单摆的周期跟摆长的关系
实验一 探究单摆的周期与摆长的关系
(2)作l－T2图线解决物理问题，可以提示我们：若摆球的质 量分布不均匀，对测量结果将________(填“有影响”或 “没有影响”)。
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解析 (1)由单摆的周期公式 T＝2π gl ，得摆长与周期的关系 为 l＝4gπ2T2，图象的斜率 k＝4gπ2，由图象中的 A、B 两点坐标 可得：4gπ2＝xy22－－yx11，解得重力加速度为 g＝4πx22y－2－x1y1。(2)摆 球的质量分布不影响图象的斜率，对测量结果没有影响。 答案 (1)4πx22y－2－x1y1 (2)没有影响
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热点二 对实验数据处理的考查 【例2】 在用单摆测重力加速度的实验中： (1)某同学实验
时改变摆长，测出几组摆长l和对应的周期T的数据，作 出l－T2图线，如图4所示。利用图线上任两点A、B的坐 标(x1，y1)、(x2，y2)，便可求得重力加速度g＝________。
图4
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实验一 探究单摆的周期与摆长的关系
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注意事项 1．悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。 2．强调在同一平面内振动且摆角小于10°。 3．选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的
次数。 4．小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡
尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′ ＋r。 5．选用一米左右的细线。
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解析 由单摆周期公式 T＝2π h＋g l，即 T2＝4gπ2l＋4πg2h，纵 轴截距大于 0，图线应为题图乙中的图线 a；由图象的截距得 h ＝0.3 m；由斜率可求得 g＝4kπ2＝41π.22 m/s2＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。
单摆周期与摆长关系
单摆周期与摆长关系引言单摆是物理学中研究振动现象的经典模型之一。
它由一个悬挂在固定点上的质点构成，通过一个轻细的绳或杆连接。
当质点被扰动并释放时，它会围绕固定点做周期性振动。
本文将探讨单摆周期与摆长之间的关系，并通过理论分析和实验验证来证明摆长对周期的影响。
理论分析首先，我们需要了解单摆的运动方程。
对于小摆角的情况，摆动的运动近似为简谐振动。
根据简谐振动的运动方程，可以推导出单摆的摆动周期与摆长之间的关系。
考虑到单摆的悬挂线长为L，质点的质量为m，摆动时与竖直方向夹角为θ。
由达西定律推导出来的单摆运动方程如下：\[ mL\frac{d2\theta}{dt2} = -mg\sin\theta \]其中，t为时间，g为重力加速度。
由于摆动的幅度较小，可以对上式进行近似处理。
使用小角度近似，即\(\sin\theta \approx \theta\)，得到以下简化的运动方程：\[ \frac{d2\theta}{dt2} = -\frac{g}{L} \theta \]这是一个简谐振动的运动方程，其解为：\[ \theta(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]其中，A为振幅，\(\omega\)为角频率，\(\phi\)为相位。
摆动的周期T可以定义为完成一次完整振动所需要的时间。
在单摆运动中，振动周期T与角频率\(\omega\)的关系为：\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]将简谐振动的解带入上式，得到：\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{L}}} \]可以看出，单摆的周期T与摆长L之间存在平方根关系。
实验验证为了验证理论推导的结果，我们设计了一个实验来测量单摆周期与摆长之间的关系。
实验装置包括一个可调节长度的摆线和一个质量较小的金属球。
我们先固定摆线的长度，然后将金属球拉到一侧并释放。
通过计时器记录金属球来回摆动的时间，即得到振动周期。
探究单摆与摆长的关系
探究单摆周期与摆长关系
5.【数据处理】 1.结论：
单摆周期随摆长增大而增大。
探究单摆周期与摆长关系 5.【数据处理】
(2)建立直角坐标系，纵坐标表示周期T，横坐标
3 表示摆长L(或L2、 L 、 L 等)，作出图象。如果图象是一Fra bibliotek过原点的倾斜直线，
、 T∝ 3 L 等)。 说明T∝L(或T∝L2、T∝ L
实验：探究单摆周期与摆长的关系
1.单摆的构成（理想化模型）： （1）可以忽略质量、忽略伸缩的细线； （2）质量大，体积小的钢球。 通常实验中，球直径比线长短的多。
2.单摆的回复力
（1）回复力的提供： 摆球重力沿 切线 方向的分力。 （2）运动性质： 偏角很小（小于5°）时， 单摆看做简谐运动。
探究单摆周期与摆长关系
16.5 32.2 16.5
1.8
1.8 1.4 1.4
练习：(1)用单摆测定重力加速度的实验中，有如 下器材供选用，请把应选用的器材填在横线上 __________________(填字母)。
A．1m长的粗绳 B．1m长的细线
C．半径为1cm的小木球 D．半径为1cm的小铅球
B、D、F、G、I
E．时钟 F．秒表 G．最小刻度为mm米尺 H. 最小刻度为cm米尺 I．铁架台 J．附砝码的天平
如图为半径很大的光滑凹形槽，将有一小球 从A点由静止释放。小球将做什么运动？
求运动的周期？
L
O
A
细线穿过小球，然后打一个比小孔稍大一些的线结。
把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在
实验桌边，使铁夹伸到桌面之外，让摆球自由下垂， 在单摆平衡位置处做上标记，如图。
【注意事项】 单摆摆线的上端应夹紧，不能卷在铁夹的
实验：探究单摆的摆长和周期的关系 (2).pptx
示.通过改变悬线长度 L，测出对应的摆动周期 T，获得多组 T 与 L，再以 T2 为纵轴、L 为横
轴画出函数关系图象如图(b)所示.由图象可知，摆球的半径 r＝
m，当地重力加速度
g＝
m/s2 ； 由 此 种 方 法 得 到 的 重 力 加 速 度 值 与 实 际 的 重 力 加 速 度 值 相 比 会
次全
t
振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即 T＝N(N 为全振动的次数)，反复测 3 次，
再算出周期的平均值 T ＝T1＋T32＋T3.
1
学海无 涯
l
4π2l
(5)根据单摆周期公式 T＝2π g，计算当地的重力加速度 g＝ T2 .
(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均
g (2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l＝4π2T2，因此，分别测出一系列摆长 l 对应的周期 T， 作 l－T2 的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图 2 所示，求出图线的斜率 k＝ ΔΔTl 2，即 可利用 g＝4π2k 求重力加速度.
图2
2
Hale Waihona Puke 学海无涯3.误差分析 (1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖 直 平面内的振动等. (2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或 漏 计全振动次数.
4
学海无涯
D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
(2)如图 6 所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约 1 m 的单摆.实验时，由于仅有量程为
20 cm、精度为 1 mm 的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端 处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期 T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆
实验九 探究单摆的周期与摆长的关系
2．数据处理 (1)公式法：利用多次测得的单摆周期及对应摆长，借助公式 4π2l g＝ T2 求出加速度 g，然后算出 g 的平均值． 4π2l (2)图象法：由公式 g＝ T2 ，分别测出一系 列摆长 l 对应的周期 T， 作出 l－T2 的图象， 如图实－9－2 所示，图象应是一条通过原 点的直线，求出图线的斜率 k，即可求得 g 值． l Δl g＝4π k，k＝T2＝ΔT2.
[解析 ]
本实验主要考查用单摆测定重力加速度的实验步
骤、实验方法和数据处理方法． (1)测量筒的下端口到摆球球心之间的距离 L，用到毫米刻 度尺，测单摆的周期用秒表，所以测量工具选 B、D. (2)设摆线在筒内部分的长度为 h，由 T＝2π
2 2 4π 4π T2＝ g L＋ g h，可知 T2－L 关系图象为 a.
近速率甚小，滞留时间不易确定，引起的时间误差较 大． 8．要准确记好摆动次数，不要多记或少记次数．
六、误差分析
1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合 要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，振 动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的振动等． 2．本实验的偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从
(4)BD
[例2] 将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口 向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图实－9－4甲所 示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单 摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量
工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改
变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出 函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和 当地的重力加速度g.
台(带铁夹)、刻度尺、秒表、游标卡尺．
探究单摆周期与摆长的关系PPT课件
3、注意摆动时摆角不易过大，不能超过10º，以保 证单摆做简谐运动；
4、摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内， 不要形成圆锥摆；
5、测量从球通过平衡位置时开始计时，因为在此位 置摆球速度最大，易于分辨小球过此位置的时刻。
6、为了减少偶然误差改变摆长，多次测量求平均 值。
-
7
小结
1、游标卡尺及秒表的使用和读数方法 2、用单摆测重力加速度 （1）原理 （2）器材选择 （3）摆长和周期的测量方法
3、测周期：把单摆从平衡位置拉开一个角度（＜10°）放开它，用 秒表测量单摆完成30次全振动（或50次）所用的时间t，求出完 成一次全振动所需要的时间，这个平均时间就是单摆的周期。
T= t / n
4、求重力加速度：把测得的周期和摆长的数值代入公式，求出重 力加速度g的值来。
5、多次测量求平均值：改变摆长，重做几次实验. 计算出每次实验
小的等分刻度它们的总长等于9mm，因此游
标尺的每一分度与主尺的最小分度相差0.1mm,
当左右测脚合在一起，游标的零刻度线与主尺
的零刻度线重合时，只有游标的第10条刻度线
与主尺的9mm刻度线重合,其余的刻度线都不
重合。游标的第一条刻度线在主尺的1mm刻度左边0.源自mm处，游标的第二条刻度线在主尺的
2mm刻度左边0.2mm处- ，等等。
⑤计算周期时，将(n－1)次全振动误记为n 次全振动.
