导数在高中数学教学中的应用
导数在高中数学函数中的应用体会
导数在高中数学函数中的应用体会高中数学中，导数是用来计算相关物理和数学问题的重要工具。
它为我们提供了有效的方法去探究物理世界和数学问题的变化规律。
导数可以在高中数学函数中应用于计算函数上某一点处的切线斜率，检验函数是单调递增还是单调递减，找出函数的极大值、极小值以及拐点等等。
就我的经历而言，我在学习高中数学函数时写的第一篇文章就是关于导数的。
当时，我很好奇物理世界发生的变化情况，于是我开始通过导数算法去研究函数上的斜率如何可以帮助我们来解决问题。
随后，我发现，通过计算函数上某一点处的切线斜率，我们可以检验函数是单调递增还是单调递减、找出函数的极大值、极小值以及拐点等等。
这些工作都是有效的，能够更好地理解物理原理、数学规律及这些规律带来的问题。
此外，导数在高中数学函数中也可以应用于解决微积分问题，因为这种方法可以更快、更精确地求出积分的具体值。
同时，导数的应用也有助于我们更深入地理解函数的变化趋势。
总之，导数在高中数学函数中可以实现很多功能，它为我们提供了有效的方法去探究物理世界和数学问题的变化规律，是科学家深入探究科学现象的重要手段。
导数在高中数学函数中还可以应用于计算函数两点的位移的大小，计算函数在某一区间上的变化情况，以及在某一时刻函数处于最大或最小状态等。
同时，导数也可以用于求解定积分中的某一特定点处的函数值，以及求解一元微分方程。
甚至可以用来探究不同时刻函数变化对物理世界的影响。
此外，导数在高中数学函数中也可以应用于建立函数与其他函数的图形之间的关系，进而更深入地研究函数的变化规律，从而能够给我们带来新的认识。
最后，应用导数的另一个方面就是开发算法，用于解决物理和数学问题，例如在量子力学中，可以利用导数算法来求解相关的微分方程。
总的来说，导数在高中数学函数中的应用十分广泛，它能够让我们更好地理解物理原理、数学规律及这些规律带来的问题，为研究人员提供有效的研究手段。
对我来说，学习高中数学函数中的导数过程是一次有趣的体验。
高中数学导数的应用
高中数学导数的应用导数是高中数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从几个不同的角度来讨论导数的应用。
一、函数的局部性质导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
通过计算导数，我们可以判断函数在某点上是增函数还是减函数，从而了解函数的局部性质。
例如，对于一条直线函数，导数恒为常数，表示函数在任意一点上都是增函数或减函数；而对于一个二次函数，导数可以告诉我们函数的凹凸性质。
二、切线与法线导数还可以用来求解函数的切线和法线方程。
对于一条曲线，通过求解曲线上某一点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而得到切线方程。
同样地，法线的斜率可以通过切线的斜率和导数的关系求解，进而得到法线方程。
这种应用在物理学中特别有用，例如计算质点在曲线上的运动轨迹时，我们需要知道质点的切线方程，以便求解其运动速度和加速度等物理量。
三、最值问题导数也可以用来解决函数的最值问题。
对于一个连续函数，其最值出现在导数为零的点或者定义域的端点上。
因此，通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，从而求解最值问题。
这一应用在经济学中尤为重要，例如在成本和收益问题中，我们需要确定某种产品的生产数量，以使总利润最大化。
四、曲线的凹凸性与拐点通过导数的符号变化，我们可以判断函数在某一区间上的凹凸性以及确定曲线的拐点。
当导数在某一区间上始终大于零时，函数在该区间上是凹函数；反之，当导数在某一区间上始终小于零时，函数在该区间上是凸函数。
而导数在某一点上发生跃变时，可以判断该点为函数的拐点。
这一应用在优化问题和工程设计中具有重要意义，例如在物体运动问题中，我们需要找到最优的运动轨迹，以使得物体的速度变化最小。
总结起来，导数的应用非常广泛。
无论是研究函数的局部性质、求解切线和法线方程、解决最值问题，还是分析曲线的凹凸性与拐点，导数都发挥着重要的作用。
因此，对于高中数学学习者来说，深入理解导数的概念和应用是非常重要的。
只有掌握了导数的应用，才能更好地解决实际问题，并在日后的学习和工作中受益。
高中数学教案应用导数解决最优化问题
高中数学教案应用导数解决最优化问题尊敬的教师：在高中数学教育中，了解和应用导数的概念及其相关知识是十分重要的。
导数在数学和实际应用中具有广泛的作用，其中之一就是解决最优化问题。
本教案旨在帮助学生理解导数的概念，并通过实际问题引导他们应用所学知识来解决最优化问题。
1. 引言最优化问题是在给定条件下，寻找函数取得最大值或最小值的问题。
数学上，我们可以通过导数的求解来解决这类问题。
本教案将通过几个实际问题，引导学生应用导数来解决最优化问题。
2. 导数的基本概念回顾在开始解决最优化问题前，我们需要对导数的基本概念进行回顾。
导数可以理解为函数的变化率，表示了函数在某一点处的斜率。
学生需要掌握导数的定义、求导法则和求导技巧，以便在解决最优化问题时能够灵活应用。
3. 最小路径问题问题描述：一个人在一座公园中从点A到达点B，公园中有一条弯曲的小路连接着这两个点。
他想找到一条路径，使得他走过的总路程最短。
如何确定这条最短路径？解决思路：假设小路的形状可以用一条函数曲线来表示，我们可以建立一个数学模型来描述这个问题。
引导学生根据问题描述，设定坐标系，并表示小路的形状函数。
然后，通过导数的求解找到函数取得最小值的情况，得出最短路径。
4. 最大盒子问题问题描述：一个制作盒子的工厂打算生产一种长方体盒子，该盒子的体积为固定值V。
为了节省材料成本，工厂希望制作的盒子表面积最小。
如何确定这样的盒子的尺寸？解决思路：引导学生设立长方体的长、宽、高分别为x、y、z，建立体积V与表面积S的函数关系式。
然后，通过导数的求解找出函数的极值，从而得到表面积的最小值。
引导学生通过求解极值问题，确定最优的盒子尺寸。
5. 最大收益问题问题描述：一个农民种植苹果，他希望通过调整种植面积来最大化收益。
他已经对不同种植面积下的苹果产量与售价进行了调查。
如何确定最佳的种植面积，使得收益最大化？解决思路：引导学生对问题进行数学建模，设定种植面积为x，通过导数的求解找出收益函数的极值。
导数是高二上册吗知识点
导数是高二上册吗知识点高等数学中的导数是高中数学的内容，通常在高二上学期开始学习。
导数是微积分的一个重要概念，用于研究函数的变化率和函数的局部性质。
在本文中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及一些应用。
一、导数的定义在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用极限来定义：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
