二次函数分段函数专项练习题
备考2022年中考数学二轮复习-函数_函数基础知识_分段函数-综合题专训及答案
备考2022年中考数学二轮复习-函数_函数基础知识_分段函数-综合题专训及答案分段函数综合题专训1、(2016宿迁.中考真卷) 某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．2、(2017路南.中考模拟) 我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y2（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y 1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．3、(2017武汉.中考模拟) 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．4、(2020淮阴.中考模拟) 如图①，点A表示小明家，点B表示学校．小明妈妈骑车带着小明去学校，到达C处时发现数学书没带，于是妈妈立即骑车原路回家拿书后再追赶小明，同时小明步行去学校，到达学校后等待妈妈．假设拿书时间忽略不计，小明和妈妈在整个运动过程中分别保持匀速．妈妈从C处出发x分钟时离C处的距离为y1米，小明离C处的距离为y2米，如图②，折线O-D-E-F表示y 1与x的函数图像；折线O-G-F表示y2与x的函数图像．（1）小明的速度为m/min，图②中a的值为．（2）设妈妈从C处出发x分钟时妈妈与小明之间的距离为y米．①写出小明妈妈在骑车由C处返回到A处的过程中，y与x的函数表达式及x的取值范围；②在图③中画出整个过程中y与x的函数图像．（要求标出关键点的坐标）5、(2017兴化.中考模拟) 为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．（1）求a的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？6、(2018温岭.中考模拟) 当前，交通拥堵是城市管理的一大难题．我市城东高架桥的开通为分流过境车辆、缓解市内交通压力起到了关键作用，但为了保证安全，高架桥上最高限速 80 千米/小时．在一般条件下，高架桥上的车流速度 v （单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到 180 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当0≤x≤20 时，桥上畅通无阻，车流速度都为 80 千米/小时，研究表明：当20≤x≤180 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．（1）当0≤x≤20 和20≤x≤180 时，分别写出函数 v 关于 x 的函数关系式；（2）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）w=x·v可以达到最大，并求出最大值；（3）某天早高峰（7:30—9:30）经交警部门控制管理，桥上的车流速度始终保持 40 千米/小时，问这天早高峰期间高架桥分流了多少辆车?7、(2017保康.中考模拟) 中国最大的水果公司“佳沃鑫荣懋”旗下子公司“欢乐果园”购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为P=，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系时间t（天） 1 3 6 10 20 40 …日销售量y（kg）118 114 108 100 80 40 …量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售前24天中，子公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．8、(2017黄冈.中考模拟) 校园安全与每个师生、家长和社会有着切身的关系．某校教学楼共五层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若持续不正常，会导致等待通过的人较多，发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二、三楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减；位于四、五楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数y2与时间为t（分）满足关系式y2=﹣4t2+48t﹣96（0≤t≤12）．若在单个楼梯口等待人数超过80人，就会出现安全隐患．（1）试写出七年级学生在单个楼梯口等待的人数y1（人）和从放学时刻起的时间t（分）之间的函数关系式，并指出t的取值范围．（2）若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过80人所持续的时间．（3）为了避免出现安全隐患，该校采取让七年级学生提前放学措施，要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生至少比八年级提前几分钟放学？9、(2020扬州.中考模拟) 绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？10、(2018荆门.中考真卷) 随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）11、(2017黄冈.中考真卷) 月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．12、(2020岐山.中考模拟) 陕西省相关文件规定，西安市实行居民阶梯水价制度，对居民用水的基本水价实行三级价差，各阶梯水价均为用户终端水价，具体如下：第一阶梯：年用水量及以下，终端水价为元/ .第二阶梯：年用水量（含），终端水价为元/ .第三阶梯：年用水量以上，终端水价为元/ .城区居民阶梯水价计量结算周期以年为单位，年用水量累计达到各阶梯水量上限后，超出部分执行下一阶梯水价；年度周期之间水量不结转，不累计.设某户居民2019年的年用水量为，应缴水费为（元）.（1）写出该户居民2019年的年用水量为含）的与之间的函数表达式.（2）若该户居民2019年的应缴水费为元，则该户居民2019年的年用水量为多少.13、(2020广西壮族自治区.中考模拟) 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中不超过200元的不打折，超过200元后的价格部分打折.设商品原价为x元，顾客购物金额为y元.（1）根据题意，填写如表:商品原价100 150 250 ······甲商场购物金额(元) 80 ······乙商场购物金额(元) 100 ······（2）分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；（3）若时，选择哪家商场去购物更省钱?并说明理由.14、(2020绵阳.中考真卷) 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．（1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式；（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？15、(2020天门.中考真卷) 小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟.在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：（1）填空：妈妈骑车的速度是________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是________分钟，点M的坐标是________；（2）直接写出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；（3）求t为何值时，两人相距360米.分段函数综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
二次函数--利润问题-分段函数
22.3（3.3）---利润问题-分段函数一．【知识要点】1.分段求最值，进行比较。
2.销售利润=（售价-成本价）×销售量．3.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】1.九(13)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?22018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？3.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件． （1）如图，设第x （0＜x ≤20）个生产周期设备售价z 万元/件，z 与x 之间的关系用图中的函数图象表示．求z 关于x 的函数解析式（写出x 的范围）． （2）设第x 个生产周期生产并销售的设备为y 件，y 与x 满足关系式y ＝5x +40（0＜x ≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）4.为喜迎佳节，某食品公司推出一种新年礼盒，每盒成本为20元．在元旦节前30天进行销售后发现，该礼盒在这30天内的日销售量p （盒）与时间x （天）的关系如下表：在这30天内，前20天每天的销售价格1y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为11254y x =+（1≤x ≤20，且x 为整数），后10天每天的销售价格2y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为21402y x =-+（21≤x ≤30，且x 为整数）． （1）直接写出日销售量p （盒）与时间x （天）之间的关系式；（2）请求出这30天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）元旦放假期间，该公司采取降价促销策略．元旦节当天，销售价格（元/盒）比第30天的销售价格降低a%，而日销售量就比第30天提高了4a%，日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元，求a 的值．三．【题库】【A】1.数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程，若前49天销售获得的最大日利润为5408元，求出m的值时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x【B】1.我县云蒙湖被临沂市人民政府定位“饮用水水源地”，为净化水源，某水产养殖企业在净化水源的同时，为谋求养殖利润最大化，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y＝﹣x+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．“五•一”之前，月份出售这种品每千克的利润最大．【C】1.（本题满分11分）绵阳经开区“万达广场”开业在即，开发商准备对一楼的40个商铺出租，小王和开发商约定：小王租赁的每个商铺每个月的租金y（元/个.月）与租赁的商铺数量x（个）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点C ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）已知开发商每个月对每个商铺的投入成本共280元，那么当小王租赁的商铺数量为多少时，开发商在这次租赁中，每个月所获的利润w 最大？最大利润是多少？【D 】1.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商销售单价q （元/件）与x 满足：当1≤x ＜25时q=x+60；当25≤x ≤50时． （1）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系． （2）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式． （3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？2.某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
考点03 分段函数的4种求法(解析版)
专题二 函数考点3 分段函数的4种求法【方法点拨】分段函数的4种求法1. 求函数值或解不等式：由自变量所属区间，选定相应的解析式求解.2. 求函数值域：分别求每一段的值域取并集.3. 求函数最值：分别求每一段的最值，然后比较大小.4.求参数的值(或参数范围)：分段处理，分类讨论，综合作答. 三、【高考模拟】1．已知函数()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()4f f =（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，先求()4f ，再求()2f -即可求解.【解析】由()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()42f ==-，所以()()()214224ff f -=-==. 故选：C2．已知函数(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，则(1)f =（ ）A ．3B ．6C ．15D ．12【答案】C 【分析】根据分段函数解析式代入计算即可； 【解析】解：因为(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，所以()()()11233215f f =+=⨯+=故选：C3．已知函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()1f -=（ ）A ．12B ．2C ．14D ．18【答案】C 【分析】根据函数的解析式，代入计算，即可求解. 【解析】由题意，函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，可得()()()211113224f f f ⎛⎫-=-+=== ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1f -=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数各段的定义域求解. 【解析】因为20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，所以()()()110122f f f -====，故选：C 5．已知5,6()(4),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（ ）A ．6-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【分析】利用解析式可有()()(1)37f f f -==，利用已有的解析式可得(1)f -的值. 【解析】由题设有()()(1)372f f f -===， 故选：C.6．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()2f f =（ ）A ．26B ．17C ．8D ．-10【答案】B 【分析】利用分段函数的解析式，将自变量代入即可求解. 【解析】由21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2224f =-⨯=-， 所以()()()()2244117ff f =-=-+=.故选：B7．已知函数()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()0f f =（ ）A ．4B ．16C ．32D ．64【答案】D 【分析】直接根据分段函数解析式代入计算可得； 【解析】解：因为()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以()0022f =+=，()()()2226022264f f f +==== 故选：D8．已知1,(1)()3,(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（ ）A ．52 B ．32C ．92D ．12-【答案】B 【分析】 先根据12所在区间计算出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果，然后再根据12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在区间计算出12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【解析】 因为112≤，所以1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为312>，所以133332222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.9．设函数()()2221log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()0f f （ ）A ．0B ．3C ．1D ．2 【答案】C 【分析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案. 【解析】由题意得2(0)022f =+=，所以2((0))(2)log 21f f f ===，故选：C10．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a <C ．2a >D ．R【答案】A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【解析】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.11．已知函数24,2()25,2x x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解. 【解析】当2x ≤时，2()4f x x x =-+，由二次函数的性质可得()f x 单调递增且(](),4f x ∈-∞；若要满足题意，只需使()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集， 当2x >时，若0a >，则()()2545,f x ax a =-=-+∞， 则454a -<，解得94a <，此时904a <<；若0a =，()5f x =-，符合题意；若0a <，则()()25,45f x ax a =-=-∞-，符合题意； 综上，实数a 的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.12．已知()()()23200x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，方程()()2210f x f x +-=⎡⎤⎣⎦的根x 的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】画出函数的图象，求出22[()]()10f x f x +-=的根，结合函数的图象，求解即可．【解析】232(0)()(0)x x x f x x x ⎧-=⎨<⎩的图象如图：方程22[()]()10f x f x +-=，可得()1f x =-，或1()2f x =， 由函数的图象可知：()1f x =-，有2个x 的值，1()2f x =，有一个x 的值， 所以方程22[()]()10f x f x +-=的根x 的个数是3．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根问题，考查分段函数的图象，解决本题的关键点是先由关于()f x 的一元二次方程解出方程根()1f x =-或1()2f x =，再画出分段函数的图象可得与1y =和12y =的交点个数，即为根x 的个数，考查学生数形结合思想和计算能力，属于中档题． 