同构对线性空间和欧几里得空间的作用及推广
高等代数-9第九章 欧几里得空间
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
欧式空间同构的概念
欧式空间同构的概念欧式空间同构是指两个欧式空间在定义良好的映射下，可以一一对应，并且保持空间之间的距离、角度和中心性质不变。
在数学上，两个欧式空间之间的同构关系是一种特殊的映射关系，具有相当重要的地位。
首先，我们来了解一下什么是欧式空间。
欧式空间是指具有欧几里得度量的空间，也即一个具有内积的实向量空间。
在欧式空间中，可以定义两点之间的距离和向量的长度、夹角等概念。
具体定义如下：1. 欧几里得度量：对于向量空间中的两个向量x和y，它们之间的欧几里得距离（Euclidean distance）定义为d(x, y) = x - y ，其中·表示向量的长度或模。
2. 向量的长度：一个向量x的长度定义为x = sqrt(〈x, x〉)，其中〈·, ·〉表示向量的内积。
3. 向量的夹角：欧式空间中，两个非零向量x和y之间的夹角θ定义为夹角余弦公式的反函数，即cosθ= 〈x, y〉/ x ·y 。
在欧式空间中，我们可以通过内积来定义向量的长度和夹角，从而得到空间中的距离等概念。
而欧式空间同构就是在保持这些距离、角度和中心性质不变的条件下，将一个欧式空间映射到另一个欧式空间的一种对应关系。
具体来说，如果存在一个映射φ：E_1→E_2，其中E_1和E_2是两个欧式空间，且该映射满足以下条件：1. φ是一一对应的：对于E_1中的任意两点x1和x2，如果它们在映射φ下有φ(x1) = φ(x2)，那么x1 = x2；同样对于E_2中的任意两点y1和y2，如果它们在映射φ下有φ^(-1)(y1) = φ^(-1)(y2)，那么y1 = y2。
2. φ保持距离：对于E_1中的任意两点x1和x2，它们之间的距离保持不变，即d_1(x1, x2) = d_2(φ(x1), φ(x2))，其中d_1和d_2分别是E_1和E_2中的距离函数。
3. φ保持角度：对于E_1中的任意两个非零向量x1和x2，它们之间的夹角保持不变，即cosθ_1 = cosθ_2，其中θ_1和θ_2分别是E_1和E_2中的夹角。
第18讲同构_973006389
5.3 线性空间的同构
5.3 线性空间的同构
一、定义
设V1和V2 是数域F上的两个线性空间, 如果 存在双射 φ: V1→V2 , 满足: 1. φ(α+β) = φ(α)+φ(β), ∀α, β∊V1; 2. φ(kα) = kφ(α), ∀α∊V1, k∊F, 则称φ是同构映射, 称线性空间V1和V2同构, 记为V1≅V2. φ是线性的
5.4 Euclid空间
对ℝ3中两个向量,的内积已有定义: k = ||| |cos, 其中|| | |分别是向量 的长度, =⟨,〉是向量的夹角. i ℝ3中两个向量的内积的四条基本性质 刻划了内积的本质特征, 可以以公理化的 方式在实线性空间V中引入内积概念.
5
第五章 线性空间
5.3 线性空间的同构
5. 同构映射的逆映射以及两个映射的复合映 射均为同构映射. 注: (5)表明, 同构作为线性空间之间的一种关 系，具有对称性、传递性. 而恒等映射说 明反身性也成立. 所以同构建立了线性空 间之间的一种等价关系.
第五章 线性空间
5.3 线性空间的同构
定理5.18 dimV=n V≅Fn. 证: 设e1, e2,…, en是V 的一组基, ∀∊V , ∃! x1, x2,…, xn∊F, ⋺ = x1e1+ x2e2+…+xnen. 定义φ: V→Fn, φ() = (x1, x2,…, xn). 显然φ是满射, 又 φ()=φ(β)⇒φ(-β)=φ()-φ(β)=0⇒=β⇒φ是单射 ⇒ φ是双射 容易验证φ是线性的⇒ φ是同构.
