点、直线、圆与圆地位置关系—知识讲解(基础)
直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)、常用结论(1 )圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.(2)直线被圆截得的弦长1 i弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A•相交 B •相切C.相离 D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由o ox2 + y — 1 = 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,因为△= 16m2+ 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.yj m2 + 1法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()A . 3x+ 4y — 4= 0B.4x— 3y + 4= 0C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则|k — 1 + 4 - 2k|■ k 2 + 1=1，解得4k= 3，则切线方程为4x — 3y + 4= 0,故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.［答案］(1)C(2)3考法(三)弦长问题［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为( )1B . 1C#D. . 2(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点， 若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为()A . 4 nB . 2 n C. 9 nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|=#弟=¥‘因此根寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1 — I2 =于，所以弦长为2.(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得 齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.［答案］(1)D(2)A［题组训练］1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.答案：x+ y— 2 = 02.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2=0的距离|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.p k2+1 3答案：4 033.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、mx+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )A.内切 B .相交C.外切 D .相离x2+ y2— 2ay= 0,［解析］法一：由x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2•••- a2 + - a 2 = 2 2.又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,•两圆相交.法二a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为3，故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=( )A. 21 B . 19C. 9 D . - 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .x+ y — 4y= 0,解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),x-1 2 + y-1 2= 1,答案：*4匚2,故公共弦长为• 2 2. 144 = 2B . ±5C. 3［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.[课时跟踪检测]1.若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ±,5 D . ±3解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所 以它们只有一条公切线.故选A.3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为(),n ［、. 5 nA ・6或石n D ・6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.B.x+ ay+ 1线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2=1,解得a =4.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A . 2x+ y — 5= 0B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0D . x — 2y — 7= 0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（）C. 土，2解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直D . y=— 4圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2yC. y =解析：选B解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为2 r 2— d2 =迸5答案: 2 '555.12 + 22±2±4 -6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为（）1B . y=— 21+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.x— (3 + a)y— a= 0,圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +3 + a&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________一 1解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点1 — 0斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.答案：x+ y— 3 = 09.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),一 1所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即—3 — a所以a=— |.5答案：—|10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,则|PQ|的最小值是 ____________解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.答案：3 5—511.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,y=— 2x 上.C 截得的弦长为两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,-■•|r i — r 2|<d<门 + r 2,「.圆 C 1 和圆 C 2 相交. ⑵圆C 1和圆C 2的方程相减，得 4x+ 3y — 23 = 0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y — 23= 0.|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离d=, = 3, 寸 16+ 9故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=1 —2 2+ — 2 + 1 2= ,2.•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,满足条件.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= kx, K+ 2|3由题意得 -------- =1，解得k=— 4,寸 1 + k 243•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.—2a+ 11.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|B. ,.''3 D . 3解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为() A. .''2C. 2y 0= 1，且切线方程为x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得1 / 12 1 1B0，y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当 等号成立.2.(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为n解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直n线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线y=— 3 x — 5 ,x= 3,AB 与直线l 的方程，得解得所以点A 的横坐标为3.y= 2x,y= 6, 答案：33. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的 方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.4/52 需•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =25= .5,4A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 52|MC| 2 厂2丢cos Z MCA 2_7•••|OC|= 2, |AM|= 1,• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.17.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长为 __________ .。
知识讲解_直线、圆的位置关系_(基础)
直线、圆的位置关系【学习目标】1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想. 【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. （2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：2121||l k x x =+-=()()22121214k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦．要点四：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. （2）几何法： 设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d .当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为（0，0），半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为25d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴（2x+1）2+x 2=4，即5x 2+4x-3=0. 判别式Δ=42-4×5×（-3）=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点．【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】解法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，（1+m 2）x 2―2（m 2+2m+2）x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m （3m+4），∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为（x―2）2+（y―1）2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx―y―m―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式1】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．【答案】（1）m <-m >（2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心（3，0）到直线30x my -+=的距离d =2r =．（1）若相交，则d r <2<，所以m <-m >．（2）若相切，则d r =2=，所以m =±（3）若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：切线问题【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 典型例题1】 例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外．