直线与圆基础知识
直线与圆基础知识点+思维导图练习
6、直线方程的几种形式
直线形式
方程形式
已知条件
名称
点斜式
过点 P(x0 , y0 ) ，斜率为 k
适用范围 斜率存在
斜截式
斜率为 k ，在 y 轴上的截距为 b
斜率存在
一般式
A, B 不同时为 0
适用任何直线
两点式 截距式
过点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
x1 x2 , y1 y2
在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 a 、 b 不垂直与坐标轴，
不过原点
30
7、特殊位置的直线方程
（1）若直线垂直于 x 轴，且过点 P(x0 , y0 ) ，则直线方程是
；
（2）若直线垂直于 y 轴，且过点 P(x0 , y0 ) ，则直线方程是
.
8、两条直线的位置关系 两直线方程
l1 : y k1x b1
时，
两圆相离；当
时，两圆外切；当
当
时，两圆内切；当
时，两圆内含.
时，两圆相交；
*17、过圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 外一点 P(x0 , y0 ) 作圆的两条切线，切点分别为 A, B ，则
A, B 所在直线方程为 (x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2 .
外切：d=R+r
外离：d>R+r
例 1、点 A(3, 0) 与点 B(7, 2) 的中点坐标为
.
例 2、已知点 A(2, 1) ，点 B(1, 3) ，则| AB |
.
例 3、求直线 l 经过以下两点的斜率及倾斜角.
（1） A(1, 3), B(1,3 3)
（2） A(2, 2), B(2, 2)
高二数学直线与圆知识点
高二数学直线与圆知识点直线与圆是高中数学中的基础知识，也是解析几何的重要内容之一。
掌握直线与圆的性质和关系，对于理解几何图形的性质、解题以及拓展数学思维都有重要意义。
本文将介绍高二数学中与直线与圆相关的知识点。
一、直线的基本性质1. 直线的定义：直线是由无限多个点构成，且任意两点都在这条直线上。
2. 直线的表示方式：直线可以用两个点表示，也可以用方程表示。
3. 直线的斜率：斜率是直线的重要性质之一，可以用来描述直线的倾斜程度。
直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
二、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离固定的点的轨迹。
定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的表示方式：圆可以用圆心和半径表示。
3. 弧长和扇形面积：圆上的弧长是圆心角所对的弧段的长度，扇形面积是圆心角所对的扇形的面积。
三、直线与圆的关系1. 直线和圆的位置关系：直线可以与圆相切、相离、相交。
相切时，直线只与圆相切于一点；相离时，直线与圆没有公共点；相交时，直线与圆相交于两个点。
2. 切线的性质：切线是与圆相切于一点的直线，切线与半径垂直。
3. 弦的性质：弦是圆上任意两点之间的线段，圆心角等于弦所对的弧的一半。
4. 弦切角的性质：弦切角是弦和切线的夹角，弦切角等于所对弧的圆心角。
四、直线与圆的方程1. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等多种形式表示。
2. 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程是以圆心为原点，半径为r的圆的方程。
五、直线与圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在切线上。
2. 弦切定理：切线与弦所夹角等于所对的弧的圆心角。
3. 弧切定理：切线与弦所夹的圆心角等于所对的弧的一半。
六、直线与圆的相关应用1. 直线与圆的位置关系的应用：可以根据直线与圆的位置关系求出点的坐标、判断线段的长度等。
2. 直线与圆的方程的应用：可以通过直线和圆的方程求解交点的坐标、判断直线与圆是否相交等。
知识讲解_直线、圆的位置关系_(基础)
直线、圆的位置关系【学习目标】1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想. 【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. （2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：2121||l k x x =+-=()()22121214k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦．要点四：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. （2）几何法： 设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d .当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为（0，0），半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为25d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴（2x+1）2+x 2=4，即5x 2+4x-3=0. 判别式Δ=42-4×5×（-3）=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点．【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】解法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，（1+m 2）x 2―2（m 2+2m+2）x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m （3m+4），∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为（x―2）2+（y―1）2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx―y―m―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式1】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．【答案】（1）m <-m >（2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心（3，0）到直线30x my -+=的距离d =2r =．（1）若相交，则d r <2<，所以m <-m >．（2）若相切，则d r =2=，所以m =±（3）若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：切线问题【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 典型例题1】 例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外．法一：设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-,即710kx y k --+=. 因为圆心(0,0)到l 的距离d =,则5d r ==,5=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.解法二:设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-.由221(7),25y k x x y -=-⎧⎨+=⎩可得222(1)2(71)(71)250k x k k x k +--+--=.从而 22224(71)4(1)[(71)25]0k k k k ∆=--+--=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.【总结升华】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 举一反三：【变式1】（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,B ，且圆心C 在直线y =x 上． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l 截圆所得弦长为l 的方程．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或y x =+【解析】（1）AB 的中点坐标3(,2，AB AB 垂直平分线为60y +=，与x ―y =0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过(1,3，∴直线l的方程为(1)y k x-=-，即y kx k=，则圆心（0，0）到直线的距离||kd-=，又圆的半径r=2，截得的弦长为则有22||4k-+=，解得：k=，则直线l的方程为33y x=-+．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y x=．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．类型三：弦长问题例4．直线l经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为l的方程．【答案】x―2y+5=0或2x―y―5=0【解析】法一：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）圆心（0，0）到直线的距离d=，在由弦长的一半、半径和距离d构成的直角三角形中，=，解得12k=或k=2故直线l的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．