这个定义可以直观地理解为，当x在无限接近于给定点时，函数f(x)在该点的斜率逐渐趋近于某个特定值。
二、求导法则求导法则是计算函数导数的一套规则和方法，便于我们在实际应用中进行计算。
以下是常见的求导法则：1. 基本导数法则：a. 常数导数法则：如果c是一个常数，那么dc/dx = 0。
b. 幂函数导数法则：对于函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
c. 指数函数导数法则：对于函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数导数法则：对于函数f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。
2. 导数的四则运算法则：a. 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
b. 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
c. 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
3. 复合函数导数法则：如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
高中数学的解析函数的导数与导数应用
高中数学的解析函数的导数与导数应用高中数学中，解析函数是一种以公式形式表示的函数，可以通过解析的方式进行计算和研究。
在解析函数的学习中，导数是一个重要的概念，它描述了解析函数在某个点处的变化率。
导数的应用也具有广泛的实际意义，可以用于解决许多实际问题。
本文将对高中数学的解析函数的导数与导数应用进行论述。
一、解析函数的导数解析函数的导数是指在某个点处的变化率，可以用极限表示。
对于解析函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
导数的计算方法有很多种，如使用定义法、求导法则等，根据不同的函数类型，选择合适的方法进行计算。
在解析函数的导数计算中，常见的函数类型有多项式函数、三角函数和指数函数等。
对于多项式函数，可以利用求导法则进行计算，如常数规则、幂规则和求和规则等。
对于三角函数和指数函数，可以使用相应的导数公式进行计算，如sin(x)的导数是cos(x)，e^x的导数仍然是e^x等。
通过求导可以得到解析函数在各个点处的导数值，导数也可以表示为函数图像的斜率。
导数的正负还可以判断函数在某个点的增减性，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的；当导数等于0时，函数取得极值。
二、导数的应用导数不仅仅是一个概念，它还有广泛的实际应用。
在物理学、经济学、工程学等领域，导数可以用于解决许多实际问题。
以下是导数应用的几个例子：1. 切线与曲线的问题：导数可以用于求解曲线上某点的切线方程。
通过求解导数可以得到切线的斜率，再结合该点的坐标，就可以得到切线方程。
这在几何问题和物理问题中都有应用，例如研究物体的运动轨迹时，需要知道某个时刻的速度和加速度。
2. 最值问题：导数还可以用于求解函数的最值。
通过求解导数为0的点，可以找到函数的极值点。
这在优化问题中很常见，例如求解最大面积、最小成本等问题。
3. 函数图像的研究：导数可以用于研究函数的图像特征。
通过分析导数的正负、增减性、凹凸性等，可以了解函数图像的形状和变化规律。
高中数学导数的应用教案
高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。
教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。
教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。
教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。
二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。
三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。
四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。
五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。
同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。
高中数学一元函数的导数及其应用
高中数学一元函数的导数及其应用
一元函数的导数是描述函数变化率的一个重要概念，它在高中数学中占有重要地位。
本文将从以下几个方面来介绍一元函数的导数及其应用。
1. 导数的定义及其运算法则
首先，我们需要了解导数的定义及其运算法则。
导数的定义是：函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)=limlimits_{Delta
xto0}dfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$。
而导数的运算法则包括：常数求导法则、和差求导法则、积法求导法则、商法求导法则、复合函数求导法则以及反函数求导法则等。
2. 导数的图像及其性质
导数的图像是很有特点的，对于一些数学问题，我们可以通过导数图像来解决。
在本文中，我们将介绍导数图像的性质，如导数曲线的斜率、升降区间、极值和拐点等。
3. 极值与最值问题
极值与最值问题是高中数学中的一个重要问题，它跟导数密切相关。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来求得函数的极值与最值，并讲解极值与最值的应用。
4. 函数图像的绘制
函数图像的绘制是高中数学中的一个必修内容，它要求我们能够通过导数来判断函数的升降性、极值和拐点等，从而画出函数的图像。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来刻画函数图像的特点，并讲解
函数图像的绘制方法。
总之，本文的目的是让读者对一元函数的导数及其应用有一个全面的认识，从而更好地掌握高中数学的相关知识。
高中数学函数求导公式的推导及应用实例
高中数学函数求导公式的推导及应用实例一、导数的基本概念在高中数学中，我们学习了函数的概念，函数的导数是函数在某一点处的变化率。
导数的概念是数学中非常重要的概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他学科中有着重要的地位。
二、导数的定义函数f(x)在点x处的导数定义为：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$表示自变量x的增量。