-
10
3、一位同学用单摆测重力加速度的实验．他将摆挂起 来后，进行了如下步骤：
(A)测摆长L：用米尺量出摆线的长度． (B)测周期T：将摆球拉起，然后放开．在摆球某次通过 最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作 为第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按秒 表停止计时．读出这段时间t，算出单摆的周期 T=t/60
实验九 探究单摆的周期与摆长的关系
(3)将T2＝0，L＝－30 cm代入上式可得：
h＝30 cm＝0.3 m；
将T2＝1.20，L＝0代入上式可求得：g＝π2 m/s2＝9.86 m/s2. [答案] (1)BD (2)a (3)0.3 9.86
1．(2011· 北京海淀区测试)某同学做“用单摆测定重力加速 度”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重 力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是 A．测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长 B．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后 摆球第 30 次通过平衡位置时制动秒表，读出经历的时 t 间为 t，并由计算式 T＝ 求得周期 30 C．开始摆动时振幅过小 D．所用摆球的质量过大 ( )
图实－9－9
(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是________(填写代号)． A．测摆长时，忘记了摆球的半径 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增 加了
C．开始计时时，秒表过早按下
D．实验中误将39次全振动次数记为40次
(3)某同学在实验中，测量6种不同摆长情况下单摆的振动 周期，记录表格如下： l/m 0.4 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2
图实－9－7
解析：(1)小球应放在测脚下部位置，图乙正确． (2)由R随t的变化图象可知，单摆半个周期的时间为(t1＋
t0)－t1＝t0，所以单摆的周期为2t0.当换用直径为原来2倍
的小球做实验时，该单摆的摆长将会变大，故周期T将会 变大．Δt表示小球通过光敏电阻与激光器之间的时间， 当摆球直径变大时，通过的时间将变长． 答案：(1)乙 (2)2t0 变大 变大
台(带铁夹)、刻度尺、秒表、游标卡尺．
四、实验操作
1．实验步骤 (1)做单摆：让细线的一端穿过小球的小孔， 并打一个比小孔大一些的结，然后把线 的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把
单摆运动周期与摆长关系
单摆运动周期与摆长关系摆长是指单摆的线长，即摆锤离摆轴的距离。
在物理学中，单摆是一个重要的研究对象，它的运动周期与摆长之间存在着一定的关系。
本文将探讨单摆运动周期与摆长的关系，并从理论和实验两个方面进行讨论。
一、理论分析单摆的运动周期与摆长之间存在着一个简单的数学关系，即周期的平方与摆长成正比。
这个关系由物理学家伽利略在16世纪提出，并由后来的科学家进行了验证和推广。
假设单摆的摆长为L，重力加速度为g，摆锤的质量为m。
根据牛顿第二定律，摆锤在重力作用下受到一个向心力，大小为mg*sinθ，其中θ为摆锤与竖直方向的夹角。
根据几何关系，可以得到sinθ=L/L0，其中L0为摆锤在最低点时的线长。
根据牛顿第二定律和几何关系，可以得到摆锤的运动方程为：m*L0*d^2θ/dt^2 = -m*g*sinθ化简后得到：d^2θ/dt^2 + g/L0*sinθ = 0这是一个非线性的微分方程，很难直接求解。
但是，当θ很小的时候，可以近似地认为sinθ≈θ，即θ的弧度近似等于它的正弦值。
这个近似成立的条件是θ的弧度要远小于1弧度，即θ要远小于π/2。
在这个近似条件下，可以将微分方程简化为：d^2θ/dt^2 + g/L0*θ = 0这是一个简谐振动的微分方程，它的解可以表示为：θ(t) = A*sin(ωt + φ)其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
通过对微分方程的求解，可以得到角频率ω的表达式：ω = √(g/L0)根据周期的定义，周期T等于振动一周所需的时间，即T = 2π/ω。
代入角频率的表达式，可以得到周期与摆长的关系：T = 2π*√(L0/g)由此可见，单摆的运动周期与摆长的平方根成正比。
二、实验验证为了验证理论分析的结果，可以进行实验来测量单摆的运动周期与摆长的关系。
实验的步骤如下：1. 准备一个单摆装置，包括一个摆轴和一个可调节摆长的摆锤。
2. 将摆锤拉至一定角度，然后释放，观察摆锤的运动。
单摆实验
考纲解读探究单摆周期与摆长的关系1．实验原理由单摆的周期公式T ＝2πl g ，可得出g ＝4π2T2l ，测出单摆的摆长l 和振动周期T ，就可求出当地的重力加速度g . 2．实验器材单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表． 3．实验步骤(1)做单摆：取约1m 长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，如图1所示．图1(2)测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D ，则单摆的摆长l ＝L ＋D2.(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期． (4)改变摆长，重做几次实验． (5)数据处理的两种方法 方法一：计算法 根据公式T ＝2πl g ，g ＝4π2l T 2.将测得的几次周期T 和摆长l 代入公式g ＝4π2lT2中算出重力加速度g 的值，再算出g 的平均值，即为当地的重力加速度的值． 方法二：图象法 由单摆的周期公式T ＝2πl g 可得l ＝g4π2T 2，因此以摆长l 为纵轴，以T 2为横轴作出的l －T 2图象是一条过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ，即可求出g 值．g ＝4π2k ，k ＝lT 2＝Δl ΔT 2.图24．注意事项(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定． (2)单摆必须在同一平面内摆动，且偏角小于5°.(3)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数．(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L ，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r ，则摆长l ＝L ＋r . (5)选用一米左右的细线．例1 实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验．(1)实验前他们根据单摆周期公式导出了重力加速度的表达式g ＝4π2LT 2，其中L 表示摆长，T表示周期．对于此式的理解，四位同学说出了自己的观点： 同学甲：T 一定时，g 与L 成正比； 同学乙：L 一定时，g 与T 2成反比； 同学丙：L 变化时，T 2是不变的；同学丁：L 变化时，L 与T 2的比值是定值．其中观点正确的是同学________(选填“甲”“乙”“丙”或“丁”)． (2)实验室有如下器材可供选用：A ．长约1m 的细线B ．长约1m 的橡皮绳C ．直径约2cm 的均匀铁球D ．直径约5cm 的均匀木球E ．停表F ．时钟G ．分度值为1mm 的米尺实验小组的同学选用了分度值为1mm 的米尺，他们还需要从上述器材中选择：________(填写器材前面的字母)．(3)他们将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂(如图3所示)．用米尺测量悬点到________之间的距离记为单摆的摆长L .图3(4)在小球平稳摆动后，他们记录小球完成n 次全振动的总时间t ，则单摆的周期T ＝________. (5)如果实验得到的结果是g ＝10.29m/s 2，比当地的重力加速度值大，分析可能是哪些不当的实际操作造成这种结果，并写出其中一种：______________________________________. 答案 (1)丁 (2)ACE (3)小球球心 (4)tn (5)可能是振动次数n 计多了；可能是测量摆长时从悬点量到了小球底部(其他答案合理也给分)解析 (1)由于重力加速度g 是确定的，故丁同学理解正确．(2)根据实验原理g ＝4π2LT 2，应测量L 和T ，故选A 、C 、E.(3)摆长是指悬点到球心的距离，不是摆线长．(4)nT ＝t .(5)由g ＝4π2LT 2知可能是L 测量偏大，或T 测量偏小． 变式训练1．下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：(1)利用上述数据，在图图4(2)利用图象，取T 2＝4.2s 2时，l ＝________m ，重力加速度g ＝________m/s 2.(结果保留三位有效数字)答案 (1)见解析图 (2)1.05 9.86 解析 由T ＝2πl g 得l ＝g 4π2T 2，所以图象是过原点且斜率为g4π2的一条直线． (1)l －T 2图象如图所示．(2)T 2＝4.2s 2时，从图中可读出其摆长l ＝1.05m ，将T 2和l 代入公式g ＝4π2lT2，得g ≈9.86m/s 2.测定玻璃的折射率1．实验原理用插针法找出与入射光线AO 对应的出射光线O ′B ，确定出O ′点，画出折射光线OO ′，然后测量出角θ1和θ2，代入公式计算玻璃的折射率． 2．实验器材白纸、图钉、大头针、直尺、铅笔、量角器、平木板、长方形玻璃砖． 3．实验过程 (1)铺白纸、画线．①如图5所示，将白纸用图钉按在平木板上，先在白纸上画出一条直线aa ′作为界面，过aa ′上的一点O 画出界面的法线MN ，并画一条线段AO 作为入射光线．图5②把玻璃砖平放在白纸上，使它的长边跟aa ′对齐，画出玻璃砖的另一条长边bb ′. (2)插针与测量①在线段AO 上竖直地插上两枚大头针P 1、P 2，透过玻璃砖观察大头针P 1、P 2的像，调整视线的方向，直到P 1的像被P 2的像挡住，再在观察的这一侧依次插两枚大头针P 3、P 4，使P 3挡住P 1、P 2的像，P 4挡住P 1、P 2的像及P 3，记下P 3、P 4的位置．②移去玻璃砖，连接P 3、P 4并延长交bb ′于O ′，连接OO ′即为折射光线，入射角θ1＝∠AOM ，折射角θ2＝∠O ′ON .③用量角器测出入射角和折射角，查出它们的正弦值，将数据填入表格中． ④改变入射角θ1，重复实验步骤，列表记录相关测量数据． 4．数据处理计算每次的折射率n ，求出平均值n . 5．注意事项(1)玻璃砖应选用厚度、宽度较大的． (2)大头针要插得竖直，且间隔要大些．(3)入射角不宜过大或过小，一般在15°～75°之间．(4)玻璃砖的折射面要画准，不能用玻璃砖界面代替直尺画界线． (5)实验过程中，玻璃砖和白纸的相对位置不能改变．例2 某同学利用“插针法”测定玻璃的折射率，所用的玻璃砖两面平行．正确操作后，作出的光路图及测出的相关角度如图6所示．图6(1)此玻璃的折射率计算式为n ＝________(用图中的θ1、θ2表示)；(2)如果有几块宽度大小不同的平行玻璃砖可供选择，为了减小误差，应选用宽度________(填“大”或“小”)的玻璃砖来测量． 答案 (1)cos θ1cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫或sin (90°－θ1)sin (90°－θ2) (2)大 解析 (1)光线由空气射入玻璃的入射角i ＝90°－θ1，折射角r ＝90°－θ2，由折射率的定义可得：n ＝sin i sin r ＝sin (90°－θ1)sin (90°－θ2)＝cos θ1cos θ2；(2)根据平行玻璃砖对光线的影响可知，玻璃砖宽度越大，侧移量越大，折射角的测量误差越小． 变式训练2．如图7所示，某同学用插针法测定一半圆形玻璃砖的折射率，在平铺的白纸上垂直纸面插上大头针P 1、P 2确定入射光线，并让入射光线过圆心O ，在玻璃砖(图中实线部分)另一侧垂直纸面插大头针P 3，使P 3挡住P 1、P 2的像，连接OP 3.图中MN 为分界面，虚线半圆与玻璃砖对称，B 、C 分别是入射光线、折射光线与圆的交点，AB 、CD 均垂直于法线并分别交法线于A 、D 点．图7(1)设AB 的长度为l 1，AO 的长度为l 2，CD 的长度为l 3，DO 的长度为l 4，为较方便地表示出玻璃砖的折射率，需用刻度尺测量________，则玻璃砖的折射率可表示为________． (2)该同学在插大头针P 3前不小心将玻璃砖以O 为圆心顺时针转过一小角度，由此测得玻璃砖的折射率将________(填“偏大”“偏小”或“不变”)． 答案 (1)l 1和l 3l 1l 3(2)偏大 解析 (1)设圆形玻璃砖的半径是R ，则入射角为i ＝∠AOB ，sin i ＝l 1R ，折射角r ＝∠COD ，sin r＝l 3R ，n ＝sin i sin r ＝l 1l 3，即需要测量l 1和l 3. (2)P 3顺时针转过一小角度，相当于减小l 3，折射率n 将偏大．用双缝干涉测量光的波长(同时练习使用测量头)1．实验原理相邻两条亮条纹间距Δx 与入射光波长λ，双缝S 1、S 2的间距d 及双缝与屏的距离l 满足的关系式为Δx ＝l d λ.2．实验器材双缝干涉仪、光具座、光源、学生电源、导线、滤光片、单缝、双缝、遮光筒、毛玻璃屏、测量头、刻度尺． 3．实验步骤(1)安装仪器．如图8所示．图8①将光源、遮光筒、毛玻璃屏依次安放在光具座上．②接好光源，打开开关，使白炽灯正常发光．调节各部件的高度，使光源灯丝发出的光能沿轴线到达光屏．③安装单缝和双缝，中心位于遮光筒的轴线上，使双缝和单缝的缝平行． (2)观察与记录．①调单缝与双缝间距为5～10cm 时，观察白光的干涉条纹． ②在单缝和光源间放上滤光片，观察单色光的干涉条纹．③调节测量头，使分划板中心刻度线对齐第1条亮条纹的中心，记下手轮上的读数a 1；转动手轮，使分划板向一侧移动，当分划板中心刻度线与第n 条相邻的亮条纹中心对齐时，记下手轮上的刻度数a 2，则相邻两条亮条纹间的距离Δx ＝|a 1－a 2|n －1. ④换用不同的滤光片，测量其他色光的波长．(3)数据处理：用刻度尺测量出双缝到光屏间的距离l ，由公式λ＝dl Δx 计算波长，重复测量、计算，求出波长的平均值． 4．注意事项(1)调节双缝干涉仪时，要注意调节光源的高度，使它发出的一束光能够沿着遮光筒的轴线把屏照亮．(2)放置单缝和双缝时，缝要相互平行，中心大致位于遮光筒的轴线上．(3)调节测量头时，应使分划板中心刻线和条纹的中心对齐，记清此时手轮上的读数，转动测量头，使分划板中心刻线和另一条纹的中心对齐，记下此时手轮上的读数，两次读数之差就表示这两个条纹间的距离．(4)不要直接测Δx ，要测几个条纹的间距，计算得Δx ，这样可以减小误差． (5)白光的干涉观察到的是彩色条纹，其中白色在中央，红色在最外边．例3 (2016·4月浙江选考·21)在“用双缝干涉测量光的波长”实验中，选用红色滤光片和间距为0.20mm 的双缝，双缝与屏的距离为600mm.某同学正确操作后，在目镜中看到如图9甲所示的干涉条纹．换成紫色滤光片正确操作后，使测量头分划板刻线与第k 级暗条纹中心对齐，在目镜中观测到的是图乙中的________(填字母)，此时测量头的读数为25.70mm.沿同一方向继续移动测量头使分划板刻线与第k ＋5级暗条纹中心对齐，此时测量头标尺如图丙所示，其读数是________mm.紫光的波长等于________nm.图9答案D19.40420解析换成紫色滤光片后，光的波长变小，条纹间距变小，B错，条纹方向不变，C错，分划板中心刻线的位置是不变的，A错，D对；游标尺的读数为19mm＋8×0.05mm＝19.40mm；根据波长计算公式λ＝dLΔx，可得λ＝420nm.变式训练3．现有毛玻璃屏A、双缝B、白光光源C、单缝D和透红光的滤光片E等光学元件，要把它们放在如图10所示的光具座上组装成双缝干涉装置，用以测量红光的波长．图10(1)将白光光源C放在光具座最左端，依次放置其他光学元件，由左到右，表示各光学元件的字母排列顺序应为C、________、________、________、A.(2)本实验的步骤有：①取下遮光筒左侧的元件，调节光源高度，使光束能沿遮光筒的轴线把屏照亮；②按合理的顺序在光具座上放置各光学元件，并使各元件的中心位于遮光筒的轴线上；③用刻度尺测量双缝到屏的距离；④用测量头(其读数方法同螺旋测微器)测量数条亮条纹间的距离．在操作步骤②时还应注意________________、________________和______________．答案(1)E D B(2)放置单缝、双缝时，必须使缝平行单缝、双缝间的距离要适当要保证光源、滤光片、单缝、双缝和毛玻璃屏的中心在同一轴线上解析(1)滤光片E可以从白光中选出单色红光，单缝D是获取线光源，双缝B是获得相干光源，最后成像在毛玻璃屏A上．所以排列顺序为：C、E、D、B、A.(2)在操作步骤②时应注意的事项有：放置单缝、双缝时，必须使缝平行；单缝、双缝间的距离要适当；要保证光源、滤光片、单缝、双缝和毛玻璃屏的中心在同一轴线上．探究碰撞中的不变量1．实验原理在一维碰撞中，测出物体的质量m和碰撞前、后物体的速度v、v′，算出碰撞前的动量p＝m1v1＋m2v2及碰撞后的动量p′＝m1v1′＋m2v2′，看碰撞前后动量是否相等．2．实验器材斜槽、小球(两个)、天平、直尺、复写纸、白纸、圆规等．图113．实验步骤(1)用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为入射小球．(2)按照如图11所示实验原理图甲安装实验装置．调整、固定斜槽使斜槽末端水平．(3)白纸在下，复写纸在上且在适当位置铺放好．记下重垂线所指的位置O.(4)不放被撞小球，让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下，重复10次．用圆规画尽量小的圆把小球所有的落点都圈在里面．圆心P就是小球落点的平均位置．如实验原理图乙所示．(5)把被撞小球放在斜槽末端，让入射小球从斜槽同一高度自由滚下，使它们发生碰撞，重复实验10次．用步骤(4)的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置M和被撞小球落点的平均位置N.(6)连接ON，测量线段OP、OM、ON的长度．将测量数据填入表中．最后代入m1OP＝m1OM ＋m2ON，看在误差允许的范围内是否成立．(7)整理好实验器材放回原处．(8)实验结论：在实验误差允许范围内，碰撞系统的动量守恒．4．数据处理验证表达式：m1·OP＝m1·OM＋m2·ON5．注意事项(1)斜槽末端的切线必须水平；(2)入射小球每次都必须从斜槽的同一高度由静止释放；(3)选质量较大的小球作为入射小球；(4)实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持不变．例4某同学用如图12所示的装置做验证动量守恒定律的实验．先将a球从斜槽轨道上某固定点处由静止开始滚下，在水平地面上的记录纸上留下压痕，重复10次；再把同样大小的b球放在斜槽轨道末端水平段的最右端上，让a球仍从固定点由静止开始滚下，和b球相碰后，两球分别落在记录纸的不同位置处，重复10次．图12(1)本实验必须测量的物理量有________．A．斜槽轨道末端距水平地面的高度HB．小球a、b的质量m a、m bC．小球a、b的半径rD．小球a、b离开斜槽轨道末端后平抛飞行的时间tE．记录纸上O点到A、B、C各点的距离OA、OB、OCF．a球的固定释放点到斜槽轨道末端水平部分间的高度差h(2)放上被碰小球b，两球(m a>m b)相碰后，小球a、b的落地点依次是图中水平面上的________点和________点．(3)某同学在做实验时，测量了过程中的各个物理量，利用上述数据验证碰撞中的动量守恒，那么判断的依据是看________和________在误差允许范围内是否相等．答案(1)BE(2)A C(3)m a·OB m a·OA＋m b·OC解析(1)B点是不发生碰撞时a球的落地点，A点是发生碰撞后a球的落地点，C点是碰后b球的落地点．设小球a运动到轨道末端时的速度大小为v B，与球b发生碰撞后的瞬时速度大小为v A，碰后b球的速度大小为v C，本实验就是要验证关系式m a v B＝m a v A＋m b v C是否成立．因为小球做平抛运动的高度相同，下落时间相同，它们在水平方向上位移与水平方向上的速度成正比，所以本实验也可以变换成验证m a·OB＝m a·OA＋m b·OC是否成立，B、E正确．(2)两球碰撞后，a球在水平方向上的分速度较小，下落时间相同时，落地时的水平位移也较小，所以小球a、b的落地点依次是图中水平面上的A点和C点．(3)根据(1)的分析，判断两球碰撞过程中的动量是否守恒的依据是看m a·OB和m a·OA＋m b·OC在误差允许范围内是否相等．变式训练4．如图13所示为实验室中验证动量守恒的实验装置示意图．图13(1)若入射小球质量为m1，半径为r1；被碰小球质量为m2，半径为r2，则()A．m1>m2，r1>r2B．m1>m2，r1>r2C．m1>m2，r1＝r2D．m1<m2，r1＝r2(2)为完成此实验，以下所提供的测量工具中必需的是________．(填下列对应的字母) A．直尺B．游标卡尺C．天平D．弹簧秤E．秒表(3)设入射小球的质量为m1，被碰小球的质量为m2，P为碰前入射小球落点的平均位置，若关系式(用m1、m2及图中字母表示)________成立，即表示碰撞中动量守恒．答案(1)C(2)AC(3)m1·OP＝m1·OM＋m2·ON解析(1)在小球碰撞过程中，对水平方向用动量守恒定律有：m1v0＝m1v1＋m2v2在碰撞过程中，碰后入射小球的速度方向保持不变，就要求m1>m2，为了使两球发生正碰，两小球的半径要相同，即r1＝r2；故选C.(2)P为碰前入射小球落点的平均位置，M为碰后入射小球落点的平均位置，N为碰后被碰小球落点的平均位置，碰撞前入射小球的速度为：v1＝OP·g 2h碰撞后入射小球的速度为：v2＝OM·g 2h碰撞后被碰小球的速度为：v3＝ON·g 2h.若m1v1＝m1v2＋m2v3，则表明通过该实验验证了两球碰撞过程中动量守恒，代入数据得：m 1·OP ＝m 1·OM ＋m 2·ON ；所以需要测量质量和水平位移，必需用到的仪器是直尺、天平．故选A 、C 两项．(3)由(2)中的分析可知，实验中需验证的表达式为： m 1·OP ＝m 1·OM ＋m 2·ON .1．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示．图1(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)． A ．长度为1m 左右的细线 B ．长度为30cm 左右的细线 C ．直径为1.8cm 的塑料球 D ．直径为1.8cm 的铁球(2)测出悬点O 到小球球心的距离(摆长)L 及单摆完成n 次全振动所用的时间t ，则重力加速度g ＝__________(用L 、n 、t 表示)．(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理.请计算出第3答案 (1)AD (2)4π2n 2Lt2 (3)2.01 9.76解析 (1)单摆模型需要满足的两个基本条件：①摆线长远大于小球的直径；②小球的密度越大越好．所以应选A 、D. (2)由T ＝tn，T ＝2πL g 得g ＝4π2n 2L t2(3)T ＝t n ＝100.550s ＝2.01sg ＝4π2n 2L t 2＝4×3.142×502×1100.52m /s 2≈9.76 m/s 2. 2．(2016·杭州模拟)某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．图2(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图2甲所示．这样做的目的是________(填选项前的字母代号)． A ．保证摆动过程中摆长不变 B ．可使周期测量得更加准确 C ．需要改变摆长时便于调节 D ．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L ＝0.9990m ，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为________mm ，单摆摆长为________m.(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1m 的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A 、B 、C 、D 均为30次全振动的图象，已知sin5°＝0.087，sin15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号)．答案 (1)AC (2)12.0 0.9930 (3)A解析 (1)在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，是为了防止运动过程中摆长发生变化，如果需要改变摆长来探究摆长与周期关系时，方便调节摆长，故A 、C 正确．(2)游标卡尺示数为：d ＝12mm ＋0×0.1mm ＝12.0mm ；单摆摆长为：L ′＝L －12d ＝0.9990m－0.0060m ＝0.9930m(3)当摆角小于等于5°时，我们认为小球做单摆运动，所以振幅约为：1×0.087m ＝8.7cm ，当小球摆到最低点时开始计时，误差较小，测量周期时要让小球做30～50次全振动，求平均值，所以A 合乎实验要求且误差最小．3．用三棱镜做测定玻璃折射率的实验，先在白纸上放好三棱镜，在棱镜的一侧插入两枚大头针P 1和P 2，然后在棱镜的另一侧观察，调整视线使P 1的像被P 2的像挡住，接着在眼睛所在的一侧插两枚大头针P 3、P 4，使P 3挡住P 1、P 2的像，使P 4挡住P 3和P 1、P 2的像，在纸上标出的大头针位置和三棱镜轮廓如图3所示．图3(1)在题图上画出所需的光路．(2)为了测出棱镜玻璃的折射率，需要测量的量是________，________，在图上标出它们． (3)计算折射率的公式是________． 答案 见解析 解析 (1)如图所示，画出通过P 1、P 2的入射光线，交AC 面于O ，画出通过P 3、P 4的出射光线交AB 面于O ′，则光线OO ′就是入射光线P 1P 2在三棱镜中的折射光线．(2)在所画的图上注明入射角θ1和折射角θ2，并画出虚线部分，用量角器量出θ1和θ2(或用直尺测出线段EF 、OE 、GH 、OG 的长度)．(3)n ＝sin θ1sin θ2(或因为sin θ1＝EF OE ，sin θ2＝GH OG ，则n ＝EF ·OG OE ·GH)．4．某同学用大头针、三角板、量角器等器材测半圆形玻璃砖的折射率．开始时玻璃砖的位置如图4中实线所示，使大头针P 1、P 2与圆心O 在同一直线上，该直线垂直于玻璃砖的直径边，然后使玻璃砖绕圆心O 缓慢转动，同时在玻璃砖直径边一侧观察P 1、P 2的像，且使P 2的像挡住P 1的像．如此观察，当玻璃砖转到图中虚线位置时，上述现象恰好消失．此时只需测量出________________________________，即可计算出玻璃砖的折射率．请用你的测量值表示出折射率________．图4答案 玻璃砖直径边绕O 点转过的角度θ n ＝1sin θ解析 由题意可知，当玻璃砖转过某一角度θ时，刚好发生全反射，在直径边一侧观察不到P 1、P 2的像，作出如图所示的光路图可知，当转过角度θ时有sin θ＝1n ，则n ＝1sin θ.5．(2016·宁波市联考)在“用双缝干涉测量光的波长”的实验中，某同学安装实验装置如图5甲所示，调试好后能观察到清晰的干涉条纹．图5(1)根据实验装置知，②、③、④依次是________、________、________.(2)某次实验时，该同学调节分划板的位置，使分划板中心刻线对齐某亮纹的中心，如图乙所示，此时螺旋测微器的读数为________．(3)转动手轮，使分划线向一侧移动到另一条亮纹的中心位置，再次从螺旋测微器上读数．若实验测得4条亮纹中心间的距离为x ＝0.960mm ，已知双缝间距为d ＝1.5mm ，双缝到屏的距离为L ＝1.00m ，则对应的光波波长λ＝________.