法一：设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-,即710kx y k --+=. 因为圆心(0,0)到l 的距离d =,则5d r ==,5=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.解法二:设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-.由221(7),25y k x x y -=-⎧⎨+=⎩可得222(1)2(71)(71)250k x k k x k +--+--=.从而 22224(71)4(1)[(71)25]0k k k k ∆=--+--=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.【总结升华】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 举一反三：【变式1】（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,B ，且圆心C 在直线y =x 上． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l 截圆所得弦长为l 的方程．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或y x =+【解析】（1）AB 的中点坐标3(,2，AB AB 垂直平分线为60y +=，与x ―y =0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过(1,3，∴直线l的方程为(1)y k x-=-，即y kx k=，则圆心（0，0）到直线的距离||kd-=，又圆的半径r=2，截得的弦长为则有22||4k-+=，解得：k=，则直线l的方程为33y x=-+．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y x=．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．类型三：弦长问题例4．直线l经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为l的方程．【答案】x―2y+5=0或2x―y―5=0【解析】法一：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）圆心（0，0）到直线的距离d=，在由弦长的一半、半径和距离d构成的直角三角形中，=，解得12k=或k=2故直线l的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．法二：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）,联立方程225(5)25y k xx y-=-⎧⎨+=⎩，消去y，得（k2+1）x2+10k（1―k）x+25k（k―2）=0，∴Δ=[10k（1―k）]2―4（k2+1）·25k（k―2）＞0，解得k＞0．又12210(1)1k k x x k -+=-+，12225(2)1k k x x k -=+． 由斜率公式，得y 1―y 2=k （x 1―x 2），∴221212||()()AB x x y y =-+-212(1)()k x x =+- 221212(1)[()4k x x x x =++-222222100(1)25(2)(1)445(1)1k k k k k k k ⎡⎤--=+-⋅=⎢⎥++⎣⎦． 两边平方，整理得2k 2―5k+2=0， 解得12k =或k=2，符合题意． 故直线l 的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．【总结升华】 设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为（x―x 0）2+（y―y 0）2=r 2，求弦长的方法有以下两种：（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC|2=r 2―d 2．则弦长|AB|=2|BC|，即22||2AB r d =-．（2）代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r ++=⎧⎨-+-=⎩， 消元后可得关于x 1+x 2，x 1·x 2或y 1+y 2，y 1·y 2的关系式，则221212||(1)[()4AB k x x x x =++- 21212211[()4](0)y y y y k k ⎛⎫=++-≠ ⎪⎝⎭举一反三：【变式1】求经过点P （6，―4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为62的直线的方程． 【答案】x+y―2=0或7x+17y+26=0【解析】如图所示，||62AB =，||25OA =，作OC ⊥AB 于C ．在Rt △OAC 中，2||20(32)2OC =-=．设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y+4=k （x―6），即kx―y―6k―4=0．又圆到直线的距离为2，∴221k =+，即17k 2+24k+7=0，∴k 1=―1，2717k =-． ∴所求直线方程为x+y―2=0或7x+17y+26=0． 类型四：圆与圆的位置关系例5．已知圆C 1：x 2+y 2―2mx+4y+m 2―5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x―2my+m 2―3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？【思路点拨】利用几何法或代数法都可以判断． 【答案】（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m ＜―1． 【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，配方得 C 1：（x―m ）2+（y+2）2=9，C 2：（x+1）2+（y―m ）2=4．（1）如果圆C 1与圆C 232=+，即 （m+1）2+（m+2）2=25，m 2+3m―10=0， 解得m=―5或m=2．（2）如果圆C 1与圆C 232<-，即（m+1）2+（m+2）2＜1，m 2+3m+2＜0，解得―2＜m ＜―1． 故（1）当m=―5或m=2时，圆C 1与圆C 2相外切；（2）当―2＜m ＜―1时，圆C 1与圆C 2内含． 【总结升华】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与R+r 、d 与R―r 的大小关系来判定即可．举一反三：【变式1】当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2―2ax+4y+（a 2―5）=0和圆C 2：x 2+y 2+2x―2ay+（a 2―3）=0相交．【答案】当―5＜a ＜―2或―1＜a ＜2时，圆C 1与圆C 2相交【变式2】已知圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，圆2C ：2242110x y x y +-+-=，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．【思路点拨】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离，用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长．【答案】公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245【解析】两圆的方程作差得6x ―8y +12=0，即3x ―4y +6=0， ∵圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，故其圆心为（―1，3），r =3 圆到弦所在直线的距离为|3126|955d --+==125= 故弦长为245综上，公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245． 类型五：最值问题例6．已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2―4x+1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y―x 的最小值． 【思路点拨】将x 2+y 2―4x+1=0、yx、y―x 赋予几何意义，利用数形结合来解决．【答案】（1（2）2【解析】将实数x 、y 看作点P （x ，y ）的坐标，满足x 2+y 2―4x+1=0的点P （x ，y ）组成的图形是以M （2，0）为圆心，半径为3的圆，如图所示．（1）设00y y k x x -==-，即yx是圆上的点P 与原点O 连线的斜率．由图知，直线y=kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值． 此时有OP ⊥PM ，||3PM =，|OM|=2，∴∠POM=60° 此时tan 603k =︒=，∴yx的最大值为3． （2）设y―x=b ，则y=x+b ，b 是直线y=x+b 在y 轴上截距．由图知，当直线y=x+b 和圆M 在第四象限相切时，b （b ＜0）取最小值，此时有32=，解得62b =--， ∴y―x 的最小值是62--．【总结升华】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y 轴上的截距等．举一反三：【变式1】已知点P （x ，y ）在圆22(2)3x y ++=上，求yx的最小值． 【答案】3- 【解析】设yk x=，则k 的几何意义为圆上的点与原点的斜率， 则由图象可知当直线y =kx 与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时k ＜0， 则圆心（－2，0）到直线的距离231d k==+，即23k =，解得3k =-， 故yx的最小值为3-． 【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 例4】【变式2】已知实数x ，y 满足222-230x y x y ++=，求（1）x 2+y 2的最大值；（2）x+y 的最小值．【答案】（1）16 （2）3221--【解析】22222-230(1)(-3)4x y x y x y ++=++=可以化为于是（x ，y ）可以看作是以(-1,3)为圆心，2为半径的圆上的点． 如图（1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，22x y2r=4，所以x2+y2的最大值为16．（2）解法同例6（2）．。
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
整节课以“探究过程，探究方法，探究结果，探究运用”为主线，高度重视学生的主动参与、亲自探究、动手操作，体验学习知识的过程，基本达到预期效果。上下来也有几处遗憾：
1、两圆相交时，圆心距与大圆半径R和小圆半径r的关系，要让学生主动发现，要让学生结合操作、完全思考后由学生自己得出结论，这样的感悟才深刻。
投影片(§3．5．1A)
(1)从公共点的个数来判断：
直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离．
Ⅲ．播放ppt,观察圆与圆之间的五种位置关系，根据公共点的个数，进一步体会d与r之间的数量关系。探究圆与圆的位置关系和判别方法，学生通过类比、分类、数形结合，体会从不同的角度考虑事物的特点。判别圆与圆的位置关系的方法与判别直线与圆的位置的方法类似，因此本节课首先复习了直线与圆的位置关系，然后通过让学生动手操作，充分感受两圆位置的变化，猜测两圆可能存在的位置关系，经过讨论，归纳确定两圆位置关系的各种情况.通过直观感受可以得出由“公共点的个数”可以知道两圆的位置关系。在两圆位置关系相应的“数量关系”的研究中，先把课本上“读一读”的内容穿插在其中，因为只有认知了“两圆相切，切点在两圆的连心线上”，才能研究圆心到直线的距离d与两圆半径R、r的数量关系。
[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？
[生]有三种位置关系：
[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：
它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangentline)．
点、直线、圆与圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
例1．如图1，已知矩形ABCD的边AB=4cm，AD=3cm。
（1）△ABC的形状是______，理由是______。
（2）求证：BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．
（3）若将图10-1中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF处，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，如图10-3，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
题型四、切线长定理的运用
15．如图11，在△ABC中，O是△ABC的内心，若∠A=50°，则∠BOC=______。
16．如图12，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是______。
题型二、切线的判定
12．如图8，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径。求证：AE与⊙O相切。
题型三、切线性质的应用及拓展
13．如图9，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，OP交⊙O于点B，点C为优弧AMB上一点，若∠P=28°，求∠ACB的度数。
外离 d>R+r
外切 d=R+r
相交 R－r<d<R+r
内切 d=R－r
