参数方程的意义

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曲线的参数方程及意义

y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x = 100t , (x,y) 1 2 y = 500 − gt .（g=9.8m/s2 ) 2 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
x = sinθ ,(θ为参数）所表示的曲线上一点的坐标是 y = cosθ
1 1 1 2 A、（，7）；、 , ); C、( , ); D、（，0）、（2，）； ( ）；B、、（1，）、（、、（ 2 2 3 3
练习2
x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) 2. 已知曲线的参数方程是已知曲线C的参数方程是 2 y = at .
表示同一曲线，都是表 x
此时参数有明确的物理意义（时刻）此时参数有明确的物理意义（时刻）
x = r cos θ , θ=ωt (θ为参数 ) y = r sin θ .
此时参数有明确的几何意义（角度）此时参数有明确的几何意义（角度）
参数方程要要注明参数
提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
引例
如图,一架救援飞机在离灾区地面高处以100m/s 如图一架救援飞机在离灾区地面500m高处以一架救援飞机在离灾区地面高处以的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放区指定的地面不记空气阻力飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？

参数方程的意义汇总

1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
数学运用
例1、如图，以O为圆心，分别以a,b为半径(a>b>0) 作两个圆，自O作一条射线分别交两圆于M，N两点，自M作MT ox，垂足为T，自N作NP MT , 垂足为P, 求点P的轨迹参数方程.
小结：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数
x f (t ), （2） y g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，确定投放时机呢？
y 500
垂直高度为y，所以 x 100t , （g=9.8m/s2 ) 1 2 y 500 gt . 2
令y 0, 得t 10.10s. 代入x 100t , 得 x 1010m.
o x 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为 1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ), （2） y g (t ).
参数方程的意义
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？

直线的参数方程的几何意义

直线的参数方程的几何意义直线的参数方程是用变量表示直线上的每一个点的坐标的一种表示方法。

在二维空间中，直线的参数方程可以用以下形式表示：x = x0 + nt, y = y0 + mt，其中n和m是常数。

在三维空间中，直线的参数方程可以用以下形式表示：x = x0 + nt, y = y0 + mt, z = z0 + pt，其中n、m和p是常数。

直线的参数方程的几何意义体现在以下几个方面：1.直线的方向向量：直线的参数方程中的常数n、m和p是直线的方向向量的分量。

直线上的每一个点都可以通过起点坐标加上方向向量的分量与参数的乘积得到。

2. 直线的斜率：在二维空间中，直线的参数方程可以转化为斜截式方程y = mx + c的形式，其中m代表直线的斜率。

直线的斜率是直线上两个不同点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。

3. 直线的截距：在二维空间中，直线的参数方程可以转化为截距式方程y = mx + c的形式，其中c代表直线与y轴的交点坐标。

直线的截距可以通过将参数方程中x等于零得到。

4.直线的方向：直线的参数方程中的常数n、m和p可以决定直线的方向。

当n、m和p都不为零时，直线是斜的，方向由斜率来确定；当其中一个常数为零时，直线平行于一个坐标轴，方向由与之平行的轴来决定；当两个常数为零时，直线垂直于一个坐标轴，方向由与之垂直的轴来决定。

5.直线上的点的坐标：直线的参数方程中的变量t可以取不同的值，对应于直线上的不同点。

通过给定不同的t值，可以得到直线上的各个点的坐标。

直线上的点的坐标可以通过代入参数方程中的t值来计算。

总之，直线的参数方程能够描述直线的方向、斜率、截距以及直线上各个点的坐标。

利用参数方程，可以方便地求解与直线相关的问题，如直线与其他几何图形的交点、直线的长度等。

同时，参数方程也是研究曲线、平面、空间之间关系的重要工具。

数学高考知识点参数方程

数学高考知识点参数方程在高考数学中，参数方程是一个重要的知识点。

参数方程是指用参数表示变量之间的关系，并通过参数的变化来描述这种关系。

参数方程不仅在数学中有着广泛的应用，同时也在物理、工程等多个领域中发挥着重要的作用。

一、参数的引入参数方程的引入可以简化问题的表达和计算。

举个例子，考虑一个直线上的点P，可以用其横坐标x和纵坐标y来表示。

但是如果直线是一个曲线，那么就无法简单地用一个表达式来表示。

这时，我们可以引入一个参数t，用t来表示点P在曲线上的位置。

于是，点P的横纵坐标可以分别表示为x(t)和y(t)，这就是一个参数方程。

二、参数方程的优势相比于常规的函数方程，参数方程具有一些独特的优势。

首先，参数方程的描述更加直观。

通过引入参数，我们可以更加清晰地描述出几何图形的运动轨迹。

其次，参数方程使得求解问题更加简单。

通过参数的引入，我们可以将一个复杂的问题简化为多个参数方程的求解，提高了问题的可解性。

三、参数方程的应用参数方程在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

在几何学中，参数方程可以用来描述曲线、曲面的形状和位置。

例如，圆的参数方程可以表示为x = r*cos(t)，y = r*sin(t)，其中r为半径，t为参数。

在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。

例如，一个抛物线的参数方程可以表示为x = v*cos(θ)*t，y =v*sin(θ)*t - (1/2)*g*t^2，其中v为初速度，θ为抛物线与水平方向的夹角，g为重力加速度。

在工程领域中，参数方程可以用来设计和分析曲线的形状和曲率。

例如，在建筑设计中，可以利用参数方程来描述建筑物的外观。

四、求解参数方程在高考中，我们经常会遇到求解参数方程的问题。

求解参数方程的关键在于确定参数的取值范围和方程的解析形式。

一般来说，我们可以通过限定参数的取值范围，确定曲线或曲面的一部分。

并且，我们可以通过消元、代入等数学方法，将参数方程转化为常规的函数方程，以便求解。

直线的参数方程的几何意义

直线的参数方程的几何意义1.直线的位置和方向：参数方程可以通过调整参数的取值范围，描述直线在坐标系中的位置和方向。

例如，对于二维平面上的直线，参数方程可以表示直线在坐标系中的位置，以及直线与坐标轴的夹角。

对于三维空间中的直线，参数方程则可以表示直线在空间中的位置和方向。

2.直线的长度和斜率：参数方程可以通过参数的取值范围的选择，可以表示直线的长度和斜率。

例如，在二维平面上的直线的参数方程中，当参数的取值范围是0到1时，直线的长度就是参数方程中点的坐标与起点坐标的距离。

斜率则可以通过参数方程中的斜率函数导出来。

3.直线上的点的坐标：直线的参数方程可以通过给定参数值来求得直线上任意一点的坐标。

这使得我们可以通过参数方程计算直线上的点的坐标，进而研究直线上的点的性质和行为。

例如，通过参数方程可以计算直线上的点的坐标，并进一步研究这些点的集合的几何性质。

4.直线的切线和法线：参数方程可以通过求导数来计算直线上每一点的切线和法线。

这使得我们可以通过参数方程推导出直线上每一点的切线和法线的方程式，并进一步研究它们的性质和关系。

例如，通过参数方程可以推导出直线上每一点的切线的斜率和法线的斜率，从而进一步研究直线的曲率和切线与法线的关系。

在实际应用中，直线的参数方程在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，参数方程可以用来表示直线、曲线和曲面，从而用来模拟和绘制各种图形。

在物理学中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹，从而用来研究粒子的位置、速度和加速度等动力学性质。