答案 (1)滤光片 单缝 双缝 (2)1.180mm (3)4.8×10－7m解析 (1)该实验是让单色线光源通过双缝在光屏上形成干涉图样，所以光具座上放置的光学元件依次为光源、滤光片、单缝、双缝、遮光筒、光屏．(2)螺旋测微器的固定刻度读数为1mm ，可动刻度读数为0.01×18.0mm ＝0.180mm ，所以最终读数为1.180mm (3)Δx ＝x 4－1＝0.320mm ，根据Δx ＝L d λ得，λ＝d Δx L ＝1.5×10－3×0.320×10－3m ＝4.8×10－7m.6．“用双缝干涉测量光的波长”的实验装置如图6甲所示．测量头由分划板、目镜、手轮等构成，已知双缝与屏的距离为L ，双缝间距为d .图6(1)如图乙所示，移动测量头上的手轮，使分划板的中心刻线对准第1条亮纹的中心，记下此时手轮上螺旋测微器的读数x 1.转动测量头，使分划板的中心刻线向右移动对准第4条亮纹的中心，此时手轮上螺旋测微器的读数x 2如图丙所示，则读数x 2＝________mm.(2)已知双缝与屏的距离为L ，双缝间距为d .计算波长的公式λ＝________.(用题目中给出的字母表示)(3)对于某种单色光，为增加相邻亮纹间的距离，可采取________或________的方法． 答案 (1)0.350 (2)d (x 2－x 1)3L(3)减小双缝间距离 增大双缝到屏的距离解析 (1)图丙中固定刻度读数为0mm ，可动刻度读数为0.01×35.0mm ＝0.350mm ，所以最终读数为：0＋0.350mm ＝0.350mm. (2)根据Δx ＝Ld λ得：λ＝Δx ·d L ＝d (x 2－x 1)3L.(3)根据Δx ＝Ld λ知，对于某种单色光，要增大双缝间距Δx ，可以采用的办法是：减小双缝间距离或增大双缝到屏的距离．7．气垫导轨是一种常用的实验仪器．它是利用气泵使带孔的导轨与滑块之间形成气垫，使滑块悬浮在导轨上，滑块在导轨上的运动可视为没有摩擦．我们可以用带竖直挡板C 和D 的气垫导轨以及滑块A 和B 来验证动量守恒定律，实验装置如图7所示(弹簧的长度忽略不计)，实验步骤如下：图7a ．用天平分别测出滑块A 、B 的质量m A 、m Bb ．调整气垫导轨，使导轨处于水平c ．在A 和B 间放入一个被压缩的轻弹簧，由电动卡锁锁定，静止放置在气垫导轨上d ．用刻度尺测出A 的左端至C 板的距离L 1e ．按下电钮放开卡锁，同时使分别记录滑块A 、B 运动时间的计时器开始工作．当A 、B 滑块分别碰撞C 、D 挡板时停止计时，记下A 、B 分别到达C 、D 的运动时间t 1和t 2 (1)实验中还应测量的物理量是____________________．(2)利用上述测量的实验数据，验证动量守恒定律的表达式是________________，上式中算得的A 、B 两滑块的动量大小并不完全相等，产生误差的原因是________________________(写出一条即可)．答案 (1)B 的右端至D 板的距离L 2 (2)m A L 1t 1－m B L 2t 2＝0(或m A L 1t 1＝m B L 2t 2) 测量时间、距离等存在误差(或气垫导轨不水平，合理即正确)8．(2016·嘉兴市模拟)某同学用如图8所示的装置，利用两个大小相同的小球做对心碰撞来验证动量守恒定律，图中AB 是斜槽，BC 是水平槽，它们连接处平滑，O 点为重垂线所指的位置．实验时先不放置被碰球2，让球1从斜槽上的某一固定位置G 由静止开始滚下，落到位于水平地面的记录纸上，留下痕迹，重复10次，然后将球2置于水平槽末端，让球1仍从位置G 由静止滚下，和球2碰撞，碰后两球分别在记录纸上留下各自的痕迹，重复10次．实验得到小球的落点的平均位置分别为M 、N 、P .图8(1)在该实验中，应选用的器材是下列器材中________． A ．天平 B ．游标卡尺 C ．刻度尺D ．大小相同的钢球两个E ．大小相同的钢球和硬橡胶球各一个(2)在此实验中，球1的质量为m1，球2的质量为m2，需满足m1________m2(填“大于”“小于”或“等于”)．(3)被碰球2飞行的水平距离由图中线段________表示．(4)若实验结果满足m1·ON＝________，就可以验证碰撞过程中动量守恒．答案(1)ACE(2)大于(3)OP(4)m1·OM＋m2·OP解析(1)实验需要测量小球的质量、小球落地点的位置，测量质量需要天平，测量小球落地点的位置需要刻度尺，还需要大小相同的钢球和硬橡胶球各一个，故选项A、C、E正确；(2)要碰后入射小球的速度还是沿原来的方向，就要求球1的质量大于球2的质量；(3)球1和球2相撞后，球2的速度增大，球1的速度减小，都做平抛运动，竖直高度相同，所以碰撞后球2的落地点是P点，所以被碰球2飞行的水平距离由图中线段OP表示；(4)N为碰前入射小球落点的位置，M为碰后入射小球落点的位置，P为碰后被碰小球落点的位置．碰撞前入射小球的速度v1＝ON 2hg碰撞后入射小球的速度v2＝OM 2hg碰撞后被碰小球的速度v3＝OP 2hg若m1v1＝m2v3＋m1v2，则表明通过该实验验证了两球碰撞过程中动量守恒，代入数据得：m1·ON＝m1·OM＋m2·OP.。
1 实验十一 探究单摆周期与摆长的关系
实验十一探究单摆周期与摆长的关系一、实验目的1．知道把单摆的运动看做简谐运动的条件．2．会探究与单摆的周期有关的因素．3．会用单摆测定重力加速度．二、实验原理单摆在摆角小于10°时，其振动周期跟摆角的大小和摆球的质量无关，单摆的周期公式是T＝2πlg，由此得g＝4π2lT2，因此测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度值．三、实验器材带孔小钢球一个、细丝线一条(长约1 m)、毫米刻度尺一把、秒表、游标卡尺、带铁夹的铁架台．四、实验步骤1．做单摆：取约1 m 长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂．2．测摆长：用米尺量出摆线长l (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D (也精确到毫米)，则单摆的摆长l ′＝l ＋D2.3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于10°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值．4．改变摆长，重做几次实验． 五、数据处理1．公式法：将测得的几次的周期T 和摆长l 代入公式g ＝4π2lT 2中算出重力加速度g 的值，再算出g 的平均值，即为当地的重力加速度的值．2．图象法：由单摆的周期公式T ＝2π·l g 可得l ＝g4π2T 2，因此以摆长l 为纵轴、以T 2为横轴作出的l －T 2图象是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k ，即可求出g 值．g ＝4π2k ，k ＝lT 2＝Δl ΔT 2.六、注意事项1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m 左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm.2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°.可通过估算振幅的办法掌握． 4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记．以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数．七、误差分析1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看做质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“零”的同时按下秒表开始计时．不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．对实验原理操作及误差分析的考查【典题例析】某同学利用单摆测量重力加速度．(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________．A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆．实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________．[解析](1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A错．在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B对．摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C对．摆动中摆角要控制在5°以内，所以D错．(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L1和L2，则T1＝2πL1g，T2＝2πL2g，则ΔL＝g4π2·(T21－T22)，因此，g＝4π2ΔLT21－T22.[答案](1)BC(2)4π2ΔLT21－T22(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．(3)测周期的方法①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球从某一方向经过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．