内含 0≤d<R－r（其中d=0，两圆同心）
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解(提高)
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1. 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念.2. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的为位置关系1.（2016•连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（）A．2＜r≤B．＜r≤3C．＜r≤5 D．5＜r≤【思路点拨】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题．【答案与解析】解：如图，∵AD=2，AE=AF=，AB=3，∴AB＞AE＞AD，∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，故选B．【总结升华】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型．类型二、直线与圆的位置关系2.如图，以O为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A（3，0）的⊙A被y 轴截得的弦长BC=8，如图，解答下列问题：（1）⊙A的直径为；（2）请在图中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到⊙D，观察你所画的图形，则⊙D 的圆心D的坐标为；⊙D与x轴的位置关系是，⊙D与y轴的位置关系是，⊙D 与⊙A的位置关系是；【答案与解析】解：（1）半径==5，所以直径为10.（2）（﹣5，6）；相离；相切；外切；【总结升华】本题主要考查了平移作图即图形平移变换的知识，注意图形的平移，变化的是位置，不变的是形状．举一反三：【变式】（2015•甘南州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是多少？【答案】解：如图，当AB 与小圆相切时有一个公共点D ，连接OA ，OD ，可得OD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，即AD=BD ，在Rt △ADO 中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；当AB 经过同心圆的圆心时，弦AB 最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB 的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10.3.如图所示，已知∠AOB=30°，P 是OA 上的一点，OP=12cm,以r 为半径作⊙P ．(1)当r=7cm 时，试判断⊙P 与OB 位置关系；(2)若⊙P 与OB 相离，试求出r 需满足的条件.【思路点拨】（1）过点P 作PC ⊥OB 于点C ，根据直角三角形的性质求出PC 的长，再比较出PC 与r 的大小即可；（2）根据⊙P 与OB 相离，试求出r 需满足的条件.【答案与解析】解（1）过点P 作PC ⊥OB 于点C ，∵∠AOB=30°，∴11126()7.22PC OP cm cm ==⨯=＜ ∵PC ＜r,∴⊙P 与OB 相交；（2）∵⊙P 与OB 相离，∴0＜r ＜PC,∴0cm ＜r ＜6cm .【总结升华】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键.类型三、三角形的外接圆4.如图，已知⊙O 为△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD 上，E ，F 分别是边AC 和BC 上的中点，试判断四边形CEDF 的形状，并加以证明.【思路点拨】由垂径定理知，点D 为AB 中点，且AC=BC ；再由中位线定义知，DE12BC ，DF 12AC ， 从而可得四边形CEDF 为菱形.【答案与解析】四边形CEDF 为菱形.证明：∵AB 为弦，CD 为直径所在的直线，且AB ⊥CD ，∴AD=BD ，∠ADC=∠CDB ，在△ADC 和△BDC 中， ==AD BD ADC BDC CD CD ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ADC ≌△BDC （SAS ）∴AC=BC.又∵E ，F 分别为AC ，BC 的中点，D 为AB 中点， DF=CE=12AC ，DE=CF=12BC ， ∴DE=DF=CE=CF ，∴四边形CEDF 为菱形.【总结升华】本题主要考查外接圆与其他知识的综合.举一反三：【变式】如图，已知，在△ABC 中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.【答案】如图，连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接DB.由三角形内角和得，∠C=180°－70°－50°=60°.又∵∠D=∠C=60°且∠ABD=90°，在Rt △ABD 中，∠DAB=30°，AB=10， 由勾股定理得，AD=3∴半径即△ABC 外接圆⊙O类型四、圆与圆的位置关系5. 如图所示，⊙O 的半径为5，点P 为⊙O 外一点，OP ＝8．求：(1)以P 为圆心作⊙P 与⊙O 相切，则⊙P 的半径为多少?(2)当⊙P 与⊙O 相交时，⊙P 的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P 与⊙O 外切时，则有5+r ＝8，∴ r ＝3．当⊙P 与⊙O 内切时，则有r -5＝8，∴ r ＝13．∴ 当r ＝3或13时，⊙O 与⊙P 相切．(2)当⊙P 与⊙O 相交时，则有| r -5|＜8＜r+5，解得3＜r ＜13，即当3＜r ＜13时，⊙P 与⊙O 相交．【总结升华】 两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d ＝R+r 和d ＝R -r (R ＞r )，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，则O 1O 2的长是( )A ．1cmB ．5cmC ．1cm 或5cmD ．0.5cm 或2.5cm【答案】C提示：两圆相切包括外切和内切，当⊙O 1与⊙O 2外切时，d ＝O 1O 2＝R+r ＝3+2＝5(cm)；当⊙O 1与⊙O 2内切时，d ＝O 1O 2＝R-r ＝3-2＝1(cm)．故选C.。
《点和圆、直线和圆的位置关系》 知识清单
《点和圆、直线和圆的位置关系》知识清单一、点和圆的位置关系我们先来看看点和圆的位置关系，这在数学中是很基础也很重要的一部分。
想象一下一个圆在平面上，然后有一个点。
这个点可能在圆的内部、圆上或者圆的外部。
那怎么判断点到底在哪个位置呢？我们通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小来确定。
如果点到圆心的距离小于圆的半径，那么这个点就在圆的内部。
比如说，圆的半径是 5，某个点到圆心的距离是 3，因为 3 小于 5，所以这个点就在圆里面。
要是点到圆心的距离等于圆的半径，那这个点就在圆上。
比如圆的半径依旧是 5，点到圆心的距离恰好也是 5，那这个点就刚好在圆的轮廓上。
当点到圆心的距离大于圆的半径时，这个点就在圆的外部。
还是假设圆半径为 5，如果点到圆心的距离是 7，因为 7 大于 5，所以点在圆的外面。
在实际解题中，我们常常会用到这个关系。
比如已知圆的方程和点的坐标，让我们判断点和圆的位置关系，那我们就先求出圆心坐标和半径，然后计算点到圆心的距离，再和半径比较大小。
二、直线和圆的位置关系接下来，咱们再看看直线和圆的位置关系。
直线和圆的位置关系也有三种：相交、相切、相离。
当直线和圆有两个公共点时，它们的位置关系就是相交。
这就好像一根铅笔戳进一个圆形的蛋糕，铅笔和蛋糕边缘有两个接触点。
如果直线和圆只有一个公共点，那就是相切。
就好比汽车沿着圆形的跑道跑，在某个瞬间轮胎刚好挨着跑道的边缘，只有那一个瞬间的接触点。
而当直线和圆没有公共点时，它们就是相离的关系，就像是两条平行线，永远没有交集。
那怎么判断直线和圆到底是哪种位置关系呢？我们通常通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来确定。
如果 d 小于 r，直线和圆相交。
想象一下，圆心到直线的距离比圆的半径短，那直线肯定会穿过圆，就有两个交点。
当 d 等于 r 时，直线和圆相切。
此时直线就像圆的切线，刚好碰到圆。
要是 d 大于 r，直线和圆相离。
因为圆心到直线的距离比圆的半径还长，所以直线离圆远远的。
点和圆、直线和圆的位置关系
学习笔记-点和圆、直线和圆的位置关系主要内容：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、切线的判定及性质、圆和圆的位置关系。
（1）点和圆的位置关系：数量关系和位置关系的对应（2）圆的确定1、过一点可做无数个圆；2、过二点可做无数个圆；3、不在同一条直线上的三点确定（有且只有）一个圆；过在一条直线的三点不能做圆；4、不在同一条直线上的四点有可能作一个圆，也有可能做不出一个圆；（3）三角形的外接圆1、三角形外接圆、圆的内接三角形、外心（外接圆圆心，三角形三条边的中垂线交点）；2、“接”：三角形顶点与圆的关系，顶点在圆上；“外、内”：三角形和圆的位置关系；（4）反证法1、定义：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，有矛盾断定假设不正确，从而得出原命题成立；2、使用场景：用于解决不易直接证明或不能直接证明的命题，主要适用于：①结论是否定形式的命题②结论是无限形式的命题③结论是“至多”或“至少”形式的命题3、否定形式“大（小）于——不大（小）于”“或——且”“至多有n个——至少有n+1个”“都是——不都是”（5）“一箭穿心”模型（圆外一点到圆的最大距离和最小距离）先把圆心到点的距离d求出来，最大距离为d+r，最小距离为d-r（三角形三边关系可证明）；（1）直线和圆的位置关系：数量关系和位置关系的对应（2）直线与圆相离，直线到圆的最大距离和最小距离先把圆心到直线的距离d求出来，最大距离为d+r，最小距离为d-r（垂线段最短可证明）；（1）切线的定义➢与圆只有一个交点的直线➢圆心到直线的距离等于半径的直线（2）切线的判定➢定义法：与圆只有一个公共点➢数量关系：d=r（圆心到直线的距离等于半径）➢位置关系（切线判定定理）：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证明切线的常用辅助线：◆有交点，连半径，证垂直◆无交点，作垂直，证半径（3）切线的性质➢切线与圆有且只有一个公共点➢圆心到切线的距离等于圆的半径➢（切线的性质定理）圆的切线垂直于过切点的半径以下是两个推论：⏹经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点⏹经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心有切线后的常用辅助线：切点的位置确定：连接圆心和切点，得垂直，即连切点得垂直切点位置不确定：过圆心作切线的垂线，垂足就是切点，即作垂直得切点（4）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角主要讲解下面这个图形：找出图中互相垂直的线段、直角三角形、等腰三角形、全等三角形注意：适当讲解弦切角定理（两角互余可证明），开阔学生做题的思路。
圆圆的位置关系知识点总结
圆圆的位置关系知识点总结圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到圆与直线、圆与圆之间的相对位置关系。
下面是关于圆的位置关系的知识点总结。
一、圆与直线的位置关系：1.外切：当直线与圆相切于圆的一点时，我们称这条直线与圆外切。
2.内切：当直线与圆只在圆的内部与圆相切时，我们称这条直线与圆内切。
3.交于两点：当直线与圆相交并有两个交点时，我们称这条直线与圆相交于两点。
4.不相交：当直线与圆没有交点时，我们称这条直线与圆不相交。
二、圆与圆的位置关系：1.相切：当两个圆相切于圆的一点时，我们称这两个圆相切。
2.相交：当两个圆有交点时，我们称这两个圆相交。
3.重合：当两个圆的圆心和半径完全相同时，我们称这两个圆重合。
4.内含：当一个圆完全在另一个圆内部时，我们称这个圆在另一个圆内含。
5.相离：当两个圆没有交点，且一个圆的外部不与另一个圆的内部相交时，我们称这两个圆相离。
三、判别圆与直线的位置关系的方法：1.利用距离：计算直线上一点到圆心的距离，根据距离与圆的半径的大小关系来判断圆与直线的位置关系。
-当直线上一点到圆心的距离等于圆的半径时，这条直线与圆相切。
-当直线上一点到圆心的距离大于圆的半径时，这条直线与圆相交。
-当直线上一点到圆心的距离小于圆的半径时，这条直线与圆不相交。
2.利用方程：通过圆的方程和直线的方程来求解相交的点，根据求解得到的交点的数量来判断圆与直线的位置关系。
四、判别圆与圆的位置关系的方法：1.利用距离：计算两个圆心之间的距离，根据距离与两个圆的半径之和、之差的大小关系来判断圆与圆的位置关系。
-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。
-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。
-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之差的绝对值时，一个圆完全包含在另一个圆内即一个圆内含于另一个圆。
-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，但小于两个圆的半径之和时这两个圆相交于两个交点。
点、直线、圆与圆位置关系—知识讲解(基础)
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O 到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；（2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三：【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.【答案】0≤d＜3.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5•⨯(cm)，（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB 相切。