13．已知函数()1,01,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若()()2f f a =，则（ ）A ．1a =±B ．1a =-C ．0a ≤D ．0a <【答案】C 【分析】分0a <，0a =，0a >三种情况求解即可 【解析】当0a <时，()1f a =，得()()()12f f a f ==，当0a =时，()01f =，()()()12ff a f ==，成立，当0a >时，()1f a a =+，得()()()1112ff a f a a =+=++=，得0a =，不成立；所以0a ≤. 故选：C14．已知函数()22,1,,12,2,2,x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f a =，则a =（ ）A ．1 BC．D ．32【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程即可得出结果. 【解析】当1a ≤-时，由23a +=，得1a =，舍去； 当1a 2-<<时，由23a =得a =a =当2a ≥时，由23a =得32a =舍去，综上，a =故选：B.15．已知函数()232,1,1x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若()()06f f a =，则实数a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】由函数解析式，先计算()0f 的值，然后将其代入，由此得到关于a 的方程，求解即可. 【解析】 (0)2f =2((0))(2)226f f f a a ==+=，解得：1a =故选：A 【点睛】方法点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()ff a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16．设f （x ）＝,012(1),1x x x x ⎧<<⎪⎨-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ）A ．14B ．54C ．14或54D ．2【答案】C 【分析】根据解析式分段讨论可求出. 【解析】解：∵(),012(1),1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a a <<⎧⎪⎨=⎪⎩或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ． 17．已知函()f x ={222,0,,0,x mx m x x m x -+≤+>，若()()12ff =，则实数m的值为（ ） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先求()11f m =+，分1m ≤-和1m >-，两种情况求()()1f f ，再计算实数m 的值.【解析】()11f m =+，当1m ≤-时，()10f ≤，此时()()()()()221112112f f f m m m m m =+=+-++=≠，故不成立；当1m >-时，()10f >，此时()()()()1112f f f m m m =+=++=，解得：12m =，成立. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数求自变量，本题的关键是求出()11f m =+后，需分两种情况，求实数m 的值.18．已知函数222,0,()1,0,x x f x x x ⎧->=⎨+⎩，若()2f a =，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2或1-D ．1或1-【答案】C 【分析】分类讨论a ，代入解析式可解得结果. 【解析】当0a >时，()222af a =-=，解得2a =；当0a 时，2()12f a a =+=，解得1a =-．综上，2a =或1a =-． 故选：C19．已知()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值是（ ）A ．0或2B ．4C ．1或4D ．1【答案】C 【分析】讨论()1f a ≤与()1f a >先计算()f a 的值；再讨论1a ≤与1a >计算a 值. 【解析】 由()()1ff a =，当()1f a ≤时，有()21f a=，则()0f a = ；当()1f a >时，有()2log 1f a =，则()2f a = ；由()0f a =，当1a ≤时，有20a =，a 无解；当1a >时，有2log 0a =，1a =不符合； 由()2f a =，当1a ≤时，有22a =，1a =；当1a >时，有2log 2a =，4a =； 综上所述：1a =或4a = 故选：C20．已知函数()221,031,0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()()18f a f +-=，则实数a 的值是（ ） A ．52B ．213±或52 C．21或52D ．213-或52 【答案】D 【分析】分0a >和0a ≤两种情况求解 【解析】 解：当0a >时，因为()()18f a f +-=，所以2213(1)18a ++⨯--=，解得52a =， 当0a ≤时，因为()()18f a f +-=，所以22313(1)18a -+⨯--=，解得21a =（舍去），或21a =-， 综上52a =或213a =-， 故选：D21．某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数()f x 可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()211f x x =+ 【答案】A 【分析】根据函数对称性及定义域，直接利用排除法求出结果. 【解析】选项A ：函数的图象的渐近线为 1x =或1x =-与原图象相符； 选项B ：1x =-时，()111112-==--f 与原图不相符； 选项C ：3x =时，函数无意义与原图不相符； 选项D ：1x =时，()111112f ==+与原图不相符； 故选：A22．函数图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|||1|f x x =-B ．1()|1|f x x =-C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 【答案】A 【分析】根据定义域可排除BD ，根据()01f =可排除C. 【解析】由图可知()f x 的定义域为{}1x x ≠±，故BD 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.23．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()212x f x x -=⋅ B ．()212x f x x -=⋅C ．()()1)f x x x =⋅- D ．()221x f x x =-【答案】A 【分析】利用()10f >可排除CD ，利用奇偶性可排除B ，由此得到结果. 【解析】当1x =时，()10f >，CD 中的函数()10f =，可排除CD ；由图象关于原点对称可知()f x 为奇函数，A 中()()212x f x x f x --=-⋅=-，满足奇函数定义；B中()()221122x x f x x x f x ---=⋅-=⋅=，满足偶函数定义，可排除B.故选：A.24．已知函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，则a 的取值范围为___________. 【答案】122675a <≤ 【分析】令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，得到()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，结合函数()g x 和()h x 的图象，根据()f x 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值求解. 【解析】因为函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R ，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩， 解得22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 所以()()()2,()()()()()()2,()()g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，其中()g x 过点()()0,0,,0a -，()h x 过点()()1,0,1,0-，因为2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，当0a -≤，即0a ≥时，3933916,1525552525g a h ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3355h g ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取到最小值，则2233g h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2335g h ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即425939a +>，且42169325a +≤， 解得122675a <≤， 当0a ->，即0a <时，242245,1393399g a h ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2233g h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值， 则3355g h ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3253g h ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即931625525a ->，且9352559a -≤， 即715a <-，且44135a ≥-时，无解， 综上：a 的取值范围为122675a <≤.故答案为：122675a <≤ 【点睛】关键点点睛：本题关键是由函数()f x 解析式的结构特征，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，将函数转化为()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，利用二次函数22(),()1g x x ax h x x =+=-的图象和性质求解.25．已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()f x 的最小值是a ，则a 的值为__________.【答案】4- 【分析】利用指数函数的单调性，可得0x ≥时，()f x 的最小值为1a +，由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，求得对称轴，可得224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得即可； 【解析】解：当0x ≥时，()2xf x a =+在定义域上单调递增，所以()()01f x f a ≥=+即0x =时，()f x 的最小值为1a +；当0x <时，()22224a a f x x ax x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ 由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，即有02a<，所以0a <，则224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得4a =- 故答案为：4-26．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【解析】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a ∴<≤，21112[2,3)f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3). 【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.27．已知函数21(),0()22,04x a x f x x x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[3,0)- 【分析】由二次函数的性质可得当04x 时，函数的值域刚好为[8-，1]，故只需1()2xy =-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，可得a 的不等式，结合指数函数的单调性可得． 【解析】解：当04x 时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，图象为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，011()8,()122a ---当1x =时，函数取最大值1，当4x =时，函数取最小值8-，又函数()f x 的值域为[8-，1]，1()2xy ∴=-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，1()2x y =-，0a x <单调递增，∴只需0182112a⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得30a -<故答案为：[3,0)-．28．设函数()()222,0,21,0.x a a x f x x x a x ⎧--+≤⎪=⎨-++->⎪⎩若()0f 是()f x 的最大值，则a 的取值范围为__________．【答案】[)2+∞，【分析】由题可得要使()0f 是()f x 的最大值，只需满足020a a ≥⎧⎨-≤⎩即可.【解析】()0=0f ，当0x ≤时，()22y x a a =--+，对称轴为x a =，开口向下，当0x >时，221y x x a =-++-对称轴为1x =，开口向下，则此时在1x =取得最大值为2a -，要使()0f 是()f x 的最大值，则020a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得2a ≥，则a 的取值范围为[)2+∞，. 故答案为：[)2+∞，. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题及其应用，其中解答题中涉及到二次函数的图象与性质的应用，以及分段函数的最值问题的求解方法，此类问题解答的关键在于正确理解分段的性质，合理列出相应的不等关系式.29．函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】54a ≤ 【分析】根据分段函数的解析式，先求出1≥x 时，函数的值域；再求出1x <时，函数的值域；根据题中条件，即可得出结果. 【解析】由题意，当1≥x 时，()2f x x =-显然单调递减，则()(]2,1f x x =-∈-∞；当1x <时，()2f x x x a =++是开口向，对称轴为12x =-的二次函数，则()1124f x f a ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，又函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，所以只需114a -≤，解得54a ≤. 故答案为：54a ≤.30．设函数31,0,()1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()1f f 的值为______．【答案】1 【分析】先计算(1)f ，再计算()()1f f 可得．【解析】由题意(1)110f =-=，所以((1))(0)1==f f f ． 故答案为：1．。
微专题20 分段函数问题(原卷版)
微专题20分段函数问题【题型归纳目录】题型一：函数三要素的应用题型二：函数性质与零点的应用题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1．已知函数223,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩ ，若f （a ）()2f a f -- （1），则a 的取值范围是()A ．[0，8]B ．[8，)+∞C ．(-∞，8]D ．[8-，8]例2．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是()A ．(-∞，1][1，)+∞B ．[0，1]C ．[1-，0]D ．[1-，1]例3．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2 ，则实数a 的取值范围是()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(-∞D．，)+∞变式1．当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值时，(x =)AB．C6-D．6-变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++ 的解集()A．{|1}x x B．{|1x x + C．{|1x x <+D．{|1x x >+变式3．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -=．变式4．若函数3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩ ，2()g x x =，则f （9）=，[g f （3）]=，1[()]9f f =．变式5．已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩ ，则不等式(1)(1)1x x f x +++ 的解集是．变式6．设2,||1(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是．题型二：函数性质与零点的应用例4．已知函数7(13)10,7(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．11(,)32B ．1(3，6]11C ．12[,23D ．16(,]211例5．已知函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．15(,38B ．15(,38C ．1(,1)3D ．16(,]311例6．函数21,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩在R 上单调，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1，2]C ．(,2)-∞D ．(,0)-∞变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩ ，则()y f x x =-的零点有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x ⎧-<⎪=-<⎨⎪>⎩ ，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为．变式9．已知函数3||,03()13log x x f x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为．