5.4 Euclid空间
Cauchy-Schwarz不等式在ℝn中:
2 +…+a2 )(b2 +…+ b 2 ). (a1b1+…+anbn)2 (a1 n 1 n
6.1 线性空间及其同构
证明: 作线性映射
由同构的传递性得到结论.
back
18:14 线性空间与欧几里得空间 10
基本性质的证明, 减法
1. 零向量是唯一的. 证明:
2. 一个向量的负向量是唯一的. 证明:
减法定义为
18:14
线性空间与欧几里得空间
11
基本性质的证明(2)
证明:
证明:
back
18:14 线性空间与欧几里得空间 12
example
线性空间的同构是一种等价关系，即具有自反性、对称性 和传递性。 proof
18:14
线性空间与欧几里得空间
7
同构的例子: 例1.6
证明：作线性映射
把基向量映到基向量
18:14
线性空间与欧几里得空间
8
同构的例子: 例 1.7
证明: 作线性映射
18:14
线性空间与欧几里得空间
9
同构的例子: 例 1.8
§1 线性空间及其同构
线性空间的概念(向量空间的推广) 若干例子 一些基本性质 线性空间的同构
18:14
线性空间与欧几里得空间
1
线性空间的概念
设 V 是一个非空集合，K 是一个数域.
在集合 V 和 K 中定义了加法和数乘两种代数运算，如果它们 满足若干条件，就称 V 是数域 K 上的线性空间, V 中的元素 称为向量．具体如下：
定理 1.1 的证明
证明：
定义映射:
back
18:14 线性空间与欧几里得空间 13
7) 分配律一:
18:14
线性空间与欧几里得空间
4
基与维数
解:使得18:源自4线性空间与欧几里得空间5
基与维数: 例子
第九章欧几里得空间
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i1
n
n
xi2
yi2
i1
i1
第九章欧几里得空间
12
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n
(5) d() (xi yi)2 i1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设 1 ,2 ， ,n 是 一 组 基 . 正 交 化 过 程 如i1aj1 ai2aj2 ainajn 0, i j A 是 正 交 矩 阵 A 的 列 向 量 组 和 行 向 量 组 都 构 成
R n 的 标 准 正 交 基 .
第九章欧几里得空间
15
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6. 对称变换与对称矩阵
设是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
长度： | | (,)
距离： d(,)||
夹角：,arccos|( |,|)|,0,.
第九章欧几里得空间
6
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(3) 度量矩阵
基 1 ,2 , ,n 的 度 量 矩 阵
(1,1) (1,2) A( aij)nn (2,1) (2,2)
(n,1) (n,2)
(1,n) (2,n)
对称变换的刻化:
矩阵是正交阵.
第九章欧几里得空间
14
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n 级 实 数 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵 A A E . 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵; 设A (aij ),则A是正交矩阵
1, 当i j, a1ia1j a2ia2j anianj 0, 当i j.
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设 1,2, ,n是 欧 氏 空 间 V的 一 个 标 准 正 交 基 ,
线性空间的同构
§8 线性空间的同构一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V例如：[]n P x 等设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设n n a a a εεεα+++= 2211,n n b b b εεεβ+++= 2211而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.于是向量,βα+αk 的坐标分别是),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.三、线性空间同构1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：1）)()()(βσασβασ+=+;2) ).()(ασασk k =其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.2．同构映射具有下列性质由定义可以看出，同构映射具有下列性质：(1). )()(,0)0(ασασσ-=-=.(2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .(3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数.(4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合{}11|)()(V V ∈=αασσ是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.(5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构.3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.第六章、线性空间(小结)线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体 展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标； 过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m < 个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=， 此时称W 为U 的一个余子空间.(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：① ∑=i V W 是直和；② 零向量的表示法唯一；③ {});,,2,1(,0t i V V ij j i ==∑≠④ ∑=i V W dim dim .四、线性空间的同构1.同构的定义2. 同构映射的基本性质：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定 或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。
第八章 欧几里得空间 第三节 同构课件ppt
3) ( ( ) , ( ) ) = ( , ) ,
这里 , V , k R，这样的映射 称为 V 到 V
的同构映射.
由定义可以看出，如果 是欧氏空间 V 到 V 的一个同构映射，那么 也是 V 到 V 作为线性空 间的同构映射. 因此，同构的欧氏空间必有相同的 维数.
定理 3 两个有限维欧氏空间同构的充分必要
条件是它们的维数相同.
这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的 结构完全被它的维数决定.
设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中取一组标准
正交基 1 , 2 , … , n . 在这组基下，V 中每个向量
都可表示为 = x11 + x22 + … + xnn .
令
()= (x1 , x2 , … , xn ) Rn .
我们知道，这是 V 到 Rn 的一个双射，并且适合 定义中条件 1)，2) (第六章第八节) . 上一节 说明， 也适合定义中条件 3)，因而 是 V 到 Rn
第三节
同
ห้องสมุดไป่ตู้
构
主要内容
同构的定义 同构的性质
一、同构的定义
我们来建立欧氏空间同构的概念.
