北师大版九年级数学下公式法

这样，我们就得到一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式：
x= (b2-4ac≥0)，
即(出示投影片§2．3 D)
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0
(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是
x=
[师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving by formular)
[师]噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗?
[生齐声]戊同学说得正确．因为负数没
有平方根，所以，解方程x2+2bx+4ac＝0
时，必须有条件：b2-4ac≥0，才有丁同学求
出的解．否则，这个方程就没有实数解．
[师]同学们理解得很正确，那解方程x2+ax＝1时用不用加条件呢?
[生齐声]不用．
∴x1=3，x2= ．
二、求根公式的推导
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．
Ⅱ．讲授新课
[师]刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0)呢?
大家可参照解方程2x2-7x+3＝0的步骤进行．
[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得
大家来想一想，讨论讨论：
± =± 吗?
……
[师]当b2-4ac≥0时，
x+ =± =±
因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果：±
所以x+ =± ,
x=- ±
=
好，我们来看小亮的推导过程．(出示投影片§2．3 C)
ax2+bx+c=0(a≠0)
x2+ =0
x2+
x=
因为直角三角形的边长为正数，所以x1＝0应舍去．因此，这个直角三角形的三条边长分别为6，8，10．
(二)看课本P56～P57，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．
(1)求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用．对于a≠0，b2-4ac≥0。以及由a≠0，知4a2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理．
x2+ =0．
[生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，需要说明a≠0．
[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，必须说明a≠0．
好，接下来该如何呢?
因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程．
第六课时
课 题
§ 2.3 公式法
教学目标
(一)教学知识点
1．一元二次方程的求根公式的推导
北师大版九年级数学下公式法
课时安排
1课时
从容说课
公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程式化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程．
本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程．
公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解．
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张
第一张：复习练习(记作投影片§2．3 A)
第二张：试一试(记作投影片§2．3B)
第三张：小亮的推导过程(记作投影片§2．3 C)
第四张：求根公式(记作投影片§2．3 D)
第五张：例题(记作投影片§2．3 E)
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入课题
[师]我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片§2．3 A)
(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b2-4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P58习题2．6 1、2
(二)1．预习内容；P59～P61
2．预习提纲
(1)如何利用因式分解法解一元二次方程
Ⅵ．活动与探究
1．阅读材料，解答问题：
2．会用求根公式解一元二次方程
(二)能力训练要求
1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
教学重点
一元二次方程的求根公式．
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac≥0
[师]那为什么呢?
[生齐声]因为把方程x2+ax＝1配方变形为(x+ )2= ，右边 就是一个正数，所以就不必加条件了．
[师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．
1．用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2+ax＝1；(2)x2+2bx+4ac＝0．
[生乙](1)解x2+ax＝1，
配方得x2+ax+( )2＝1+( )2，
(x+ )2= ．
两边都开平方，得
x+ ＝± ，
即x+ ＝ ，x+ =- .
∴x1= ， x2＝
[生丙](2)解x2-2bx+4ac＝0，
移项，得x2+2bx＝-4ac．
(2)这里a＝9，b＝6，c＝1．
∵b2-4ac＝62-4×9×1＝0，
∴x=
即x1＝x2=- ,
2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
解：设中间的数为x，则另外两数为
x-2，x+2．根据题意，得
(x+2)2＝(x-2)2+x2．
整理，得x2-8x=0．
解这个方程，得
x1＝0，x2＝8．
1．用配方法解方程2x2-7x+3＝0．
[生甲]解：2x2-7x+3＝0，
两边都除以2，得x2 -x+ ＝0．
移项，得；x2- x=- ．
配方，得x2- x+(- )2＝- +(- )2．
两边分别开平方，得
x- ＝±
即x- = 或x- =- ．
∴x1=3，x2= ．
[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．(出示投影片§2．3 B)试一试，肯定行：
阅读材料：
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4＝0，我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设x2-1＝y，则(x2-1)2＝y2，原方程化为y2-5y+4=0． ①
解得y1=4，y2＝1．
当y1＝4时，x2-1＝4，
∴x2＝5，∴x=± ．
当y＝1时，x2-1＝1，
∴x2＝2，∴x=± ．
∴原方程的解为x1＝ ，x2＝- ，
(2)把方程化为一般形式后，在确定a、
b、c时，需注意符号．
接下来，我们来看一例题．(出示投影片§2．3 E)
[例题]解方程x2-7x-18＝0．
分析：要求方程x2-7x-18＝0的解，需先确定a、b、c的值．注意a、b、c带有符号．
解：这里a＝1，b＝-7，c＝-18．
∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)
＝121＞Leabharlann Baidu，
∴x= ,
却x1＝9，x2＝-2．
[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．
[师生共析]其一般步骤是：
(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出 的值，最后写出方程的根．
[师]接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P57随堂练习 1、2
1．用公式法解下列方程：
(1)2x2-9x+8＝0；(2)9x2+6x+1＝0．
解：(1)这里a＝2，b＝-9，c＝8．
∵b2-4ac=(-9)2-4×2×8
＝17>0，
∴x=
目x1= ，x2＝
解得y1=3，y2＝-2．
当y1=3时，x2＝3，∴x＝± ．
当y2＝-2时，x2=-2，此方程无实根．
∴原方程的解为x1＝ ，x2＝- ．
板书设计
§ 2．3 公式法
一、解：2x2-7x+3＝0，
两边都除以2，得
x2- =0．
移项，得
x2- .
配方，得
x2-
(x- .
两边分别开平方，得
x- ,
即x- 或x- .
配方，得x2-2bx+b2＝-4ac+b2，
(x+b)2=b2-4ac．
两边同时开平方，得
x+b＝± ，
即 x+b＝ ，x+b＝-
∴x1=-b+ ，x2＝-b-
[生丁]老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2＝b2-4ac．根据平方根
的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b2-4ac≥0时，才可以用开平方法解出x来．所以，在这里应该加一个条件：b2-4ac≥0．
由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根．
注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．
x3= ，x4=- .
解答问题：
(1)填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想．
(2)解方程x4-x2-6＝0．
[过程]通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解
决问题的能力．
[结果]
解：(1)换元 转化
(2)设x2＝y，则x4=y2，
原方程可以化为y2-y-6＝0．
[生丙]移项，得x2+
配方，得x2+ ,
(x+ .
[师]这时，可以直接开平方求解吗?
[生丁]不，还需要讨论．
因为a≠0，所以4a2>0．当b2-4ac≥0时，就可以开平方．
[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求 ≥0．因为4a2>0恒成立，所以只需b2-4ac是非负数即可．
因此，方程(x+ )2＝ 的两边同时开方，得x+ =± .