。
做一做
☞
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准
即
x2 ＋ 7x－44 ＝0
x 2
54m2
X＋5
独立 作业
知识的升华
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个 数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意 得方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即
x2 ＋2x－8 0＝0.
独立 作业
知识的升华
程 一般形式 二次项 一次项 系 数 系 数 常数 项
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项： 方
2
3x =5x-1
(x+2)(x 1)=6
2
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－ 8＝ 0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
二次项系数为5，一次项系数为36 ，常数项为－ 32 .
小结
拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的 一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数， a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常 数项、二次项系数、一次项系数． • ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系 • 你准备如何去求方程中的未知数呢?
.ห้องสมุดไป่ตู้
你能化简这个方程吗?
做一做
☞
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子 底端距墙 x＋6 m; 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝102
探索思考
☞
下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
“行家”看“门 道”
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 1 2 (3)2x － － 3x － 1 ＝ 0 2 y (4) － 2 ＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2
想一想:
☞
内涵与外延
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠ _______ 3 时，是一元二次方程．
数学化 1m 8m
7m
6m
xm
你能化简这个方程吗?
回顾与思考
☞
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0. （ x＋６）２＋７２＝１０２ 即 x2 ＋12 x －15 ＝0. 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、 一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
解：设竹竿的长 为x尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程： 2尺 数学化
x
x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
x－4
4尺
想一想P44
培养能力之阵地
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 5
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当
k
≠± 1
时，是一元二次方程．当k
＝－1
时，
是一元一次方程．
随堂练
培养能力之源泉
１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺， 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉 汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程．
独立 作业
知识的升华
第32页随堂练习 习题2.1 1 、2题
祝你成功！
独立 作业
１．根据题意，列出方程：
知识的升华
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一 边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m, 宽为(x＋2) m，依题意得方程： 5 x (x＋5) (x＋2) ＝54
备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四
周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
做一做
☞
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图 （8－2x） m,宽为 （ 5－ 2x） 案的长为 m,根据题意,可得方 程： (8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗? 8 x x x 数学 （ 8－ 2x） 化 5 18m2 x
想一想
☞
你能行吗？
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？ 一 般
化 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依 次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ． 根据题意，可得方程： 2 2 2 2 2 x ( x ＋ 1) ( x ＋ 2) ( x ＋ 3) ( x ＋ 4) ＋ ＋ ＝ ＋