专题四 阅读理解问题

例如,(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1,2,1恰好对应图中第
三行的数字;再如,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数
1,3,3,1恰好对应图中第四行的数字,请认真观察此图,写出 (a+b)4的展开式.(a+b)4=______________________.
【思路点拨】根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的
1 x
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,
共360元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程 的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x 千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最 低是多少元？
【解析】直接应用 x=1 变形应用 解：∵ y2
2 ③sin 60 3 2
cos 45
„
2 2 3 cos 30 2
根据以上规律，计算sin2α +sin2(90°-α )＝________.
【解析】当α=30°时， 2 sin 2 90 sin 2 30 sin 2 (90 30) sin =sin230°+sin260° ( 1 )2 ( 3 )2 1. 当α=45°时，
间的直角距离，记作d(P1，P2). (1)已知O为坐标原点，动点P(x，y)满足d(O，P)=1，请写出x 与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符 合条件的点P所组成的图形；
(2)设P0(x0，y0)是一定点，Q(x，y)是直线y=ax+b上的动点， 我们把d(P0，Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试 求点M(2，1)到直线y=x+2的直角距离.
即x2-x=0. 解得x1=0，x2=1. ∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解.
(2)当x-1<0,即x<1时，|x-1|=-(x-1).
原方程化为x2+(x-1)-1=0，即x2+x-2=0.
解得x1=1，x2=-2. ∵x<1，故x=1舍去，x=-2是原方程的解. 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-2.
又∵x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的
点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3.
∴点M(2，1)到直线y=x+2的直角距离为3.
【对点训练】
1.(2012·株洲中考)若(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2,则 (4,5)·(6,8)=_______. 【解析】因为(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2,4，5，6，8分别相当 于公式中的x1,y1,x2,y2,所以 (4,5)·(6,8)=4×6+5×8=24+40=64. 答案：64
2 2
sin 2 sin 2 90 sin 2 45 sin 2 (90 45)
2 2 2 ) ( )2 1. 2 2 当α=60°时，sin 2 sin 2 90 sin 2 60 sin 2 (90 60) sin 2 45 sin 2 45 ( sin 2 60 sin 2 30 ( 3 2 1 2 ) ( ) 1. 2 2
为了简便起见，我们将其表示为 n， 这里“∑”是求和符号,通
n 1
100
过对以上材料的阅读，计算Fra bibliotek2012
1 n n 1 _____ . n 1
【解析】由题意得，
n 1
2012
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 1 2 2 3 3 4 2 011 2 012
新知识型阅读理解 【技法点拨】 新知识型阅读理解问题是指材料中给出了新的运算法则或某一 数学公式的推导与示例应用，要求学生类比应用该公式或法则 解决相关问题的一类试题.材料中的法则或公式有的直接给出，
也有的通过问题归纳得出，它们一般是现阶段学生未学到的知
识或方法，其目的是考查学生的理解、归纳、类比迁移、主动
函数有最小值为 2 a.
直接应用
已知函数y1=x(x>0)与函数 y 2 x 0 , 则当________时,y1+y2 取得最小值为________. 变形应用 已知函数y1=x+1(x>-1)与函数y2=(x+1)2+4(x>-1),求 值,并指出取得该最小值时相应的x的值.
y2 的最小 y1
查阅读理解、迁移转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质
和能力.
突破阅读理解型试题的关键是读懂并理解试题的阅读材料
中提供的新情景、新方法、新知识等，并能迅速进行知识的迁 移与转化.
新定义(概念)阅读理解题
【技法点拨】
新定义(概念)学习型阅读理解问题，是指在题目中先构建一个
新数学定义(或概念)，然后再根据新概念提出要解决的相关问
要使得△PAB的面积最 ，
小，而AB＝5，所以只要AB边上的高最小即可，即只要点P到直 线AB的距离最小，从而只要|3t2－8t＋27|最小.另一方面
4 65 | 3t 2－8t＋27 ＝ 3(t－ ) 2＋ | ， ∴当 t＝ 4 时，d有最小值 13， 此时点 3 3 3 3 4 13 1 13 65 P( , )，S PAB＝ 5 ＝ . 3 9 2 3 6
题.主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用 能力.
解决这类问题： (1)要准确理解题目中所构建的新概念； (2)要能将新概念融入到自己已有的知识中去，并进行综合运
用.
【例1】(2012·无锡中考)对于平面直角坐标系中的任意两点
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1,P2两点
第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两 个数的和，而(a+b)4的系数对应第5行数据. 【自主解答】(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 答案：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
【对点训练】 7.(2011·张家界中考)阅读材料： 如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，那么，
解方程：x2+2|x+2|-4=0.
【思路点拨】阅读材料→提炼解题思路方法→类比应用
【自主解答】(1)当x+2≥0,即x≥-2时，|x+2|=x+2. 原方程化为x2+2(x+2)-4=0，即x2+2x=0， 解得x1=0，x2=-2. ∵x≥-2，故x=0，x=-2都是原方程的解.
(2)当x+2<0,即x<-2时，|x+2|=-(x+2).
本y最低，最低成本为 0.001 2 360 000 1.6 2.8 元.
6.(2012·郴州中考)阅读下列材料: 我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过
恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+By+C=0(A,B,C是
常数，且A,B不同时为0) 如图1，点P(m,n)到直线l:Ax+By+C=0
由此猜想：sin2α+sin2(90°-α)=1. 答案：1
5.(2012·盐城中考)知识迁移 当a>0且x>0时，因为 ( x a ) 2 0, 所以 x 2 a a 0, 从而
x
x
a 2 a (当 x a时取等号). x 记函数 y x a a 0, x 0 ,由上述结论可知：当x a 时,该 x x
专题四
阅读理解问题
点击进入相应模块
阅读理解题是指先给出阅读材料，通过阅读领会其中的数 学内容、方法要点，并能加以运用，然后解决后面提出的问题 的一类题型. 阅读理解题的篇幅一般较长，试题结构分两部分：一部分 是阅读材料，另一部分是需解决的有关问题.
阅读材料既有选用与教材知识相关的内容的，也有广泛选 用课外知识的.除了考查初中数学的基础知识之外，更注重考
y1
2
x 1
2
4
∴ y 2 有最小值为 2 4 4, 当 x 1 4, 即x=1时取得该最小值. y
1
x 1
x 1
4 x 1 , x 1
实际应用
解：设该汽车平均每千米的运输成本为y元,
0.001x 2 1.6x 360 则y x 360 360 000 0.001x 1.6 0.001(x ) 1.6, x x ∴当 x 360 000 600(千米)时, 该汽车平均每千米的运输成
【解析】(1)先将 y＝－ 4 x 4 化为4x＋3y＋12＝0，
12 ∴点M(3,2)到直线AB的距离为 d＝ 4 3＋3 2＋ ＝6； 42＋32
3
(2)设点P(t,t2－4t＋5)，∴点P到直线AB的距离为
d＝ 4 t＋3 t 2 4t＋5 ＋ 12 42＋32 ＝ 3t 2－8t＋27 5
2.(2011·湘潭中考)规定一种新的运算: a b 1 1 , 则
a b
1 2 ___.
【解析】由新定义的运算a b 1 1 , 可知 1 2 1 1 1 1 .
a b 2 2
答案： 1 1
2
3.(2012·临沂中考)读一读：式子“1+2+3+4+„+100”表示从1 开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，