三、导数的计算为了更方便地计算导数，我们需要推导出一些常用的函数求导公式。
下面，我们将介绍一些常见的函数求导公式及其推导过程。
1. 常数函数对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数为0。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0。
2. 幂函数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为：$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$这个公式可以通过导数的定义进行推导。
3. 指数函数指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为：$$f'(x) = a^x \cdot \ln a$$这个公式可以通过对数函数的导数公式进行推导。
4. 对数函数对数函数f(x) = \log_a x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为：$$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$$这个公式可以通过指数函数的导数公式进行推导。
5. 三角函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数公式如下：$$\sin' x = \cos x$$$$\cos' x = -\sin x$$$$\tan' x = \sec^2 x$$这些公式可以通过三角函数的定义和导数的定义进行推导。
四、导数的应用实例导数在数学中有着广泛的应用，下面我们将通过一些实例来说明导数的应用。
高中数学_导数及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计-------导数及其应用一．教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求最值极值过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性、最值的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二．教学重难点对于函数导数及其应用，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索研究切线、单调区间、最值和极值。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
三．教法分析：1．教学方法的选择：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
3．教学课堂结构知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置四．学法分析：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
五．教学过程：（一）知识回顾从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性、极值）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性、求极值），引起认知冲突，激发学习的兴趣。
高中数学 第5章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 第3课时 导数
第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)1.借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1)求出函数f (x)的定义域；(2)求导数f ′(x)及函数f ′(x)的零点；(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，并得出f (x)的单调性与极值；(4)确定f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f (x)的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用导数研究实际问题要先求定义域． ( ) (2)方程x e x＝2有两个不相等的实数根．( )(3)做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m ． ( ) [提示] (2)令y ＝x e x，，则y ′＝e x(x ＋1)．由于x ＞－1时，y ′＞0，x ＜－1时，y ′＜0.∴x ＝－1时y ＝x e x取到最小值－1e.结合单调性及变化趋势画出如图所示，由图可以看出y ＝x e x 与y ＝2只有一个交点，故方程只有一个解．(3)设底的边长为x m ，则高为256x 2.那么需材料的面积为x 2＋4x ×256x 2＝x 2＋4×256x.令y＝x 2＋4×256x ，∴y ′＝2x －4×256x2.令y ′＝0得x ＝8.又x ＞8时y ′＞0，x ＜8时y ′＜0，∴x ＝8时用料最省，这时高h ＝25682＝4(m)．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203 C ．－1 D ．－8C [由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵0≤x ≤5，∴x ＝1时，f ′(x )的最小值为－1， 即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [由题意得，y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)． 当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0. 故当x ＝9时，y 取得极大值，也是最大值．]4．某产品的销售收入y 1(万元)关于产量x (千台)的函数关系式为y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)关于产量x (千台)的函数关系式为y 2＝2x 3－x 2，已知x ＞0，为使利润最大，应生产该产品________千台．6 [由题意，利润y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3(x ＞0)．