在工程学中，参数方程可以用来描述机械系统的运动路径和轨迹，从而用来优化设计和控制系统。

总之，直线的参数方程是一种描述直线位置和形状的方式，它可以通过给定参数的取值范围，将直线上的每一个点都用一个参数表示出来。

直线的参数方程不仅可以描述直线的位置和方向，还可以计算直线上每一点的坐标、切线和法线等几何性质，应用广泛，具有重要的几何意义。

参数方程的概念

曲线的参数方程1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．1．下列方程中可以看作参数方程的是( )A ．x －y －t ＝0B ．x 2＋y 2－2ax －9＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2y ＝2t －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝cos θ解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2＝t 2不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义．2．点M (2，y 0)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t 2－1，(t 为参数)上，则y 0＝________．解析：将M (2，y 0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t y 0＝t 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1y 0＝0.答案：03．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，判断点A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π，解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6.参数方程的概念已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t y ＝2t 2＋1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．[解] (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1. 解得：t ＝0.所以点M 1在曲线C 上．同理：可知点M 2不在曲线C 上．(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1. 解得：t ＝2，a ＝9.所以a ＝9.(1)满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．1.曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，所以曲线C 与y 轴的交点坐标是(0，－2)．答案：(0，－2)2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．(1)判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值．解：(1)把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0，所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2，所以点B (5，4)也在曲线上．把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上．(2)令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.求曲线的参数方程如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数，(0<t <a )．因为|OA |＝a 2－t 2，所以|BQ |＝a 2－t 2.所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2y ＝t，(t 为参数，0<t <a )．法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0<θ<π2)，则∠ABO ＝π2－θ. 在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. 所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ.(θ为参数，0<θ<π2)．求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60·t ，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .(t 为参数)．1．对参数方程概念的理解(1)曲线的参数方程中含有三个变量，并且以方程组的形式出现，其中x ，y 表示点的坐标，参数t 为中间变量，起着间接联系x ，y 桥梁的作用．(2)参数方程中，x ，y 都是关于参数t 的函数．反之，如果x ，y 虽然都能用t 表示，但不都能表示成t 的函数，它就不是参数方程．(3)曲线上任一点与满足参数方程的有序数对(x ，y )是一一对应关系．从数学的角度看，曲线上的任一点M 的坐标(x ，y )由t 唯一确定．当t 在允许值范围内连续变化时，x ，y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹．(4)在表达参数方程时，必须指明参数的取值范围，参数的取值范围不同，所表示的曲线可能不同．2．求曲线的参数方程(1)曲线的参数方程不是唯一的．同一条曲线由于所选取的参数不同，其参数方程的形式往往也不同．反之，形式不同的参数方程它们表示的曲线可以是相同的．(2)求曲线的参数方程，关键是选取参数．通常要结合实际问题和曲线形状选取时间、线段长度、方位角、旋转角等具有明确的物理意义或几何意义的量为参数，这样做有利于应用参数方程解决问题，当然也可以任意选取一个没有明确的实际意义的量为参数．(3)引入参数的同时，必须明确参数的取值范围．1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0 解析：选D.选项A 表示x 轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B 表示的是y 轴；选项C 表示x 轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D 可以作为x 轴的参数方程．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12解析：选C.当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示的曲线上．3．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2，(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．解析：由t ＋1t＝2解得t ＝1.答案：14．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)，M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．解：(1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，所以t ＝0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解．即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)因为点M (2，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. 所以t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.[A 基础达标]1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(0≤θ<2π)，则参数θ＝5π3所对应的点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫532，52解析：选A.θ＝5π3时，x ＝5×cos 5π3＝52，y ＝5×sin 5π3＝－532，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，故选A.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．线段C ．圆D ．半圆解析：选C.因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以普通方程为x 2＋y 2＝1.故选C.3．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．1解析：选B.根据题意，将点P 的坐标代入曲线方程中得⎩⎪⎨⎪⎧4＝t 2，a ＝2t⇒⎩⎨⎧t ＝8，a ＝4 2.故选B.4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最小值是( )A ．4B ．25C ．36D ．6解析：选A.因为(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋10sin(θ－φ)(且tan φ＝34)．所以当sin(θ－φ)＝－1时，有最小值4，故选A.5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2ty ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝－t解析：选A.设(x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得：(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t.6．若x ＝t －1(t 为参数)，则直线x ＋y －1＝0的参数方程是____________．解析：将x ＝t －1代入x ＋y －1＝0得y ＝2－t ，所以直线x ＋y －1＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)7．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．答案：A (1，3)8．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的序号是________．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝－t 2；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin ty ＝1sin t ；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t.解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：[0，＋∞)，[－1，1]，[－1，1]，故①②③均不正确；而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④9．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.这就是所求的轨迹方程．10.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θy ＝2a tan θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[B 能力提升]11．已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________．解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)12．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为____________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .所以参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t y ＝1＋12t(t 为参数)13．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数，且t ∈R)中，若f (t )和g (t )都是奇函数，请判断该曲线所对应函数的奇偶性．解：设(x ，y )是参数方程曲线上的任意一点，则存在参数t 使得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，所以－x ＝－f (t )，－y ＝－g (t )．又f (t )、g (t )均为奇函数，所以－x ＝f (－t )，－y ＝g (－t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝f (－t )－y ＝g (－t )，即点(－x ，－y )也在曲线上，所以该曲线的图象关于原点对称．所以该曲线对应的函数为奇函数．14．(选做题)试确定过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．设中点P (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0.所以y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2kk 2＋4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．。