点与圆、直线与圆位置关系
一、点与圆的位置关系1.确定圆的条件（1）圆心(定点)，确定圆的位置；（2）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2.点与圆的位置关系（3）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．（4）设O=；⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r 点在圆内⇔d r<.如下表所示：二、过已知点的圆1.过已知点的圆（1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．（2）经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．（3）过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．（4）过n()4n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1.三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7【巩固】1、一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．2、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）DA ．2b a + B ．2ba - C ．22ba b a -+或 D ．b a b a -+或3、定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．【例2】 已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 的中点为M ，⑴以C 为圆心，2为半径作C ⊙，则点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系如何？ ⑵若以C 为圆心作C ⊙，使A ，B ，M 三点至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，求C⊙半径r 的取值范围．M CBA【巩固】1、Rt ABC ∆的两条直角边3BC =，4AC =，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以12r =，2 2.4r =，33r =为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系.DCBA2、在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？⑵当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？CBA二、过三点的圆【例3】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例4】 如图，在平面直角坐标系中，O '与两坐标轴分别交于A B C D ，，，四点，已知：()60A ，，()03B -，，()20C -，，则点D 的坐标是（ ） A ．()02，B ．()03，C ．()04，D ．()05，三、三角形的外接圆及外心【例5】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC =.【巩固】等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．ABCD ．12【例6】 设Rt ABC ∆的两条直角边长分别为3，4，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ．【巩固】1、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．2、ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例7】 在等腰ABC ∆中，AB BC =，BH 是高，点M 是边AB 的中点，而经过点B ，M 于C 的圆同BH的交点是K ，求证32BK R =，其中R 是ABC ∆的外接圆半径．【巩固】1、已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ．⑴求证：AD的延长线平分∠CDE；⑵若30∠=︒BAC，∆ABC中BC边上的高为2∆ABC外接圆的面积．AB CD E2、已知如图，ACD∆的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BA BD=．N一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则AB l⊥．②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB过圆心，AB l⊥，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l⊥，AB过切点M，则AB过圆心．l3.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l4.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系cb acbaO F ED CACBAC B A设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-． 一、直线与圆位置关系的确定【例1】 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是A ．0≤x B．≤x C ．－1≤x ≤1D ．x【例2】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆和AB 有怎样的位置关系？为什么？⑴ 9cm r =；⑵10cm r =；⑶9.6cm r =．DCBA【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =︒∠，且AB AD BC >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定【巩固】如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作O的切线AD，BA DA⊥，10BC=，4AD=，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是．二、切线的性质及判定【例4】已知：O为BAC∠平分线上一点，OD AB⊥于D，以O为圆心．以OD为半径作圆O．求证：O⊙与AC相切．【巩固】如图，ABC∆为等腰三角形，AB AC=，O是底边BC的中点，O⊙与腰AB相切于点D，求证AC 与O⊙相切．【例5】已知：如图，ABC∆内接于O，AD是过A的一条射线，且B CAD∠=∠．求证：AD是O的切线．【巩固】已知：如图，AB是O⊙的直径，C为O⊙上一点，MN过C点，AD MN⊥于D，AC平分DAB∠．求证：MN为O⊙的切线．【例6】如图，已知OA是O⊙的半径，B是OA中点，BC OA⊥，P是OA延长线上一点，且PA AC=．求证：PC是O⊙的切线．【巩固】如图，AB是O⊙的直径，C点在圆上，CD AB⊥于D．P在BA延长线上，且PCA ACD∠=∠．求证：PC是O⊙的切线．BP【例7】如图，O⊙是Rt ABC∆的外接圆，90ABC∠=︒，点P是圆外一点，PA切O⊙于点A，且PA PB=．（1）求证：PB是O⊙的切线．（2）已知1PA BC=，求O⊙的半径．【巩固】1、如图，AB 为O ⊙的直径，D 是BC 的中点，DE AC ⊥交AC 的延长线于E ，O ⊙的切线BF 交AD 的延长线于点F ．求证：DE 是O ⊙的切线；FAB2、如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ．（1）求证：CD 与O ⊙相切．（2）若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径．【例8】 如图，AB BC =，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）作DG AB ⊥交O ⊙于G ，垂足为F ，若308A AB ∠=︒=，，求弦DG 的长．【巩固】如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点．求证：BC 是O ⊙的切线；D CB A【例9】 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且ECF E ∠=∠． （1）证明CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为1，且AC CE =，求MO 的长．A1. 已知60ABC ∠=︒，点O 在ABC ∠的平分线上，5cm OB =，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则O 与BC 的位置关系是________．2.如图，半径为3cm 的O ⊙切直线AC 于B ，3cm AB BC =，，则AOC ∠的度数是 ．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．E B4.如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．5.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分ACB ∠． ⑴ 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； ⑵ 试判断线段AC AD BC 、、之间的数量关系，并说明理由；⑶ 若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．。
九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系 知识点整理
点、线和圆的位置关系有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网整理一、本节学习指导和圆相关的概念比较多，一下全都记住是比较困难的，我们可以采取一些方法，我们可以归类似、联想记忆，当然最好是能先理解再记忆。
本节有配套学习视频。
二、知识要点1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。
注：点和圆的位置关系只有：在圆上如图点P2，在圆内如图点P1，在圆外P3三种。
2、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞ d<r；直线l与⊙O相切＜====＞ d=r；直线l与⊙O相离＜====＞ d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。
5、过三点的圆（1）、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
第二讲 点、直线、圆和圆的位置关系
第二讲点、直线、圆和圆的位置关系知识点1 点与圆的位置关系1.点P在圆外——d > r; 点P在圆上——d = r; 点P在圆内——d < r.2.不在同一直线上的三个点确定一个圆。
知识点2 三角形的外接圆3.经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
4.在圆上任取三点首尾顺次连接组成的三角形叫做圆的内接三角形.知识点3 反证法5.假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫反证法.知识点4 直线与圆的位置关系6.直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线,d < r。
7.直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点,d = r。
8.直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离,d > r。
知识点5 切线9.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
10.圆的切线垂直于过切点的半径。
11.经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
12.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
13.相交弦定理：圆内任意两弦相交，同一线段被截得的两线段之积相等。
14.弦切角定理：圆的一条切线与过切点的弦所夹的角，等于所夹的这条弧所对的圆周角。
15.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
16.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
知识点6 三角形的内切圆17.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
知识点7 圆与圆的位置关系>+；外离⇒无交点⇒d R r=+；外切⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切⇒有一个交点⇒d R r<-；内含⇒无交点⇒d R r18.圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
初三数学知识点：图示、文字描述、数学语言描述点、线、圆与圆的位置关系
点 P 在半径 （或到圆心的距离大于 半径的点都在圆外）
点 P 在圆外 ⇔ d>r
注：符号“⇔”读作“等价于”，表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可 以推出左端。
二、直线与圆的位置关系
直线与圆的 位置关系
定义
相交
直线与圆有两个公共 点时，叫做直线和圆相 交
②d=r ⇔ 直线 l 和⊙O 相切；
③d>r ⇔ 直线 l 和⊙O 相离.