y ′＝36x －6x 2，由y ′＝36x －6x 2＝6x (6－x )＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)， 当x ∈(0，6)时，y ′＞0，当x ∈(6，＋∞)时，y ′＜0， ∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数． 则当x ＝6时，y 有最大值．]利用导数研究函数的图象【例1】 函数y ＝x 3ex (其中e 为自然对数的底数)的大致图象是( )B [法一：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x ＜0时，y ＜0，排除A ；y ′＝3x 2e x －x 3e x ex 2＝x 23－xex， 当x ＜3时，y ′＞0，当x ＞3时，y ′＜0， ∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B.法二：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x ＜0时，y ＜0，排除A ；当x →＋∞时，y →0.故选B.]由解析式研究图象常用的方法根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等.[跟进训练]1．函数f (x )＝e x 2－2x 2的图象大致为( )A [∵f (x )＝f (－x )，当x ＞0时，f ′(x )＝e x 2·2x －4x ，令f ′(x )＝0，则2x (e x 2－2)＝0⇒x ＝ln 2∈(0，1)，且f (ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴当x ＞0时，f (x )＞0，且只有一个极值点，∴排除B ，C ，D.故选A.]用导数研究方程的根【例2】 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[思路探究] (1)对函数f (x )求导，根据导数的正负确定函数的单调区间和极值； (2)根据(1)中函数的单调性和极值分析函数图象，得出最值，进而得出函数存在零点时k 的取值范围，由此结合零点存在性定理进行证明．[解] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx，由f ′(x )＝0解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k ) k(k ，＋∞)f ′(x ) － 0＋f (x )↘k 1－ln k2↗所以f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k 1－ln k2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k 1－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k 1－ln k2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k ＞e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．与函数零点有关的问题与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x 轴的位置关系.或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题确定参数的取值范围.[跟进训练]2．若方程a x＝x (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，求实数a 的取值范围．[解] 由a x＝x 知x ＞0，故x ·ln a －ln x ＝0⇒ln a ＝ln x x，令f (x )＝ln x x(x ＞0)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故当x ＝e 时，f (x )取得最大值f (e)＝1e ，即ln a ＜1e，即a ＜e 1e .画出函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)与y ＝x 的图象(图略)，结合图象可知，若方程a x ＝x (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，则a ＞1.综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 1e .导数在生活实际问题中应用【例3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． [思路探究] (1)由C (0)＝8可求k 的值从而求出f (x )的表达式． (2)求函数式f (x )的最小值．[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52，令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．求解优化问题中的最小值问题的思路在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值.若求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值.[跟进训练]3．已知A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水航行到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v 千米/时(8＜v ≤v 0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v ＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v 应为多少？[解] 设船每小时航行所需的燃料费为y 1元，比例系数为k (k ＞0)，则y 1＝kv 2.∵当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5，则y 1＝5v 2.设全程燃料费为y 元，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8，∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000vv －82.令y ′＝0，解得v ＝0(舍去)或v ＝16.若v 0≥16，当v ∈(8，16)时，y ′＜0，y 为减函数；当v ∈(16，v 0]时，y ′＞0，y 为增函数．