《认识一元二次方程》PPT课件
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《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件教学课件
5x2 10x 2.2 0
特征: (1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
(1)都是整式方程 (2)只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2
问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，
开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比 宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
解：设长方形绿地的宽为x米，1、设未知数 则长为（x＋10）米，可得方程：
长×宽＝面积
2、找相等关系
x（x＋10）=900，
3、列方程
整理可得： x2 10x 900 0 （1）
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙
数学化 1m
m. 6 如果设梯子底端滑动
8m 7m
x m，那么滑动后梯子
底端距墙 x＋6m;
6m xm
根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102
问题2中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102， 即 x2+12x-15=0
问:你能猜出梯子底端滑动的距离x(m) 的大致范围吗？
x的整数部分是几？十分位是几？
x
0 0.5 1 1.5 2
x2 +12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
特征: (1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
(1)都是整式方程 (2)只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2
问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，
开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比 宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
解：设长方形绿地的宽为x米，1、设未知数 则长为（x＋10）米，可得方程：
长×宽＝面积
2、找相等关系
x（x＋10）=900，
3、列方程
整理可得： x2 10x 900 0 （1）
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙
数学化 1m
m. 6 如果设梯子底端滑动
8m 7m
x m，那么滑动后梯子
底端距墙 x＋6m;
6m xm
根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102
问题2中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102， 即 x2+12x-15=0
问:你能猜出梯子底端滑动的距离x(m) 的大致范围吗？
x的整数部分是几？十分位是几？
x
0 0.5 1 1.5 2
x2 +12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
《一元二次方程》PPT课件
75 1 x 2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
认识一元二次方程ppt课件
析
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)
的一个解x的范围是（ C）
A. 3<x<3.23
C. 3.24<x<3.25
B. 3.23<x<3.24
D. 3.25<x<3.26
课堂练习
3. 根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：
则方程x2+px+q=0的正数解满足（
A. 解的整数部分是0，十分位是5
B. 解的整数部分是0，十分位是8
②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
典例精析
例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1).
解：(1)列表.依次取x=0，1，2 ，3…
x
0
1
2
3
...
x2 - 2x -1
(2) 底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？
不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0.
不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0.
新知讲解
(3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
x
1
2
3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
可以看出：
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，
程(8-2x)(5-2x)=18的解”
归纳总结
一元二次方程解的估算
步骤：
①在未知数x的取值范围内确定范围；
②根据题意的具体情况再次确定大致范围；
A. 3<x<3.23
C. 3.24<x<3.25
B. 3.23<x<3.24
D. 3.25<x<3.26
课堂练习
3. 根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：
则方程x2+px+q=0的正数解满足（
A. 解的整数部分是0，十分位是5
B. 解的整数部分是0，十分位是8
②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
典例精析
例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1).
解：(1)列表.依次取x=0，1，2 ，3…
x
0
1
2
3
...
x2 - 2x -1
(2) 底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？
不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0.
不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0.
新知讲解
(3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
x
1
2
3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
可以看出：
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，
程(8-2x)(5-2x)=18的解”
归纳总结
一元二次方程解的估算
步骤：
①在未知数x的取值范围内确定范围；
②根据题意的具体情况再次确定大致范围；
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)
焦距，使调节他们的睫状体
放松而保护视力。
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质
版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次
3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高
度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的
中心点。
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进
的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线
6.关于x的方程( m+3 )x2+5x+m2-9=0有一个解是0,那么m的值为( C )
A.-3
B.3
C.±3 D.不确定
7.一个三角形的两边长为2和5,第三边的边长是方程( x-2 )( x-6 )=0的根,那么这个三角形
的周长是( B )
A.9
B.13
C.9或13 D.9和13
8.( 原创 )a是方程x2-5x-1=0的根,那么-5a3+26a2+XXXX的值是 XXXX .
解:∵方程有一个根是0,
∴m2-4=0,∴m=±2,
∵m+2≠0,∴m≠-2,∴m=2.
11.有两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1 cm,大正方形的面积比小正
方形的面积的2倍还多4 cm2.
( 1 )假设求大正方形的边长,怎样列方程?并将其化为一般形式.