变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式．变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，若()h t h >（2），求实数t 的取值范围．题型三：分段函数的复合例7．设函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，则正实数m 的最小值是()A ．12B ．1C ．32D ．2例8．已知函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩ ，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实数(k ∈)A ．1(2，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(1,1)-例9．已知函数1|(1)|,1()21,1x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩ ，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6变式12．（多选题）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩ 下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正确的是()A ．在(1,0)-内一定有零点B ．在(0,1)内一定有零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点变式13．（多选题）设函数||,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是()A ．0B ．13C ．12D ．1变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩ ，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩ ，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-变式16．已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩其中0k ．①若2k =，则()f x 的最小值为；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是．题型四：特殊分段函数的表示与应用例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()}()a ab b b a b ⎧=⎨<⎩ ，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是()A．32-B．32C．12+D．12例11．已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的是()A ．(())()sgn g x sgn x =B ．(())()sgn g x sgn x =-C ．(())(())sgn g x sgn f x =D ．(())(())sgn g x sgn f x =-例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是()A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A Bf x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立C ．()()()A B ABf x f x f x =，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，这里U A ð表示集合A 在全集U 中的补集，已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是()A ．若AB ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()UC A A f x f x =-C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B ABf x f x f x =变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a bmax a b b a b ⎧=⎨<⎩，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是．变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a bb b a b ⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是32，则实数m 的值是．变式20．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩ ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,14,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t 的最大值为（）A ．32B ．53C ．74D ．952．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1ln 21,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的不等式()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．()()2,11,4--⋃-B ．()()1,22,4-UC ．[)1,2-D ．[)0,43．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）．A ．()0,3B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．25．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）A ．[]0,3B ．()0,3C ．(]0,3D ．[)0,36．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2x D ．=3x 8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()24()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是（）A．B ．15[0,2-C．D ．15[,1]2-9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21,=,2x cf x x x x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞二、多选题10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （）A ．最大值为1B ．无最大值C ．最小值为1-D ．无最小值11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（）A ．74B ．72C ．114D ．112．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()338f =B ．()3f x 的值域为[]3,12C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-D ．()31f x +的图像关于原点对称13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（）A ．()1f x x x-=为“不动点”函数B ．()3f x x -=+的不动点为2±C ．()221,1=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩为“不动点”函数D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1f x x x -=三、填空题14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1a a x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________．15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=__________.16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()22f x x x =-，()1g x x =+，令()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.四、解答题18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)若()2f a =，求a 的值；19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；（2）已知函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩①求()2f ，()()1f f -②若()3f a =，求a 的值20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =+++，()22122g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩.(1)若1a =，求()M x 的最小值；(2)若()M x 的最小值小于52，求a 的取值范围．21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41xx f x =+．(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．。
高三分段函数单调性练习题
高三分段函数单调性练习题分段函数是数学中常见的函数形式，其特点是定义域被分成多个部分，并在每个部分使用不同的函数规则进行描述。
掌握分段函数的单调性是解题的基本要求，下面我们来进行一些分段函数单调性的练习。
题目一：判断函数f(x) = x+1 (x≤0)， f(x) = x^2 (x>0) 的单调性。
解析：首先，我们将函数f(x)分成两个部分，其定义域也相应分为两部分：x≤0和x>0。
当x≤0时，函数f(x) = x+1，这是一个线性函数，其单调性可直接判断。
由于系数为1，可以知道在x≤0的范围内，函数f(x)是递增的。
当x>0时，函数f(x) = x^2，这是一个二次函数。
我们可以通过求导数的方法来判断它的单调性。
求导得到f'(x) = 2x，在x>0的范围内，f'(x)始终大于0，说明函数f(x)在此范围内是递增的。
综上所述，函数f(x)在整个定义域内都是单调递增的。
题目二：判断函数g(x) = 3x-1 (x≤-1)， g(x) = x^2 (x>-1) 的单调性。
解析：同样地，我们将函数g(x)分成两个部分，其定义域也相应分为两部分：x≤-1和x>-1。
当x≤-1时，函数g(x) = 3x-1，这是一个线性函数，其单调性可直接判断。
由于系数为3，可以知道在x≤-1的范围内，函数g(x)是递增的。
当x>-1时，函数g(x) = x^2，这是一个二次函数。
我们同样可以通过求导数的方法来判断其单调性。
求导得到g'(x) = 2x，在x>-1的范围内，f'(x)始终大于0，说明函数g(x)在此范围内是递增的。
综上所述，函数g(x)在整个定义域内都是单调递增的。
通过以上练习题，我们可以发现，对于分段函数的单调性判断，可以分别对每个部分进行讨论，并结合函数的具体形式来判断单调性。
对于线性函数来说，系数的正负决定了函数的单调性；对于二次函数来说，可以通过求导数的方法来判断。
分段函数习题及解析
1.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=22. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==， 所以B 正确.3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.4.设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或 5.若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
二次函数分段函数专项练习题
精心整理
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1、月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y （万件）与销售价格x （元/件）的关系如图所示，其中AB 为反比例函数图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s （万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1（2（3x （元2、(1)
(2)(3)万元，试确定该产品的售价3千克和60300元．
（1）根据题意，填写如表：
（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y （千克）与零售价x （元/千克）
是一次函数关系，其图象如图，求出y 与x 之间的函数关系式；
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精心整理 （3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
4、我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y 1（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y 2（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．
y 与t 的。
二次函数分节练习基础练习小篇
一、填空题1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a ，b ，c 是______且______≠0．2．函数y ＝x 2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．3．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______．4．当a ＞0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．5．当a ＜0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______． 6．写出下列二次函数的a ，b ，c ．(1)23x x y -= a ＝______，b ＝______，c ＝______． (2)y ＝x 2a ＝______，b ＝______，c ＝______．(3)105212-+=x x y a ＝______，b ＝______，c ＝______． (4)2316x y --=a ＝______，b ＝______，c ＝______．7．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______．8．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( )；(2)221x y =如图( )；(3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )． 9．已知函数,232x y -=不画图象，回答下列各题． (1)开口方向______； (2)对称轴______； (3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______；一、填空题1．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答：(1)______的图象是直线，______的图象是抛物线．(2)函数______y 随着x 的增大而增大．函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称． 函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______．函数______有最小值为______． 2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______． (3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．3．已知函数y ＝(m 2－3m )122--m mx 的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______，对称轴为直线______，开口______． 4．已知函数y ＝m 222+-m m x＋(m －2)x ．(1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限．(2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 5．已知函数y ＝m mm x+2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下．二、选择题6．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A ．y ＝x (x ＋1)B ．xy ＝1C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2D ．132+=x y7．在二次函数①y ＝3x 2；②2234;32x y x y ==③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( )A ．①＞②＞③B ．①＞③＞②C ．②＞③＞①D ．②＞①＞③ 8．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( )A ．a 越大，抛物线开口越大B ．a 越小，抛物线开口越大C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 9．下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大C ． y ＝2x 2，y ＝－x 2，221x y -=中， y ＝2x 2的开口最小，y ＝－x 2的开口最大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点一、填空题1．已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______．(2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a (x －m )2的顶点坐标为______，对称轴为______．2．若函数122)21(++-=m m x m y 是二次函数，则m ＝______．3．抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 增大而减小；当x ______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______．4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x 2向______平移______个单位得到．