故当v ＝16千米/时时，y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．若v 0＜16，则v ∈(8，v 0]，且y ′＜0，y 在(8，v 0]上为减函数．故当v ＝v 0时，y 取得最小值，此时全程燃料费最省．综上可得，若v 0≥16，则当v ＝16千米/时时，全程燃料费最省，为32 000元；若v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．角度2 利润最大、效率最高问题 [探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ [提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？ [提示] (1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路探究] (1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值． [解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6， 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值42↘由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．[跟进训练]4．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．[解] (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件， 则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)， ∴y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)y ′＝5a (4－2x －12x 2)，令y ′＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0＜x ＜12时，y ′＞0；12＜x ＜1时，y ′＜0，∴函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12时取得极大值也是最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时， 该电子公司销售该配件的月平均利润最大．1．运用零点存在性定理求解零点存在或者零点个数问题的关键是寻找合适的零点区间．本题还可以采取分离变量法把零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题．2．利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题． 解题的一般方法如下：(1)设出变量找出函数关系式，确定定义域；(2)若函数f (x )在定义域内只有一个极值点x 0，则不需与端点处函数值比较，f (x 0)即是所求的最大值或最小值．3．“恒成立”问题的解决往往要转化为函数的最值问题．1．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60 B [V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)，因为0＜x ＜60，所以当0＜x ＜40时，V ′(x )>0， 此时V (x )单调递增；当40<x <60时，V ′(x )<0，此时V (x )单调递减，所以V (40)是V (x )的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]2．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f ′(x )的图象可能为( )C[根据题意，f (x)为偶函数，则其导数f ′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B、D.又由于函数f (x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意，故选C.]3．若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是( )A．[－2，2] B．[0，2]C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A[方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题．令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，令y′＞0，解得x＞1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，∴函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，∴m∈[－2，2]，故选A.]4．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝13x3－392x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．40[由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函数y＝13x3－392x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0，40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.]。
高中数学_导数的应用(一)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计【教学目标】1.知识与技能了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数求函数的单调区间；已知函数单调性会求参数的取值范围。
2.过程与方法通过利用导数研究单调性问题的探索过程，体会从特殊到一般、数形结合、分类讨论、化归转化的数学思想方法。
3.情感态度与价值观通过利用导数方法研究单调性问题，体会不同知识间的联系，同时通过学生的交流讨论，引导学生养成自主学习的好习惯，激发学生的学习兴趣，培养学生分享成功的喜悦。
【教学重点和难点】教学重点：函数单调性的判定方法及应用。
教学难点：已知单调性求参数范围。
【教学方法】本节课拟运用“问题——解决”课堂教学模式，采用启发式，讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生的求知欲，使学生主动参与教学，同时采用多媒体辅助教学，节省时间，加大课堂容量。