( 2 )假设设大正方形的边长为x cm,x会小于0吗?x会小于4吗?x会大于10吗?
x
ax2+bx+c
A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18
C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20
6.17 6.18 6.19 6.20
放松而保护视力。
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质
版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次
3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高
度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的
中心点。
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进
的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线
6.关于x的方程( m+3 )x2+5x+m2-9=0有一个解是0,那么m的值为( C )
A.-3
B.3
C.±3 D.不确定
7.一个三角形的两边长为2和5,第三边的边长是方程( x-2 )( x-6 )=0的根,那么这个三角形
的周长是( B )
A.9
B.13
C.9或13 D.9和13
8.( 原创 )a是方程x2-5x-1=0的根,那么-5a3+26a2+XXXX的值是 XXXX .
解:∵方程有一个根是0,
∴m2-4=0,∴m=±2,
∵m+2≠0,∴m≠-2,∴m=2.
11.有两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1 cm,大正方形的面积比小正
方形的面积的2倍还多4 cm2.
( 1 )假设求大正方形的边长,怎样列方程?并将其化为一般形式.
( 2 )假设设大正方形的边长为x cm,x会小于0吗?x会小于4吗?x会大于10吗?
x
ax2+bx+c
A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18
C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20
6.17 6.18 6.19 6.20
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
一元二次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的最高次数为2的 整式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
北师大版初中九年级上册数学课件 《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件
(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。 (2)x可能小于0吗？说出理由. (3)x可能大于15吗？说出理由. (4)能否想一个办法求得长方形的长x?
x
15-x
x
1
2
3
4
5
6
7
x2 -15x+54
40
28
18
10
4
0
解：如果设花边的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：
(8-2x)
(5-2x)
(8-2x)(5 -2x) = 18.
整理, 得
8m
10m
解:设梯子底端滑动x米,则由题意可得方程：
问题2 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
当a=2，b≠0时是一元一次方程；
3、 关于x的方程ax2 -2bx＋a＝2x2 , 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
变式练习(1): (k+3)x|k|-1 -5x＋6＝0 是关于x的一元二次方程, 则k= .
变式练习(2):关于x的一元二次方程(m-1)x2 +5x＋m2-1＝0 的常数项是0, 则m= .
一元二次方程
没有未知数，不是方程
不是等式，不是方程
一元一次方程
二元一次方程
不是等式，不是方程
(1)2＋3＝5 (2)3x＋2 (3)5x＋3＝18 (4)x-2y＝5
一元一次方程、二元一次方程、分式方程
分式方程
一元二次方程(PPT课件)
x2 5 . x1 1， 所以：
解法3：利用配方法。将方程左边配方，有：
x 2 6 x 9 9 5 0 ，即 x 32 4
x2 5 . x 3 2 即 x1 1， 所以：
想一想
例题中的三种解法各具有哪些特点？本题 中使用哪种方法比较简洁？
返回目录
(1) x 2 4 x 12 0 ；(2) 3x 2 4 x 1 0；
(3) x 2 2 x 2 0 ；(4) x 2 4 x 2 0 .
再 见！
返回目录
§3.3
一元二次方程
安溪华侨职校数学组
目 录
知 识 讲 授 典 型 例 题
课 堂 练 习
课 外 作 业
1、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。其一般形式为：
ax2 bx c 0
a 0 .
2、解一元二次方程的基本方法:
公式法、配方法和因式分解法
_______ ⑷方程 x 2 2 x 8 0中， ，此方程
_______实数根；
课堂练习
2、解下列各方程：
(1) x 2 3x 10 0 ； (2) 2 x 2 3x 9 0； (3)பைடு நூலகம்3x 2 4 x 4 0 .