二、选择题7．要得到抛物线2)4(31-=x y ，可将抛物线231x y =( )A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位D ．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2B ．2212+=x y 与2122+=x y C ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2 D ．y ＝x 2与y ＝x 2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( ) A ．2)5(31-=x y B ．5312--=x y C ．2)5(31+-=x yD ．2)5(31+=x y一、填空题1．二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x ＝______时，y 有最值______；当a ＞0时，若x ______时，y 随x 增大而减小． 23．抛物线1)3(212-+-=x y 有最______点，其坐标是______．当x ＝______时，y的最______值是______；当x ______时，y 随x 增大而增大．4．将抛物线231x y =向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为 ．二、选择题5．一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－2(x －1)2＋3 B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3 C ．y ＝－(2x ＋1)2＋3 D ．y ＝－(2x －1)2＋36．要得到y ＝－2(x ＋2)2－3的图象，需将抛物线y ＝－2x 2作如下平移( )A ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位三、解答题7．将下列函数配成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．(1)y ＝x 2＋6x ＋10 (2)y ＝－2x 2－5x ＋7 (3)y ＝3x 2＋2x(4)y ＝－3x 2＋6x －2 (5)y ＝100－5x 2 (6)y ＝(x －2)(2x ＋1)班级 姓名二次函数练习5一、填空题1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．2．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大．3．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．4．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______． 5．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______．7．抛物线y ＝2x 2先向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．二、选择题8．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x x y +=③④y ＝5－2x 2，是二次函数的有( ) A ．② B ．②③④ C ．②③ D ．②④9．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4)10．抛物线x x y --=221的顶点坐标是( )A ．)21,1(-B ．)21,1(- C ．)1,21(- D ．(1，0)11．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点( )A ．(0，a )B ．(－1，－a )C ．(－1，a )D ．(0，－a )班级 姓名二次函数练习61．把二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象．(1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．(1)将其化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式；(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象（简图）；(5)说明其图象与抛物线y ＝x 2的关系； (6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小； (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0；(8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时，－4＜x ＜0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．一、填空题1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)若抛物线的顶点是原点，则____________； (2)若抛物线经过原点，则____________；(3)若抛物线的顶点在y 轴上，则____________； (4)若抛物线的顶点在x 轴上，则____________．2．抛物线y ＝ax 2＋bx 必过______点．3．若二次函数y ＝mx 2－3x ＋2m －m 2的图象经过原点，则m ＝______，这个函数的解析式是______．4．若抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是______．5．若二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝______． 6．函数y ＝x 2－4x ＋3的图象的顶点及它和x 轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．7．抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0，b ＞0)的图象经过第______象限．二、选择题8．函数y ＝x 2＋mx －2(m ＜0)的图象是( )9．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么( )A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜01．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示，则( )A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0 B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0 C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0 D ．a ＜0，c ＜0，b 2－4ac ＞02．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )A ．b ＞0，c ＞0，＝0B ．b ＜0，c ＞0，＝0C ．b ＜0，c ＜0，＝0D ．b ＞0，c ＞0，＞0 3．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜34．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )一、填空题1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式__________________；③双根式__________________________(b 2－4ac ≥0)．2．若二次函数y ＝x 2－2x ＋a 2－1的图象经过点(1，0)，则a 的值为______．3．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,23( 则它与x 轴的另一个交点为______．二、解答题4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，求：(1)对称轴方程_________；(2)函数解析式_________；(3)当x ______时，y 随x 增大而减小；(4)由图象回答：当y ＞0时，x 的取值范围 ；当y ＝0时，x ＝ ；当y ＜0时，x 的取值范围 ．5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．7．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．8．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A (－2，5)，且当x ＝2时，y ＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B (0，3)是否在这个函数的图象上．一、填空题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有交点，则b 2－4ac ______0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0两根为x 1，x 2，则二次函数可表示为y ＝_________．2．若二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴只有一个交点，则m ＝______．3．若二次函数y ＝mx 2－(2m ＋2)x －1＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．4．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过P (1，0)点，则a ＋b ＋c ＝______． 5．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝0，则这条抛物线必经过点______． 6．关于x 的方程x 2－x －n ＝0没有实数根，则抛物线y ＝x 2－x －n 的顶点在第______象限．二、选择题7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．没有实根B ．只有一个实根C ．有两个实根，且一根为正，一根为负D ．有两个实根，且一根小于1，一根大于28．一次函数y ＝2x ＋1与二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交点( ) A ．只有一个 B ．恰好有两个 C ．可以有一个，也可以有两个 D ．无交点9．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c －3＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．无实数根10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是( ) A ．a ＞0，＞0 B ．a ＞0，＜0 C ．a ＜0，＞0 D ．a ＜0，＜01．矩形窗户的周长是6m ，写出窗户的面积y (m 2)与窗户的宽x (m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x 的取值范围，并画出函数的图象．2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m ，水位上升3m ， 就达到警戒水位CD ，这时水面宽4m ，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．3．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1m 的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4m 高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米?(取734=，562=)一、填空题1．若函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象经过(3，6)点，则m ＝______． 2．函数y ＝2x －x 2的图象开口向______，对称轴方程是______． 3．抛物线y ＝x 2－4x －5的顶点坐标是______．4．函数y ＝2x 2－8x ＋1，当x ＝______时，y 的最______值等于______．5．抛物线y ＝－x 2＋3x －2在y 轴上的截距是______，与x 轴的交点坐标是____________．6．把y ＝2x 2－6x ＋4配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是_______________． 7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示．(1)对称轴方程为____________； (2)函数解析式为____________；(3)当x ______时，y 随x 的增大而减小； (4)当y ＞0时，x 的取值范围是______． 8．已知二次函数y ＝x 2－(m －4)x ＋2m －3． (1)当m ＝______时，图象顶点在x 轴上； (2)当m ＝______时，图象顶点在y 轴上； (3)当m ＝______时，图象过原点．二、选择题9．将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 10．抛物线y ＝x 2－mx ＋m －2与x 轴交点的情况是( )A ．无交点B ．一个交点C ．两个交点D ．无法确定11．函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别为( )A ．4和－3B ．5和－3C ．5和－4D ．－1和412．已知函数y ＝a (x ＋2)和y ＝a (x 2＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )13．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．若b ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a 的值等于( )A ．251+- B ．－1 C ．251-- D ．1三、解答题15．已知函数y 1＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ＜0，b ＞0，c ＞0，问：(1)抛物线的开口方向?(2)抛物线与y 轴的交点在x 轴上方还是下方? (3)抛物线的对称轴在y 轴的左侧还是右侧?(4)抛物线与x 轴是否有交点?如果有，写出交点坐标； (5)画出示意图．16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．(试用两种不同方法)17．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段长为4，求函数解析式．。
分段函数的应用专题训练卷
分段函数的应用专题训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，折线ABCD描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（）A．汽车共行驶了200千米B．汽车在整个行驶过程中停留了0.5小时C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为60千米/时D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少2．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）A．4.80B．3.60C．2.40D．1.203．对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b＝，则函数y＝x2∅（2﹣x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．1D．44．《个人所得税》规定：全月总收入不超过3500元的免征个人工资薪金所得税，超过3500元，超过的部分（记为x）按阶梯征税，税率如下：级数x税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%………若某人工资薪金税前为7000元，则税后工资薪金为（）A．245B．350C．6650D．67555．北京地铁票价计费标准如表所示：x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32乘车距离x（公里）票价（元）3456每增加1元可乘坐20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是（）A．2.5元B．3元C．4元D．5元6．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a ＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A．0B．2C．3D．47．某城市出租车的起步价为10元（即行驶距离在4千米及以内付10元车费），超过4千米后，每行驶1千米加3元（不足1千米按1千米计）．小张在该市乘出租车是从甲地到乙地，支付车费28元，问从甲地到乙地的路程最多有（）千米？A．11B．10C．9D．88．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→A→B→C→D→P运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．9．为鼓励市民绿色低碳方式出行，县政府开通了公共自行车出租服务，每次租车1个小时内免费，若超过1小时，将按以下标准收费：第一个小时为1元，第二个小时为2元，第三个小时及以上，按每小时3元计费，不足1小时按1小时计算，一天收取的费用最高不超过10元．如果小明上午9：00租车，当天11：30还车，那么小明应付租车费（）A．1元B．2元C．3元D．6元10．某水果商店规定：如果购买苹果不超过10千克，那么每千克售价3元；如果超过10千克，那么超过的部分每千克降低10%，某单位购买48千克水果，则应付的钱数为（）A．129.6元B．132.6元C．141元D．144元二．填空题（共20小题）11．在某火车站托运物品时，不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元．则托运x kg（x为大于1的整数）物品的费用为元．12．我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分收3%的所得税，如某人的月收入为3860元，则他应缴纳个人工资、薪金所得税为：（3860﹣3500）×3%＝10.8元，如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税33元．那么此人本月工资、薪金收入是元．13．已知函数y＝，若y＝2，则x＝．14．某市出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米，每增加1千米加收1.2元，则路程x（x≥3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为：．15．某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x，单位：公里．