法二：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）,联立方程225(5)25y k xx y-=-⎧⎨+=⎩，消去y，得（k2+1）x2+10k（1―k）x+25k（k―2）=0，∴Δ=[10k（1―k）]2―4（k2+1）·25k（k―2）＞0，解得k＞0．又12210(1)1k k x x k -+=-+，12225(2)1k k x x k -=+． 由斜率公式，得y 1―y 2=k （x 1―x 2），∴221212||()()AB x x y y =-+-212(1)()k x x =+- 221212(1)[()4k x x x x =++-222222100(1)25(2)(1)445(1)1k k k k k k k ⎡⎤--=+-⋅=⎢⎥++⎣⎦． 两边平方，整理得2k 2―5k+2=0， 解得12k =或k=2，符合题意． 故直线l 的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．【总结升华】 设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为（x―x 0）2+（y―y 0）2=r 2，求弦长的方法有以下两种：（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC|2=r 2―d 2．则弦长|AB|=2|BC|，即22||2AB r d =-．（2）代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r ++=⎧⎨-+-=⎩， 消元后可得关于x 1+x 2，x 1·x 2或y 1+y 2，y 1·y 2的关系式，则221212||(1)[()4AB k x x x x =++- 21212211[()4](0)y y y y k k ⎛⎫=++-≠ ⎪⎝⎭举一反三：【变式1】求经过点P （6，―4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为62的直线的方程． 【答案】x+y―2=0或7x+17y+26=0【解析】如图所示，||62AB =，||25OA =，作OC ⊥AB 于C ．在Rt △OAC 中，2||20(32)2OC =-=．设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y+4=k （x―6），即kx―y―6k―4=0．又圆到直线的距离为2，∴221k =+，即17k 2+24k+7=0，∴k 1=―1，2717k =-． ∴所求直线方程为x+y―2=0或7x+17y+26=0． 类型四：圆与圆的位置关系例5．已知圆C 1：x 2+y 2―2mx+4y+m 2―5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x―2my+m 2―3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？【思路点拨】利用几何法或代数法都可以判断． 【答案】（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m ＜―1． 【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，配方得 C 1：（x―m ）2+（y+2）2=9，C 2：（x+1）2+（y―m ）2=4．（1）如果圆C 1与圆C 232=+，即 （m+1）2+（m+2）2=25，m 2+3m―10=0， 解得m=―5或m=2．（2）如果圆C 1与圆C 232<-，即（m+1）2+（m+2）2＜1，m 2+3m+2＜0，解得―2＜m ＜―1． 故（1）当m=―5或m=2时，圆C 1与圆C 2相外切；（2）当―2＜m ＜―1时，圆C 1与圆C 2内含． 【总结升华】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与R+r 、d 与R―r 的大小关系来判定即可．举一反三：【变式1】当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2―2ax+4y+（a 2―5）=0和圆C 2：x 2+y 2+2x―2ay+（a 2―3）=0相交．【答案】当―5＜a ＜―2或―1＜a ＜2时，圆C 1与圆C 2相交【变式2】已知圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，圆2C ：2242110x y x y +-+-=，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．【思路点拨】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离，用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长．【答案】公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245【解析】两圆的方程作差得6x ―8y +12=0，即3x ―4y +6=0， ∵圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，故其圆心为（―1，3），r =3 圆到弦所在直线的距离为|3126|955d --+==125= 故弦长为245综上，公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245． 类型五：最值问题例6．已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2―4x+1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y―x 的最小值． 【思路点拨】将x 2+y 2―4x+1=0、yx、y―x 赋予几何意义，利用数形结合来解决．【答案】（1（2）2【解析】将实数x 、y 看作点P （x ，y ）的坐标，满足x 2+y 2―4x+1=0的点P （x ，y ）组成的图形是以M （2，0）为圆心，半径为3的圆，如图所示．（1）设00y y k x x -==-，即yx是圆上的点P 与原点O 连线的斜率．由图知，直线y=kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值． 此时有OP ⊥PM ，||3PM =，|OM|=2，∴∠POM=60° 此时tan 603k =︒=，∴yx的最大值为3． （2）设y―x=b ，则y=x+b ，b 是直线y=x+b 在y 轴上截距．由图知，当直线y=x+b 和圆M 在第四象限相切时，b （b ＜0）取最小值，此时有32=，解得62b =--， ∴y―x 的最小值是62--．【总结升华】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y 轴上的截距等．举一反三：【变式1】已知点P （x ，y ）在圆22(2)3x y ++=上，求yx的最小值． 【答案】3- 【解析】设yk x=，则k 的几何意义为圆上的点与原点的斜率， 则由图象可知当直线y =kx 与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时k ＜0， 则圆心（－2，0）到直线的距离231d k==+，即23k =，解得3k =-， 故yx的最小值为3-． 【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 例4】【变式2】已知实数x ，y 满足222-230x y x y ++=，求（1）x 2+y 2的最大值；（2）x+y 的最小值．【答案】（1）16 （2）3221--【解析】22222-230(1)(-3)4x y x y x y ++=++=可以化为于是（x ，y ）可以看作是以(-1,3)为圆心，2为半径的圆上的点． 如图（1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，22x y2r=4，所以x2+y2的最大值为16．（2）解法同例6（2）．。
直线与圆的位置关系教案
直线与圆的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆的位置关系，掌握相关概念。
2. 学会利用直线与圆的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 直线与圆的位置关系的判定。
2. 直线与圆的位置关系的应用。
教学难点：1. 理解并掌握直线与圆的位置关系的判定条件。
2. 解决实际问题时，如何正确运用直线与圆的位置关系。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 直线与圆的位置关系的相关例题和练习题。
教学过程：第一章：直线与圆的基本概念1.1 直线的定义及性质1.2 圆的定义及性质1.3 直线与圆的位置关系的基本概念第二章：直线与圆的位置关系的判定2.1 直线与圆相交的判定条件2.2 直线与圆相切的判定条件2.3 直线与圆相离的判定条件第三章：直线与圆的位置关系的应用3.1 求圆的方程3.2 求直线的方程3.3 求直线与圆的位置关系第四章：实际问题中的应用4.1 求点到直线的距离4.2 求点到圆心的距离4.3 求直线与圆的交点坐标第五章：综合练习5.1 判断直线与圆的位置关系5.2 求直线与圆的位置关系5.3 解决实际问题教学反思：通过本章的学习，学生应能掌握直线与圆的位置关系的基本概念，判定条件以及应用。
在教学过程中，应注意引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题的训练，使学生巩固所学知识，提高解题能力。
第六章：直线与圆的位置关系的性质6.1 直线与圆相交的性质6.2 直线与圆相切的性质6.3 直线与圆相离的性质本章主要学习直线与圆的位置关系的性质。
学生将学习到在直线与圆相交、相切、相离的情况下，直线和圆的特定性质。
这些性质包括交点的数量、切点的位置、距离的关系等。
教学活动：通过图形和实例，让学生观察和总结直线与圆相交、相切、相离时的性质。
引导学生通过几何推理证明这些性质。
提供练习题，让学生应用这些性质解决具体问题。
教学评估：通过课堂讨论和练习题，评估学生对直线与圆位置关系性质的理解程度。
第2章 直线和圆的方程基础知识点汇总
Ax0 By0 C A2 B2
.
