直线与圆基础知识

直线与圆基础知识-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

（一）直线

1、 直线的斜率与倾斜角

(1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121

()PQ y y k x x x x -=

≠- (2)直线的倾斜角范围：)0,180⎡⎣

（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠

注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；

（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。

2、直线方程

(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线

（2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线

注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零

（3）两点式：

1112122121(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：1x y a b

+=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0）

（6）特殊直线方程

①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y =

③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx =

在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =

在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx =

3、平面上两直线的位置关系及判断方法

（1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+

①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠）

②重合：12k k =且12b b =

③相交：12k k ≠ 特别地，垂直：121k k =-

（2）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=

①平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠（验证）

②重合：1221A B A B =且1221A C A C =

③相交：1221A B A B ≠ 特别地，垂直：12120A A B B +=

（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=

与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+=

4、其他公式

（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y

，则

AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为

1212(,)22

x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33

x x x y y y ++++ （4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=

的距离公式：d =

（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠

间的距离：d =（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一）

（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点

（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。

（二）、圆

1、圆的方程

（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径

（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E --

(只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式)

注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

2、直线与圆的位置关系

(1)直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l 的

距离d =

①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0∆>

②直线与圆相切，则d r =或方程组的0∆=

③直线与圆相离，则d r >或方程组的0∆<

（2）直线与圆相交时，半径r ，圆心到弦的距离d ，弦长l

，满足：l =（3）直线与圆相切时，

①切线的求法：

（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；

（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为y kx b =+，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值；

（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0x x =，验证圆心到切线距离是否等于半径。

②由圆外点00(,)P x y 向圆222:()()C x a y b r -+-=引切线，记,P C 两点的距离为

d ，则切线长l =（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d ，则圆上点到直线的最近距离为d r -，最远距离为d r +

3、两圆的位置关系

圆2221111:()()C x a y b r -+-=，圆2222222:()()C x a y b r -+-=，两圆圆心距离

d =(1)两圆相离，则12d r r >+（2）两圆相外切，则12d r r =+（3）两圆相交，则1212r r d r r -<<+

注：圆221111:0C x y D x E y F ++++=，圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交，则两圆相交弦方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=

（4）两圆相内切，则12d r r =-（5）两圆内含，则120d r r ≤<-

特别地，当0d =时，两圆为同心圆