乘车距离x x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32票价（元）3456每增加1元可乘20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是元．16．《个人所得税》规定：全月总收入不超过3500元的免征个人工资薪金所得税，超过3500元，超过的部分（记为x）按阶梯征税，税率如下：级数x税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%………若某人工资薪金税前为7000元，则税后工资薪金为．17．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准，每户每月的用水不超过10t 时，水价为每吨2.2元；超过10t时，超过部分按每吨2.8元收费，该市每户居民5月份用水x t（x＞10），应交水费y元，则y关于x的关系式．18．一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为．19．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款460元和560元；若合并付款，则她们总共只需付款元．20．规定max{a，b}表示取a、b中的较大者，例如max{0.1，﹣2}＝0.1，max{2，2}＝2，则函数f（x）＝max{|x+1|，|x2﹣5|}的最小值为．21．小李从沂南通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．已知小李给外婆快寄了 2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是元．22．某城市出租车收费按路程计算，3千米之内（包括3千米）收费6元，超过3千米每增加1千米加收 1.6元，则车费y（元）与路程x（千米）之间的函数关系式为．23．某地出租车的收费标准如下：路程在3千米以下收费8元；路程超过3千米的，超过的路程按2.6元/千米收费．例如：行驶10千米则收费为：8+（10﹣3）×2.6小明坐出租车到14千米外的少年宫去，他所付的车费是元．24．某书定价为30元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打9折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系式为．25．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款元．26．为合理利用水资源，增强人们的节水意识，某市规定用水收费标准：每户每月的用水量不超过6吨时，水费按每吨3.5元收费；超过6吨时，不超过6吨的部分仍按每吨3.5元收费，超过的部分按每吨a元收费．某户5月份用水8吨，交水费31元，如果6月份用水10吨，需交水费多少元．27．为鼓励居民节约用电，某市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．该市一位同学家2015年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．如果该同学家4月份用电410千瓦时，那么电费为元．28．某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度如图．当0≤t＜1时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．当1≤t＜2时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．当2≤t＜3时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是．29．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，则该市居民每月水费y（元）与该月用水量x（吨）之间的函数关系式是．月用水量收费标准（元/吨）不超过12吨部分2超过12吨不超过18吨部分 2.5超过18吨部分330．中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款．三．解答题（共10小题）31．为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y （元）．（1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式；（2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式．32．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：x﹣3﹣2﹣10123y121012描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线．得到该分段函数的图象．（1）在平面直角坐标系中完成函数图象；（2）此函数图象与y轴的交点坐标为；（3）点在函数图象上，则y1y2；（填“＞”“＝”或“＜”）（4）写出该分段函数的一条性质：；（5）若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围是．33．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税；③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税．试根据上述纳税的计算方法作答：（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税元，若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税元；（2）若王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？34．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元．35．如表是苏州市地铁收费标准：分段乘坐里程（公里）单程票票价10＜里程≤62元26＜里程≤113元311＜里程≤164元416＜里程≤235元523＜里程≤306元6里程30公里以上，每9公里分段加1元备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12公里，每月按22天上下班计算．（1）求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；（2）地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？请说明理由．36．在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中，某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足图中折线．（1）求注射药物后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，对控制病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射该药物后，求控制病情的有效时间．37．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣3﹣﹣2﹣﹣1﹣0123…y…121012…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．38．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元；（2）求y1、y2与x的函数表达式；（3）在图中画出y1与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．39．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米．超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了8千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了18千米，付了35元”．（1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？（2）若某人乘这种出租车行驶了x千米，请写出付费w元与x的函数关系式．40．某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元，求该户4月份用水多少吨？。
二次函数60道压轴题型专项训练(12大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(浙教)
二次函数60道压轴题型专项训练（12大题型）【题型目录】压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题压轴题型三 根据二次函数的对称性求值压轴题型四 二次函数的平移压轴题压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）压轴题型八 二次函数中的存在性问题压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题压轴题型十 二次函数的翻折问题压轴题型十一 二次函数最值问题压轴题型十二 二次函数的综合【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线3y x =--与抛物线2()4=--y x m 对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．54m £B ．54m £或74m =C ．1m £D ．1m £或54m =2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴只有一个公共点，且当x a =和x a n =+时函数值都为m ，则m 与n 的等量关系为 ．3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数()()13y a x x =--的图像过点()4,m ，(),p n (1)当1m =时，求a 的值；(2)若>>0m n ，求p 的取值范围；(3)求证：0>am an +．4．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数2(2)3(0)y m x m =-->的图象与x 轴交于点(,0),(,0)A a B b ．(1)当3a =-时，求b 的值．(2)当0a b <<时，求m 的取值范围．(3)若(1,),(1,)P a p Q b q ++两点也都在此函数图象上，求证：0p q +>．5．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点(1,)m 和(3,)n 都在二次函数2y ax bx =+（0，，¹a a b 是常数）的图象上．(1)若6==-m n ，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴．(2)若1a =-，m n <，求b 的取值范围．(3)已知点()()()1231,,2,,4,y y y -也都在该二次函数图象上，若0mn <且a<0，试比较123y y y ，，的大小，并说明理由．【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线()20y ax bx c a =++¹的顶点为(12)D -，，与x 轴的一个交点A 在点(30)-，和(20)-，之间，其部分图象如图，则以下结论：①0abc <；②若方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >；③320b c +<；④图象上有两点()11,P x y 和()22,Q x y ，若12x x <且122x x +<-，则一定有12y y >；正确的是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（20-21九年级上·浙江·期末）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ¹）经过点()1,0-和()0m ,；且12m <<，当1x <-时，y 随着x 的增大而减小．下列结论：①0abc >；②0a b +>③若点()13,A y -，点()23,B y 都在抛物线上，则12y y <；④()10a m b -+=；⑤若1c £-，则244b ac a -£．其中结论正确的是．3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数223(0)y x tx t =-+>中．(1)若函数图象的顶点在x 轴上，求t 的值．(2)若点(,)t s 在抛物线上，令q t s =+，求证：134q £．(3)如果(2,)A m a -，()4,B b ，(,)C m a 都在这个二次函数图象上，且3a b <<，求m 的取值范围．4．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()24430y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B ．(1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)若 1,m =当 3t x t +≤≤时，函数最小值为 2-，求t 的值；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A ，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m 的取值范围．5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线()20y ax bx c a =++>，(1)若抛物线过点()()35m m -，，，，求抛物线的对称轴；(2)已知点()()()()0112042y x y y n -，，，，，，，在抛物线上，其中121x -<<-，若存在1x 使1y n >，试比较012y y y ，，的大小关系．【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】1．（2024·山东淄博·二模）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x…2-1-012…2y ax bx c=++…tm2-2-n…且当12x =-时，与其对应的函数值0y >，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③36m n +<-，其中正确的结论个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)A -和(0,1)C ．（1）若此抛物线的对称轴是直线12x =，点C 与点P 关于直线12x =对称，则点P 的坐标是 ．（2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t a b c =++，则t 的取值范围是 ．3．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线²y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）(1)若20a b -=，4-+=a b c ，求此抛物线的顶点坐标；(2)在（1）的条件下，抛物线经过点()0,2，将抛物线²y ax bx c =++的图象0x <的部分向下平移h （h 为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与x 轴有2个交点，若点1(,)S m n y -与点2(,)Q m y 在平移后的抛物线上（点S ，Q 不重合），且点S 与点 Q 关于对称轴对称，求代数式22281244m mn n n h -+-+的值．4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m ，()4,n 在抛物线()20y ax bx c a =++>上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若30a b +=．比较,,m n c 的大小关系，并说明理由；(2)点()00),1(x m x ¹在抛物线上，若m c n <<，求t 及0x 的取值范围．5．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线()220y ax bx a =++>的图象上，设抛物线的对称轴为x t =．(1)若()2,1M -，()8,1N -，则t =_______；(2)当12x =-，223x <<时，都有122y y >>，求t 的取值范围．【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】1．（2024·河北邯郸·二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线1C ：224y x x =-++与()22:C y x m =-（m 是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2024·福建·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()02A ，，点()20C ，，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值的差为3．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将过点()2,1-的抛物线211:4C y x bx =-+（b 为常数）向右平移m 个单位（0m >），再向上平移n 个单位（0n ³）得到新的抛物线2C ，其顶点为E ．(1)求点E 的坐标；（用含m ，n 的式子表示）(2)若抛物线2C 与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E 的纵坐标；(3)当1n =时，抛物线2C 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，且当02x ££时，对抛物线1C 上的任意一点P ，在抛物线2C 上总存在一点Q ，使得点P ，Q 的纵坐标相等，探究下列问题：①求m 的取值范围；②若存在一点F ，满足DF AF BF ==，求点F 的纵坐标的取值范围．4．（2024·内蒙古赤峰·二模）小爱同学学习二次函数后，对函数()21y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：(1)观察探究：①至少写出该函数的两条性质；②直接写出方程()211x --=-的解；③直接写出方程()21x a --=有四个实数根时a 的取值范围．(2)延伸思考：将函数()21y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数()21213y x =---+的图象?写出平移过程，并直接写出当123y <£时，自变量x 的取值范围．5．（2024·山东济南·二模）已知抛物线1C :26y x mx m =--+交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ．(1)如图1，当点A 坐标为()30-，时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，点D 是第二象限内抛物线上的一点，连接BD ，若BD 将四边形ABCD 平分成面积相等的两部分，求点D 的横坐标；(3)如图2，EFH V 为等边三角形，点F ，H 在x 轴上，且点E 的坐标为()06，，将抛物线1C :26y x mx m =--+向右平移m 个单位，再向下平移6m 个单位后得到新的抛物线2C ，若2C 与等边EFH V 三边恰有四个交点，求m 的取值范围．【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】1．