返回目录
课外作业
用适当的方法解下列各方程：
3、一元二次方程的求根公式：
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。求根公 式为：
b b 2 4ac x . 2a
4、一元二次方程解得讨论：
2 b 4ac ，则： 判别式为
(1) 当 0 时，一元二次方程有两个不相等的实 数解； (2) 当 0 时，一元二次方程有两个相等的实数解； (3) 当 0 时，一元二次方程没有实数解。
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程ppt课件
定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
《认识一元二次方程》公开课ppt
结论：当一元二次方程的系数满足某些条件时，它的解会具有对称性。这种对称性可以为我们提供更多关于方程的信息，例如当一个一元 二次方程具有根的对称性时，它的系数必须满足特定的条件。
应用：在解决实际问题时，我们可以利用根的对称性来简化计算过程，例如在一些物理问题中，当一个物体做对称运动时，我们可以利用 根的对称性来求解一些物理量。
如何利用一元二次方程解决实际问题
理解一元二次方 程的概念和解题 思路
掌握求解一元二 次方程的方法
了解一元二次方 程的应用场景
学会利用一元二 次方程解决实际 问题
06
总结与展望
对一元二次方程的认识与收获总结
理解一元二次方程的概念和一 般形式
掌握求解一元二次方程的方法
理解一元二次方程的应用和实 际意义
a x ²+ b x + c = 0 （ a ， b ， c 是 常 数 ， a≠0）
根的判别式：Δ=b²-4ac
配方法：将一元二次方程配成 （ x + m ） ²= n 的 形 式 ， 再 利 用 直 接开平方法求解
公式法：用求根公式解一元二 次方程
一元二次方程的解法
公式法：$ax^{2} + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$
科学中的一元二次方程应用场景
物理：解决与速 度、加速度、重 力等有关的问题
化学：计算化学 反应中物质的质 量、能量等问题
经济学：预测市 场趋势、评估投 资风险等
工程学：设计建 筑结构、机械装 置等
04
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的根的判别式
定义：一元二次方程的根的判别式是二次项系数a、一次项系数b和常数项c之间的一种关 系式。
应用：在解决实际问题时，我们可以利用根的对称性来简化计算过程，例如在一些物理问题中，当一个物体做对称运动时，我们可以利用 根的对称性来求解一些物理量。
如何利用一元二次方程解决实际问题
理解一元二次方 程的概念和解题 思路
掌握求解一元二 次方程的方法
了解一元二次方 程的应用场景
学会利用一元二 次方程解决实际 问题
06
总结与展望
对一元二次方程的认识与收获总结
理解一元二次方程的概念和一 般形式
掌握求解一元二次方程的方法
理解一元二次方程的应用和实 际意义
a x ²+ b x + c = 0 （ a ， b ， c 是 常 数 ， a≠0）
根的判别式：Δ=b²-4ac
配方法：将一元二次方程配成 （ x + m ） ²= n 的 形 式 ， 再 利 用 直 接开平方法求解
公式法：用求根公式解一元二 次方程
一元二次方程的解法
公式法：$ax^{2} + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$
科学中的一元二次方程应用场景
物理：解决与速 度、加速度、重 力等有关的问题
化学：计算化学 反应中物质的质 量、能量等问题
经济学：预测市 场趋势、评估投 资风险等
工程学：设计建 筑结构、机械装 置等
04
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的根的判别式
定义：一元二次方程的根的判别式是二次项系数a、一次项系数b和常数项c之间的一种关 系式。
认识一元二次方程PPT课件
“方程有一个根为－4.”小聪回答：“方程有一个根
为 3.”你认为( C )
方程x2＋x－12＝0的根是
.
A．只有小敏回答正确
B．只有小聪回答正确
C．小敏、小聪回答都正确
D．小敏、小聪回答都不正确
夯实基础
8．【中考·日照】某省加快新旧动能转换，促进企业创新发 展，某企业一月份的营业额是1 000万元，月平均增长率 相同，第一季度的总营业额是3 990万元．若设月平均增 长率是x，那么可列出的方程是( B ) A．1 000(1＋x)2＝3 990 B．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990 C．1000(1＋2x)＝3 990 D．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋2x)＝3 990
【点拨】确定三角形的三边长时，要注意“三角 形任意两边之和大于第三边”这一条件，否则容 易出现错误的解答．
整合方法
解：把x＝2代入原方程得4－2(3＋k)＋12＝0，解得k ＝5.当以2为腰长时，等腰三角形的三边长分别为2， 2，5，因为2＋2＜5，所以不能组成三角形，即此种 情况不存在．当以5为腰长时，等腰三角形的三边长 分别为2，5，5，能够组成三角形．所以等腰三角形 的周长为5＋5＋2＝12.