（3）两平行线间的距离公式：
l1 ： Ax By C1 0 与 l2 ： Ax By C2 0 间的距离 d 为：Βιβλιοθήκη d C1 C2 . A2 B2
2.4 圆与方程
1.圆的方程：
⑴标准方程： x a2 y b2 r 2 (其中圆心为 (a, b) ，半径为 r .)
（一）对于直线 l1 : y k1x b1, l2 : y k2 x b2 有：
⑴ l1
// l2
bk11
k2 b2
；
⑵ l1 和 l2 相交 k1 k2 ；
⑶ l1
和 l2
重合
bk11
k2 b2
；
⑷ l1 l2 k1k2 1.
（二）对于直线 l : Ax By C 0 ：
2.直线和圆相交弦长公式： l 2 r 2 d 2 （ d 表示圆心到直线的距离）
3.两圆位置关系： d O1O2
（1）外离： d R r ； （2）外切： d R r ； （3）相交： R r d R r ； （4）内切： d R r （ R r ）； （5）内含： d R r （ R r .
斜率分别为 k1，k2 的两条不重合的直线l1, l2 ，有l1 / /l2 k1 k2 .
斜率分别为 k1，k2 的两条直线 l1, l2 ，有 l1 l2 k1k2 1 .
2.2 直线的方程
1.直线方程：
⑴点斜式： y y0 kx x0 （不能表示斜率不存在的直线）
⑵斜截式： y kx b（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与 y 轴的交点纵坐标（即 y
l1 l2 A1 A2 B1B2 0 .
2.3直线的交点坐标与距离公式
§421 直线与圆的位置关系基础知识过关检测.doc
§4. 2.1直线与圆的位置关系基础知识过关检测姓名_______________ 评价________________________________1.直线与圆有三种位置关系：（1） ____________ 肓线与圆，有两个公共点；（2） ____________ 直线与圆，只有一个公共点；（3） ____________ 直线与圆，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法：（1）代数法：直线与圆的方程联立消去y （或x）得到关于兀（或y）的一元二次方程，此方程的判别式为△，则直线与圆相交O __ ;直线与圆相切O _________ ;直线与圆相离o _________ .（2）几何法:设圆的半径为广，圆心到肓线的距离为〃，则育线与圆相交O _______ ;直线与圆相切<=> _____ ;直线与圆相离O _______ •3.直线3兀+ 4）一5二0与圆x2 + r = 1的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法判断4.育线y/3x-y^m = 0与圆x2-by2-2x-2 = 0相切，则实数加等于（）A. 或一B. - V3 或3丿^C.—或D.—3或 35.圆心坐标为（2,-1）的圆在直线x-y-\ = O上截得的弦长为2血，那么这个圆的方稈为（）A.（兀一2）'+（），+ 1）'=4B.（兀_2）'+（y + l）2=2C. （x-2）2+（y + l）2 =8D.（兀一2）2+（）' +1），= 166.在下列直线屮，是圆x2 + y2+2V3x-2y + 3 = 0的切线的是（）A. x = 0B. y = 0C. x = yD. x = -yrr7.2x2 + 2y2 = 1直线兀sin&+y-l = O（如专+ SKZ）的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不能确定&已知直线/:兀―》+ 4 = 0与EUC:（x-l）2+（y-l）2=2,则C上备点到/的距离的最大值与最小值Z差为______ .9.设直线2兀+ 3y + l=0和圆F+ 2一2兀一3 = 0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线的方程是 ______能力提升1.设〃2〉0,则直线V2（x+y） + l + /n= 0与圆x2 + y2=m的位置关系为（）A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切2.已知M（Xo，yo）是圆疋+才=r2（r >0））内异于圆心的一点，则直线= r2与此圆（）A.相切B.相交C.相离D申交或相切3.已知向量历=（2cosa y2sina）y n =（3cos0,3sin0丿，若加与刃的夹角为60°,则直线xcosG — y sin a + * = 0 与圆（x - cos0尸 + （y + sin ^）2 =-的位置关系是（）/ 2A.相交但不过圆心B.相交过圆心C.相切D.相离4.已知圆（X —3尸+ （y + 5）2 =36和点A（2,2）,B（-1,-2）,若点C在圆上且SABC的面积为丄，则满足条件的点C的个数是（）A. 1B.2C.3D.4x = 2 —t5.氏线：a为参数）被圆x2 + X=4截得的弦长为 ________________ .y = 一1 +—/I* 26.已知圆M:（x + cos&）「+（y — sin&）「= l,直线l\y = kx,下面四个命题：%1对任意实数R与&,育线/和圜M相切；%1对任意实数R与&,肓线/和圆M有公共点；%1对任意实数&,必存在实数使得直线2与和圆M相切；%1对任意实数必存在实数&,使得直线/与和圆M相切；其屮真命题的代号是（写出所有真命题的代号）7.已知圆C :（X —3）2+0 + 5）2 =兀和直线/：4x-3y-2 = 0,（1）若圆C上有且只有4个点到直线/的的距离等于1,求半径厂的取值范伟h（2）若圆C上有且只有：3个点到直线/的的距离等于1,求半径厂的収值范围；（3）若圆C上有且只有2个点到直线/的的距离等于1,求半径厂的取值范I札&自点A（-3,3）发出的光线Z射到兀轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆兀2 +才_心_令+7 = 0相切,求光线I所在直线的方程.§4. 2.1直线与圆的位置关系基础知识过关检测姓名_______________ 评价________________________________1.直线与圆有三种位置关系：（1）____________ 肓线与圆，有两个公共点；（2）____________ 直线与圆，只有一个公共点；（3）____________ 直线与圆，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法：（1）代数法：直线与圆的方程联立消去y （或x）得到关于兀（或y）的一元二次方程，此方程的判别式为△，则直线与圆相交O __ ;直线与圆相切<=> _______ ;直线与圆相离O _________ •（2）几何法:设圆的半径为广，圆心到肓线的距离为d,则育线与圆相交O ________ ;直线与圆相切u> ______ ;直线与圆相离O ________ •3.肓线3x + 4y-5 = 0与圆x2 + y2 = 1的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法判断4.肓线73x-y + m = 0与圆x2 + y2-2x-2 = 0相切，则实数加等于（）A. 或一B. — V3 或3丿^C. — 3-\/3 或D. — 3-\/3 或：3丁^【解析】圆心为（1,0）,半径为VL '卞十应、= g或-3的25.圆心坐标为（2,-1）的圆在直线x-y-l=0上截得的弦长为2“，那么这个圆的方程为（）A. （x-2）2+（y + l）2 =4B.