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线2y ax bx =+与2y bx ax =+的交点为A ，与x 轴的交点分别为B ，C ，点A ，B ，C 的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，且1230x x x ¹．若0a b +<，20a b +>，则下列说法正确的是（ ）A ．231x x x <<B ．321x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数()2(2)03y x x =-££的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数()21034y x bx c x =++££图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =．3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线()230y ax ax c a =++¹与y 轴交于点A ．(1)当1a =，2c =，求该抛物线与x 轴交点坐标；(2)若1a =，点(),P m n 在二次函数抛物线23y ax ax c =++的图象上，且0n c ->，试求m 的值；(3)若点A 的坐标是()0,1，当2c c -<时，抛物线与x 轴只有一个公共点，求a 的取值范围．4．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c 与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图像的具体步骤如下：步骤一：在直角坐标系内的x 轴上取任意三个点A （A 不在原点），B ，C ，度量三个点的横坐标，分别记为a ，b ，c ；步骤二：绘制函数2y ax bx c =++；步骤三：任意移动A ，B ，C 三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化．问题：如图2，将点A 移动到点()1,0-的位置．(1)若点B 移动到点()4,0-，请求出此时抛物线的对称轴；(2)在点B ，C 移动的过程中，且满足AB AC =，是否存在某一位置使得抛物线与x 轴只有一个交点，若存在，请求出此时点B 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象经过点(1,1)A -和(2,4)B .(1)求a ，b 满足的关系式；(2)当自变量x 的值满足12x -££时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；(3)若函数图象与x 轴无交点，求2a b +的取值范围.【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】1．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数关系120y x =-+．有下列结论：①销售单价可以是90元；②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．3．（2024·四川德阳·三模）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x 元，日销售量为P 盒．(1)当60x =时，P 等于______；(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W （元）最大？最大利润是多少？(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x 的范围为6080x ££．”你认为他们的说法正确吗？4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？5．（2023·湖北省直辖县级单位·一模）某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量y （件）与售价x （元/件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x （元/件）456y （件）1000095009000(1)求y 关于x 的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数m 元()15m ££，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数m 的值．【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）以初速度v （单位：m/s ）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系是24.9h vt t =-．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为9.8m/s ，经过a 秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度4.9m/s 竖直上抛．若两球能在空中相遇，则a 的取值范围为（ ）A ．34a <<B ．12a <<C ．324a <<D 2a <<2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长 2.7m AB =，宽 1.5m AD =的矩形，E F ，分别是AB 和CD 的中点，在E ，F 处设置高0.15m HE =的拦网．一次运动员在AD 端发球，在P 点击打乒乓球后经过桌面O 点反弹后的运行路径近似二次项系数427a =-的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O 在到桌面底边AD 的距离为0.1m ，到桌面侧边AB 的距离为0.1m 处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于BC ），此时球在越过拦网时正好比拦网上端GH 高0.1m ，则乒乓球落在对面的落点Q 到拦网EF 的距离为 m ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O 点反弹后飞向对方桌面，落点Q 在距离BC 为0.2m 的Q 点处，此时QC 的长度为 m ．3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点(2,2)A -和点(4,)B n -在抛物线2(0)y ax a =¹上．(1)求a 的值及点B 的坐标；(2)点P 在y 轴上，且ABP V 是以AB 为直角边的三角形，求点P 的坐标；(3)将抛物线2(0)y ax a =¹向右并向下平移，记平移后点A 的对应点为A ¢，点B 的对应点为B ¢，若四边形ABB A ¢¢为正方形，求此时抛物线的表达式．4．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在ABC V 中，90B Ð=°，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度运动．P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当P 、Q 两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为s t ．(0)t ≥(1)当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ；(2)求出V BPQ S 关于t 的函数解析式，计算P 、Q 出发几秒时，V BPQ S 有最大值，并求出这个最大面积？5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()3,0A -、()1,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式．(2)已知点D 为y 轴上一点，点D 关于直线AC 的对称点为1D ．①当点1D 刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D 的坐标．②点P 在抛物线上（点P 不与点A 、点C 重合），连接PD ，1PD ，1DD ，是否存在点P ，使1PDD △为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】1．（2024·浙江宁波·一模）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数22y x x c =-+（c 为常数）在13-<<的图象上存在两个“和谐点”，则c 的取值范围是（ ）A ．2574c <<B ．2544c <<C ．11c -<<D ．2504c <<2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图2所示)，桥面CB ∥OA ，其抛物线解析式为()218020320y x =--+，抛物线上点A 离桥面距离22AB =米，若存在一点E 使得38CE CB =，则点E 到抛物线的距离ED = 米．3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数y =的图象与坐标轴交于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++的图象经过A 、B 两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 为抛物线上一动点，在直线AB 上方是否存在点P 使PAB V 的面积最大？若存在，请求出PAB V 面积的最大值及点P 的坐标，请说明理由．4．（23-24九年级上·黑龙江伊春·期末）如图，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为．(1)求此抛物线和直线AB 的表达式；(2)设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M ，N ，C ，E 是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由；5．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，直线212y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线23103y ax x c =++经过B C ，两点，与x 轴交于另一点A ，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过E 作EF y ∥轴交x 轴于点F ，交直线BC 于点M ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EM 的最大值；(3)在（2）的条件下，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P Q A M ，，，为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】1．（2024·浙江杭州·一模）二次函数21y x bx c =++（b ，c 是常数）过()2,0-，()0m ,两个不重合的点，一次函数2y x d =+过()0m ,和二次函数的顶点，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．22．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0)ab ¹经过()()11,0,,0x ，一次函数y a x c =+经过()2,0x ，一次函数y b x c =+经过()3,0x ．已知1254,1x m x m -<<-<<+，31n x n <<+，其中,m n 为整数，则m n +的值为 ．3．（2024·浙江舟山·三模）已知一次函数5y x =-的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，将点A 向左平移4个单位，得到点A ¢，且点A ¢恰好在二次函数23y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ¹）图象的对称轴上．(1)用含a 的代数式表示b ．(2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标．(3)若二次函数图象与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数121y x =+的图象与二次函数22y x ax b =++的图象相交于A ，B 两点，点A 坐标为()1m -，，点B 坐标为()25，．(1)求m 的值以及二次函数的解析式．(2)根据图象，直接写出当1y >2y 时x 的取值范围．(3)若将二次函数向上平移t 个单位长度后，得到的图象与x 轴没有交点，求t 的取值范围．5．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数()00b y x b a b a=-+>>，与坐标轴交于A ，B 两点，以A 为顶点的抛物线过点B ，过点B 作y 轴的垂线交该抛物线另一点于点D ，以AB ，AD 为边构造ABCD Y ，延长BC 交抛物线于点E ．(1)若2a b ==，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点E 的坐标．(2)如图2，请问BE AB 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【压轴题型十 二次函数的翻折问题】1．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()1,M m y ，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y >，则m 的取值范围是（ ）A ．102m £<B 1m <<C m <<D 12m <<2．（2023江苏南通·模拟预测）如图，将二次函数2y x m =-（其中0m >）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为1y ，另有一次函数2y x =+的图象记为2y ，若1y 与2y 恰有两个交点时，则m 的范围是 ．3．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线22(0)y x x m m =-++>与y 轴交于A 点，其顶点为D ．直线122y x m =--分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，与直线AD 相交于E 点．(1)求A 、D 的坐标（用m 的代数式表示）；(2)将ACE V 沿着y 轴翻折，若点E 的对称点P 恰好落在抛物线上，求m 的值；(3)抛物线22(0)y x x m m =-++>上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数223y x x =--在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M ．(1)若直线12y x n =+与图象M 恰好有3个交点．求n 的值．(2)若直线12y x n =+与图象M 恰好有2个交点．求n 的取值范围．5．（2023·浙江杭州·二模）已知二次函数2420y mx mx m m =-+-¹（），且与x 轴交于不同点M 、N ．(1)若二次函数图象经过点30A （，），①求二次函数的表达式和顶点坐标；②将抛物线在05x ££之间的那部分函数图象沿直线5x =翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F ，若直线y kx n =+过点151C （，），且与图象F 恰有两个交点，求n 的取值范围；(2)若0m ＜，当4MN £时，求实数m 的取值范围．【压轴题型十一 二次函数最值问题】1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数222y x x -=+， 当0x t ££时，函数最大值为M ，最小值为N ．若5M N =，则t 的值为 （ ）A ．0.5B ．1.5C ．3D ．42．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数()2211y ax b x =--+（a ，b 为常数且0a >），当21x -££-时，y 随x 的增大而增大，则ab 的最大值为 ．3．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 23y x bx =++的图象经过点()()()12,,,43A x n B x t C -,，．(1)求二次函数的函数表达式；(2)当 212x x -=时，①若 0nt £，求 t n -的取值范围；②设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，求m 的最大值．4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数214y x bx c =-++的图象经过原点O 和点()8,0A t +，其中0t ³．(1)当0=t 时．①求y 关于x 的函数解析式；求出当x 为何值时，y 有最大值？最大值为多少？②当x a =和x b =时()a b ¹，函数值相等，求a 的值．(2)当0t >时，在08x ££范围内，y 有最大值18，求相应的t 和x 的值．5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）设二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，均为常数，且0a ¹）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x L3-2-1-01L y L n 5a -n a-4a L (1)若1a =．①求二次函数的表达式，并写出顶点坐标；②已知点()1,m y 与()23,m y -都在该二次函数图象上，且12y y ³，请求出1y 的最小值．(2)将该二次函数图象向右平移k （02k <<）个单位，若平移后的二次函数图象在20x -££的范围内有最小值为3116a -，求k 的值．【压轴题型十二 二次函数的综合】1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线218333y x x =+-与x 轴交于点A 和点B 两点，与y 轴交于点C ，D 点为抛物线上第三象限内一动点，当2180ACD ABC Ð+Ð=°时，点D 的坐标为（ ）A ．(8,3)--B ．(,)--1673C ．(6,7)--D ．(5,8)--2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x ，y 满足：24x y k =+，24y x k =+（k 为常数）且x y ¹，则称点(),M x y 为“好点”．（1）若()5,P m 是“好点”，则m ．（2）在32x -<<的范围内，若二次函数23y x x c =-+的图象上至少存在一个“好点”，则c 的取值范围为 ．3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线()2233y mx m x m =--+-（m 是常数，且0m ¹）经过点()2,4，且与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．(1)求出二次函数的表达式．(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点(),P a p 和(),Q b q ，与直线AB 交于点(),c n ，若a c b <<，直接写出a b c ++的取值范围．(3)当13x t =-，2x t =，33x t =+时，对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．求证：123454y y y ++³．4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线21:4C y x =，()01F ，，点()11,A x y ，()22,B x y 为抛物线上第一象限内的两点，且满足FA FB ^，以FA FB 、为边向右作矩形FAPB ，若P 点纵坐标为5．(1)求12y y +的值；(2)求12x x 的值；(3)求矩形FAPB 的面积．5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q æöç÷èø，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，若BME AOM V V ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH V 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值．。
