2013年高考新课标1理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）

理 科 数 学

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.）

1．已知集合{}

{}

55,022<<-=>-=x x B x x x A ，则( ) A ．φ=B A B ．R B A = C ．A B ⊆ D ．B A ⊆ 2．若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( )．

A ．4-

B ．54-

C ．4

D ．5

4 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到

该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样

4．已知双曲线C ：2222=1x y a b

-()0,0>>b a 的离心率为2，则C 的渐近线方

程为( )

A ．x y 41±

= B ．x y 31±= C ．x y 2

1

±= D ．x y ±=

5．执行下面的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，则输出的s 属于( )

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5]

6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

A ．

33500cm π B ．33866cm π C ．331372cm π D ．33

2048cm π

7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3,0,211==-=+-m m m S S S ，则=m ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．π816+

B ．π88+

C ．π1616+

D ．π168+

9．设m 为正整数，()m

y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()

1

2++m y x 展开式的二项式系数的最大

值为b .若b a 713=，则=m ( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

10．已知椭圆E ：22

22=1x y a b

+()0,0>>b a 的右焦点为()0,3F ，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB

的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为( )

A ．

1364522=+y x B ．1273622=+y x C ．1182722=+y x D ．19

182

2=+y x 11．已知函数()=x f 220ln(1)0.

x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，

，若()ax x f ≥，则a 的取值范围是( )

A ．(]0,∞-

B ．(]1,∞-

C ．[]1,2-

D ．[]0,2-

12．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,,n n n C B A ∆的面积为.,3,2,1,⋅⋅⋅=n S n 若111112,a c b c b =+>，

2

,2,111n

n

n n n n n n a b c a c b a a +=+==+++，则( ) A ．{}n S 为递减数列 B ．{}n S 为递增数列

C ．{}12-n S 为递增数列，{}n S 2为递减数列

D ．{}12-n S 为递减数列，{}n S 2为递增数列

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______. 14．若数列{}n a 的前n 项和3

1

32+=

n n a S ，则{}n a 的通项公式是=n a _______. 15．设当θ=x 时，函数()x x x f cos 2sin -=取得最大值，则=θcos __________. 16．若函数()(

)()

b ax x

x

x f ++-=2

2

1的图像关于直线2-=x 对称，则()x f 的最大值为__________．

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)如图，在ABC ∆中，︒=∠90ABC ，

1,3==BC AB ，p 为ABC ∆内一点，︒=∠90BPC .

(1)若2

1

=PB ，求PA ；

(2)若︒=∠150APB ，求PBA ∠tan .

18．(本小题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，

︒=∠==60,,11BAA AA AB CB CA . (1)证明：C A AB 1⊥；

(2)若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值．