（2）判断直线与圆的位置关系有两种方法：一是根据定义也就是公共点的个数进行判
别；二是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定。
三、圆和圆的位置关系
圆与圆的位 置关系
定义
图示
两圆心的距离与 两半径间的关系
外离
两个圆没有公共点，且一个 圆上的点都在另一个圆的外 部时，叫做这两个圆外离
d=R-r (R>r)
第2页共3页
内含
两个圆没有公共点， 且一个 圆上的点都在另一个圆的内 部时，叫做这两个圆内含
d<R-r (R>r)
点拨：设大圆⊙O1 的半径为 R，小圆⊙O2 的半径为 r，O1 与 O2 的距离为 d，则： (1)两圆外离 ⇔ d>R+r (2)两圆外切 ⇔ d=R+r (3)两圆相交 ⇔ R-r<d<R+r (4)两圆内切 ⇔ d=R-r (5)两圆内含 ⇔ d<R-r
d>R+r
外切
两个圆只有 1 个公共点，且 除了这个公共点以外，一个 圆上的点都在另一个圆的外 部时， 叫做这两个圆外切
d=R+r
相交
两个圆有 2 个公共点，叫做 这个两个圆相交
R-r<d<R+r (R≥r)
点和圆,直线和圆的位置关系知识点
点和圆,直线和圆的位置关系知识点《点和圆的亲密接触》小朋友们，今天我们来一起探索点和圆的奇妙世界！想象一下，圆就像一个大大的甜甜圈。
如果有一个小点在圆的里面，那这个点就被圆给“抱住”啦，这时候我们就说点在圆内。
比如说，我们在纸上画一个圆，然后在圆的中间点一个小点，这个小点就乖乖地待在圆的怀抱里，它和圆的关系就是点在圆内。
要是这个点刚好在圆的边上，就像小朋友们手拉手围成一个圈，站在边上的那个小朋友一样，那这个点就在圆上。
再想象一下，如果这个点在圆的外面，就好像小朋友跑出了圈圈去玩耍，那就是点在圆外。
怎么样，小朋友们，是不是很容易理解呀？《有趣的点和圆》小朋友们，你们知道吗？点和圆是一对好朋友，它们有着不同的相处方式呢！假如我们把圆当成一个大城堡，点就是来拜访城堡的小客人。
如果小客人走进了城堡里面，那就是点在圆内。
比如说，我们画一个大大的圆当作城堡，然后在城堡里面点一个小小的点，这个小点就像是在城堡里玩耍呢。
要是小客人刚好站在城堡的大门那里，那就是点在圆上。
就像我们画一个圆，然后在圆的轮廓上点一个点，这个点就站在城堡门口啦。
要是小客人跑到城堡外面去了，那就是点在圆外。
小朋友们，你们能想象出这些画面吗？《点和圆的小秘密》小朋友们，今天来给你们讲讲点和圆之间的小秘密哟！我们把圆看作是一个神奇的魔法圈。
当一个点在这个魔法圈的里面时，就好像被魔法圈保护起来了，这就是点在圆内。
比如说，画一个圆，然后在圆的中心附近点一个点，这个点就被魔法圈保护着啦。
如果点正好在魔法圈的边上，就像是站在魔法圈的边界上站岗一样，那就是点在圆上。
再比如，在圆的轮廓上轻轻点一下，这个点就在站岗哟。
要是点跑到魔法圈外面去了，那就不在魔法圈的保护范围内啦，这就是点在圆外。
小朋友们，是不是很有趣呀？《走进点和圆的世界》小朋友们，让我们一起走进点和圆的世界吧！把圆想象成一个大大的游泳池。
如果有一个小点在游泳池的水里，那就是点在圆内。
就像我们画一个圆当作游泳池，然后在游泳池里面点一个小点，这个小点就在水里游泳呢。
九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系_知识点整理
点、线和圆的位置关系一、本节学习指导和圆相关的概念比较多，一下全都记住是比较困难的，我们可以采取一些方法，我们可以归类似、联想记忆，当然最好是能先理解再记忆。
本节有配套学习视频。
二、知识要点1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。
注：点和圆的位置关系只有：在圆上如图点P2，在圆内如图点P1，在圆外P3三种。
2、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞ d<r；直线l与⊙O相切＜====＞ d=r；直线l与⊙O相离＜====＞ d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。
5、过三点的圆（1）、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。
初中数学知识点精讲精析 点、直线、圆和圆的位置关系知识讲解
24·2 点、直线、圆和圆的位置关系24·2·1 点和圆的位置关系1．点与圆的位置关系 点P 在圆外d>r 点P 在圆上d=r 点P 在圆内d<r“”读作“等价于”，表示从“”左端可以得到右端，从右端也可以得到左端，可用于推理证明.2．在同一直线上的三个点确定一个圆 （1）过一个点可以做无数个圆（2）过2个点可以做无数个圆，圆心在两点的垂直平分线上若要求r=m 可做几个？当时，2个当时，1个当时，0个定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.⇔⇔⇔⇔⇔m AB>12A Bm AB=12A Bm AB<12经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.3．三角形的心 外心：中垂线交点 内心：角平分线交点 重心：中线交点垂线：高的交点4．探索锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心位置典型例题例1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3m ，AC=4m ，以B 为圆心，以BC 为半径作⊙B ，D 、E 是AB 、AC 中点，D 、E 分别与⊙O 有怎样的位置关系？解：∵BC=3m=R ∴点C 在⊙B 上 ∵AB=5m>3m ∴点A 在⊙B 外∵D 为BA 中点∴∴点D 在⊙B 内∵E 为AC 中点 ∴连结BE在三角形形内在形外在斜边上A BD AB m==<12253.CE AC m ==⨯=121242∴ ∴E 在⊙B 外例2. 在直线上是否存在一点P ，使得以P 点为圆心的圆经过已知两点A （－3，2），B （1，2）.若存在，求出P 点的坐标，并作图. 解：∵A （－3，2），B （1，2） ∴AB 的中点（－1，2） ∴AB 的垂直平分线为∴P （－1，）为所求24·2·2 直线和圆的位置关系一．直线与圆的三种位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么 （1）直线l 和圆O 相交d<r ：有2个公共点 （2）直线l 和圆O 相切：有1个公共点 （3）直线l 和圆O 相离：没有公共点典型例题例1. 已知∠AOB=30°，M 为OB 上一点，OM=5cm ，以M 为圆心，r 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？ （1）r=2m （2）r=4m （3）r=2.5mBE BC CE m =+=+=>222232133y x =-321x =-1y x x =-=-⎧⎨⎪⎩⎪3211∴=-=-⎧⎨⎪⎩⎪x y 152-52⇔r d =⇔r d >⇔例2. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的西偏北45°方向的C 处有一半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D 因为∠B=45°，所以∠BCD=45°，CD=BD 设CD=x ，则BD=x由∠A=30°知AC=2x ，AD= 所以即也就是说，以C 为圆心，以0.7km 为半径的圆与AB 相离.所以，计划修筑的这条公路不穿过公园.例3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm （2）r=2.4cm （3）r=3cm解：（1）r=2cm ，d=CD=2.4cm ∵d>r ∴直线AB 与圆C 相离 （2）r=2.4cm 时，d=r ∴直线AB 与圆C 相切 （3）r=3cm 时，d<r∴直线AB 与圆C 相交AO 30°5m M Bx 313x 2x x 3-==+，7.0732.013CD >≈-= B4C AD3二．切线的性质及判定根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定定理.1.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径.反例定理实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式.因此，定理不必另加证明.2.切线判定的三种方法（1）切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（2）圆心到直线的距离等于半径（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心4.切线的性质①切线和圆只有一个公共点②切线和圆心的距离等于圆的半径③切线垂直于过切点的半径④经过圆心垂直于切线的直线必过切点⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心5.辅助线规律（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直.（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径.典型例题例1. 用反证法证明：过直线外一点P 只能有一条直线与已知直线l 垂直. 