二次函数专题训练(含答案)
二次函数专题训练（含答案）一、 填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a -时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 .10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=xy 的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 .二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21C.（-1，5）D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当 a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax y bx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b a （ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数2ax y =与xa y =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ）A.a >0，Δ>0B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-16 34.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b.（1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由.38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHED AH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C.（1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值；（2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；（3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标.（2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.（3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1） 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值， 二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.（2） 在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同 的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.（1） 求点C 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ）件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.2.∵43432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时m m m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1） 当AC=BC 时， 94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2） 当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y . （3） 当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-m m ， ∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m0)1(122222+=++=m m m图代13-3-21∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点.令y=0，得062)5(222=+++-m x m x0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====，∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ②解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1；△ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0.同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；8.四，增大； 9.向上，向下，a b x a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10. 二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ²122+-=b x .∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根，∴ x 1+x 2=a-3，x 1²x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意.∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a .解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ，01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b .∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ a cx x a bx x =⋅-=+2121,.又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a ca b .① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b.③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1， 得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2）当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y .33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ²OC. 又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1³4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y .解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ²OB=OC 2.∴ x 1²x 2=c 2. 又由方程032=+-c x ax 知ac x x =⋅21， ∴acc =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ， ∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切. 35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5³4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ） =74（米）. 答：cc ＇的长为74米.（2）∵4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3）在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y .∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0. ∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0 ∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2， ∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0， 解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0， ∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2）， ∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+=.111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8， ∴1821⨯=⨯⨯y AB .即8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y . 当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x . ∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+. 38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ²AB=2³（2+6）=16. ∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHEDAH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB. 又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB =90°-∠HDB =∠DBH. 在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ， ∴ △DFB ∽△DHB. ∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH. ∴ED ∥FH ，∴FHEDAH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF. 又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH. 以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH. ∴FHEDAH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y .∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPBOD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ， 由ED 2=EF ²EB 得12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）.39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ，化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ²OC=BC ²AD. ∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB.图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21.1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45.40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛524,0.∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴ OBOCAB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-4512,516，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===.∴交点)31,32(m m M .此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有0329413422=-+⎪⎭⎫⎝⎛--m m x m x .⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422.013891613891622>=+-+-=mm m m ∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3）， ∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CP MP=+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,56.42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ²OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1²x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y.图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x . ∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ D CA D PB ABPC S S S ∆∆-=四边形 ).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
分段函数专题练习-PPT
图像
(选 做)
例3: 设函数f (x) | 2x 1| | x 4 |，
(1)求f (x)的最小值； (2)求不等式f (x) 2的解集。
(1) x
1, 2
fmin
9 2
(2)(, 7) (5 , ) 3
练习1:
(练习题都“选 做”)
设函数f
(
x)满足f
(
1
若x0 0,则x02 1，得x0 1
综上，(, 1) (1, )
例5:
设函数f
(x)
x
x 1, 1,
x 0， 则不等式 x0
x (x 1) f (x 1) 1的解集为((, 2 1])
解：(1)若x 1 0，则f (x 1) x 2，
原不等式化为：x (x 1)(x 2) 1，所以有
(3
a)x
1 2
a,
x
1 ,
且f
( x)是(,
)上
loga x,
x 1
的增函数，求a的取值范围。 解：f (x)在R上是增函数,
则各段的解析式也为增， 且在区间的分界点x 1上有,
1 (3 a) 1 2 a loga 1 0,
3 a 0,
从而，a 1,
(3
a)
1
1
a
0
2
解得：2 a 3
t2 1, t 0, 综上，g(t) 1, 0 t 1,
t2 2t 2,t 1
闭区间上二次函数的值域，一定要讨论对称轴与闭区间的关系！
例3: 已知函数f (x)是偶函数，当x 0时，有f (x) x log1 x，
2
求f (x)的解析式。
解：设x 0,
二次函数(分段函数)
二次函数（分段函数） 一、根据文字表达式获取分段函数信息例1 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．试建立销售价y 与周次x 之间的函数关系式．分析：本题要善于从文字信息中提炼出函数关系，可先采用列表法找出周次x 和销售价y 对应信息，然后根据表格中对应关系列出分段函数表达式． 周次（x ） 1 2 3 4 5 6 … 11 12 13 14 15 16 销售价（y ） 20222426283030302826242220解：依题意，可建立的函数关系式为：()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤≤≤-+=16121123011630611220x x x x x y ；即()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤+=16125221163061182x x x x x y 二、根据已知分段函数解析式求解 例2 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤++-=)4020(3807)2010(240)100(100242t t t t t t y（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解：（1）当x=5时，代入y=－t 2+24t+100中，得y=195；当x=25时，代入y=－7t+24t+100中，得y=205．∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中． （2）当0＜t≤10时，令y=－t 2+24t+100=180，得t=4；当10＜t≤20时，y=240；当20＜t≤40时，y=－7t+380=180，得t=28.57．所以学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57（分钟）．∴老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 4一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从五月一日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图1的一条线段表示：它的种植成本y 2与上市时间x 的关系，可用图2中抛物线的一部分来表示。
二次函数与分段函数专题补练(临门一脚)
O
9 5
3
x
������ = {
4.如图，抛物线经过 A(3，2)，B(5，6)，C(0，6)三点，直线过 A、B 两点，若两函数
专题补练 01
1.已知抛物线������1 = ������ 2 − 8������ + 15， 直线������2 = ������������ + ������ 过点 P(2，-3). (1)若不论 x 为什么值恒有������2 ≤ ������1，求 b 的取值范围； (2)若3 < ������ < 7时， 总有������2 > ������1， 求此时 b 的取值范围.