定义 8 实数域 R 上欧氏空间 V 与 V 称为同 构的，如果由 V 到 V 有一个双射 ，满足
1) ( + ) = ( ) + ( ) , 2) ( k ) = k ( ) ,
的一个同构映射，由此可知，每个 n 维的欧氏空间
都与 Rn 同构 .
二、同构的性质
性质 同构作为欧氏空间之间的关系具有以下
性质：
1) 反身性 为恒等映射； 2) 对称性 映射为 -1 ； 设 V1 与 V2 同构， V1 到 V2 的同 V 与 V 自身同构，且其同构映射
高等代数§9.3 同构
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构
定义： 实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的，
如果由V到V'有一个1－1对应 ，适合
1) 2)
( ) ( ) ( ),
( , ) (
1
是
1
( )), (
1
( ))
1
( ),
1
( 到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
( k ) k ( ),
, V ,
k R
3)
( ), ( )
( , ),
这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射.
§9.3 同构
二、同构的基本性质
1、若 是欧氏空间V到V'的同构映射，则 也是
线性空间V到V'同构映射. 2、如果 是有限维欧氏空间V到V'的同构映射， 则
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 R n 的同构映射，从而V与 R n 同构.
§9.3 同构
线性空间和欧式空间
线性空间和欧式空间第六章线性空间和欧式空间§1线性空间及其同构一线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）；交换律2）()()；结合律3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）1；存在1元6）k(l)(kl).数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）(kl)kl；数的分配律8）k()kk.元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；,,等表示集合V中任意元素。
例1．元素属于数域K的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为Mm,n(K)。
例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3．n维向量空间K是线性空间。
n1例4．向量空间的线性映射的集合HomK(K,K)是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00，k00，(1)4．若k0，则k0或者0。
三.同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间.AHomK(V,V)是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
论文写作 论线性空间与欧式空间的对比
目录1 绪论 (3)1.1 研究目的与研究意义 (3)1.2 研究现状 (3)1.3 研究内容 (3)2 欧式空间简介 (4)2.1 提出背景 (4)2.2 定义与基本性质 (5)2.3 度量矩阵 (8)2.4 标准正交基 (9)2.5 同构 (12)2.6 正交变换 (16)2.7对称变换 (19)3 线性空间简介 (21)3.1 线性空间的概念 (22)3.2 线性变换的定义 (22)3.3 线性变换的性质和运算 (23)3.4 线性变换的矩阵 (24)4 线性空间与欧式空间的对比 (28)4.1 基础域的对比讨论 (28)4.2 运算的对比讨论 (29)4.3 基的对比讨论 (29)4.4 向量坐标的对比讨论 (29)4.5 线性变换的对比讨论 (29)4.6同构的对比讨论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)论线性空间与欧式空间的对比摘要线性空间与欧式空间是《高等代数》的两部分重要内容，两者之间既有区别又有联系，简要描述他们的定义、概念、特征，并从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、线性变换、同构几个方面进行对比讨论。