某实验小组在探究单摆周期与摆长的关系的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为t100C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析：(1)主尺刻度加游标尺刻度的总和等于最后读数，0.9 cm＋7×110mm＝0.97 cm，不需要估读．(2)单摆在摆角较小时才能看做简谐运动，其周期公式才成立，为减小计时误差，应从摆球速度最大的最低点瞬间计时，A错误；通过最低点100次的过程中，经过的时间是50个周期，B错误；应选用密度较大、直径较小的球以减小空气阻力的影响，D错误；悬线的长度加摆球的半径才等于摆长，由单摆周期公式T＝2πl＋rg可知，若摆长记录值偏大，测定的重力加速度也偏大，C正确．答案：(1)0.97(2)C对实验数据处理的考查【典题例析】(2020·湖州调研)下表是探究单摆周期与摆长的关系实验中获得的有关数据：(2)利用图象，取T2＝4.2 s2时，l＝________m．重力加速度g＝________m/s2.[解析](1)由T＝2πl g得g＝4π2·lT2或l＝g4π2·T2，所以图象是过原点且斜率为g4π2的一条直线．l－T2图象如图所示．(2)T2＝4.2 s2时，从图中画出的直线上可读出其摆长l＝1.05 m，将T2与l代入公式g＝4π2l2.T2，得g＝9.86 m/s[答案](1)见解析图(2)1.059.86某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是________(填字母代号)．A．保证摆动过程中摆长不变B．可使周期测量得更加准确C．需要改变摆长时便于调节D．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L ＝0.999 0 m ，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为________mm ，单摆摆长为________m.(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m 的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A 、B 、C 均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是______(填字母代号)．解析：(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，A 、C 正确．(2)根据游标卡尺读数规则，摆球直径为12.0 mm ，单摆摆长为L －d2＝0.999 0 m －0.0060 m ＝0.993 0 m.(3)单摆测量周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于10°，所以合乎实验要求且误差最小的是A.答案：(1)AC(2)12.00.993 0(3)A[随堂检测]1．(2020·丽水质检)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)下面所给器材中，选用哪些器材较好，请把所选用器材前的字母依次填写在题后的横线上．A．长1 m左右的细线B．长30 cm左右的细线C．直径2 cm的铅球D．直径2 cm的铝球E．秒表F．时钟G．最小刻度是厘米的直尺H．最小刻度是毫米的直尺所选用的器材是________．(2)实验时对摆线偏离竖直线的偏角要求是___________________________________．解析：本实验的原理：振动的单摆，当摆角＜10°时，其振动周期与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成反比，而与偏角的大小(振幅)、摆球的质量无关，周期公式为T＝2πlg，变换这个公式可得g＝4π2lT2.因此，本实验中测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值，本实验的目的是测量重力加速度g的值，而非验证单摆的振动规律．因此实验中应选用较长的摆长l，这样既能减小摆长的测量误差，又易于保证偏角θ不大于10°，而且由于振动缓慢，方便计数和计时．本实验所用的实际摆要符合理论要求，摆长要有1 m左右，应选用不易伸长的细线，摆球直径要小于2 cm，应选用较重的小球，故选A、C.由于重力加速度g与周期的平方成反比，周期T的测量误差对g的影响是较大的，所用计时工具应选精确度高一些的，故选E.由于摆长l 应是悬点到铅球的边缘的距离l 加上铅球的半径r .铅球半径用游标卡尺测量出(也可由教师测出后提供数据)，因此l 应读数准确到毫米位．实验中应用米尺或钢卷尺来测量，故选H.答案：(1)A 、C 、E 、H (2)小于10°2．(2016·10月浙江选考)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，测量单摆的周期时，图中________(填“甲”“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些．答案：乙3．某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验时，先测得摆线长为101.00 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s ，则(1)他测得的重力加速度g ＝________m/s 2.(2)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l 并测出相应的周期T ，从而得出一组对应的l 与T 的数据，再以l 为横坐标、T 2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率k .则重力加速度g ＝________．(用k 表示)解析：(1)本次实验中的摆长l ＝L ＋r ＝(101.00＋1.00)cm ＝1.020 0 m ，周期T ＝t N ＝101.550s ＝2.03 s ，由公式g ＝4π2lT2可以解得g ＝9.76 m/s 2.(2)由公式g ＝4π2l T 2得：T 2＝4π2g l ，这是一条T 2关于l 的一元一次函数(如y ＝kx )，所以它的斜率是k ＝4π2g ，所以g ＝4π2k.答案：(1)9.76 (2)4π2k4．(2020·湖州质检)在做“用单摆测定重力加速度”的实验过程中：(1)小李同学用游标卡尺测得摆球的直径如图所示，则摆球直径d ＝________cm.(2)小张同学实验时却不小心忘记测量小球的半径，但测量了两次摆线长和周期，第一次测得悬线长为L 1，对应振动周期为T 1，第二次测得悬线长为L 2，对应单摆的振动周期为T 2，根据以上测量数据也可导出重力加速度的表达式为________．解析：(1)游标卡尺为20分度，精确度为0.05 mm ，主尺读数为20 mm ，游标尺读数为0.05×6＝0.30 mm ，所以测得摆球的直径d ＝2.030 cm.(2)设摆球半径为r ，则：T 1＝2πL 1＋r g ，T 2＝2π L 2＋r g 联立两式解得：g ＝4π2（L 1－L 2）T 21－T 22. 答案：(1)2.030 (2)4π2（L 1－L 2）T 21－T 22。
实验13 探究单摆的摆长与周期的关系 (共26张PPT)
图实132
A．出现图线 a 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长 L B．出现图线 c 的原因可能是误将 49 次全振动记为 50 次 C．图线 c 对应的 g 值小于图线 b 对应的 g 值
⑤某同学在家里测重力加速度．他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图 实133 所示，由于家里只有一根量程为 0～30 cm 的刻度尺，于是他在细线上 的 A 点做了一个标记，使得悬点 O 到 A 点间的细线长度小于刻度尺量程．保持 该标记以下的细线长度不变，通过改变 O、A 间细线长度以改变摆长．实验中， 当 O，A 间细线的长度分别为 l1、l2 时，测得相应单摆的周期为 T1、T2.由此可得 重力加速度 g＝________(用 l1、l2、T1、T2 表示)．
图实131
②测出悬点 O 到小球球心的距离(摆长)L 及单摆完成 n 次全振动所用的时间 t，则重力加速度 g＝________(用 L、n、t 表示)． ③下表是某同学记录的 3 组实验数据，并做了部分计算处理. 组次 摆长 L/cm 50 次全振动时间 t/s 振动周期 T/s 重力加速度 g/(m·s )
图实135
【解析】 ①组装单摆时，悬线应选用不易伸长的细线；摆球选择体积小、 密度大的摆球； 单摆摆动时在同一竖直面内摆动； 摆的振幅尽量小一些． 选项 B、 C 正确．
②设单摆的周期为 T1 时摆长为 L1，周期为 T2 时摆长为 L2 L1 则 T1＝2π g L2 T2＝2π g 且 L1－L2＝ΔL 4π2ΔL 联立①②③式得 g＝ 2 2 . T1－T2
图实136
②他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆 球的最低端的长度 L＝0.999 0 m，再用游
图实137 标卡尺测量摆球直径，结果如图实137 所示，则该摆球的直径为 ________mm，单摆摆长为________m.
