导数在高中数学教学中的应用

【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高

【关键词】导数函数曲线的斜率极值和最值导数（导函

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，

一、用导数求函数的切线
例1：已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，

分析：根据导数的几何意义求解。
解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率
-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.
方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就
y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就
曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′
，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。
二、用导数判断函数的单调性
例2：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。
分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。
由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。
故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为
，2)。
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）
f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定
f′
(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式

三、用导数求函数的极值
例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值
解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.
当x变化时，y′、y的变化情况如下：
当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y
f(2)=－(4/3).
方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定
f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）
x0）的左右侧，
f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，
f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极
.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，
f(x0)不是极值。
四、用导数证明不等式
证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一
f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最
,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的
,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导

例(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.
(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得
成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;

分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成

只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①
令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0
∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证
(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。
只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数
故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得

由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,

(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0将变形为
③
要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函
的最小值,
满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)
令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna
在0-lna时,t′(x)>0
t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1
下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0 又令
对p(a)关于a求导数
则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数
则p(a) 于是t(x)的最小值t(-lna)<0
因此可找到一个常数x0=-lna(0 导数的广泛应用,为
,用导数可以解决函数
,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知
,在教学中,要突出导数的应