【关键词】欧式空间线性空间对比On the comparison of linear space and Euclidean spaceAbstractLinear space and Euclidean space is "Higher Algebra" is the two important parts, they are different and contact, a brief description of the definition, concept and characteristics of them, and from their basic domains, operation, matrix, vector coordinate, linear transformation of several aspects of the discussion than.【Key words】Euclidean space linear space contrast1 绪论1.1 研究目的与研究意义线性空间与欧式空间是《高等代数》中两部分重要内容，两者既有区别又有联系。
线性空间和欧式空间
第六章线性空间和欧式空间§ 1线性空间及其同构线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。
在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k ，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1)；交换律2)( ) ( )；结合律3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0 (具有这个性质的元素0称为V的零元素)；存在零元4)对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0( 称为的负元素)•存在负元数量乘法满足下面两条规则：5) 1 ；存在1元6)k(l ) (kl). 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7)(k l) k l ；数的分配律8)k( ) k k .元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；，，等表示集合V中任意元素。
例1. 元素属于数域K的m n矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为M m,n(K)。
例2. 全体实函数(连续实函数)，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3. n维向量空间K n是线性空间。
例4. 向量空间的线性映射的集合Hom K(K m, K n)是线性空间。
二.简单性质1.零元素是唯一的。
2.负元素唯一。
3. 0 0, k0 0 , ( 1) 。
4.若k 0，则k 0或者0。
三•同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间• A Hom K(V,V )是一个线性映射•如果A是一- 映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
线性代数第三章 线性空间和线性变换3.3 欧几里得空间简介
向量个数不会超过n个。（因为线性无关的非零
向量个数不会超过n个） 其几何意义就是：在平
面上找不到3个两两垂直的非零向量，在空间中找
不到4个两两垂直的非零向量。
定义3.17 在n维欧氏空间V中，由n个向量组成的正交向量 组称为V的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标 准正交基。
注1：对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基
2：若1，2，L ，n是欧氏空间V的一组标准正交基，则有
1 当i j
(i , j ) 0 当i j
定理3.11 设1， 2，L ， n是n维欧氏空间V的一组标准正交基，对于
V，设在基1， 2，L
， n下的坐标维X＝（x1，x2，L
定义3.18 设 是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果 在一组标准 正交基下的矩阵是正交矩阵，则称 是正交变换。
正交变换的性质：
设 是欧氏空间V的一个正交变换，则 1、 保持向量的内积不变，即对， V，( ( ), ( )) (, ); 2、 保持向量的长度不变，即对 V， ( ) 3、如果1，2，L ，n是V的一组标准正交基，则 (1)， (2 )，L ， ( n
任意向量，，有 （，）
当且仅当与 线性相关时等号成立。
由定理3.9，对任意非零向量，，总有 －1 (, ) 1
这样就可以对欧氏空间中的向量引入夹角的概念了
定义3.14 在欧氏空间V中，对任意非零向量，， 规定与的夹角由下式确定：
cos (, ) , 0
，x n
)
,
则
xi ( ,i ), (i 1, 2,L , n)
设，
高等代数(第9章)
证 依题意，可设 = k11+k22+…+knn ,则
n
n
( , ) ( ki i , ) ki ( i , ) 0
i 1
i 1
故 = 0.
(2)性质 设V是欧氏空间，则内积有如下性质
(i) (, 0)= (0, )=0
对称性
(ii) (k , )= (, k )
3.度量矩阵
定义 设V是n维欧氏空间, 1, 2,…,n为V的一组基.称
( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n )
A ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , n )
( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n )
依定义，若1, 2,…,n是n维欧氏空间V中一个标
准正交基，则
( i ,
j)
1, 0,
i i
j j
(i, j 1,2,, n).
反之亦然，因此有如下结论.
定理 n维欧氏空间V的一组基1, 2,…,n是标准正 交基为该基的度量矩阵A=((i,j))nn为单位矩阵.
(ii)|k |=| k| | | (iii) |+ || |+ | | (后证)
证 (ii) k (k, k ) k 2 (, ) k .
长度为1的向量称为单位向量，而 称为把单位化.
(2)向量的夹角 为合理引进两个向量夹角的概念,首先证明欧氏空
间中的柯西——布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski) 不等式.
定理 设V是欧氏空间， , V,有 |( , ) ||| | |
当且仅当 , 线性相关时等号成立. 证 (i)若 , 线性无关,则0, t , tR.考虑向量 =-t ( 0),由于
欧氏空间与线性空间
欧氏空间与线性空间欧氏空间和线性空间是数学中两个重要的概念，它们在不同的领域和应用中发挥着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面来探讨欧氏空间和线性空间的相关内容。
一、欧氏空间欧氏空间是指具有内积的实数向量空间。
在欧氏空间中，可以定义向量的长度和向量之间的夹角。
具体而言，对于n维欧氏空间R^n 中的向量x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)，其内积定义为：<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn而向量的长度定义为：||x|| = sqrt(<x, x>) = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)欧氏空间具有一些重要的性质。
例如，欧氏空间中的向量满足三角不等式，即对于任意的向量x和y，有：||x + y|| <= ||x|| + ||y||此外，欧氏空间还满足正交性质，即对于任意的向量x和y，如果它们的内积为零，则称向量x和y是正交的。
欧氏空间的概念在几何学、物理学、统计学等领域中有广泛的应用。
在几何学中，欧氏空间可以用来描述点、线、面等几何对象之间的关系。
在物理学中，欧氏空间可以用来描述空间中的力、速度等物理量。
在统计学中，欧氏空间可以用来度量数据样本之间的相似性。
二、线性空间线性空间是指具有加法和数乘运算的向量空间。
在线性空间中，向量之间的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律和结合律。
具体而言，对于n维线性空间V中的向量x，y和标量a，其加法和数乘定义为：x + y = y + x (交换律)(a + b)x = ax + by (分配律)a(bx) = (ab)x (结合律)线性空间的概念在代数学、数学物理学、计算机科学等领域中有广泛的应用。
在代数学中，线性空间可以用来研究向量和矩阵的性质。
在数学物理学中，线性空间可以用来描述复杂的物理系统。
在计算机科学中，线性空间可以用来处理图像、音频等数据。
线性代数上19线性空间的同构
定义 设 V1 与 V2 是数域 F 上的两个线性空间, 如果存在从 V1 到 V2 的一个双射满足： (1)∀α , β ∈V1 , 有 ϕ (α + β ) = ϕ (α ) + ϕ ( β ), (2)∀α ∈V1 , k ∈ F , 有 ϕ (kα ) = kϕ (α ), 则称 ϕ 是同构映射, 称 V1 与 V2 是同构的. 例2 设矩阵 A 经过一系列初等行变换变为 B, 即:
