同构对线性空间和欧几里得空间的作用及推广
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Ｋｅ ｒ ｓ ｌ ｅ ｒ ｓ ａ ｅ；Ｅｕ ｌ ｅ ｐ ｃ ；ｉｏ ｒ ｈ ｃ ｍａ ｙ ｗｏ ｄ ： ｎ ａ ｐ ｃ ｉ ｃｉ ａ ｓ ａ ｅ ｓ ｍｏ ｉ ｐ；ｓ ｍｍｅ ｅ ｔａ ｓ ｏｍａｉｎ ｄｎ ｐ ｙ ￣ Ｍ ｒｎ ｆ ｒ ｔｏ
０ 引言
线性空 间和欧几里 得空 间（ 称 欧 氏空 间） 简
映射 来研 究欧氏空间 中线性 变换 的作 用 ，并 着重对对 称变换进行 了分析 。
关 键 词 ：线 性 空 间 ；欧 几 里 得 空 间 ； 同构 映 射 ；对 称 变换 中 图分 类 号 ：０ ７ ． ６ １ ５２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１７ ６ ３—６ ２ （０ ０ ３— ０ １ ３ １５ ２ １ ）０ ０ ６ 一ｏ
Ｔｈｅ Ｒｏ ｅ ａ ｄ Ｅｘ ｅ ｉ ｎ ｏ ｓ ｍ ｏ ｐ ｃ Ｍ ａ ｌ ｎ ｔ ｎｓｏ ｆ Ｉ ｏ ｒ ｈｉ ｐ
ｉ ｎｅ ｒ Ｓ ｃ ｎｄ Ｅｕｃｉ ｅ ｎ Ｓ ｃ ｎ Ｌｉ ａ ｐａ ｅ ａ ｌｄ ａ ｐａ ｅ
ＣＡ００ ｅ ．２ １
同构 对 线 性 空 间 和欧 几 里 得 空 间的 作 用 及 推 广
曲 、卓 日 言 ｌ
（ 内蒙古财经学院 统计数学学院 ， 内蒙古 呼和浩特 ００７ ） １０ ０
摘
要 ：讨 论 了 同构 映 射 对 线 性 空 间及 欧 氏 空 间 的 作 用 ， 同 构 的 线 性 空 间及 欧 氏 空 间 之 间 的 性 质 ；通 过 同 构
第 ５卷
第 ３期
贵 阳学院 学报 （ 自然科 学 版 ） （ 刊 ） 季
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＧＵＩ ＹＡＮＧ ＣＯＵ ＧＥ Ｅ
Ｖ １ ５ Ｎｏ ３ ０ ＿ ． ．
２１ ０ ０年 ９月
Ｎ ｔｒ ｃｅｃ ｓ（ ｕｒ ｒ ） ａ ａ Ｓ ｉ ｅ Ｑ ａｔ ｌ ｕｌ ｎ ｅｙ
（ ｏ ｅｅｏ ｔｔｔ ｓ ｎ ｔｅ ａｉ ， ｎ ｅ —Ｍ ｎ ｏ ａ ｉ ｎｅａｄＥ ｏｏ ｃ ｏｅｅ Ｈ ｈ ｏ Ｉｎ ｒ ｎｏｉ ０ ０７ ， ｈｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ａｓ ｃ ｄＭａｈｍ ｔ ｓ Ｉｎ ｒ ｏ ｇｌ ｎ ｃ ｎ ｃｎｍｉ Ｃｌ ｇ ， ｏｈｔ ｎ ｅ ｇｌ １０ ０ Ｃ ｉ ｌ Ｓ ｉｉ ａ ｃ ｉＦ ａ ｓ Ｍｏ ａ ａ
ｔ ｎ ｉ ｕ ｌ ｅ ｎ ｓ ａ ｅ ｉ ｅ ｐ ｏｅ ｄ ｅ ｈ ｓｉ ｕ ｎ ｔ ｅ ｓ ｍｍｅ ｆ ￣ ｔａ ｓｏ ｍａｉｎ ｉ ｎ Ｅ ｃｉ ａ ｐ ｃ ｓ ｘ ｌ ｒｄ ａ ｍｐ ￣ｉ ｓ ｐ ｔｏ ｙ ｏ ｄ ｎ ｈ ｔ ｃ ｒｎ ｆ ｒ ｔ ． ｉ ｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔａ ｔ ｌ ｉ ｕ ｓ ｓｔ ｅ ｒｌ ｆｉ ｍｏｐ ｉ ｐ ｉ ｎ ａ ｐ ｃ ｎ ｃ ｄ ａ ｐ ｃ ｎ ｈ ｒ ｃｅ ｉ－ ｓｒ ｃ ： ｈ ｒ ｓ ｎ ｒ ｃｅ ｄｓ ｓｅ ｈ ｏｅ ｏ ｏ ｒ ｈ ｃ ｍａ ｎ ｌ ｅ ｒｓ ａ ｅ ａ ｄ Ｅｕ ｌ ｅ ｓ ａ ａ ｄ ｅ ａ ａ ｔｒｓ ｉ ｃ ｓ ｉ ｉ ｎ ｅ
１ 同构在线性空间及欧几里得空间中的作用
定义 １１ 数域 Ｐ上两个线性空间 与 称 ． 为 同构 ， 由 到 有一个双射 ｏ ， 若 ｒ 使得 Ｖ ∈ ， Ｖ Ｖｋ ∈Ｐ ， 有 以下性 质 ， 具 １ ｒ（ｃ ）＝ｏ（ ＋ｏ（ ）ｏ ０ ＋ ｒ ） ｒ Ｂ）；
系， 如果 两 个 空 间 是 同 构 关 系 ， 它 们 就 具 有 相 则 同 的性 质 。 因此 同构 是 帮 助 理 解 线 性 空 间 或 欧 氏空 间 的一 个 桥 梁 。 关 于 同 构 对 线 性 空 间 及 欧
这样 的 称为 同构 映射 。
氏空间的作用 ， 参考文献 ［ ］ ［ ］ ［ ］ １ 、 ２ 、 ３ 等都作了 很 透 彻 的研 究 ， 对 欧 氏空 间 中对 称 变 换 的定 义 但
地 由 基 ｓ ，２ … ， 性 表 出。设 ａ＝戈 ｌ Ｘ ６ ｌ ， 占线 ｌ ＋ ２２
＋… ＋
， 其中 ｆ ∈Ｐ ｉ＝１２ …， 。定义映 ， ，， ， ｌ
射 ｏ： ＋ ｏ ） ， ， ， 。由参考文 ｒ ＿ Ｐ ， （ ＝（１ ２… ） ｒ 献 ［］ １ 易知 是 到 Ｐ 的一个 同构 映射 ， 与 Ｐ
ｔ ｓｏ ｌ ｅｒｓａ ｎ ｕ ｌ ｅ ｎｓ ａ ｅｏ ｓ ｍｏ ｉｃｍａ ．Ｔ ｒｕ ｈ ｉｏ ｒｈｃｍａ ｉ ｆ ｎ ａ ｐ ｃ ａ ｄ Ｅ ｃｉ ａ ｐ ｃ ｆｉｏ ￣ｈ ｐ ｈ ｏ ｇ ｓｍｏ ｉ ｐ，ｔｅｒｌ ｆｔｅｌ ｅｒｔａ ｓｏｒａ ｃ ｉ ｅ ｄ ｐ ｈ ｅｏ ｈ ｎ ａ ｎｆｒ － ｏ ｉ ｒ ｎ
２ ｒ（ ｏ ＝ｋ （ ）ｏ ｋｔ ） ｏ ） ｒ
是高等代数中两个 非常重要 的概 念 ， 也是 抽象和 难理 解 的概 念 ， 别 是 多 维 或 无 限 维 线 性 空 间 或 特 欧 氏空 间 对 于 初 学 者 来 说 更 是 感 到 难 以 接 受 。 同构 是 两 个 线 性 空 间 或 欧 氏 空 间 之 间 的 一 种 关
及 证 明 并 没 有 进 行 深 入 的讨 论 。本 文 以上 面 的 讨 论 为基 础 ， 由同构 映 射 对 对 称 变 换 作 进 一 步 研
究。
设 是数域 Ｐ上 ｒ ｔ 维向量的集合 ， 它是一个 ｎ 维 线 性空 间 。在数 域 Ｐ上 任 一 ｒ维线 性 空 间 中 ｔ 任 取一 组基 ｓ ，２… ， ， Ｖｏ∈Ｖ， 可 唯一 １ｓ ， 占 则 ｃ 则
０ 引言
线性空 间和欧几里 得空 间（ 称 欧 氏空 间） 简
映射 来研 究欧氏空间 中线性 变换 的作 用 ，并 着重对对 称变换进行 了分析 。
关 键 词 ：线 性 空 间 ；欧 几 里 得 空 间 ； 同构 映 射 ；对 称 变换 中 图分 类 号 ：０ ７ ． ６ １ ５２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１７ ６ ３—６ ２ （０ ０ ３— ０ １ ３ １５ ２ １ ）０ ０ ６ 一ｏ
Ｔｈｅ Ｒｏ ｅ ａ ｄ Ｅｘ ｅ ｉ ｎ ｏ ｓ ｍ ｏ ｐ ｃ Ｍ ａ ｌ ｎ ｔ ｎｓｏ ｆ Ｉ ｏ ｒ ｈｉ ｐ
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ＣＡ００ ｅ ．２ １
同构 对 线 性 空 间 和欧 几 里 得 空 间的 作 用 及 推 广
曲 、卓 日 言 ｌ
（ 内蒙古财经学院 统计数学学院 ， 内蒙古 呼和浩特 ００７ ） １０ ０
摘
要 ：讨 论 了 同构 映 射 对 线 性 空 间及 欧 氏 空 间 的 作 用 ， 同 构 的 线 性 空 间及 欧 氏 空 间 之 间 的 性 质 ；通 过 同 构