证：∵假设过P 点有两条直线PA ⊥l 于A PB ⊥l 于B 则PA 、PB 、AB 三条线段围成的三角形中 ∠PAB ＋∠PBA+∠APB ＞180°，与∠PAB ＋∠PBA=180°矛盾 ∴假设错误 ∴过直线外一点P 只能有一条直线与已知直线垂直反证法思路：假设命题成立，由此经过推理得出矛盾.由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，要考虑反面的所有可能.如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则须一一否定.例2. 正方形ABCD 边长为1，AC 与BD 交于O ，过O 作EF//AB ，分别交AD 、BC 于E 、F ，以B 为圆心，为半径作图，则⊙B 与直线AC 、EF 、DC 的位置关系？解：∵BD ⊥AC ∴B 到AC 的距离是OB ∵AB=1，∠B=90°，AB=BC∴∴ ∴AC 与圆B 相切 ∵BF ⊥EF∴B 到EF 的距离是BF ∵∴EF 与⊙B 相交∵BC ⊥DC∴B 到DC 的距离是BC ∵BC=1 ∴BC>r∴DC 与⊙B 相离例3. 已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB求证：直线AB 是⊙O 的切线.l22 A E DOB F CAC =2BO r==22BF =<1222证：连接OC∵OA=OB ，CA=CB∴OC ⊥AB∴AB 是圆O 的切线例4. 如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O 的直径为6厘米求证：AB 与⊙O 相切证明：过O 作OC ⊥AB ，垂足为C因为OA=OB=5厘米，AB=8厘米，所以 AC=BC=4厘米因此在Rt △AOC 中，（厘米） 又因为⊙O 的直径长为6厘米，故OC 的长等于⊙O 的半径3厘米 所以AB 与⊙O 相切.例5. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，点C 在圆上， ∠CAB=30°，求证：DC 是⊙O 的切线.证明：连OC 、CB ∵AB 为直径 ∴∠ACB=90° ∵∠A=30° ∴∠CBO=60°∴CO=BO=BC ，∴△BOC 为等边三角形，∴∠OCB=∠OBC=60° ∵BD=OB ∴BC=BD∴∠BCD=∠D ，∴∠BCD+∠D=∠OBC=60° ∴∠BCD=∠D=30°∴∠OCB+∠BCD=60°+30°=90° ∴DC 是圆O 切线例6. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB.345AC OA OC 2222=-=-=证明：连接OC ∵DC 为圆O 切线 ∴OC ⊥DC ∵AD ⊥DC ∴OC//DA ∴∠1=∠2 ∵OC=OA∴∠1=∠3，∴∠2=∠3 ∴AC 平分∠DAB例7. 已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于AD求证：DC 是⊙O 的切线.证明：连DO∵BC 是圆O 的切线 ∴AB ⊥BC ∵OC//AD∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵AO=DO ∴∠3=∠1 ∴∠2=∠4在△DCO 与△BCO 中 ∴∴∠CDO=∠OBC=90° ∴DC 是圆O 切线.例8. 如图，A 是⊙O 外一点，连OA 交⊙O 于C ，过⊙O 上一点P 作OA 的垂线交OA 于F ，交⊙O 于E ，连结PA ，若∠FPC=∠CPA ，求证：PA 是⊙O 的切线⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OB DO 42CO CO BCO DCO ∆≅∆证明：连结OP∵OA ⊥PE 于F ，PE 是⊙O 的弦 由垂径定理可知： ∴∠AOP=2∠EPC ∵∠EPC=∠CPA ∴∠AOP=∠EPA ∵∠EPA ＋∠A=90° ∴∠AOP ＋∠A=90° ∴∠OPA=90° 即OP ⊥PA∴ PA 是⊙O 切线例9. 如图，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，DE ⊥AC 于E求证：DE 与⊙O 相切证明：连结OD ∵ OB=OD ∴ ∠B=∠ODB ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C ∴ ∠ODB=∠C ∴ OD ∥AC ∵ DE ⊥AC ∴ DE ⊥OD∴ 直线DE 与⊙O 相切 三．切线长定理1. 定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.⋂⋂=PCEC3. 常用辅助线已知PA ，PB 切⊙O 于A ，B.（1） （2） （3） （4）图（1）中，有什么结论？（PA ＝PB ）图（2）中，连结AB ，增加了什么结论？（增加了∠PAB ＝∠PBA ）图（3）中，再连结OP ，增加了什么结论？（增加了∠OPA ＝∠OPB ，OP ⊥AB ，AC＝BC ，）.图（4）中，再连结OA ，OB.又增加了什么结论？（增加∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∠AOB ＋∠APB ＝180°，以及三角形全等）4. 和三角形的各边都相切的圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”.典型例题例1. 已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径.求证：AC ∥OP.证法一：如下图，连结AB证法二：连结AB ，交OP 于DAD BD ⋂=⋂⎪⎭⎪⎬⎫A ⊥⇒⊥⎭⎬⎫⎩⎨⎧∠=∠=⇒B AC O BC AB OP BPO APO PBPA B A O PB PA 直径⊙为，于⊙分别切，⇒AC OP //证法三：连结AB ，设OP 与交于点E （如上图）PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B例2. 如图，△ABC 中，∠A ＝α°，O 是△ABC 的内心.求证：证明：∵△ABC 中，∠A ＝α°∴∠ABC+∠ACB ＝180°－α° ∵O 是△ABC 的内心∴OB 、OC 平分∠ABC 、∠ACB在△OBC 中，例3. 已知，如图，从两个同心圆O 的大圆上一点A ，作弦AB 切小⊙O 于C 点，AD 切小⊙O 于E 点.（1）求证：AB ＝AD ； （2）求证：DE ＝BC.PA PB O A B PA PB APO BPO AD BD BO CO ，分别切⊙于，⇒=∠=∠⎧⎨⎩⎫⎬⎭⇒==⎫⎬⎪⎭⎪⇒⇒OD BC AC OP 为的中位线∆A //AB ⋂⇒=∠=∠⎧⎨⎩⎫⎬⎭⇒⊥PA PB APO BPO OP AB⇒⋂=⋂⇒∠=∠⇒AE BE C POB AC OP //∠=+BOC 9012α∴∠+∠=∠+∠1212()ABC ACB ∠=-∠+∠BOC 18012 ()∴∠=+BOC 9012α解：（1）∵AD切小圆于E，AB切小圆于C∴AE＝ACOE⊥AD，OC⊥AB∴DA＝2AE，AB＝2AC∴AB＝AD（2）∵AB＝AD，AE＝AC∴ED＝CB例4. 已知，如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B点，求证：OP垂直平分线段AB.证明：∵PA、PB切⊙O于A、B点∴PA＝PB∴P在AB的垂直平分线上∵OA＝OB∴O在AB的垂直平分线上∴PO垂直平分线段AB例5. 已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°（1）若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；（2）若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r.证明：在Rt △ABC 中，AB ＝15 作OD ⊥AC ，OF ⊥BC ，OE ⊥AB∵∠C ＝90°∴四边形DCFO 为矩形 ∵AC 、CB 切⊙O 于D 、F ∴DC ＝CF∴四边形DCFO 为正方形 设半径为r ∴DC ＝CF ＝r∴AD ＝12－r ，FB ＝9－r 6＝2r ∴r ＝3（2）或例6. 已知，如图，△ABC 的三边BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，它的内切圆O 的半径长为r ，求：△ABC 的面积S.解：连OE 、OF 、ODB ∴-+-=12915r r b r a r c -+-=b a c r +-=2∴=+-r b a c 212121212ab br ar cr=++∴=++r aba b cB E C∵内切圆∴OD ⊥AB ，OF ⊥AC ，OE ⊥BC例7. 已知，如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC ＝105°，∠ACB ＝90°，AB ＝20cm ，求：BC 、AC.证明：∵AC 、BC 切⊙O∴∠ACO ＝∠BCO ，∠1＝∠2 ∵∠ACB ＝90°∴∠ACO ＝∠BCO ＝45° ∵∠BOC ＝105° ∴∠2＝30° ∴∠ABC ＝60°∵AB ＝20cm ，∴BC ＝10cm例8. 