【教学过程】一、课堂引入师：导数是高考的热点之一，常与函数、不等式、解析几何结合出题，今天我们一起复习一下如何利用导数研究函数的单调性。
首先看一下考试要求。
多媒体展示考试要求，板书课题生：看考试说明，读考试要求设计意图：使学生明确利用导数研究函数单调性在高考中的要求。
师：函数单调性与导数的关系是什么呢？显示多媒体生：齐答问题1.函数的单调性与导数的关系设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在此区间内是_______如果在),(b a 内0)(<'x f ,则)(x f 在此区间内是_______师：由此可以得出求函数单调区间步骤生：思考，回答求解步骤2.利用导数判断函数单调性的一般步骤（1）求函数定义域；（2）求)(x f '；（3）在定义域内解不等式0)(>'x f ，得增区间，解不等式0)(<'x f ，得减区间；设计意图：通过对知识的回顾，使学生明确函数增减性与导数正负的关系。
二、概念辨析师：下面我们通过几个小题，加深对导数与函数单调性关系式的理解多媒体展示1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，那么在(a,b)上一定有f ′(x)>0（ ）2.若函数在某个区间内恒有f ′(x) =0，则函数f(x)在此区间内没有单调性（ ）3．)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象可能的是（ ）生：回答每个题目，（1）举出反例，得出f ′(x)>0是函数单调递增的什么条件，（2）说明函数类型（3）说明解题过程，并说出已知原函数图像如何得导函数图像，如D 选项设计意图：通过三个小题的辨析，加深学生对导数与函数单调性关系的理解。
沪教版高中数学导数的计算与应用教案2023
沪教版高中数学导数的计算与应用教案2023一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法；2. 运用导数计算函数在给定点的切线斜率；3. 运用导数计算函数的极大值和极小值；4. 运用导数在实际问题中的应用。
二、教学重点与难点1. 教学重点：导数的计算方法，切线斜率的求解，函数的极值点的判定，导数在实际问题中的应用。
2. 教学难点：导数的应用，如何将实际问题转化为数学模型，并通过导数进行求解。
三、教学准备1. 教材：《沪教版高中数学》（选修4），第五章导数；2. 教具：计算器、板书工具。
四、教学过程导入：在上节课中，我们学习了函数的极限概念，并掌握了一些求极限的基本方法。
今天，我们将进一步学习导数的计算与应用。
一、导数的定义与计算1. 导数的定义：设函数f(x)在点x0处有定义，当自变量x在x0点发生微小变化Δx 时，其函数值f(x)发生的变化量为Δy=f(x+Δx)-f(x0)。
如果存在一个常数a，使得当Δx趋近于0时，Δy与Δx的比值a趋近于a常数，则称a 为函数f(x)在点x0处的导数，记为f'(x0)，即f'(x0)=lim(Δx→0)Δy/Δx。
2. 导数的计算方法：(1) 根据导数的定义，使用极限的方法进行计算；(2) 利用常见函数的导数公式进行计算。
二、切线斜率的求解在上一部分中，我们已经学习了导数的定义与计算方法。
现在，我们将运用导数的概念来求解函数在给定点的切线斜率。
1. 切线斜率的定义：设函数f(x)在点x=a处有定义，且在该点的导数存在，则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)即为该点切线的斜率。
2. 切线斜率的计算方法：(1) 求函数在给定点的导数；(2) 将该导数代入点斜式方程y-y1=f'(a)(x-x1)中，即可得到切线的方程。
三、函数的极值点的判定接下来，我们将学习如何通过导数判断函数的极大值和极小值，并求出这些点的函数值。
《导数的应用》教学设计
《导数的应用》教学设计一、教学目标：1.通过导数的应用，能够应用导数求函数的极值；2.能够应用导数求函数的最大值和最小值；3.了解导数在经济学、物理学和生物学中的应用。
二、教学重点和难点：1.函数极值的应用；2.函数最大值和最小值的应用；3.导数在实际问题中的应用。
三、教学资源：1.教材：高中数学教材；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器等。
四、教学步骤：1.导入（10分钟）通过提问带入情境，引导学生思考导数的概念和作用，例如：如果已知汽车的速度恒定为60公里/小时，是否能够推断出汽车行驶了多少时间？如果已知汽车的位置随时间的变化规律，能否推断出汽车的速度？针对这些问题，引导学生理解导数的概念并介绍导数的定义。
2.讲解（30分钟）根据教材内容，系统讲解导数的基本概念和性质，包括导数的定义、导数的几何意义、导数的计算方法等。
重点讲解导数在函数极值和函数最大值最小值中的应用，引导学生理解导函数的意义和应用方法。
3.实例讲解（30分钟）通过多个实际问题的讲解，引导学生掌握导数在实际问题中的应用。
例如：（1）已知物体从起点出发的运动方程为$s(t)=4t^3-6t^2+2t+1$，求物体运动的速度函数和加速度函数，并分析物体的运动状态。
（2）房子的月租金是租期的函数，已知房租每年递增2%，如果租期为5年，求房租的最低值和最高值。
通过实例讲解，让学生对导数的应用有更深刻的理解，并能灵活运用导数解决问题。
4.练习（30分钟）分发练习题，让学生独自完成。
练习题包括各类导数应用题，如求函数的极值、最大值和最小值等。
在练习中，教师可设置多道思维拓展题，培养学生的创新思维。
5.汇总（10分钟）将练习题的解答进行汇总，对学生的解答进行点评，纠正错误和解释相关知识点。
总结导数的应用，强调导数的重要性，并展示导数在其他学科中的应用，激发学生对导数的兴趣。
五、教学反思：通过本节课的教学，学生对导数的应用问题有了初步了解，能够应用导数解决实际问题。
高中数学中的导数应用案例全面解析与计算
高中数学中的导数应用案例全面解析与计算导数是高中数学中的一个重要概念，在不同的数学问题中都有广泛的应用。
本文将通过一些具体案例，全面解析和计算导数的应用，以帮助读者更好地理解和应用导数。
案例一：汽车行驶问题假设一辆汽车以恒定的速度行驶，车速为v(t)（单位：m/s）。
我们需要求出汽车行驶过程中的加速度a(t)。
根据导数的定义，加速度a(t)可以表示为车速v(t)对时间t的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
由此，我们可以通过求车速对时间的导数得到加速度。
在具体计算中，我们可以用一个具体的函数来描述车速v(t)的变化规律。
例如，假设车速v(t) = 2t + 3，其中t为时间（单位：s）。
根据导数的计算规则，这个函数的导数即为加速度。