第 ５卷
第 ３期
贵 阳学院 学报 （ 自然科 学 版 ） （ 刊 ） 季
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＧＵＩ ＹＡＮＧ ＣＯＵ ＧＥ Ｅ
Ｖ １ ５ Ｎｏ ３ ０ ＿ ． ．
２１ ０ ０年 ９月
Ｎ ｔｒ ｃｅｃ ｓ（ ｕｒ ｒ ） ａ ａ Ｓ ｉ ｅ Ｑ ａｔ ｌ ｕｌ ｎ ｅｙ
（ ｏ ｅｅｏ ｔｔｔ ｓ ｎ ｔｅ ａｉ ， ｎ ｅ —Ｍ ｎ ｏ ａ ｉ ｎｅａｄＥ ｏｏ ｃ ｏｅｅ Ｈ ｈ ｏ Ｉｎ ｒ ｎｏｉ ０ ０７ ， ｈｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ａｓ ｃ ｄＭａｈｍ ｔ ｓ Ｉｎ ｒ ｏ ｇｌ ｎ ｃ ｎ ｃｎｍｉ Ｃｌ ｇ ， ｏｈｔ ｎ ｅ ｇｌ １０ ０ Ｃ ｉ ｌ Ｓ ｉｉ ａ ｃ ｉＦ ａ ｓ Ｍｏ ａ ａ
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１ 同构在线性空间及欧几里得空间中的作用
定义 １１ 数域 Ｐ上两个线性空间 与 称 ． 为 同构 ， 由 到 有一个双射 ｏ ， 若 ｒ 使得 Ｖ ∈ ， Ｖ Ｖｋ ∈Ｐ ， 有 以下性 质 ， 具 １ ｒ（ｃ ）＝ｏ（ ＋ｏ（ ）ｏ ０ ＋ ｒ ） ｒ Ｂ）；
系， 如果 两 个 空 间 是 同 构 关 系 ， 它 们 就 具 有 相 则 同 的性 质 。 因此 同构 是 帮 助 理 解 线 性 空 间 或 欧 氏空 间 的一 个 桥 梁 。 关 于 同 构 对 线 性 空 间 及 欧
这样 的 称为 同构 映射 。
氏空间的作用 ， 参考文献 ［ ］ ［ ］ ［ ］ １ 、 ２ 、 ３ 等都作了 很 透 彻 的研 究 ， 对 欧 氏空 间 中对 称 变 换 的定 义 但
地 由 基 ｓ ，２ … ， 性 表 出。设 ａ＝戈 ｌ Ｘ ６ ｌ ， 占线 ｌ ＋ ２２
＋… ＋
， 其中 ｆ ∈Ｐ ｉ＝１２ …， 。定义映 ， ，， ， ｌ
射 ｏ： ＋ ｏ ） ， ， ， 。由参考文 ｒ ＿ Ｐ ， （ ＝（１ ２… ） ｒ 献 ［］ １ 易知 是 到 Ｐ 的一个 同构 映射 ， 与 Ｐ
ｔ ｓｏ ｌ ｅｒｓａ ｎ ｕ ｌ ｅ ｎｓ ａ ｅｏ ｓ ｍｏ ｉｃｍａ ．Ｔ ｒｕ ｈ ｉｏ ｒｈｃｍａ ｉ ｆ ｎ ａ ｐ ｃ ａ ｄ Ｅ ｃｉ ａ ｐ ｃ ｆｉｏ ￣ｈ ｐ ｈ ｏ ｇ ｓｍｏ ｉ ｐ，ｔｅｒｌ ｆｔｅｌ ｅｒｔａ ｓｏｒａ ｃ ｉ ｅ ｄ ｐ ｈ ｅｏ ｈ ｎ ａ ｎｆｒ － ｏ ｉ ｒ ｎ
２ ｒ（ ｏ ＝ｋ （ ）ｏ ｋｔ ） ｏ ） ｒ
是高等代数中两个 非常重要 的概 念 ， 也是 抽象和 难理 解 的概 念 ， 别 是 多 维 或 无 限 维 线 性 空 间 或 特 欧 氏空 间 对 于 初 学 者 来 说 更 是 感 到 难 以 接 受 。 同构 是 两 个 线 性 空 间 或 欧 氏 空 间 之 间 的 一 种 关
及 证 明 并 没 有 进 行 深 入 的讨 论 。本 文 以上 面 的 讨 论 为基 础 ， 由同构 映 射 对 对 称 变 换 作 进 一 步 研
究。
设 是数域 Ｐ上 ｒ ｔ 维向量的集合 ， 它是一个 ｎ 维 线 性空 间 。在数 域 Ｐ上 任 一 ｒ维线 性 空 间 中 ｔ 任 取一 组基 ｓ ，２… ， ， Ｖｏ∈Ｖ， 可 唯一 １ｓ ， 占 则 ｃ 则