（兀_2『+（y + l『=2C.（兀一2）'+（歹 + 1）2 =8D. （x-2）2+（y + l）2 = 166.在下列直线屮，是圆x2 + y2+2V3x-2y + 3 = 0的切线的是（）A. x = 0B. y = 0C・x = y D・x - -y解析B.圆心为（-73,1），半径为1,切线为y二07.2x2 + 2y2 = 1与直线xsin 0 + y - 1 = 0（& H兰+ 展Z）的位置关系是（）2A.相离B.相切C.相交D.不能确定1 V2解析A.圆心到直线的距离为〃 =/> —= r,言线与鬪相离Jsii?&+1 28.已知肓线/:兀一>，+ 4二0与®C:（x-l）2+（y-l）2=2,则C上各点到Z的距离的最大值与最小值之差为______解析：2^2 ,距离的最大值与授小值Z碧为2厂9.设宜线2x + 3y + l = 0和圖疋+）討一2兀一3 = 0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线的方程是_______能力提升1. 设m>0,则育线血(兀+ y) + l +加二0与圆F +于二加的位置关系为()A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切 解析:圆心到肓线的距离为(仁旦，圆半径为J 万. 2*/ d — r= — — 4m - — (/77—2 V AH +1) =— ( Vm —1) 二0, 2 2 2・・・育线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C【名师指引】判断岚线与圆的位置关系的两种方法(代数法、儿何法)屮，儿何法更简便 2. 已知附(兀0，)5)是圆F + y2 = r 1 2(r >0))内异于圆心的一点，则直线x o x + y Q y = r 2与此圆() A.相切 B.相交 C.相离 D.相交或相切解析：圆心0 (0, 0)到玄线x^y^r 的距离为4=・g+朮 •: P( XQ ,为)在圆内，・；Jx ： + y ： 5则有力〃，故胃线和圆相离.3. 已知向量m=(2cosa f 2sina)f n =(3cos/3,3sin/3)f 若加与力的夹角为00 ,则肓线xcos6K — y sin ex, H — = 0与圆(x — cos /3)2 + (y + sin (3)~ =—的位置关系是( ) 2A.相交但不过圆心B.相交过圆心C.和切D.相离 ■ ■ » —♦解析 D. "一 = cos 60° => cos(a -/?) = — ,I zn I • I zz I 2〃2 = 4,所以圆(X - 3)2 + ()，+ 5)2 = 36与直线/1相切与肓线12相交，满足条件的点C 的个数是3 1 i py圆心(cos0,-sin 0)至ij 直线 xcosa- ysina + — = 0 的距离为 d =1 cos(a_0) + _ 1= I > ——=r ,故 直线与圆相离4. 已知圆(x —3尸+ (y + 5)2 =36和点A (2,2),B(-l,-2),若点C 在圆上且\ABC 的面积为扌，则满 足条件的点C 的个数是()A. 1B.2C. 3D. 4解析：3 由A4BC 的面积为|知，点C 到直线初的距离为I, 直线的方程为4x-3y-2 = 0,与肓线AB 平行且距离为1的盲线为厶：4x —3y + 3 = 0和l 2： 4x- 3y-7 = 0,圆心C 到直线厶的的距离为^=6,圆心C 到直线心的的距离为5.直线_________________________________________________ ；(f为参数)被圆x2 + /=4截得的弦长为y = 一1 + —/ t 2【解析】V14.直线为x + y —1=0,圆心到直线的距离d = 了亍=,弦长的一半为(2? — (-^-)2—,得弦长为価6.已知圆M:(_r + cos0)'+(y — sin&)'=l,直线l\y = kx,下面四个命题:%1对任意实数£与&,直线/和圆M相切；%1对任意实数£与&，直线2和圆M有公共点；%1对任意实数&,必存在实数使得直线？与和圆M相切；%1对任意实数R，必存在实数0,使得肓线/与和圆M相切；其屮真命题的代号是 _____________ (写出所有真命题的代号)解析：②④ 圆心坐标为(—cosO, sinO)| —kcos^-sin^l_ Vl+k^lsin( &+(p)\d= 41+^Vl+F =sin( 0+0)1517.已知圆C:(x-3)2 + (y + 5)2=r2和直线Z:4x-3y-2 = 0,(1)若圆C上有且只有4个点到直线Z的的距离等于1,求半径r的取值范围;(2)若圆C上有且只有：3个点到直线/的的距离等于1,求半径广的取值范I韦h(3)若圆C上有且只有2个点到直线/的的距离等于1,求半径厂的取值范围.【解题思路】解法1采用转化为育线与圆的交点个数来解决；解法2从劣弧的点到直线1的最大距离作为观察点入手解法1:与直线/: 4兀一3)，- 2 = 0平行且距离为1的直线为厶：4兀一3y + 3 = 0和/2:4兀一3y _ 7 = 0 ,圆心C到直线A的的距离为£ = 6,圆心C到直线％的的距离为心=4,(1)圆C上有且只有4个点到直线/的的距离等于l<=>r> 4且厂>6/. r>6(2)圆C上有且只有3个点到直线1的的距离等于1 o厂〉4且r = 6.\ r = 6(3)圆C上有且只有2个点到直线1的的距离等于Id 4且r<6/.4<r<6解法2：设圆心C到直线/的距离为〃，则d=5(1)圆C上有且只有4个点到肓线1的的距离等于1 o厂一〃〉1・•・厂> 6,(2)圆C上有且只有3个点到直线1的的距离等于1 o厂一〃 =1 ••・厂=6 ,(3)圆C上有且只有2个点到直线1的的距离等于1 o -1 v r - 〃v 1 ••・4。
2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块14-直线与圆
(一) 直线与直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率锐角直角钝角零角▪直线的倾斜角图形○ 温馨提示1. 直线都存在唯一的倾斜角, 但不一定存在斜率, 倾斜角为90∘的直线没有斜率.2. 直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量, 斜率侧重于代数角度, 倾斜角侧重于几何角度.3. 由直线的斜率k的范围求倾斜角α的范围时,要注意α的取值范围,即0∘≤α< 90∘或90∘<α<180∘ ,此时k=tanα的图象是不连续的.模块十四：直线与圆的方程1 直线的倾斜角 强调“两个方向”: x 轴的正向，直线向上的 1. 直线的倾斜角的定义 方向; 直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.当直线 l 与 x 轴相交时,我们以 x 轴为基准, x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 和 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0∘ . 直线的倾斜角 α 的取值 范围为 0∘≤α<180∘ . 2. 直线的倾斜角的意义1) 直线的倾斜角体现了直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.2) 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有一 个确定的倾斜角. 3) 如图所示, 倾斜角相同, 未必表示同一条直线. 2 直线的斜率 一条直线有唯一的倾斜角, 但一个倾斜 1.直线的斜率 角可以对应无数条直线.倾斜角不是 90∘ 的直线,它的倾斜角 α 的正切值叫做这条直 线的斜率. 斜率通常用 k 表示,即 k =tanα,0∘≤α<180∘ ,且 α 900. 当倾斜角 α=90∘ 时，直线的斜率不存在2. 直线的斜率公式 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)k =(y 2−y 1x 2−x 1) 或 k =(y 1−y 2x 1−x 2) (x 1≠x 2) 的直线的斜率公式: 3 斜率与倾斜角的关系注: “/”表示“逐渐增大”. ○ 直线的方向向量图示P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是直线的方 向向量.若直线 l 1,l 2 重合，仍然有 k 1 =‰，这是利用斜率证明三 点共线的方法当 l 1,l 2 的斜率都不存在时, 两直线也平行。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。
想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。
这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d ＜ r，则直线与圆相交。
比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。
若 d ＝ r，则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。
若 d ＞ r，则直线与圆相离。
比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。
若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。
若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解(基础)
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm ，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4 cm ；(2)5 cm ；(3)6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4 cm 时，∵d＜r ，∴点P 在圆内； （2）当d=5 cm 时，∵d=r，∴点P 在圆上； （3）当d=6 cm 时，∵d＞r ，∴点P 在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较. 举一反三：【变式】点A 在以O 为圆心，3 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是________. 【答案】0≤d＜3.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】过C 点作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ABC 中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB ·CD=AC ·BC ，∴AC BC 34CD===2.4AB 5∙⨯(cm)， （1）当r=2cm 时，CD ＞r ，∴圆C 与AB 相离； （2）当r=2.4cm 时，CD=r ，∴圆C 与AB 相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切。
直线圆的知识点总结
直线圆的知识点总结直线圆是指平面上一条直线和一个圆相交的情况。
在几何学中，直线和圆是两种基本的几何图形，它们的相交情况具有一定的规律和特点。
本文将从直线圆的性质、定理和应用等方面进行总结。
一、直线圆的性质1. 相交情况直线和圆有三种相交的情况：相离、相切和相交。
相离是指直线和圆没有公共点；相切是指直线和圆有且只有一个公共点；相交是指直线和圆有两个不同的公共点。
2. 相交点的位置关系当直线和圆相交时，直线上的两个交点分布在圆的两侧。
如果直线与圆的圆心相交，那么直线必定是圆的直径；如果直线与圆的中点相交，那么直线必定是圆的切线。
3. 直线圆的夹角直线圆的夹角是指直线和圆的切点之间的夹角。
根据几何知识，直线与切线的夹角等于切点到圆心的距离与切线长度的比值。
这一性质在数学教学中有很多应用。
4. 直线圆的长度关系直线和圆的长度关系也是研究的重点之一。
例如，如果一条直线与一个圆相交，那么这条直线的长度可以通过圆的半径和直线与圆心的距离来表示。
5. 直线圆的对称性直线圆具有一定的对称性。
当直线与圆相交时，直线和圆的交点具有对称性。
通过对称性，可以研究出一些相交点的性质和定理。
二、直线圆的定理1. 切线定理切线定理是研究直线与圆相切的性质和定理。
根据切线的定义和性质，可以得出一些切线定理，如切线与半径的垂直关系、一条直线同时是两个圆的切线等。
2. 弦定理弦定理是研究直线与圆相交的性质和定理。
根据弦的定义和性质，可以得出一些弦定理，如弦的长度与角度的关系、弦的对称性等。
3. 直径定理直径定理是研究直线与圆直径的性质和定理。
根据直径的定义和性质，可以得出一些直径定理，如直径的长度关系、直径的对称性等。
4. 圆心角定理圆心角定理是研究直线与圆心角的性质和定理。
根据圆心角的定义和性质，可以得出一些圆心角定理，如圆心角与弦的关系、圆心角的对称性等。
5. 切割定理切割定理是研究直线如何切割圆的性质和定理。
根据切割的定义和性质，可以得出一些切割定理，如切线如何切割圆、切线截线定理等。
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
直线与圆知识点总结
直线与圆1、直线的倾斜角与斜率： tan k α=，当α∈[0°,90°）时，斜率k ∈[0，+∞）； 当α∈（90°,180°）时，斜率k ∈（－∞，0）。
过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线斜率公式：2121y y k x x -=-. 2、直线的五种方程：⑴点斜式：00()y y k x x -=- (直线l 过点00(,)P x y ，且斜率为k )． ⑵斜截式：y kx b =+(k 为直线的斜率，b 为直线l 在y 轴上的截距⑶两点式：112121y y x x y y x x --=-- (12y y ≠且12x x ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y ⑷截距式：1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，且0a b ≠、)⑸一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3、两条直线平行和垂直的等价关系：(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+， 则①121212||,l l k k b b ⇔=≠②(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2①11112122112212220A B C l ||l A B A B C C A B C ⇔=≠-=≠或且B B ； ②12l l ⊥4、两种常用直线系方程：⑴与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（C ≠⑵与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（λ5、两点间距离公式：12P P ｜111(,P x y6、点到直线的距离公式：d =(点00(,)P x y ，直线l ：Ax+7、两条平行直线间的距离公式：d =(直线1l ：10Ax By C ++=，2l 8、圆的两种方程：⑴圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=（圆心为(,)a b⑵圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++= (2240D E F +->).（圆心为(,)22D E --，半径为r =9、点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若d =d r >⇔点P 在圆外；d r =⇔点P 在圆上；d r <⇔点P 在圆内.10、直线与圆的三种位置关系：直线l ：0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系判断的两种方法: ⑴设圆心(,)a b 到直线l 的距离22BA C Bb Aa d +++=，则d r d r d r >⇔=⇔<⇔相离；相切；相交。
高一直线与圆的知识点总结
高一直线与圆的知识点总结直线和圆是几何学中的基本概念和重要对象，它们在高一数学课程中占据了重要的位置。
本文将对高一直线与圆的相关知识点进行总结，包括直线的性质、直线与圆的关系以及解题技巧等内容。
一、直线的性质直线是最简单的几何对象之一，具有以下性质：1. 直线没有端点，可以无限延伸。
2. 直线上的两点可以确定一条直线。
3. 直线上任意三点不共线。
4. 直线可以垂直于另一条直线。
垂直直线之间的夹角为90度。
5. 直线可以平行于另一条直线。
平行直线之间的夹角为零度。
二、圆的性质圆是由平面上所有与圆心的距离相等的点组成的集合，具有以下性质：1. 圆心到圆上任意一点的距离相等。
2. 圆上任意两点可确定圆心的连线，称为弦。
3. 圆心到圆弧的距离称为半径，全等圆的半径相等。
4. 圆上的弦垂直于弦所对应的弧。
5. 圆的弧度表示圆弧的长度与半径的比值。
一个圆的弧度为2π。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆相切：直线与圆仅有一个公共点。
2. 直线与圆相交：直线与圆有两个不重合的交点。
3. 直线与圆相离：直线与圆没有公共点。
4. 切线的性质：与圆相切的直线称为切线，切线与以切点为圆心的圆相切于切点。
四、解题技巧在解决与直线和圆相关的问题时，以下是一些常用的解题技巧：1. 利用直线和圆的性质进行推导和证明。
2. 利用圆的切线性质求解问题。
3. 利用角的概念和相关定理进行证明和计算。
4. 利用勾股定理和相似三角形的性质进行计算和推理。
5. 运用代数的工具，如坐标系和方程，进行解题。
五、实例分析为了更好地理解直线与圆的知识点，以下是一个示例问题的分析：问题：已知直线AB与圆O相交于点C，连接CO并延长至点D，若∠CAB=60度，求证∠COD=120度。
解析：根据题目信息，我们可以得知∠CAB为60度，即直线AB与圆O相交于点C的切线。
我们希望证明∠COD为120度。
首先，连接OA和OD，因为OC是圆O的半径，所以OC=OD。
直线与圆知识归纳
直线与圆知识归纳直线和圆是几何中常见的基本元素，它们之间的关系和性质对于几何问题的解决至关重要。
在本文中，我们将对直线与圆的基本概念、关系以及一些重要的定理进行归纳总结。
一、直线的基本知识直线是几何中最简单的图形，它没有起点和终点，可以无限延伸。
直线由无数个点组成，我们可以通过两个点确定一条直线，这两个点称为直线上的两个端点。
直线不同于线段，线段是直线的一部分，它有起点和终点，长度是有限的。
二、圆的基本知识圆是一个平面图形，由一条曲线组成，这条曲线上的任意两点到圆心的距离都相等。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到任意一点的距离。
一个圆由圆心和半径唯一确定。
圆内的所有点到圆心的距离都小于半径，而到圆心的距离等于半径的点在圆上。
三、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系分为三种情况：相离、相切和相交。
2. 当直线与圆没有交点时，称直线和圆相离。
当直线与圆有且仅有一个交点时，称直线与圆相切。
当直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。
四、直线与圆的性质1. 切线的性质：- 直线与圆只有一个交点时，这条直线称为圆的切线。
- 切线和半径垂直。
2. 弦的性质：- 直线与圆有两个交点时，这条直线称为圆的弦。
- 弦的中点与圆心连线垂直于弦。
3. 弧的性质：- 弦所对的弧是两个相交圆内部的部分，它们所对的弧长相等。
五、直线与圆的重要定理1. 切线定理：切线与半径的关系- 切线与半径的夹角等于该切线所对的弧所对圆心角的一半。
2. 切割定理：一条直线同时切割两个相交圆的两个切点，这两个切点的线段乘积等于这条直线与两个相交圆的切点之间的线段乘积。
3. 集中定理：多条切线共点- 若两个相离的圆内切于某一点P，那么连接圆心的线段与这个点P以及切点的两条切线共点。
4. 同位角定理：切线与弦的夹角- 同位角相等：若一条切线与一条弦相交，那么切线与弦的夹角等于这两个弧所对的圆心角的一半。
总结：直线与圆的知识是几何学的基础，掌握它们的基本概念、位置关系、性质和定理，可以帮助我们解决各类几何问题，提升几何思维能力。
直线与圆的基本知识点总结
人教A 版高中数学必修二第三、四章直线与圆部分基础知识1. 两个基本量倾斜角：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时， 规定α= 0. 易见直线倾斜角的取值范围是：[0,π)斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率。
斜率常用小写字母k 表示，也就是 k = tanα =y 1-y 2x 1-x 2 = -AB= f’(x 0). 特别的，（1）当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = t an 0°=0；（2）当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.2. 几个常见角及其取值范围：（1）直线的倾斜角α的取值范围是[0,π)； （2）两条直线的夹角α的取值范围是[0, π2]；（3）两个平面的夹角α的取值范围是[0, π2]；（4）两个半平面所成角（二面角）的平面角α的取值范围是[0,π] （5）直线与平面所成的角α的取值范围是[0, π2]（6）两个向量的夹角α的取值范围是[0,π] （7）两异面直线所成角α的取值范围是[0,π2) 3. 直线的五种方程（1）点斜式： 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．不能表示斜率不存在的直线. （2）斜截式： y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).