对v(t)进行求导，有：dv(t)/dt = d(2t + 3)/dt = 2因此，这辆汽车的加速度恒定为2 m/s²。
案例二：曲线的切线问题假设有一条曲线y = f(x)，我们需要求出该曲线在某一点P(x0, y0)处的切线斜率k。
根据导数的定义，斜率k可以表示为曲线y = f(x)在点P处的斜率，即k = dy/dx |x=x0。
其中，dy/dx表示y对x的导数，"|"表示在x=x0的意思。
在实际计算中，我们首先需要确定曲线函数f(x)的具体形式，以及点P(x0, y0)的坐标。
然后，对曲线函数进行求导，并将x的值代入导函数，即可得到切线斜率k的值。
以一个具体的例子来说明。
假设曲线为y = x²，要求在点P(2, 4)处的切线斜率k。
首先，对曲线函数y = x²进行求导，得到导函数dy/dx = 2x。
然后，将点P(2, 4)中的x坐标代入导函数2x，即可得到切线斜率：k = dy/dx |x=2 = 2(2) = 4所以，在曲线y = x²的点P(2, 4)处，切线的斜率为4。
通过以上两个案例，我们可以看到导数在不同数学问题中的应用。
【高中数学】高中数学导数的定义,公式及应用总结
【高中数学】高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结导数的定义:当自变量的增量δx=x-x0，δx→0时函数增量δy=f(x)-f(x0)与自变量增量之比的音速存有且非常有限,就说道函数f在x0点可微，称作f在x0点的导数(或变化率).函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在p0[x0，f(x0)]点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
通常地，我们得出结论用函数的导数去推论函数的多寡性(单调性)的法则：设y=f(x)在(a，b)内可微。
如果在(a，b)内，f'(x)>0,则f(x)在这个区间就是单调减少的(该点切线斜率减小，函数曲线显得“平缓”，持续上升状)。
如果在(a，b)内，f'(x)<0,则f(x)在这个区间就是单调增大的。
所以，当f'(x)=0时，y=f(x)存有极大值或极小值，极大值中最大者就是最大值，极小值中最轻者就是最小值求导数的步骤:求函数y=f(x)在x0处为导数的步骤：①求函数的增量δy=f(x0+δx)-f(x0) ②求平均变化率③取极限，得导数。
导数公式：①c'=0(c为常数函数); ②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈q*);熟记1/x的导数③(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(x(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(x(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=hcoshx(coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2(sechx)'=-tanhx·sechx(cschx)'=-cothx·cschx(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1)(x<1) (arcothx)'=1/(x^2-1)(x>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤(e^x)'=e^x;(a^x)'=a^xlna(ln为自然对数) (inx)'=1/x(ln为自然对数) (logax)'=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2)导数的应用领域:1.函数的单调性(1)利用导数的符号推论函数的多寡性利用导数的符号推论函数的多寡性，这就是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用领域，它体现了数形融合的思想.通常地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. 如果在某个区间内恒存有f'(x)=0，则f(x)就是常数函数. 特别注意：在某个区间内，f'(x)>0就是f(x)在此区间上以增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在r内就是增函数，但x=0时f'(x)=0。
高中数学教学中导数与积分的应用
高中数学教学中导数与积分的应用
高中数学教学中导数与积分的应用
一、导数的应用
1、利用导数求单调递增函数的最大值或者最小值：由单调递减函数的导数可得其函数值最大值或者最小值，从而可以求得其实际应用中的最优解。
2、利用导数求函数的极值点：即可以利用偏导数来求函数的极值点，或者可以利用数值的比较定义来求函数的极大值、极小值，也可以利用泰勒展开式来求取函数的极值点。
3、确定函数的单调性：即可以利用导数的正负号来判断函数的单调性，如果导数大于0，函数在这个点上是增函数；如果导数小于0，函数在这个点上是减函数；如果导数为0，则函数在这个点上可能是极值点，也可能是拐点；如果符号不确定，则函数也有可能是极值点。
4、利用导数求函数的图象：即可以利用导数的正负号和符号的变化来确定对应的函数的图象，从而可以绘制出函数的图象，便于深入理解和分析函数的特征。
二、积分的应用
1、利用积分解决天文学中多个行星系统运动的问题：即可以利用数学分析，将复杂的运动实际上拆分为部分简单的问题，然后利用椭圆积分解决这些简单问题，从而可以获得比较完整的多个行星系统运动的计算结果。
2、利用积分解决物理中电势场的问题：可以利用积分的方法来解决电荷的吸引力的问题，从而可以获得电场的完整的计算结果，有助于深入理解物理系统中电场的行为特征。
3、利用积分解决圆的求面积的问题：即可以利用园形的极限表示计算圆的面积，有助于深入理解数学分析中极限概念的应用。
4、利用积分求无穷级数的和：即可以利用普通积分法求人级数的和，如将无穷级数转化为定积分，也可以利用无穷级数求积分，从而有助于深入理解积分概念的应用和实际结果。
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因此可找到一个常数x0=-lna(0 导数的广泛应用,为
,用导数可以解决函数
,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知
,在教学中,要突出导数的应
f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极
.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，
f(x0)不是极值。
四、用导数证明不等式
证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一
f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最
,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的
二、用导数判断函数的单调性
例2：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。
分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取
解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。
由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。
故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为
【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高
【关键词】导数函数曲线的斜率极值和最值导数（导函
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，
一、用导数求函数的切线
例1：已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，
分析：根据导数的几何意义求解。
解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率
当x变化时，y′、y的变化情况如下：
当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y
f(2)=－(4/3).
方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定
f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）
x0）的左右侧，
f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，
令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′
∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0
∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证
(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。
只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x
-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.
方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就
y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就
曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′
，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。
令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-Fra bibliotek,求导数得m′
而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数
故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0
∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得
由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,
，2)。
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）
f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定
f′
(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式
三、用导数求函数的极值
例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值
解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.
,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导
例(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.
(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得
成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;
分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成
只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①
t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1
下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0 又令
对p(a)关于a求导数
则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数
则p(a)<p(1)=0,从而a2(lna)2-alna+a-1<0得证
(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0将变形为
③
要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函
的最小值,
满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)
令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna
在0-lna时,t′(x)>0