单摆的周期与长度的关系
单摆的周期与长度的关系单摆是物理中一个非常重要的现象和实验，它的周期与长度之间有着密切的关系。
本文将从基本原理、实验验证以及应用领域等方面来探讨单摆的周期与长度的关系。
单摆是由一个质点和一个不可伸长、质量可以忽略不计的细线构成的一个物体。
当单摆偏离平衡位置后，由于重力的作用，质点会被拉动，并且沿着垂直线作简谐运动。
单摆的周期就是质点从一侧摆到另一侧，再回到初始位置所需的时间。
首先我们来探讨单摆的基本原理。
根据拉格朗日力学的原理，单摆的运动可以用简谐振动的公式进行描述。
单摆的周期T与摆长L的关系可以用下面的公式表示：T = 2π√(L/g)其中，T是周期，L是摆长，g是重力加速度。
从这个公式可以看出，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
也就是说，当摆长增加时，周期会变长；反之，当摆长减小时，周期会变短。
接下来，我们可以通过一个简单的实验来验证单摆的周期与长度的关系。
准备一个数根长度不同的细线，然后将一个质点固定在细线的一端。
在一个固定的地方用手将质点拉开一段角度，然后放手观察质点的运动。
通过计时器记录质点从一侧摆到另一侧再回到初始位置所需的时间，即可得到单摆的周期。
重复实验多次，并分别记录下不同摆长的周期数据。
根据实验数据，我们可以绘制周期与摆长的图表。
通过曲线的趋势可以发现，周期与摆长之间呈现出一种变化关系。
当摆长增加时，周期逐渐变长；当摆长减小时，周期逐渐变短。
这与理论公式的预测相吻合，验证了单摆的周期与长度之间的关系。
除了基本原理及实验验证，单摆的周期与长度的关系在实际应用中也具有重要意义。
例如，单摆的周期与长度之间的关系在钟摆的设计中被广泛应用。
我们常见的摆钟就是基于单摆的原理来工作的。
通过调整摆长，可以控制钟摆的周期，从而实现钟摆的精确计时。
此外，在高等物理学和工程领域，单摆的周期与长度的关系也有着广泛的应用。
通过测量摆长和周期，可以进一步推导出其他有关物体振动和周期的重要参数。
因此，准确理解和研究单摆的周期与长度的关系对于物理学的发展和应用具有重要的价值和意义。
实验探究单摆的摆长和周期的关系
实验十四 探究单摆的摆长与周期的关系1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值. 2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. 3.实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示.图1(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝tN (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 33.(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g ，计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值.(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因.1.注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.(4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法. 2.数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝tN 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用公式g ＝4π2lT2求重力加速度.(2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ＝ΔlΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求重力加速度.图23.误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动次数.命题点一教材原型实验例1某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图3所示，这样做的目的是________(填字母代号).图3A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图4所示，则该摆球的直径为________ mm，单摆摆长为________ m.图4(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程.图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号).答案 (1)AC (2)12.0 0.993 0 (3)A解析 (1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变，从而保证摆长不变，同时又便于调节摆长，A 、C 正确；(2)根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d ＝12 mm ＋0.1 mm ×0＝12.0 mm ，则单摆摆长为L 0＝L －d2＝0.993 0 m(注意统一单位)；(3)单摆摆角不超过5°，且计时位置应从最低点(即速度最大位置)开始，故A 项的操作符合要求.变式1 某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出了摆线长度L 和摆动周期T ，如图5(a)所示.通过改变悬线长度L ，测出对应的摆动周期T ，获得多组T 与L ，再以T 2为纵轴、L 为横轴画出函数关系图象如图(b)所示.由图象可知，摆球的半径r ＝________ m ，当地重力加速度g ＝________ m/s 2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(选填“偏大”“偏小”或“一样”)图5答案 1.0×10－2 9.86 一样 命题点二 实验拓展与创新例2 (2015·天津理综·9(2))某同学利用单摆测量重力加速度. (1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________. A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图6所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________.图6答案(1)BC(2)4π2ΔLT21－T22解析(1)在利用单摆测重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动条件，故选B、C.(2)设第一次摆长为L，第二次摆长为L－ΔL，则T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，联立解得g＝4π2ΔLT21－T22.变式2为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图7甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示.图7(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号).A.打点计时器B.秒表C.毫米刻度尺D.电流表(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，则单摆在经过D点时，滑块的瞬时速度为v D＝________ m/s，滑块的加速度为a＝________ m/s2(结果保留两位有效数字).答案(1)A(2)0.340.040解析(1)单摆振动具有周期性，摆球每隔半个周期经过纸带中线一次，单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同，故选A.(2)在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小，故有v D＝x CET＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，有：a＝CD＋DE－(AB＋BC)T2＝0.040 m/s2。
初三物理单摆周期计算方法
初三物理单摆周期计算方法单摆是物理学中常见的实验装置之一，用于研究振动现象。
在学习单摆周期计算方法之前，我们首先需要了解单摆及其相关概念。
1. 单摆的定义和特点单摆是由一根轻质细线和一质点组成的物理装置，质点在重力作用下做来回摆动。
摆动的绳线必须无伸长，并保持轻质和套紧状态，以保证摆动的稳定性。
单摆的周期是指质点从一个摆动摆回原来位置所需的时间，用T表示。
2. 单摆周期计算方法2.1 理论计算方法单摆的周期与摆长（摆线的长度）和重力加速度有关。
理论上，可以使用以下公式来计算单摆的周期：T = 2π√(L/g)其中，T代表周期，L代表摆长，g代表重力加速度。
该公式表明，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
摆长越大，周期越长；反之亦然。
重力加速度的大小与地理位置有关，可以取常用值9.8 m/s²作为近似值。
2.2 实验计算方法除了使用理论计算方法，我们还可以通过实验来计算单摆的周期。
首先，将单摆装置安置在光滑水平面上，并确保绳线充分松弛，质点保持停止状态。
接下来，将质点拉至一侧，释放后观察其摆动。
使用计时器或秒表，记录质点从一个极点运动到下一个极点所经过的时间间隔，持续记录多组数据。
最后，计算各组数据的平均值，即可得到实验测得的单摆周期。
3. 注意事项在进行单摆周期的计算时，需要注意以下几点：3.1 摆长的测量在计算周期时，摆长的准确测量是非常重要的。
摆长应当从摆线的悬点（悬挂处）到质点的位置进行测量，避免测量绳线本身的长度。
3.2 实验环境的控制为了获得准确的实验结果，应当尽可能控制实验环境的影响因素，例如空气阻力和外力干扰。
实验室内的空气流动较小，可以减少空气阻力的影响；同时，避免其他物体的碰撞和干扰，保持单摆的稳定摆动。
3.3 数据处理和分析在实验过程中，记录多组数据有助于减小误差。
使用所得数据计算平均值时，排除异常值，以提高数据的准确性。
4. 小结单摆周期的计算方法有理论计算和实验计算两种。
伽利略单摆实验原理
伽利略单摆实验原理
伽利略单摆实验是指使用单摆进行重力实验的一种方法。
这种实验是由意大利物理学
家伽利略于16世纪末发明的，用于研究地球引力的特性。
伽利略单摆实验的原理是运用单摆的摆动周期和摆长之间的关系来测量重力加速度常数。
单摆是一个简单的物理系统，它是由一个连接到支架上的细线和一个重物组成的。
当
摆动时，摆球会不断地在重力和线的拉力之间移动。
为了方便地进行实验，单摆通常是用
一个长细线和一个金属小球构成的。
伽利略单摆实验的基本原理是，摆动的周期与摆长成正比。
周期是指一个摆球完成一
次完整运动所需要的时间。
摆长是指摆球到支架的距离。
如果用T表示周期，L表示摆长，则有T^2=kL，其中k是一个常数，相当于重力加速度的倒数。
对于一个给定的摆长，周期可以通过简单的测量得到。
实验者可以让摆球从某一位置
开始摆动，然后记录下来它经过这个位置时需要的时间。
然后重复这个操作几次，以获得
一个均值，并计算出周期的值。
通过反复测量周期和摆长的关系，在合适的误差范围内，实验者可以得到重力加速度
的近似值。
这种方法可以通过多次实验来提高精度，也可以通过增加摆长的长度来减小误差。
实验中还可以引入一些因素来控制摆动的条件，例如摆动振幅大小、摆球的重量、摆
球形状等。
这些因素会影响单摆周期与摆长之间的关系，并且可能会导致测量结果的误
差。
高中物理选修3-4第十一章第50讲 实验、探究：单摆的周期与摆长的关系