y
分别为������1, ������2 . (1) 若 ������ ≤ 3 时，������1 ≤ ������2 ， 那 么 ������1 的 解 析 式 是 ；
y C(0,6) B(5,6)
(2) 若 3 ≤ ������ ≤ 6 时，������2 ≤ ������1 ， 那 么 ������2 的 解 析 式 是
O P(2,-3) x
A(3数 W 的完整图象，请根据图象提供的信息，写出函数 W 的解析式.
第 1 题图
y
x=1 2.如图， 直线������ = ������������ + ������过点 A(m， m+1)， B(m+2， m+3)， 2 C(8， 9)三点， 且抛物线������2 = ������������ + ������������ + ������与������1 交于 B、 C 两点. (1) ������1的解析式是 (2) ������2的解析式是 (3)求 B 点坐标.
二次函数应用题分类超全习题
二次函数应用题专项训练【题型一：抛物问题】1、飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）与滑行的时间t （单位：秒）之间的函数关系式是260 1.5s t t =-．飞机着陆后滑行秒才能停下来．2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示， 若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ） A 、4.6m B 、4.5m C 、4m D 、3.5m3、某种爆竹点燃后，其上升的高度h （米）和时间t （秒）符合关系式201(02)2h t gt t υ=-<≤，其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以020υ=米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后在1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由．4、如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距O 点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？【题型二：拱桥问题】1、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上 距水面AB 高为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距 离EF 是 （精确到1米）．2已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为yOAE FB原点建立坐标系．①求此桥拱线所在抛物线的解析式．②桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处122m 的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下?说明理由3、如图所示：一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形长为8m ，宽为2m ， 隧道最高点P 位于AB 的中央，距地面6m 处。
2020年中考复习——分段函数专题训练(含答案)
2020中考复习——分段函数专题训练（二）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题1.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是()A. 修车时间为15分钟B. 学校离家的距离为2000米C. 到达学校时共用时间20分钟D. 自行车发生故障时离家距离为1000米2.如图所示，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，现提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中(不计空气阻力)，弹簧称的读数F(kg)与时间t(s)的函数图象大致是()．A. B.C. D.3.一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港岀发匀速行驶至乙港，行驶路程随时间变化的图象如图，则下列结论错误的是A. 轮船的速度为20千米/时B. 轮船比快艇先出发2小时C. 快艇到达乙港用了6小时D. 快艇的速度为40千米/时4.小明早晨从家骑车到学校，先上坡，后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是()A. 37.2minB. 48minC. 30minD. 33min5.如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(ℎ)，两车之间的距离为y(km)图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法中错误的是()A. B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇B. B−C−D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地C. 快车的速度为200km/ℎD. 慢车的速度为100km/ℎ6.我国国内平信邮资标准是：每封信的质量不超过20g，付邮资1.20元；质量超过20g、不足100g，每增加20g(不足20g按照20g计算)增加1.20元，如图所示为质量q(g)与邮资p(元)的关系，下列表述中，正确的是()A. 当q=40g时，p=3.60元B. 当p=2.40元时，q=30gC. q是p的函数D. p是q的函数7.某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元()A. 838B. 924C. 924或838D. 838或9108.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=6，AB=8，点D从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线C−B−A运动，过点D作AC的垂线，垂足为点E.设点D的运动时间为x，△CDE的面积为y(当C，D，E三点共线时，不妨设y=0)，则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题9.按图示程序计算，当输入的x的值为−3时，则输出的结果为________．210.小华粉刷他的卧室共花去10小时，他记录的完成工作量的百分数如下：时间(小时) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完成的百分数52535505065708095100(1)5小时他完成工作量的百分数是______; (2)小华在_____ 时间里工作量最大;(3)如果小华在早晨8时开始工作，则他在______ 时间没有工作．11. 某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，那么付款金额y(单位：元)与购书数量x(单位：本)之间的函数关系式为________． 12. 一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为y 1(km )，慢车离乙地的距离为y 2(km )，行驶的时间为x (ℎ)，两车之间的距离为s (km )，y 1，y 2与x 的函数关系图象如图1所示，s 与x 的函数关系图象如图2所示，则当x =________时，两车相距60km ．13. 中百超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元，不享受优惠；(2)一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；(3)一次性购物超过300元一律8折．某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款____．14. 若直线y =m(m 为常数)与函数y ={x 2(x ≤2)8x(x >2)的图象有三个不同的交点，则常数m 的取值范围____．15. 已知当−2≤x ≤3时，函数y =|2x −m|(其中m 为常量)的最小值为2m −54，则m =________． 16. 小李从沂南通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg 收费22元，超过1kg ，则超出部分按每千克10元加收费用．已知小李给外婆快寄了2.5kg 樱桃，请你求出这次快寄的费用是______元．17.《个人所得税》规定：全月总收入不超过3500元的免征个人工资薪金所得税，超过3500元，超过的部分(记为x)按阶梯征税，税率如下：若某人工资薪金税前为7000元，则税后工资薪金为______．三、解答题18.如图反映的是小华从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后走回家，其中x表示时间，y表示小华离家的距离．根据图象回答下列问题：(1)小华在体育场锻炼了______ 分钟；(2)体育场离文具店______ 千米；(3)小华从家跑步到体育场、从文具店散步回家的速度分别是多少千米/分钟？19.星期天，小英从家里出发去少年宫学画画．她刚走不久，妈妈发现小英忘了带画笔，于是就去追小英．如图象表示两人行走的时间和路程．(1)小英每分钟走_____米，妈妈每分钟走_____米．(2)小英出发_____分钟后，妈妈才出发，这时小英已经走了_____米．(3)照这样的速度，妈妈出发后_____分钟可以追上小英．20.为加强校园文化建设，需要甲、乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y(元)与使用面积x(m2)间的函数关系如图所示，乙种石材的费用为每平方米50元．(1)求y与x的函数关系式；(2)若校园文化墙总面积共600m2，甲种石材使用面积不少于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？21.小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x−1|的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成：(1)函数y=|x−1|的自变量x的取值范围是___；(2)列表，找出y与x的几组对应值。
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1、月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取
得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这
种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第
二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售
价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范
围．
2、某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y (万件)关于售价x (元/件)的函数解析式为：
⎩⎨⎧⋅
≤≤+-<≤+-=)7060(80),6040(1402x x x x y (1) 若企业销售该产品获得的利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函 数解析式；
(2)当该产品的售价x (元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x (元/件)的取值范围（10分）
3、某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．
（1）根据题意，填写如表：
（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千
克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；
（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么
零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
4、我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y 1（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y 2（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y 1与t 的变化规律，并求出y 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；
（2）求y 2与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y （百件），
求y 与t 的函数关系式；当t 为何值时，日销售总量y 达到最大，并求出此时
的最大值．。