例4 证明 W = {f(x)|f(1) = 0, f(x)∈Rn[x]} 关于多项式加法和 数乘也作成线性空间, 求 W 的一组基和维数. 解 在例3中取 ai = i, (i =1, 2,…, n), 则 f1(x)∉W, 而其它多项 式 fi(x) (i = 2,…, n) 属于 W, 由此我们知道了 dim W = n-1, 且 fi(x) (i = 2,…, n) 就是 W 的一组基. 例5 设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1 和 W2 的并是 V 的一个子空间 ⇔ W1 包含 W2, 或 W2 包含 W1. 证明 充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然, 存在元素 u 属于 W1, 但不属于 W2, 元素 v 属于 W2 但不 属于 W1. 则 u+v 不属于 W1 与 W2 的并, 与 W1 和 W2 的 并是 V 的一个子空间矛盾.
因为 P 可逆, 所以 R(A) 与 R(B) 同构.
2
例3 F 上的 n 维线性空间 V 同构于 Fn. 证明 设 ε1 ,L , ε n 为 V 的一组基, ∀α∈V, α 在 ε1 ,L , ε n 下的坐 标 X 是唯一确定的, 所以可定义 V 到 Fn 的映射 ϕ 使得 ϕ (α ) = X , 显然 ϕ 是双射, 且若 ϕ (α ) = X = ( x1 ,L , xn )T ,
线性空间的同构分析
线性空间的同构分析线性空间的同构分析是线性代数中的一个重要概念，用来研究两个线性空间之间的一一映射关系。
在本文中，我们将探讨线性空间的同构概念及其相关性质，以及同构与线性变换之间的关系。
1. 同构的定义与性质线性空间的同构可以定义为两个线性空间之间的一一映射，使得这个映射保持线性结构。
具体而言，对于两个线性空间V和W，存在一个从V到W的映射φ，如果满足以下条件，那么称φ为V到W的同构映射：(1) φ是双射，即φ是一个一一对应的映射；(2) 对于任意的向量v1和v2，以及任意的标量t，都有φ(tv1 + v2) = tφ(v1) + φ(v2)。
同构的一个重要性质是保持线性结构，即同构映射保持向量的线性运算。
这意味着如果两个线性空间是同构的，它们之间的向量运算都是相容的。
此外，同构映射还保持向量的线性无关性和线性相关性，以及维数和基的映射关系。
2. 同构的判定方法判定两个线性空间是否同构有多种方法。
常用的方法包括维数判定、基的映射和矩阵判定法。
(1) 维数判定：如果两个线性空间的维数相等，则它们可能是同构的。
然而，维数相等并不意味着一定存在同构映射，还需要进一步验证。
(2) 基的映射：如果两个线性空间的基可以通过线性变换互相映射，那么它们是同构的。
具体地，设V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，W的一组基为{w1, w2, ..., wn}，如果存在一个线性变换T，使得T(vi) = wi (1≤ i ≤ n)，则V和W是同构的。
(3) 矩阵判定法：设V和W的维数均为n，如果存在一个n×n的可逆矩阵A，使得对于任意的v∈V，有Av∈W，那么V和W是同构的。
其中，A的每一列都是W中对应的基向量的坐标表示。
3. 同构与线性变换的关系线性变换是线性代数中另一个重要的概念，与同构密切相关。
事实上，同构映射可以看作是线性空间之间的线性变换，且是双射的特殊情况。
对于同构映射φ：V → W，我们可以定义一个线性变换T：V → W，使得对于任意的v∈V，都有T(v) = φ(v)。
【精选】线性空间的同构
【精选】线性空间的同构线性空间同构是线性代数中的重要概念之一，它是指两个线性空间在保持线性运算和结构不变的情况下，存在一一映射互为逆映射的关系。
同构可以用来研究两个线性空间的相似性和等价性，对于线性映射与矩阵之间的关系也有着重要的作用。
一、同构的定义设$V$和$W$是两个线性空间，$f:V \rightarrow W$是一一线性映射，如果存在一个一一线性映射$g:W \rightarrow V$，使得$$g(f(x))=x, \forall x \in V$$则称$f$和$g$互为同构映射，$V$和$W$互为同构空间。
简单来说，同构意味着两个线性空间结构和元素一一对应，可以互相转化。
二、同构的性质1.同构映射保持线性结构，即对于$V$中任意两个元素$x,y$和任意标量$k$，有$f(x+y)=f(x)+f(y)$和$f(kx)=kf(x)$。
2.同构映射是单射和满射，即其一一映射和满射性质都满足。
3.同构映射的逆映射也是线性映射，因此同构映射是可逆的。
4.同构映射保持基的关系，即如果$V$有一组基$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$，则$f(B)=\{f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)\}$是$W$的一组基，且$\dim V=\dim W$。
三、同构的应用1.矩阵的同构两个矩阵$A,B$同构，当且仅当它们代表的线性映射相同。
设$A$是线性映射$f$在基$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$下的矩阵，$B$是在基$C=\{w_1,w_2,...,w_n\}$下的矩阵，则$A$和$B$同构当且仅当$V$和$W$同构，即存在一一线性变换$T:V \rightarrow W$，使得$f=T^{-1}BT$。
2.线性代数的基本定理同构在线性代数的基本定理中也有着重要的应用。
对于$n$阶方阵$A$，它是可逆矩阵当且仅当它的列向量线性无关。
同样的，$A$与$n$维列向量空间$V$同构，而$V$中的一组基是由$A$的列向量组成的。
同构对线性空间和欧几里得空间的作用及推广
同构对线性空间和欧几里得空间的作用及推广曹京平【摘要】讨论了同构映射对线性空间及欧氏空间的作用,同构的线性空间及欧氏空间之间的性质; 通过同构映射来研究欧氏空间中线性变换的作用,并着重对对称变换进行了分析.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(005)003【总页数】3页(P61-63)【关键词】线性空间;欧几里得空间;同构映射;对称变换【作者】曹京平【作者单位】内蒙古财经学院,统计数学学院,内蒙古,呼和浩特,010070【正文语种】中文【中图分类】O175.26线性空间和欧几里得空间（简称欧氏空间）是高等代数中两个非常重要的概念，也是抽象和难理解的概念，特别是多维或无限维线性空间或欧氏空间对于初学者来说更是感到难以接受。
同构是两个线性空间或欧氏空间之间的一种关系，如果两个空间是同构关系，则它们就具有相同的性质。
因此同构是帮助理解线性空间或欧氏空间的一个桥梁。
关于同构对线性空间及欧氏空间的作用，参考文献［1］、［2］、［3］等都作了很透彻的研究，但对欧氏空间中对称变换的定义及证明并没有进行深入的讨论。
本文以上面的讨论为基础，由同构映射对对称变换作进一步研究。
定义1.1 数域P上两个线性空间V与V′称为同构，若由V到V′有一个双射σ，使得∀α，β∈V，∀k∈P，具有以下性质这样的σ称为同构映射。
设Pn是数域P上n维向量的集合，它是一个n维线性空间。
在数域P上任一n维线性空间V中任取一组基ε1，ε2，…，εn，则∀α∈V，则α可唯一地由基ε1，ε2，…，εn线性表出。
设α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋xnεn，其中xi∈P，i＝1，2，…，n。
定义映射σ：V→Pn，σ(α)＝(x1，x2，…，xn)。
由参考文献［1］易知σ是V 到Pn的一个同构映射，V与Pn之间具有相同的性质，线性空间V中向量的运算可归结为它们坐标的运算，故对V的讨论可归结为对Pn的讨论。
由V的任意性，数域P上任一n维线性空间都与Pn同构，关于n维向量的一些结论在一般的线性空间中也成立。
§9.3欧氏空间的同构
ki = li , i = 1， , n 故 α = β , σ 是单射。 2， 2) σ 是满射。 对 ∀α ′ ∈ V ′, α ′ = k1η1 + k2η2 + + knηn , 取 α = k1α 1 + k2α 2 + + knα n ∈ V , 则 σα = α ′, σ 是满射。 3) σ 是 V 到 V ′ 线性映射。 ∀α , β ∈ V , k ∈ R,
σ (α + β ) = ( k1 + l1 )η1 + ( k2 + l2 )η2 + + ( kn + ln )ηn = k1η1 + k2η2 + + knηn + l1η1 + l2η2 + + lnηn = σα + σβ σ ( kα ) = kk1α1 + kk2α 2 + + kknα n = k (σα ) 4) σ 保持向量内积不变。
二、同构的性质
第九章 欧几里得空间
2、欧氏空间的同构是等价关系。 欧氏空间的同构具有以下性质： 1.反身性：即 V 与 V ′ 同构； 2.对称性：即若 V 与 V ′ 同构，则 V ′ 与 V 同构； 3.传递性：即若 V 与 W 同构，W 与 Z 同构，则
V 与 Z 同构。
证明：① 恒等映射是欧氏空间 V 到 V ′ 的一个同构映射， 且保持内积不变。故 V 与 V ′ 同构； ② 若 V 与 V ′ 同构，即存在 V 与 V ′ 的一个同构映射σ ,
(σα , σβ ) = ∑ ki li = (α , β )
n
故 σ 是 V 与 V ′ 的一个同构映射。因此欧氏空间 V 与 V ′ 同构。 评注：从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全由它的维数 决定。
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０ 引言
线性空 间和欧几里 得空 间（ 称 欧 氏空 间） 简
映射 来研 究欧氏空间 中线性 变换 的作 用 ，并 着重对对 称变换进行 了分析 。
关 键 词 ：线 性 空 间 ；欧 几 里 得 空 间 ； 同构 映 射 ；对 称 变换 中 图分 类 号 ：０ ７ ． ６ １ ５２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１７ ６ ３—６ ２ （０ ０ ３— ０ １ ３ １５ ２ １ ）０ ０ ６ 一ｏ
Ｔｈｅ Ｒｏ ｅ ａ ｄ Ｅｘ ｅ ｉ ｎ ｏ ｓ ｍ ｏ ｐ ｃ Ｍ ａ ｌ ｎ ｔ ｎｓｏ ｆ Ｉ ｏ ｒ ｈｉ ｐ
ｉ ｎｅ ｒ Ｓ ｃ ｎｄ Ｅｕｃｉ ｅ ｎ Ｓ ｃ ｎ Ｌｉ ａ ｐａ ｅ ａ ｌｄ ａ ｐａ ｅ
ＣＡ００ ｅ ．２ １
同构 对 线 性 空 间 和欧 几 里 得 空 间的 作 用 及 推 广
曲 、卓 日 言 ｌ
（ 内蒙古财经学院 统计数学学院 ， 内蒙古 呼和浩特 ００７ ） １０ ０
摘
要 ：讨 论 了 同构 映 射 对 线 性 空 间及 欧 氏 空 间 的 作 用 ， 同 构 的 线 性 空 间及 欧 氏 空 间 之 间 的 性 质 ；通 过 同 构
第 ５卷
第 ３期
贵 阳学院 学报 （ 自然科 学 版 ） （ 刊 ） 季
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＧＵＩ ＹＡＮＧ ＣＯＵ ＧＥ Ｅ
Ｖ １ ５ Ｎｏ ３ ０ ＿ ． ．
２１ ０ ０年 ９月
Ｎ ｔｒ ｃｅｃ ｓ（ ｕｒ ｒ ） ａ ａ Ｓ ｉ ｅ Ｑ ａｔ ｌ ｕｌ ｎ ｅｙ
（ ｏ ｅｅｏ ｔｔｔ ｓ ｎ ｔｅ ａｉ ， ｎ ｅ —Ｍ ｎ ｏ ａ ｉ ｎｅａｄＥ ｏｏ ｃ ｏｅｅ Ｈ ｈ ｏ Ｉｎ ｒ ｎｏｉ ０ ０７ ， ｈｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ａｓ ｃ ｄＭａｈｍ ｔ ｓ Ｉｎ ｒ ｏ ｇｌ ｎ ｃ ｎ ｃｎｍｉ Ｃｌ ｇ ， ｏｈｔ ｎ ｅ ｇｌ １０ ０ Ｃ ｉ ｌ Ｓ ｉｉ ａ ｃ ｉＦ ａ ｓ Ｍｏ ａ ａ
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Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔａ ｔ ｌ ｉ ｕ ｓ ｓｔ ｅ ｒｌ ｆｉ ｍｏｐ ｉ ｐ ｉ ｎ ａ ｐ ｃ ｎ ｃ ｄ ａ ｐ ｃ ｎ ｈ ｒ ｃｅ ｉ－ ｓｒ ｃ ： ｈ ｒ ｓ ｎ ｒ ｃｅ ｄｓ ｓｅ ｈ ｏｅ ｏ ｏ ｒ ｈ ｃ ｍａ ｎ ｌ ｅ ｒｓ ａ ｅ ａ ｄ Ｅｕ ｌ ｅ ｓ ａ ａ ｄ ｅ ａ ａ ｔｒｓ ｉ ｃ ｓ ｉ ｉ ｎ ｅ
１ 同构在线性空间及欧几里得空间中的作用
定义 １１ 数域 Ｐ上两个线性空间 与 称 ． 为 同构 ， 由 到 有一个双射 ｏ ， 若 ｒ 使得 Ｖ ∈ ， Ｖ Ｖｋ ∈Ｐ ， 有 以下性 质 ， 具 １ ｒ（ｃ ）＝ｏ（ ＋ｏ（ ）ｏ ０ ＋ ｒ ） ｒ Ｂ）；
系， 如果 两 个 空 间 是 同 构 关 系 ， 它 们 就 具 有 相 则 同 的性 质 。 因此 同构 是 帮 助 理 解 线 性 空 间 或 欧 氏空 间 的一 个 桥 梁 。 关 于 同 构 对 线 性 空 间 及 欧
这样 的 称为 同构 映射 。
氏空间的作用 ， 参考文献 ［ ］ ［ ］ ［ ］ １ 、 ２ 、 ３ 等都作了 很 透 彻 的研 究 ， 对 欧 氏空 间 中对 称 变 换 的定 义 但
地 由 基 ｓ ，２ … ， 性 表 出。设 ａ＝戈 ｌ Ｘ ６ ｌ ， 占线 ｌ ＋ ２２
＋… ＋
， 其中 ｆ ∈Ｐ ｉ＝１２ …， 。定义映 ， ，， ， ｌ
射 ｏ： ＋ ｏ ） ， ， ， 。由参考文 ｒ ＿ Ｐ ， （ ＝（１ ２… ） ｒ 献 ［］ １ 易知 是 到 Ｐ 的一个 同构 映射 ， 与 Ｐ
ｔ ｓｏ ｌ ｅｒｓａ ｎ ｕ ｌ ｅ ｎｓ ａ ｅｏ ｓ ｍｏ ｉｃｍａ ．Ｔ ｒｕ ｈ ｉｏ ｒｈｃｍａ ｉ ｆ ｎ ａ ｐ ｃ ａ ｄ Ｅ ｃｉ ａ ｐ ｃ ｆｉｏ ￣ｈ ｐ ｈ ｏ ｇ ｓｍｏ ｉ ｐ，ｔｅｒｌ ｆｔｅｌ ｅｒｔａ ｓｏｒａ ｃ ｉ ｅ ｄ ｐ ｈ ｅｏ ｈ ｎ ａ ｎｆｒ － ｏ ｉ ｒ ｎ
２ ｒ（ ｏ ＝ｋ （ ）ｏ ｋｔ ） ｏ ） ｒ
是高等代数中两个 非常重要 的概 念 ， 也是 抽象和 难理 解 的概 念 ， 别 是 多 维 或 无 限 维 线 性 空 间 或 特 欧 氏空 间 对 于 初 学 者 来 说 更 是 感 到 难 以 接 受 。 同构 是 两 个 线 性 空 间 或 欧 氏 空 间 之 间 的 一 种 关
及 证 明 并 没 有 进 行 深 入 的讨 论 。本 文 以上 面 的 讨 论 为基 础 ， 由同构 映 射 对 对 称 变 换 作 进 一 步 研
究。
设 是数域 Ｐ上 ｒ ｔ 维向量的集合 ， 它是一个 ｎ 维 线 性空 间 。在数 域 Ｐ上 任 一 ｒ维线 性 空 间 中 ｔ 任 取一 组基 ｓ ，２… ， ， Ｖｏ∈Ｖ， 可 唯一 １ｓ ， 占 则 ｃ 则