不能表示斜率不存在的直线.（3）两点式： 112121y y x x y y x x --=--(两定点坐标分别是：111(,)P x y 、222(,)P x y (其中12x x ≠且12y y ≠)).不能表示平行于坐标轴的直线. （4）截距式： 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)不能表示平行于坐标轴和过坐标原点的直线.（5）一般式： 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 4. 两条不同直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, 则：①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠或A 1B 2-A 2B 1=0且A 1C 2≠A 2C 1；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 5. 夹角公式（现已不做要求） (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(其中1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).特别的，直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π，不适用以上公式. 6. 到角公式（现已不做要求）若直线1l 到直线2l 的角（有方向性）为α，则： (1)2121tan 1k k k k α-=+.(其中111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)，(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(其中1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).特别的，直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π，不适用上面结论. 7．四种常用的直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程也可写为：00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． 另外，与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0 (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 8. 点到直线的距离：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).两条平行直线Ax +By +C 1=0与 Ax +By +C 2=0之间的距离是：2221B A C C d +-=9. 圆的四种方程（1）圆的标准方程： 222()()x a y b r -+-=.（r >0）（2）圆的一般方程： 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).更一般的，方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0②B =0③D 2+E 2－4AF >0； （3）圆的参数方程： cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径方程： 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).10. 圆系方程(1)过两点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中ax +by +c =0是直线AB 的方程,λ是待定系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定系数．特别的，如果圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .（两圆方程直接相减即得） 11. 点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 12. 直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:（其中22BA C Bb Aa d +++=）0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .13. 圆与圆的位置关系设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<≤21r r d 0.14. 圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是：0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 在圆外时, 该方程0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．则①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±. 15. 圆中的几个重要定理和结论（1）相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两条弦AB 和CD ，则P A ·PB =PC ·PD .（2）（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过P 任作圆的两条割(切)线P AB ，PCD ，则P A ·PB =PC ·PD . （3）圆幂定理：P 是圆O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P 任作一直线交圆O 于A ，B 两点（A ，B 两点可以重合，也可以之一和P 点重合），圆O 的半径为r ，则：P A ·PB =|PO 2-r 2|. 当P 点在圆内的时候，PO 2-r 2<0，此时圆幂定理即为相交弦定理；当P 点在圆上的时候，PO 2-r 2=0，此时圆幂定理即为直径所对圆周角为直角；当P 点在圆外的时候，PO 2-r 2>0，此时圆幂定理为切割线定理，割线定理或切线长定理.（4）从平面上任一点A 作一圆周的任一割线，从A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为A 点对于这个圆周的幂。
直线和圆的参数方程重要知识
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
重点辅导
1
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
M• 450 P x
O
的坐标为x, y,根据条件知
台风中心M移动形成的直线
图2 15
l 的方程为
x 300 40t cos1350 ,
y 40t sin1350 ,
t 为参数,t 0
x 300 20 2t ,
即 y 20 2t ,
t 为参数,t 0
重点辅导
18
当点M 300 20 2t,20 2t 在圆O内或在圆O上时,有
t为参数
②
思考 由M 0M te,你能得到直线l的参数 方 程②中 参 数t 的 几 何 意 义 吗?