已知，如图，⊙O 内切于等腰梯形ABCD ，切点分别是E 、H 、F 、G ，AB//DC ，AD ＝BC（1）求证：线段EF 是⊙O 的直径； （2）求证：∠AOD ＝90°；（3）若AB ＝2a ，DC ＝2b ，求此梯形的面积S.B E C∴=++=++S cr br ar r a b c 12121212()CC AC cm =103证明：（1）法一：连EO 并延长交DC 于F'∵DC 、AB 切⊙O 于F 、E∴OF ⊥DC ，OE ⊥AB ∵DC//AB ，∴DC ⊥OF'∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ∴F 与F'重合∴EF 是⊙O 的直径法二：共线，连FO ，EO ∠GOF+∠GDF ＝180° ∠GOE+∠DAE ＝180° ∵∠CDA+∠DAE ＝180° ∴∠GOF+∠GOE ＝180° ∴FOE 共线 （2）∵DC//AB∴∠CDA+∠DAB ＝180°∵OD 、AO 平分∠CDA 、∠DAE ∴∠1+∠2＝90° ∴∠DOA ＝90° （3）作CC'⊥AB例9. 如图，从⊙O 外一点A 向⊙O 引切线AC ，从OA 上一点B 作⊙O 的切线BE ，切点为E ，且BE ＝AB ，求证：AC 2＝2AO ·ABBC B AB DC a ba b '=-=-=-2222CB CH HB a ba b=+=+=+222∴=+--=CC a b a b ab '()()222∴=+÷=+S a b ab a b ab [()]()22222证明：连接OE则OE⊥BE，又OE＝OC在Rt△AOC中，AC2＝OA2－OC2∴AC2＝OA2－OE2（1）又在Rt△BOE中∵OE2＝OB2－BE2（2）（2）式代入（1）式得：AC2＝OA2－OB2+BE2由已知BE＝AB∴AC2＝OA2－OB2+AB2＝（OA-OB）（OA+OB）+AB2＝（OA+OB）AB+AB2＝AB（OA+OB+AB）＝AB（OA+OA）＝2OA·AB∴AC2＝2AO·AB24·2·3 圆和圆的位置关系1．圆与圆的位置关系（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离.外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.（图（1））内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））.两圆同心是两圆内含的一个特例.（图（6））（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.（图（2））内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.（图（4））（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.（图（3））注意：（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素.两圆外切与内切也有这样的比较.（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一.（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）.提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？答：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆.即重合.结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.2．两圆位置关系的数量特征设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，观察R，r和d之间有何数量关系？学生很可能只说出d＞R-r，则应向学生说明，这时两圆还可能外切或外离，如果只说出d＜R+r，则还可能内切或内含.结合上图会发现R，r和O1O2构成△AO1O2的三边.所以只有R-r＜d＜R+r时.才能判定两圆相交.反过来也成立，于是有：为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为：3．相切两圆的性质相切两圆组成轴对称图形，通过两圆圆心的直线叫连心线，是它们的对称轴.相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.（轴对称来说明，证明可用反证法，不作要求）典型例题例1.如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米.求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？解：（1）设小圆⊙P与⊙O外切于点A，则PA=OP－OA=8－5=3cm所以⊙P1的半径是3cm（2）设大圆⊙P与⊙O内切于点B，则PB=OP+OB=8+5=13cm所以⊙P2的半径是13cm例2.如图，已知，⊙O1和⊙O2外切于P，并且⊙O和⊙O1、⊙O2分别内切于M、N，△O1O2O的周长为18cm.求：⊙O的半径长.解：设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2∵⊙O1和⊙O2相外切∴O1O2=r1+r2又⊙O和⊙O1、⊙O2分别相内切∴O1O=R－r1，O2O=R－r2.△O1O2O的周长为18cm即O1O2+O1O+O2O=（r1+r2）+（R－r1）+（R－r2）=18.∴R=9（cm）例3.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，求证：直线O1 O2垂直平分AB.证：连接O1A、O1B、O2A、O2B∵O1A= O1B∴O1在AB的垂直平分线上∵O 2 A=O 2B∴O 2在AB 的垂直平分线上 ∵直线O 1 O 2垂直平分AB总结：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.例：已知：两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过点O 2.求∠O 1AB 的度数解：∵圆O 1经过O 2 ∴∠O 1AO 2=60°∵O 1A=O 1B ，O 2A=O 2B∴∠O 1AB=∠O 1AO 2=30°在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心.从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决.∴O 1O 2∥CD ，A O A O O O 2121==∴OB OA AB O O 21=⊥∴21∴∠C=∠AO 1O 2. 又∵O 2A=O 2O 1，∴∠O 2AO 1=∠AO 1O 2， ∴∠C=∠O 1AO 2， ∴DA=DC.例5.相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，则两圆的连心线为________？解：①圆心在公共弦两侧为AB 的垂直平分线例6.已知，如图所示，圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，圆心O 1在圆O 2上，过B 点作两圆的割线CD ，射线DO 1交AC 于E 点. 求证：OE ⊥AC 证：连结AB 、作圆O 1的直径AC 1∵AC 1为直径 ∴∠BAC 1+∠AC 1B=90° ∵∠C=∠C 1 ∠C 1AB=∠D ∴∠C+∠D=90° ∴DE ⊥ACB O A O B O A O 2211==， 21O O ∴C、D，∵BF为直径∴∠1+∠2=90°。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
∙直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB 与⊙O相切，d=r。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。
（d为圆心到直线的距离）∙直线与圆的三种位置关系的判定与性质：（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。
圆的切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
∙直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的切圆和三角形的心的概念，并熟练掌握以上容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、含)，两个圆相切(外切、切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆.6．三角形的心：三角形切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的心. 三角形的心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r为切圆的半径).要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的部时，叫做这两个圆切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的部时，叫做这两个圆含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离 d＞r1+r2两圆外切 d=r1+r2两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆切 d=r1-r2 (r1＞r2)两圆含 d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、含)、相切(含切、外切)、相交；(2) 切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有切或含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆；（2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三：【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O，则点A到圆心O的距离d的围是________.【答案】0≤d＜3.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5•⨯(cm)，（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB 相切。