第50讲实验、探究：单摆的周期与摆长的关系考情剖析(注：①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A知识整合知识网络基础自测一、实验目的：用单摆测定重力加速度二、实验原理单摆在偏角很小(不超过10°)时的摆动，可认为是简谐运动，其固有周期为____________，由此可得____________．只要测出摆长L和周期T，即可算出当地的重力加速度值．三、实验器材长约1 m的细丝线一条，通过球心开有小孔的金属小球一个、带有铁夹的铁架台一个，____________一根，____________一块．四、实验步骤①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球____________，在单摆平衡位置处做上标记；③用刻度尺测量单摆的摆长(悬点到球心间的距离)；④把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(不超过10°)，然后放开小球让它摆，再用秒表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的____________；⑤改变摆长，重做几次实验；⑥根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即是本地区的重力加速度的值；⑦将测得的重力加速度数值与当地重力加速度值加以比较，分析产生误差的可能原因．五、注意事项①摆线不能过短或过长或易伸长、摆长应是悬点到球心间的距离．摆球用密度大、直径小的金属球．②摆球摆动时应使偏角不超过10°，且在同一竖直面内，不要形成圆锥摆，摆中悬点不能松动．③累积法测周期时，应从最低位置开始计时和记录全振动次数．④使用秒表方法是三次按按钮：一是“走时”，二是“停止”，三是“复零”．读数：先读分针刻度(包括半分钟)，再读秒针刻度(最小刻度为0.1s，不要再估读)．⑤处理数据时，采用图像法，画出T2－L图像，求得直线的斜率k，即有g＝4π2/k.六、误差分析①本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．②本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上，因此，要注意测准时间(周期)．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．③本实验中进行长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可(即使用卡尺测摆球直径也只需读到毫米位)．时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．重点阐述易错诊所一、秒表读数1．秒表构造外壳按钮：使指针启动、停止和回零，如图所示．表盘刻度：秒针指示大圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1秒、0.2秒或0.5秒；秒钟转一周历时30秒；分针指示小圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1分或0.5分，分针转一周历时15分．2．秒表的工作原理机械秒表靠发条转动力矩，通过内部齿轮驱动调节器调节摆动的秒针和分针，即将发条的弹性势能转化为动能，使指针摆．3．秒表的读数不足30秒即秒针转不到一周时，直接读大圆周上秒针所指的黑体分度值，因为大圆周上有红、黑两种字体，黑字0～30，红字31～60，意思是秒针转两周才60秒；同理分针所指的小圆周上也有两种字体，黑字0～15，红字16～31，分针转两周才30分；通常是分针读红字，秒针读红字，分针读黑字，秒针读黑字，计时为两个示数之和．4．秒表的使用方法①按钮开始计时，分针、秒针都启动②按钮停止计时，分针、秒针都停止③按钮分针、秒针回“0”位，此时在使用有两个按钮的表时，应按“0”位侧边的钮1．做单摆：取约1米长的线绳穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后拴在桌这的支架上．2．用米尺量出悬线长l，准确到毫米，用游标卡尺测摆球直径，算出半径r也准确到毫米，则摆长为l＋r(注意长即摆绳长的量法)．3．把单摆从平衡位置拉开一个角度放开它，用秒表测量单摆完成30次全振动(或50次)所用的时间，求出完成一次全振动所需要的时间，这个平均时间就是单摆的周期，反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值．4．把测得的周期(用平均值)和摆长的数值代入公式，求出重力加速度g的值来．【典型例题】(1)在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.如果已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是________s．单摆的摆动周期是________s.甲乙(2)以l g ＝________. 温馨提示熟悉秒表读数的方法，熟练应用单摆周期公式及其变形，学会应用图象解决问题．记录空间【变式训练】 用单摆测定重力加速度实验中：(1)除了细线、摆球、铁架台、铁夹、米尺之外，必需的仪器还有________； (2)为了减小实验误差：当摆球的直径约为2 cm 时，比较合适的摆长应选________(选填：80 cm 、30 cm 、10 cm)(3)实验中，利用g ＝4π2LT2，求得g ，其摆长L 和周期T 的误差都会使最后结果产生误差，两者相比，________的误差影响较大；(4)在某次实验中，测得单摆振动50次全振动的时间如图所示，则单摆的周期T ＝________s.随堂 演练1．在“用单摆测重力加速度”的实验中，摆线应选用( ) A ．长约10 cm 的细线 B ．长约1 m 的细线 C ．长约1 m 的粗绳 D ．80 cm 长的橡皮绳 2．以下实验操作错误的是( )A．单摆的最大偏角不小于10°B．测摆长时，应先把摆球挂起来再测量C．用秒表测周期时，应从摆球经过最高点时开始计时D．记下摆球从第一次经过最低点到第60次经过最低点的时间t，则单摆振动周期t592 3．宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T 与振子质量m的关系．身边的器材有：弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．(1)宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从选择的一个器材是________；他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以________为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线；(3)根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝________(s)，若每个螺帽的质量用m0表示，用T与m的关系式为T＝________(s)；(4)若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26 s，则该物体质量为________m0.第3题图4．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(填“甲”或“乙”)．(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图丁中的△t将________(填“变大”、“不变”或“变小”)．丙丁第4题图第5题图5．(12年江苏模拟)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，将一单摆装置竖直悬于某一深度为h(未知)且开口向下的固定小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示．将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁．如果本实验的长度测量工具只能测量出筒下端口到摆球球心之间的距离l，并通过改变l而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、l为横轴，作出T2－l图象，则可以由此图象得出我们想要测量的物理量．(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺，本实验所需的测量工具有________．(2)如果实验中所得到的T2－l关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________．(3)由图象可知，小筒的深度h＝________cm；当地重力加速度g＝________m/s2(π取3.14，计算结果保留到小数点后两位)．第50讲 实验、探究：单摆的周期与摆长的关系知识整合 基础自测 2.T ＝2πL/g g ＝4π2LT23.毫米刻度尺 秒表4.②自由下垂 ④振动周期 重点阐述【典型例题】 (1)在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l 和周期T 计算重力加速度的公式是g ＝________.如果已知摆球直径为2.00 cm ，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是________s ．单摆的摆动周期是________s.甲乙(2)以l 为横坐标，T 为纵坐标，作出T －l 图象，利用此图线得重力加速度g ＝________. 【答案】 (1)4π2lT 2 87.40 cm 75.2 1.88 (2)图象如图所示 9.96 m/s 2【解析】 (1)由单摆周期公式T ＝2πlg，得g ＝4π2l/T 2，图中读出长度为88.40 cm ，则摆长l ＝88.40 cm －d/2 cm ＝87.40 cm ，短针是分针，一格是60 s ，长针是秒针，长针又指15.2 s ，故秒表读数是t ＝60 s ＋15.2 s ＝75.2 s ，单摆周期T ＝t/n ＝75.2/40 s ＝1.88 s.(2)由T ＝2πl g ，可得T 2＝4π2l g，所以T 2－l 图线是过坐标原点的一条直线，直线斜率是k ＝4π2/g ，g ＝4π2k.在图线上取较远的两点(l 1，T 21)，(l 2，T 22)，则k ＝T 22－T 21l 2－l 1，所以g ＝4π2（l 2－l 1）T 22－T 21. 作出图象如图所示，由直线上的点(0.5，2.02)和点(1.0，4.00)可求出k ＝4.00－2.021.0－0.5＝3.96，g ＝4π2k ＝4×3.1423.96m/s 2＝9.96 m/s 2.变式训练 (1)秒表 游标卡尺 (2)80cm (3)周期 (4)2.018【解析】 (1)除了细线、摆球、铁架台、铁夹、米尺之外，还需要秒表测周期，游标卡尺测摆球直径；(2)为了减小实验误差，当摆球的直径约为2 cm 时，比较合适的摆长应选80 cm ；(3)实验中，利用g ＝4π2LT 2，求得g ，其摆长L 和周期T 的误差都会使最后结果产生误差，两者相比，周期有平方，周期的误差影响较大；(4)读图可知，秒表读数为1.5×60＋10.9＝100.9，则周期T ＝100.950s ＝2.018 s.随堂演练1.B 【解析】 本题考察实验器材的选取，由于便于实验操作，通常选1m 长的细绳．2.ABC 【解析】 单摆的最大偏角应不大于5°，摆长等于长加上小球半径，而小球半径需要用卡尺测量；测量周期时，应从最低点计时，故ABC 错．3.(1)秒表 (2)T 2 (3)0.2n0.2mm 0(4)7.94 【解析】 (1)要测量出全振的时间，故还需要秒表(2)由数据表中的数据可知T 2与n 成正比 (3)由T 2n 图线可得T 2＝0.2n ，即T ＝0.2n ，每个螺帽的质量为m 0时，T 2＝0.2n ＝0.2mm 0，即T ＝0.2mm 0(4)由T ＝0.2m m 0， m ＝T 20.2·m 0＝5×1.262m 0＝7.94m 0第3题图4.(1)乙 (2)2t 0 变大 变大【解析】 (1)应将待测物体正确地放在测脚中如乙图；(2)单摆1个周期遮光两次；单摆周期与小球质量、大小无关，但若改用直径变为原小球直径的2倍，周期变大，但遮光时间Δt 变大．5.(1)BD (2)a (3)30 9.86 【解析】 (1)本实验需要使用秒表测量单摆振动的周期，还需要使用毫米刻度尺测量筒下端口到摆球球心之间的距离l ，所以，本题答案为BD. (2)根据单摆的周期公式T ＝2πl g ，可得T 2l ＝4π2g＝k(常数)，可见，在理论上T 2与摆长l 成正比，其T 2－l 图象如图乙中实线b 所示；又因为Δ（T 2）Δl ＝Δ（kl ）Δl ＝k(常数)，所以，即使l 不是摆长，而是筒下端口到摆球球心之间的距离，根据所得数据得到的T 2－l 图线的斜率是不变的；因为本实验的记录数据中，与周期T 相对于的摆长l 比实际摆长偏小，据此可知，实验得到T 2－l 图象应该是图线a. (3)根据T 2l ＝4π2g ＝k 可得g ＝4π2k，而图线a 的斜率k ＝1.2s 20.3m ＝4s 2/m ，所以，当地重力加速度g ＝π2＝9.86m/s 2，根据图线a 可知，当l ＝0时，实际摆长为小筒的深度h ，此时，T 2＝1.2s 2，根据T ＝2πhg，代入数据，可得h ＝30cm.。
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单摆的周期跟摆长的关系
在探究单摆的周期跟哪些因素有关的实验中，得出周期跟摆长的关系是本实验的主要任务，为了探究二者的关系，实际教学过程中可以参考如下思路进行。
一、理论指导
单摆的周期指单摆做简谐运动时，完成一次全振动的时间。
单摆的摆长指悬挂小球的细线长度跟小球半径之和。
一个单摆制作完工以后，其摆长为定值，不同摆长的单摆振动过程中，振动周期与摆长有关，在某一地点，重力加速度g一定，单摆的摆长不同，振动周期就不同。
二、实验指导
1.定性探究：由对比实验不难发现摆长L越大，周期T越大。
2.猜想：有可能T跟L成正比，也可能T2跟L成正比。
3.定量探究：先设计数据表，然后通过实验获取相关数据，最后根据表中数据作出T2--L 图象，就会发现图线是一条直线，从而验证了T2跟L成正比的猜想。
数据表如下：。