重点辅导
4
因为e cos,sin ,所以| e | 1.由 M0M
te,得到| M0M || t | .所以,直线上的动点M 到定点M0的距离,等于② 中参数t 的绝对值.
当 0 时,sin 0,所以,直线l的单位
(2)设l与圆 x 2 y2 ＝4相交于两点A，B，求点P
到A，B两点的距离之积．
解：(1)直线的参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
重点辅导
7
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． 解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离， 所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以 直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。
基础教育初中九年级数学直线与圆知识点汇总
基础教育初中九年级数学直线与圆知识点汇总一、数学直线与圆知识点①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙O相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的距离)平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;二、数学有理数知识点(1)定义：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(2)数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(3)相反数：相反数是一个数学术语，指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。
(4)绝对值：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。
(5)有理数的加减法同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。
异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(6)有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，积为0. 例：0×1=0(7)有理数的除法除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
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（一)直线
1、 直线的斜率与倾斜角
（1)斜率：两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=
≠- (２)直线的倾斜角范围:)0,180⎡⎣
（3)斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠
注:(1)每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率;
（2)特别地,倾斜角为0的直线斜率为0;倾斜角为90的直线斜率不存在。
2、直线方程
(１）点斜式:00()y y k x x -=-;适用于斜率存在的直线
（2）斜截式:y kx b =+;适用于斜率存在的直线
注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离,截距可正,可负，可为零
（3)两点式：1112122121
(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 (４)截距式：1x y a b
+=;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=(,A B 不同时为0）
（６）特殊直线方程
①斜率不存在的直线（与y 轴垂直):0x x =；特别地,y 轴:0x =
②斜率为0的直线(与x 轴垂直）：0y y =;特别地，x 轴:0y =
③在两轴上截距相等的直线：(Ⅰ）y x b =-+；(Ⅱ）y kx =
在两轴上截距相反的直线:(Ⅰ）y x b =+;（Ⅱ)y kx =
在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ）y x b =+;(Ⅲ)y kx =
3、平面上两直线的位置关系及判断方法
（１）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+
①平行:12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠）
②重合:12k k =且12b b =
③相交：12k k ≠ 特别地，垂直:121k k =-
（２）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=
①平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠（验证)
②重合:1221A B A B =且1221A C A C =
③相交：1221A B A B ≠ 特别地，垂直：12120A A B B +=
（３)与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为:0Ax By m ++=
与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+=
4、其他公式
（1)平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y ,
则AB =（２)线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ,则,A B 中点的坐标为1212(,)22
x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33
x x x y y y ++++ (4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式
:d =
（５）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离
:d =（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一）
（6)点A 关于点P 的对称点B 的求法:点P 为,A B 中点
(7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法:利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。
(二）、圆
1、圆的方程
(1)圆的标准方程:222
()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径
（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->,其中圆心为(,)22D E --
(只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式） 注意：已知圆上两点求圆方程时,运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。
2、直线与圆的位置关系
（1)直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l 的距
离d =
①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0∆>
②直线与圆相切,则d r =或方程组的0∆=
③直线与圆相离,则d r >或方程组的0∆<
(２)直线与圆相交时，半径r ,圆心到弦的距离d ，弦长l ,
满足：l =（3）直线与圆相切时，
①切线的求法:
（Ⅰ)已知切点（圆上的点）求切线，有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直； （Ⅱ)已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线,设切线方程为y kx b =+,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值;
(Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在,设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值;若切线的斜率不存在,则切线方程为0x x =,验证圆心到切线距离是否等于半径。
②由圆外点00(,)P x y 向圆222
:()()C x a y b r -+-=引切线,记,P C 两点的距离为d ,则切
线长l =(4)直线与圆相离时,圆心到直线距离记为d ，则圆上点到直线的最近距离为d r -，最远距离为d r +
3、两圆的位置关系
圆2221111:()()C x a y b r -+-=，圆2222222:()()C x a y b r -+-=,两圆圆心距
离d =（1）两圆相离，则12d r r >+(2）两圆相外切,则12d r r =+(３)两圆相交，则1212r r d r r -<<+
注:圆221111:0C x y D x E y F ++++=，圆222222:0C x y D x E y F ++++=相交,则两圆相交弦方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=
（4)两圆相内切,则12d r r =-(５)两圆内含,则120d r r ≤<-
d 时，两圆为同心圆特别地，当0。