2014年北师大版九上《2.1认识一元二次方程(1)》ppt课件
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第二章 一元二次方程
1.认识一元二次方程(1)
回顾与思考
☞
数学与生活
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?
回顾与思考
☞
“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定的
决策吗?
与一元一次方程和分式方程一样,一元二
次方程也是刻画现实世界的一个有效数学
模型。
做一做
☞
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准
想一想
☞
你能行吗？
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？ 一 般
化 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依 次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ． 根据题意，可得方程： 2 2 2 2 2 x ( x ＋ 1) ( x ＋ 2) ( x ＋ 3) ( x ＋ 4) ＋ ＋ ＝ ＋
二次项系数为5，一次项系数为36 ，常数项为－ 32 .
小结
拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的 一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数， a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常 数项、二次项系数、一次项系数． • ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系 • 你准备如何去求方程中的未知数呢?
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
探索思考
☞
下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
“行家”看“门 道”
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 1 2 (3)2x － － 3x － 1 ＝ 0 2 y (4) － 2 ＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2
想一想:
☞
内涵与外延
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠ _______ 3 时，是一元二次方程．
独立 作业
知识的升华
程 一般形式 二次项 一次项 系 数 系 数 常数 项
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项： 方
2
3x =5x-1
(x+2)(x 1)=6
2
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－ 8＝ 0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四
周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
做一做
☞
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图 （8－2x） m,宽为 （ 5－ 2x） 案的长为 m,根据题意,可得方 程： (8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗? 8 x x x 数学 （ 8－ 2x） 化 5 18m2 x
数学化 1m 8m
7m
6m
xm
你能化简这个方程吗?
回顾与思考
☞
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0. （ x＋６）２＋７２＝１０２ 即 x2 ＋12 x －15 ＝0. 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、 一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
即
x2 ＋ 7x－44 ＝0
x 2
54m2
X＋5
独立 作业
知识的升华
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个 数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意 得方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即
x2 ＋2x－8 0＝0.
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当
k
≠± 1
时，是一元二次方程．当k
＝－1
时，
是一元一次方程．
随堂练Baidu Nhomakorabea
培养能力之源泉
１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺， 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉 汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程．
独立 作业
知识的升华
第32页随堂练习 习题2.1 1 、2题
祝你成功！
独立 作业
１．根据题意，列出方程：
知识的升华
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一 边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m, 宽为(x＋2) m，依题意得方程： 5 x (x＋5) (x＋2) ＝54
解：设竹竿的长 为x尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程： 2尺 数学化
x
x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
x－4
4尺
想一想P44
培养能力之阵地
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 5
.
你能化简这个方程吗?
做一做
☞
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子 底端距墙 x＋6 m; 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝102
1.认识一元二次方程(1)
回顾与思考
☞
数学与生活
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?
回顾与思考
☞
“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定的
决策吗?
与一元一次方程和分式方程一样,一元二
次方程也是刻画现实世界的一个有效数学
模型。
做一做
☞
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准
想一想
☞
你能行吗？
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？ 一 般
化 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依 次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ． 根据题意，可得方程： 2 2 2 2 2 x ( x ＋ 1) ( x ＋ 2) ( x ＋ 3) ( x ＋ 4) ＋ ＋ ＝ ＋
二次项系数为5，一次项系数为36 ，常数项为－ 32 .
小结
拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的 一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数， a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常 数项、二次项系数、一次项系数． • ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系 • 你准备如何去求方程中的未知数呢?
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
探索思考
☞
下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
“行家”看“门 道”
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 1 2 (3)2x － － 3x － 1 ＝ 0 2 y (4) － 2 ＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2
想一想:
☞
内涵与外延
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠ _______ 3 时，是一元二次方程．
独立 作业
知识的升华
程 一般形式 二次项 一次项 系 数 系 数 常数 项
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项： 方
2
3x =5x-1
(x+2)(x 1)=6
2
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－ 8＝ 0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四
周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
做一做
☞
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图 （8－2x） m,宽为 （ 5－ 2x） 案的长为 m,根据题意,可得方 程： (8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗? 8 x x x 数学 （ 8－ 2x） 化 5 18m2 x
数学化 1m 8m
7m
6m
xm
你能化简这个方程吗?
回顾与思考
☞
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0. （ x＋６）２＋７２＝１０２ 即 x2 ＋12 x －15 ＝0. 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、 一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
即
x2 ＋ 7x－44 ＝0
x 2
54m2
X＋5
独立 作业
知识的升华
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个 数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意 得方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即
x2 ＋2x－8 0＝0.
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当
k
≠± 1
时，是一元二次方程．当k
＝－1
时，
是一元一次方程．
随堂练Baidu Nhomakorabea
培养能力之源泉
１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺， 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉 汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程．
独立 作业
知识的升华
第32页随堂练习 习题2.1 1 、2题
祝你成功！
独立 作业
１．根据题意，列出方程：
知识的升华
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一 边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m, 宽为(x＋2) m，依题意得方程： 5 x (x＋5) (x＋2) ＝54
解：设竹竿的长 为x尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程： 2尺 数学化
x
x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
x－4
4尺
想一想P44
培养能力之阵地
２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般 形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 5
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你能化简这个方程吗?
做一做
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生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子 底端距墙 x＋6 m; 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝102