高等代数线性空间的同构
高等代数北大版教案-第6章线性空间
第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。
四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。
集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。
如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。
当然也可以写成，。
（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。
线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
考研数二的内容包括哪些
考研数二的内容包括哪些引言概述：考研数二是指考研数学二科目，是考研数学中的一个重要部分。
在考研数二中，所涉及的内容起到了举足轻重的作用。
本文将对考研数二的内容进行概述，包括解析几何、高等代数、数学分析、概率论与数理统计以及离散数学。
一、解析几何：1.直线与平面的性质：直线的方程、空间中直线与平面的位置关系等。
2.空间点、直线和平面的投影：点到直线和平面的距离、直线到平面的距离等。
3.空间二次曲线：球面、柱面、圆锥曲线等的方程和性质。
4.空间变换：平移、旋转、对称等的基本概念和性质。
5.空间解析几何的应用：求直线与平面的交点、判断直线与平面的位置关系等。
二、高等代数：1.向量空间与线性方程组：向量空间的基本概念、线性方程组的解的存在唯一性等。
2.矩阵及其运算：矩阵的基本运算、矩阵的转置、逆矩阵等。
3.矩阵的特征值与特征向量：特征值、特征向量的定义和性质。
4.线性空间的同构与相似：同构和相似的概念及其判定方法。
5.线性映射与线性变换：线性变换的基本性质、线性映射的矩阵表示等。
三、数学分析：1.函数与极限：函数的定义、极限的概念和性质。
2.一元函数微分学：导数、高阶导数、函数的凸性和曲线的形状等。
3.一元函数积分学：不定积分、定积分、换元积分法等。
4.多元函数微分学：偏导数、全微分、多元函数的极值点等。
5.多元函数积分学：二重积分、三重积分、坐标变换等。
四、概率论与数理统计：1.随机事件与概率：样本空间、随机事件的定义和性质、概率的定义等。
2.随机变量与概率分布：随机变量的基本概念、离散型和连续型概率分布等。
3.数理统计中的参数估计：点估计、区间估计、最小二乘估计等。
4.数理统计中的假设检验：假设检验的基本原理、检验统计量的构造和检验的步骤等。
5.相关与回归分析：相关系数、回归方程的建立和拟合等。
五、离散数学：1.集合论：集合的基本概念和运算、集合的基数等。
2.图论：图的基本概念、连通图、树等。
3.代数系统：二元运算的性质、半群、群等。
数学竞赛讲座：同构
厦门大学 林亚南
代数学是研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。线性空间则是本科生所 接触，所学习的第一个代数结构。
《高等代数》课程中体现的代数研究基本思 想方法主要有：（1）空间的直和分解方法； （2）同构方法；（3）等价分类方法。
一．对线性空间同构的理解和思考
1．线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。
是一一的，指的是对于任意的 U ， 存在唯一 V的使得 ( ) 。
例1：
（1）全体正实数 R 在加法定义为a b ab，数乘定
义为 k a ak，是否构成实数域 R上线性空间？
（2）这个空间的维数是多少？
（3） loga : R R，x loga x 导出了从 R 到 R 的一
，其中 是同构映射，2 。 （2）设 A是 n 阶矩阵，求证
A BC， 其中 B 是可逆矩阵，C2 C。
对于不同的基的选取，同一个线性映射对 应得矩阵是相抵的，同一个线性变换对应得 矩阵是相似的。
相抵的矩阵是同一个线性映射在两组不同 基下的矩阵，相似的矩阵是同一个线性变换 在不同基下的矩阵。
（2）对于U中的任意一组向量 1, 2, , n，存 在线性映射 使得 (i ) i 。
再证明 保持线性运算，即证明
( )(1,2, ,n ) (1, 2, , m)( A B) ()(1,2, ,n ) (1, 2, , m )( A)
2．线性空间同构关系是等价分类思想方法的 一个特例。
两个有限维线性空间同构的充分必要条件 是它们的维数相等，所以维数是同构关系的 全系不变量。任意数域上维线性空间都同构
与上维列向量空间同构，所以数域上n 维列 向量空间是 n 维线性空间同构类的代表元。
高等代数 第6章线性空间 6.6 子空间的直和与线性空间的同构
多个子空间的直和
设W1，W2，…，Wr都是线性空间V的子空间。如果 则称 W1+ W2+…+ Wr 为子空间 W1 ， W2 ， … ， Wr 的直和，记为 W1+ W2+…+ Wr。
说明：一定要注意这里的条件是 ，不是Wi Wj ={0}，初学者
很容易出错。 多个子空间的和构成直和的条件 设 W1，W2 ，…，Wr是线性空间V的子空间，则 W1+ W2+…+ Wr 构成直和的充要条件是下列之一成立：
n维线性空间
Vn
R
n
x1 1 x2 2 xn n
x ( x1 , x2 , , xn )
T
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． ２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间 U2 xn n x1 , x2 ,, xn R
与 n 维数组向量空间 R n 同构. 因为 T (1) Vn中的元素与R n中的元素( x1 , x2 ,, xn ) 形成一一对应关系；
高等代数§9.3 同构
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构
定义： 实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的，
如果由V到V'有一个1－1对应 ，适合
1) 2)
( ) ( ) ( ),
( , ) (
1
是
1
( )), (
1
( ))
1
( ),
1
( 到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
( k ) k ( ),
, V ,
k R
3)
( ), ( )
( , ),
这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射.
§9.3 同构
二、同构的基本性质
1、若 是欧氏空间V到V'的同构映射，则 也是
线性空间V到V'同构映射. 2、如果 是有限维欧氏空间V到V'的同构映射， 则
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 R n 的同构映射，从而V与 R n 同构.
§9.3 同构
线性空间的同构
τ o σ (α + β ) = τ (σ (α ) + σ ( β ) )
= τ (σ (α ) ) + τ (σ ( β ) ) = τ o σ (α ) + τ o σ ( β )
§6.8 线性空间的同构
τ o σ ( kα ) = τ (σ ( kα ) ) = τ ( kσ (α ) )
的子空间， （6） 若W是V的子空间，则W在 σ 下的象集 ） 是 的子空间 在
σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }
子空间， 是的 V ′ 子空间，且 dimW = dim σ (W ). 证： 首先，σ (W ) ⊆ σ (V ) = V ′ 首先，
且 Q 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠ ∅
2 所以， 所以， dim C = dim R .
故， V1 ≅ V2 .
§6.8 线性空间的同构
证法二： 证法二：构造同构映射 作对应 σ : C → R 2 , σ ( a + bi ) = ( a , b ) . 则 σ 为C到R2的一个同构映射 到 的一个同构映射.
§6.8 线性空间的同构
W ≅ σ (W ) 故 dim W = dim σ (W ).
注意
可知， 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 可知 同构映射保持零元、负元、 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
§6.8 线性空间的同构
3、两个同构映射的乘积还是同构映射. 、两个同构映射的乘积还是同构映射 证： 设 σ：V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射，则乘积 τ o σ 是 V 到V ′′ 的1－1对应 对应. 映射， － 对应 任取 α，β ∈ V , k ∈ P , 有
高等代数中同构映射的应用研究
高等代数中同构映射的应用研究在高等代数中，两个线性空间存在同构，所以两个空间也就存在同构映射，同构映射可以帮助我们解决比较复杂的问题。
本篇论文通过运用举例法、文献研究法、经验总结法进行研究。
首先，通过介绍同构映射的定义及判断，确切理解什么是同构映射;然后查阅文献针对不同类型的题型构造出合适的同构映射，深度了解同构映射特性;最后，通过举例的方式从七个方面研究了同构映射在高等代数中的应用，分析了应用技巧及应注意的问题。
标签：同构映射;线性变换;秩;线性变换的值域五、结语通过本文论述同构映射的相关内容，让我们深刻的理解了同构映射，充分掌握同构思想并运用在高等代数中，解决线性空间中相关的问题，学好高等代数中的同构映射，其实也是在为以后的学习近世代数这门课程奠定基础，而且同构的理论在其他的领域也有非常重要的地位.总之，在高等代数的学习中，我们如果认真地、严谨地去学习同构映射，我们会发现它作为一种方法有助于解决问题，作为一种思维有助于理解其他知识.高等代数中同构映射只是同构内容的一小部分，而在这一小部分能了解到不同于其它方法的思想，所以我衷心希望同构映射能在数学领域发展的更广.参考文献：[1] 杨纶标.线性变换与同构映射的关系探讨[D].沈阳：东北大学，1994，8.[2] 郑志.线性空间的同构的应用[J].内蒙古民族大学学报，2001，02：3[3] 李世群，刘金旺，汤四平.同构思想在“高等代数”教学中的体现与运用[J].湖南科技学院，2006，09：03[4] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003，9.[5] 徐仲.高等代数考研教案[M].西安：西北工业大学出版社，2009，7.[6] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003，9.[7] 北京大学数学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社，2001，5.[8] 贾淑凤.同构理论及其在高等代数中的重要性[J].内蒙古教育学院学报，1994，01：3.[9] 严守权.线性代数教程[M].北京：清华大学出版社，2014，7.[10] 朱天辉.同构思想在高等代数解题中的若干应用[J].惠州学院学报（自然科学版），2014，03：2[11] 陈少军.有限维线性空间的基与维数研究[J].第二届世纪之星创新教育论坛论文集，2015，03：2[12] 王尚志，张思明，胡凤娟.向量的概念和应用[J].中学数学教学参考，2015，09：3[13] 王日爽.线性代数的学习要求和学习方法[J].中国远程教育，2014，07：2[14] 吴肖良.线性变换的核空间与像空间的维数关系式[J].内蒙古民族大学学报，2015，02：3[15] 王利广.线性变换思想在高等代數中的若干应用[J].曲阜师范大学学报（自然科学版），2015，01：4。
高等代数(线性空间)
例子
例 1 所有平面向量的集合 V = {( x, y ) x, y ∈ R} 构成实 数域 R 上的线性空间，其加法运算和数量乘积就是 普通的向量的加法和数乘运算。
例 2 集合 V 加法和数乘运算
k ( x1 , x 2 ,
= {( x 1 , x 2 , , x n ) x1 , x 2 , , x n ∈ R}
推出 k 1
= k2 == ks = 来自 。例3 向量组0,α 1 ,α 2 , ,α s 是线性相关的。 例 4 对只由一个向量 α 组成的向量组来说，若 α = 0 ，则是线性相关的；否则，是线性无关。 例 5 在三维空间 R 3 中，向量e1 = (1,0,0) ，e2 = (0,1,0) ， e3 = (0,0,1) 是线性无关的。 任何一个三维向量α = (a1,a2 ,a3 ) 都可写成e1 , e2 , e3 的线性组 合a = a1e1 + a 2 e2 + a 3 e3 。
全为零的实数 k 1 , k 2 ,
k1 ≠ 0
, k s 使得 ∑ k iα i = 0 。不妨设
i =1
s
，则有
⎛ k2 ⎞ ⎛ k3 ⎞ α1 = ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 2 + ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 3 + ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
+ li−1αi−1 + li+1αi+1 +
充分性: 如 果 αi = l1α1 + 即α 1 ,α 2 ,
α s + 1 能用向量组 B
线性表出，因此也能用向量组 C
线性表出，即
α s +1 = ∑ k jα j +
j =1 s j = s +1
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
线性空间的同构
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上 任取 α , β ∈ V , 设
α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n , β = b1ε 1 + b2ε 2 + ⋯ + bnε n
则 σ (α ) = (a1 , a2 ⋯ , an ), σ ( β ) = (b1 , b2 ,⋯ , bn ) 从而 σ (α + β ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ⋯ , an + bn )
i =1 n i =1
n
是满射. 所以 σ 是满射 的定义， 再由 σ 的定义，有 σ (ε i ) = ei , i = 1,2,⋯ , n 易证， 易证，对 ∀α , β ∈ V1 , ∀k ∈ P 有
由性质1 由性质 ，有 V1 ≅ P n , V2 ≅ P n
∴V1 ≅ V2 .
第六章 线性空间 §8 线性空间的同构
" ⇐ "（法二：构造同构映射） 法二：构造同构映射）
分别为V 的一组基. 设 ε 1 , ε 2 ,⋯ε n ; e1 , e2 ,⋯ en分别为 1, V2的一组基 定义 σ : V1 → V2 , 使
4）设 dimV = n, ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n 为V 中任意一组基 ） 中任意一组基.
σ 的一组基. 由2）3）知， (ε 1 ),σ (ε 2 ),⋯ ,σ (ε n )为 σ 的一组基 ） ）
所以 dimV ′ = n = dimV .
第六章 线性空间 §8 线性空间的同构
5）首先 σ −1 :V ′ → V 是1－1对应，并且 ） 对应， － 对应 为恒等变换. 为恒等变换 σ ⋅ σ −1 = 1V ′ , σ −1 ⋅ σ = 1V , 1为恒等变换 任取 α ′, β ′ ∈ V ′,
高等代数第六章 线性空间
线性空间的维数
定义7 如果在线性空间V中有n个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关的向 量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么V就称为 无限维的。
按照这个定义，几何空间中向量所成的 线性空间是三维的；n元数组所成的空间是n 维的；
由所有实系数多项式所成的线性空间是 无限维的，因为对于任意的N，都有N个线
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里 所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得 多。线性空间有时也称为向量空间。以下我 们经常是用小写的希腊字母 , , ,代表线 性空间V中的元素，用小写的拉丁字母 k,l, p, 代表数域F中的数
线性空间的性质
1.零元素是唯一的。 假设01，02是线性空间V中的两个元素。
（1，0，，0），
显然
2 （0，1，，0），
n (0,0,,1)
是一组基。对每一个向量 (a1, a2,, an ) ，
都有 a11 a22 ann
所以
(a , 1
a 2
,,
a n
)
就是向量
在这组基下的坐
标。不难证明，
1 ' （1，1，，1）， 2 '（0，1，，1）， n ' (0,0,,1)
2.如果向量组
线性无关，而且
可以被
线1,性2 ,表出,，r 那么
。
, ,,
1
2
s
rs
由此推出，两个等价的线性无关的向量
组，必定含有相同个数的向量。
3.如果向量组
1
,
2
,,
r
线性无关，但向
量组
1
,
2
,,
r
高等代数6.8 线性空间的同构
k k ,
所以 是V1到V2的一个同构映射，故 V1 V2 .
例2、把复数域看成实数域R上的线性空间， 证明： C R2
证法一：证维数相等 首先，x C, x 可表成 x a1 bi, a,b R 其次，若 a1+ bi= 0, 则 a=b 0. 所以，1，i 为C的一组基， dimC 2. 又， dim R2 2
V与V 同构，记作 V V .
例1、V为数域P上的n维线性空间，1, 2 ,, n
为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应
: V Pn, (a1,a2 ,,an ) V
这里(a1,a2 ,,an )为 在 1, 2 ,, n基下的坐标，
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V P n .
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
引入
我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定
一组基后，V中每一个向量 有唯一确定的坐标
(a1,a2 ,,an ) ，向量的坐标是P上的n元数组，因此
属于Pn. 这样一来，取定了V的一组基 1, 2 ,, n 对于V中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 (a1,a2 ,,an )与 对应，就得到V到Pn的一个单射
二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
2、设 V ,V 是数域P上的线性空间， 是V到V 的
同构映射，则有
1） 0 0, .
2） (k11 k22 krr )
k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ), i V , ki P, i 1, 2,, r .
高等代数第六章 8第八节 线性空间的同构 太原理工大学
条件2)可以同样证明 可以同样证明. 对条件 可以同样证明 即 σσ-1(kα’)=kα’=kσσ-1(α’)=σ(kσ-1(α’)) 两边用σ 作用，即得条件 条件2) 两边用 -1作用，即得条件 σ1(kα’)=kσ-1(α’) . 再设σ和 分别是线性空间V到 和 到 的 分别是线性空间 再设 和τ分别是线性空间 到V’和V’到V’’的同构 映射, 我们来证明乘积τσ是 到 的一个同构映射. 的一个同构映射 映射 我们来证明乘积 是V到V’’的一个同构映射 显然， 是 对应的 显然，τσ是1—1对应的映射 由 对应 映射. τσ(α+β) = τ(σ(α)+σ(β))=τσ(α)+τσ(β)， ， τσ(kα)=τ(kσ(α))=kτσ(α) . 看出， 还适合定义11的条件1)与 ，因而是同构 还适合定义 看出， τσ还适合定义 的条件 与2)，因而是同构 映射. 映射
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3. V 中向量组 α1,α2,…,αr 线性相 无)关<＝>它们 线性相(无 关 ＝ 它们 的象σ(α 线性相(无 的象 1),σ(α2),…,σ(αr)线性相 无) 关. 线性相 因为由 k1α1+k2α2+…+krαr=0. 可得 k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr)=0. 反过来， 反过来，由 k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr)=0. 有 σ(k1α1+k2α2+…+krαr)=0. 对应的 只有σ(0)=0 ，所以 因为σ是 因为 是1—1对应的，只有 对应 k1α1+k2α2+…+krαr=0.
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线性空间的同构.ppt
由于W为子空间，所以 W , k W .
从而有 W , k W .
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
注
由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
3）V中向量组 1,2 , ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ), , (r )
线性相关（线性无关）. 4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集 (W ) { ( ) W }
(k ) (ka1, ka2 , kan )
k P
k(a1,a2 ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
引入
我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定 一组基后，V中每一个向量 有唯一确定的坐标 (a1,a2 , ,an ) ，向量的坐标是P上的n元数组，因此
属于Pn. 这样一来，取定了V的一组基 1, 2 , , n 对于V中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 (a1,a2 , ,an )与 对应，就得到V到Pn的一个单射
( 1( )) 1( )
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )
高等代数第五版习题答案
高等代数第五版习题答案高等代数是一门重要的数学学科，它是数学的基础之一，也是应用数学和理论数学的桥梁。
对于学习高等代数的学生来说，理解和掌握习题的解答方法是非常重要的。
本文将为大家提供《高等代数第五版》习题的答案，帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。
第一章：线性方程组和矩阵1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第二章：线性空间1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第三章：线性变换和矩阵1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第四章：特征值和特征向量1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第五章：正交性和对称矩阵2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第六章：二次型1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第七章：线性空间的同构1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第八章：线性空间的直和1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第九章：线性算子的标准形1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第十章：线性算子的Jordan标准形1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握高等代数的知识。
然而，仅仅依靠习题答案是不够的，学习高等代数还需要进行大量的练习和思考。
在解答习题的过程中，可以尝试不同的方法和思路，培养自己的逻辑思维和问题解决能力。
此外，还可以参考一些相关的数学工具和资源，如数学软件、参考书籍和在线学习平台。
这些资源可以帮助学生更好地理解和应用高等代数的知识，提高学习效果。
总之，高等代数是一门重要的数学学科，掌握其基本概念和解题方法对于学习和应用数学都具有重要意义。
通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。
但记住，理解和掌握知识的过程需要自己的努力和思考，习题答案只是一个辅助工具。
祝愿大家在学习高等代数的道路上取得好成绩！。
第八节线性空间的同构
3）数域 P 上任一 n 维线性空间都与 P n 同构。
例 1:设 V = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , A′ = A} ，
W = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , a ij = 0, i > j ,1 ≤ i, j ≤ 3} ，规定：
8线性空间的同构一线性空间同构的概念定义12设v与v?是数域p上线性空间?是v到v?的11对应且满足1??????????
§8 线性空间的同构
一、线性空间同构的概念
定义 12 设 V 与 V ′ 是数域 P 上线性空间， σ 是 V 到 V ′ 的 1-1 对应，且满足 1） σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) ； 2） σ ( kα ) = kσ (α ) 。
二、同构映射的性质
1） σ (0) = 0 ， σ ( −α ) = −σ (α ) ；
2） σ ( k1α 1 + k 2α 2 + L + k r α r ) = k1σ (α 1 ) + L + k r σ (α r ) ；
3）V 中向量组 α 1 , α 2 ,Lα r 线性相关（无关）等价于 σ (α 1 ), σ (α 2 ),Lσ (α r ) 线性相关（无关） 。
4.设 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个非平凡的子空间，证明，在 V 中存在 α 使
α ∉ V1 , α ∉ V2 同时成立。
5.设 V1 , V2 LVS 是线性空间 V 的 s 个非平凡的子空间，证明 V 中至少有一 个向量不属于 V1 , V2 LVS 中任何一个。
3）数域 P 上的 n 维线性空间都同构。
线性空间的同构
§8 线性空间的同构一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V例如：[]n P x 等设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设n n a a a εεεα+++= 2211,n n b b b εεεβ+++= 2211而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.于是向量,βα+αk 的坐标分别是),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.三、线性空间同构1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：1）)()()(βσασβασ+=+;2) ).()(ασασk k =其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.2．同构映射具有下列性质由定义可以看出，同构映射具有下列性质：(1). )()(,0)0(ασασσ-=-=.(2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .(3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数.(4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合{}11|)()(V V ∈=αασσ是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.(5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构.3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.第六章、线性空间(小结)线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体 展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标； 过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m < 个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=， 此时称W 为U 的一个余子空间.(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：① ∑=i V W 是直和；② 零向量的表示法唯一；③ {});,,2,1(,0t i V V ij j i ==∑≠④ ∑=i V W dim dim .四、线性空间的同构1.同构的定义2. 同构映射的基本性质：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定 或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。
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同构映射的性质
证 因为 σ 是 V 到 V′ 的一个单射，所有如果 σ(α) = σ(β)，则 α = β. 于是有
k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0 ⇔σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = σ(0) ⇔k1σ(α1) + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs) = 0′
i=1
i=1
∑n
∑n
= aiγi + biγi
i=1
i=1
= σ(α) + σ(β),
∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi V 到 V′ 的一个同构映射，从而 V ∼= V′.
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线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论.
σ :V ∑n
α = aiαi
i=1
−→V′ ∑n
−→ aiγi
i=1
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线性空间同构的判别条件
从上式看出，V 中每一个向量 α 都有 V′ 中唯一的向量与 α 对
应. 由于 应于 V′
中γ1不, γ同2, 的· · ·向, 量γn；是并V且′ 的V一′ 中个每基一，个因向此量Vδ中=不∑n同b的iγ向i，量都对
i=1
有 V 中向量 β = ∑n biαi，对应于 δ. 因此 σ 是 V 到 V′ 的一个
i=1
双射. 设 α = ∑n aiαi, β = ∑n biαi, k ∈ P，则
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抽象线性空间坐标化
正是因为数域 P 上任一 n 维线性空间 V 与 Pn 同构，所以 V 与 Pn 才这么相像，它们虽然元素不同，但是有关线性运算的性质 完全一样. 从而我们可以利用 Pn 的性质来研究 P 上 n 维线性空 间的性质.
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线性空间同构的判别条件
从上面的定理立即得出，数域 P 上任一 n 维线性空间 V 都与 Pn 同构. 并且可以如下建立到 Pn 的一个同构映射：在 V 中取 一个基 α1, α2, · · · , αn；Pn 中取标准基 ε1, ε2, · · · , εn. 令
σ :V ∑n
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线性空间同构的判别条件
定理 数域 P 上两个有限维线性空间的充分必要条件是它们的维数相 同.
证 设 V 与 V′ 都是数域 P 上有限维线性空间. 必要性从性质 5立即可得. 充分性. 设 dim V = dim V′ = n. 在 V, V′ 中各取一个基：α1, α2, · · · , αn；γ1, γ2, · · · , γn. 令
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同构映射的性质
数域 P 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射 σ 具有下列性质. 命题 (1) σ(0) 是 V′ 的零元素 0′.
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同构映射的性质
数域 P 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射 σ 具有下列性质. 命题 (1) σ(0) 是 V′ 的零元素 0′. 证 因为 0α = 0，所以
σ(0) = σ(0α) = 0σ(α) = 0′.
命题 (2) 对于任意 α ∈ V，有 σ(−α) = −σ(α).
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同构映射的性质
数域 P 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射 σ 具有下列性质. 命题 (1) σ(0) 是 V′ 的零元素 0′. 证 因为 0α = 0，所以
σ(0) = σ(0α) = 0σ(α) = 0′.
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从而 α1, α2, · · · , αs 线性相关.
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同构映射的性质
命题 (5) 如果 α1, α2, · · · , αn 是 V 的一个基，则 σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 V′ 的一个基.
σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = k1α1 + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs).
证 由定义即得. 命题 (4) V 中向量组 α1, α2, · · · , αs 线性相关当且仅当 σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αs) 是 V′ 中线性相关的向量组.
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线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论. 为什么数域 P 上 n 维线性空间与 Pn 这样相像？本节就来确切 地阐述这种现象的实质.
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线性空间同构的判别条件
定理 数域 P 上两个有限维线性空间的充分必要条件是它们的维数相 同. 证 设 V 与 V′ 都是数域 P 上有限维线性空间. 必要性从性质 5立即可得.
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命题 (2) 对于任意 α ∈ V，有 σ(−α) = −σ(α).
证 σ(−α) = σ((−1)α) = (−1)α = −σ(α).
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同构映射的性质
命题 (3) 对于 V 中任一向量组 α1, α2, · · · , αs，在数域 P 中任意一组元素 k1, k2, · · · , ks，有
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同构映射的性质
命题 (5) 如果 α1, α2, · · · , αn 是 V 的一个基，则 σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 V′ 的一个基.
证 据性质 4 得，σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 V′ 的一个线性无关 的向量组. 任取 β ∈ V′，由于 σ 是 V 到 V′ 的一个满射，因此存 在 α ∈ V，使得 σ(α) = β. 设
σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = k1α1 + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs). 证 由定义即得.
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同构映射的性质
命题 (3) 对于 V 中任一向量组 α1, α2, · · · , αs，在数域 P 中任意一组元素 k1, k2, · · · , ks，有
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同构映射的性质
数域 P 上线性空间 V 到 V′ 的一个同构映射 σ 具有下列性质. 命题 (1) σ(0) 是 V′ 的零元素 0′. 证 因为 0α = 0，所以
σ(0) = σ(0α) = 0σ(α) = 0′.
α = aiαi
i=1
−→Pn ∑n
−→ aiεi = (a1, a2, · · · , an)′,
i=1
即把 V 中每一个向量 α 对应它在 V 的一个基 α1, α2, · · · , αn 下 的坐标 (a1, a2, · · · , an)′，这就是 V 到 Pn 的一个同构映射.
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∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi = kσ(α),