【答案】作PF⊥OB于F，则可证明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故⊙P与OB相切。
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【答案与解析】过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴ DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．可简记为：作垂直，证半径．类型三、圆与圆的位置关系4．(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )A．外切B．切C．相交D．相离(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ；（2）C.【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．∴R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．(2)两圆相切包括外切和切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r；④两圆切⇔d＝R-r；⑤两圆含⇔d＜R-r．点、直线、圆与圆的位置关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.已知：如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB=65°，则∠APB 等于( )． A ．65° B ．50° C ．45° D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC=α，则( )． A ．∠A=α B ．∠A=90°－α C ．∠ABD=α D ．∠α2190o-=ABD第1题图 第2题图3．设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A.d=3B. d ＜3C. d≤3D.d＞34．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为( )A.8B.4C.9.6D.4.85．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是( )A.相交B. 切C. 外切D.含6．已知：A ，B ，C ，D ，E 五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A ．5个圆B ．8个圆C ．10个圆D ．12个圆 二、填空题7．锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角形的_____________部， 直角三角形的外心在________________．8．若△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm ，BC=24cm ，则它的外接圆的直径为___________． 9．若△ABC 接于⊙O ，BC=12cm ，O 点到BC 的距离为8cm ，则⊙O 的周长为___________． 10．如图所示，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为3cm 和5cm ，则AB 的长为__________cm ．11.如图所示，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，且∠OBA ＝40°，则∠ADC ＝________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m 的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是_________.三、解答题13. 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED ＝45°，试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．14． AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于D 点，过D 作⊙O 的切线DE 交BC 于E.求证：CE=BE.15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 延长线上任意一点，C 为半圆AB 的中点，PD 切⊙O 于点D ，连CD 交AB 于点E ，求证：PD ＝PE ．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】连结OA 、OB ，则∠AOB=130°，∠PAO=∠PBO=90°，所以∠P=50°. 2.【答案】A ；【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∠A+∠ABD=90°，又 ∵直线EC 切⊙O 于B 点，∴α+∠ABD=90°，∴∠A=α，故选A. 3.【答案】C ；【解析】直线l 可能和圆相交或相切. 4.【答案】D ；【解析】作CD⊥AB 于D ，则CD 为⊙C 的半径，BC=22AC AB -=22610-=8，由面积相等，得AB·CD=AC·BC. ∴CD=1086⨯=4.8. 5.【答案】D ；【解析】切、外切分别对应d=R ＋r ，d=R －r ，它们起着分界作用.在⊙O 1和⊙O 2相对运动时依次产生外离、外切、相交、切、含五种位置关系，圆心距逐渐变小，而相切和外切起着分界作用，所以先计算d ＋r 和d －r ，因为圆心距d=3＜R －r ，所以“含”.6.【答案】C.【解析】过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE 的圆.二、填空题 7．【答案】，外，它的斜边中点处． 8．【答案】26cm ． 9．【答案】20πcm ． 10．【答案】8.【解析】因为AB 切小⊙O 于C ，连OA 、OC ，如图，由切线的性质知OC ⊥AB ，又由垂径定理得AC ＝BC ， 在Rt △AOC 中，AO ＝5，OC ＝3． ∴ AB ＝2AC ＝8(cm)．11．【答案】25°.【解析】∵OA ⊥AB ，∠OBA ＝40°，∴ ∠BOA ＝50°，∴ ∠ADC ＝12∠BOA ＝25°. 12．【答案】(1+23) m. 【解析】由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形是边长为1 m 的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径.2，故最高点到地面的距离是(1＋23) m.三、解答题13.【答案与解析】CD 与⊙O 相切．理由：如图，连OD ．则∠AOD ＝2∠AED ＝2×45°＝90°． ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥DC ．∴ ∠CDO ＝∠AOD ＝90°， ∴ OD ⊥CD ，∴ CD 与⊙O 相切．14.【答案与解析】证法1:连结DB. ∵AB 是直径, ∴∠ADB=90°. ∴∠BDC=90°. ∵BC 、DE 是切线， ∴BE=ED. ∴∠EBD=∠EDB .∵∠EBD+∠C=90°，且∠EDB+∠EDC=90°， ∴∠EBD+∠C=∠EDB+∠EDC. ∴∠C =∠EDC. ∴ED=EC . ∴BE=EC.证法2：连结OD 、OE. ∵DE 切⊙O 于D ， ∴OD ⊥DE. ∴∠ODE=90°. 同理∠B=90°.∵OB=OD ，且OE=OE ， ∴△ODE ≌△OBE. ∴∠BOE=∠EOD . ∴∠BOE=∠A .∴OE∥AC.∵O是AB中点，∴E是BC中点.∴BE=EC.15.【答案与解析】连OC、OD，∵ C是半圆ACB的中点，∴∠BOC＝90°，又PD切⊙O于D，∴∠PDO＝90．∴∠PDE＝90°-∠ODE，∠PED＝∠CEO＝90°-∠C，∵ OC＝OD，∴∠C＝∠ODE．∴∠PDE＝∠PED，∴ PE＝PD．。