夯实基础
*9.【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还 研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0即x(x＋5)＝14为例 加以说明．数学家赵爽(公元3世纪～4世纪)在其所著的《勾股 圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形 的面积是(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小 正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在下面右边的 三个构图(矩形的顶点均落在边长 为1的小正方形网格格点上)中， 能够说明方程x2－4x－12＝0 的正确构图是________．(只填序号)
一元二次方程(概念_一般形式_公开课)ppt课件
子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
解：设梯子滑动的距离是X米。根 据题意得
(4 x)2 (3 x)2 52
整理，得 x2 x 0
5
• （5）一项工程甲单独做需要10天， 乙单独做需要15天，二人合作需要几 天完成？
• 解：设甲乙合作需X天完成，
•
1 1 =1
10 15 x
6
关于x的方程，kx2 x -1 2x2一定是一元二次 方程吗？
14
例题讲解
• [例2] 若方程 (m例题3讲)x解m27 mx 10
是关于x的一元二次方程，求m的值。
• 解：由题意得：
15
k为何值时，关于x 的方程
（k 2 1)x2 2(k 1)x 3(k 1) 0是 1）一元二次方程 2）一元一次方程
x2 2
2x2 19x 24
x2＋2x=0.44
x2 x 0
一元二次方程的概念
• 像特这点样: 的①等都号是两整式边方都程是; 整式, 只含有 一个未知②数只(含一一元个)未，知并数;且未知数的最 高次数是③2未(二知数次的)的最高方次程数叫是做2. 一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)7
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
18
做一做，看看你是否真的掌握了
1.下列是一元二次方程的是（ ）
A.x2 3x 2 C.x2 2 3x
B.x2 3x 2 x2
x2 x 0
9
x2 2 0
2x2 19x 24 0
解：设梯子滑动的距离是X米。根 据题意得
(4 x)2 (3 x)2 52
整理，得 x2 x 0
5
• （5）一项工程甲单独做需要10天， 乙单独做需要15天，二人合作需要几 天完成？
• 解：设甲乙合作需X天完成，
•
1 1 =1
10 15 x
6
关于x的方程，kx2 x -1 2x2一定是一元二次 方程吗？
14
例题讲解
• [例2] 若方程 (m例题3讲)x解m27 mx 10
是关于x的一元二次方程，求m的值。
• 解：由题意得：
15
k为何值时，关于x 的方程
（k 2 1)x2 2(k 1)x 3(k 1) 0是 1）一元二次方程 2）一元一次方程
x2 2
2x2 19x 24
x2＋2x=0.44
x2 x 0
一元二次方程的概念
• 像特这点样: 的①等都号是两整式边方都程是; 整式, 只含有 一个未知②数只(含一一元个)未，知并数;且未知数的最 高次数是③2未(二知数次的)的最高方次程数叫是做2. 一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)7
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
18
做一做，看看你是否真的掌握了
1.下列是一元二次方程的是（ ）
A.x2 3x 2 C.x2 2 3x
B.x2 3x 2 x2
x2 x 0
9
x2 2 0
2x2 19x 24 0
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
14．设 a，b，c 分别是关于 x 的一元二次方程的二次项系数、一 次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程：
(1)a∶b∶c＝3∶4∶5，且 a＋b＋c＝36； 解：设 a＝3k，b＝4k，c＝5k， 则 3k＋4k＋5k＝12k＝36，解得 k＝3， 故 a＝9，b＝12，c＝15. 则方程为 9x2＋12x＋15＝0.
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
则 a 的值为( B )
A．±2
B．2
C．－2
D．以上都不对
【点拨】由已知条件得 a2－2＝2 且 a＋2≠0，解得 a＝2.注意不要 漏掉二次项系数不为 0 这个条件．
4．一元二次方程 x2－2x＝1 的一般形式是_x_2_－__2_x_－__1_＝__0__，二 次项系数是__1____，一次项系数是__－__2__，常数项是__－__1__．
温馨提示： 此PPT
可修改编辑
5．(中考·福建)一元二次方程 4x2＋x＝1 的二次项系数、一次项
系数、常数项分别是( C )
A．4，0，1
B．4，1，1
C．4，1，－1
D．4，1，0
6．若关于 x 的方程(a－1)x2＋x－4＝2a＋2 中不．含．常数项，则 a 的值是( B ) A．1 B．－3 C．±3 D．－1
7．(2018·铜仁)关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋3＝0 的解为( C )
A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝1，x2＝3
D．x1＝－1，x2＝－3
8．(2019·兰州)x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2＋ax＋2b＝0 的 解，则 2a＋4b＝( A ) A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
9．若一元二次方程 x2－2kx＋k2＝0 的一根为 x＝－1，则 k 的值 为( A ) A．－1 B．0 C．1 或－1 D．2 或 0
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
解：由已知可得 a 的取值范围为 4＜a＜8，又 a 为整数， 所以 a 可能的取值为 5，6，7. 当 a＝5 时，a2－9a＋14＝52－9×5＋14≠0， 故 a＝5 不是方程的根． 同理可知，a＝6 也不是方程的根，a＝7 是方程的根，即三角形 的第三条边的长为 7 cm. 所以三角形的周长是 2＋6＋7＝15(cm)．
16 见习题
答案显示
1．一元二次方程的三个特征： (1)等号两边都是整式； (2)只含__一____个未知数； (3)未知数的最高次数是__2____．
2．以下是关于 x 的一元二次方程的是( D )
A．x2－x12＝2 C．3x2－2xy＋y2＝0
B．ax2＋bx＋c＝0 D．x－122＝0
*3.若方程(a＋2)xa2－2－(a－2)x＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，
人教版 九年级上
第二十一章 一元二次方程
第1节 一元二次方程 第1课时 认识一元二次方程
提示：点击 进入习题
1 (2)一 (3)2 2D
6B 7C
3B
8A
4 x2－2x－1＝0；1；－2； 9 A －1
5C
10 A
答案显示
提示：点击 进入习题
11 A 12 D 13 见习题 14 见习题 15 见习题
10．(2019·新疆)在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比
赛一场，共比赛 36 场．设有 x 个队参赛，根据题意，可列方
程为( A )
A．12x(x－1)＝36 C．x(x－1)＝36
B．12x(x＋1)＝36 D．x(x＋1)＝36
11．(2019·遵义)新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱， 各种品牌相继投放市场．我国新能源汽车近几年销量全球第 一，2016 年销量为 50.7 万辆，销量逐年增加，到 2018 年销 量为 125.6 万辆，设年平均增长率为 x，可列方程为( A ) A．50.7(1＋x)2＝125.6 B．125.6(1－x)2＝50.7 C．50.7(1＋2x)＝125.6 D．50.7(1＋x2)＝125.6
*12.(2019·广西北部湾经济区)扬帆中学有一块长 30 m、宽 20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花， 小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度 为 x m，则可列方程为( ) A．(30－x)(20－x)＝34×20×30 B．(30－2x)(20－x)＝14×20×30
1、“读”是我们学习语文最基本的方法之一，古人说，读书时应该做到“眼到，口到，心到”。我看，你们今天达到了这个要求。 2、大家自由读书的这段时间里，教室里只听见琅琅书声，大家专注的神情让我感受到什么叫“求知若渴”，我很感动。 3、经过这么一读，这一段文字的意思就明白了，不需要再说明什么了。 4、请你们读一下，将你的感受从声音中表现出来。 5、读得很好，听得出你是将自己的理解读出来了。特别是这一句，请再读一遍。
C．30x＋2×20x＝14×20×30
D．(30－2x)(20－x)＝34×20×30 【点拨】由题图可知不种花的区域是一个矩形，其长为(30－2x)m，
宽为(20－x)m，因为种花的区域面积占空地面积的14，所以不种花
的区域面积占空地面积的34，可得方程为(30－2x)(20－x)＝34
×20×30.
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
16．一个三角形的两边长分别是 2 cm 和 6 cm，第三条边的长 是 a cm(其中 a 为整数)，且 a 满足方程 a2－9a＋14＝0.求此 三角形的周长．
【思路点拨】先由三角形三边关系及 a 为整数，求出所有符合条 件的 a 的值，再用代入验根法看它们是否为方程 a2－9a＋14＝0 的根，最后求出三角形的周长．