参数方程的几何意义

参数方程的几何意义参数方程是描述曲线、曲面或空间中的点的一种方式，通过使用参数（通常为t或$\\theta$）表示坐标的函数关系，从而用一组参数方程来表示一个几何图形。

参数方程在几何学、物理学和工程学等领域中广泛应用，并且具有很多有趣的几何意义。

一维曲线的参数方程首先，让我们从一维曲线的参数方程开始讨论。

对于一维曲线（也称为曲线），参数方程将曲线上的点表示为参数的函数。

例如，我们可以使用以下参数方程表示一个圆：$$x = r \\cos(t)$$$$y = r \\sin(t)$$这里，t是参数，t是半径。

通过改变参数t的值，我们可以得到圆上的不同点。

参数方程的优势之一是可以通过改变参数范围来控制曲线的绘制部分。

二维曲面的参数方程在二维曲面的情况下，参数方程使用两个参数t和t（或者用$\\theta$和$\\phi$表示）来表示曲面上的点。

例如，我们可以使用以下参数方程表示一个球体：$$x = r \\sin(\\theta) \\cos(\\phi)$$$$y = r \\sin(\\theta) \\sin(\\phi)$$$$z = r \\cos(\\theta)$$这里，$\\theta$表示极角，范围从0到$\\pi$，而$\\phi$表示方位角，范围从0到$2\\pi$。

通过改变参数$\\theta$和$\\phi$的值，我们可以得到球体表面的不同点。

参数方程的一个有趣应用是用于绘制立体图形，例如圆柱体、锥体和椭球体。

通过使用适当的参数方程，我们可以控制图形的形状和大小，从而实现三维图形的绘制。

参数方程的几何意义参数方程的一个重要的几何意义是它可以描述曲线或曲面的运动。

通过改变参数的值，我们可以观察到曲线或曲面的变化。

例如，在球体的参数方程中，通过改变参数$\\theta$和$\\phi$的值，我们可以将球体绕着t轴旋转，或者改变球体的半径，从而实现球体的缩放和旋转。

此外，参数方程还可以用来描述复杂的几何图形，如心形线、螺旋线等。

直线参数方程u的几何意义应用

直线参数方程u的几何意义应用直线参数方程是描述直线形式的一种数学表达方式。

在几何学中，直线参数方程常用于描述平面几何中的直线的性质和方向。

本文将介绍直线参数方程u的几何意义及其应用。

直线参数方程u的几何意义直线参数方程u由以下形式表示：x = x₁ + auy = y₁ + buz = z₁ + cu其中 (x₁, y₁, z₁) 是直线上的一点，(a, b, c) 是直线的方向向量，u 是参数。

直线参数方程u为直线上的每一点提供了一个对应的参数值。

通过参数u，我们可以确定直线上的一点坐标，同时，通过改变参数u的取值，我们可以沿着直线方向上移动。

直线参数方程u的应用直线参数方程u在几何学和物理学中有广泛的应用。

下面简要介绍几个应用领域：1. 直线与平面的交点直线参数方程u可以用于求解直线与平面的交点。

给定直线参数方程u和平面方程，我们可以将直线参数方程代入平面方程，求解参数u的值，从而得到直线与平面的交点坐标。

2. 直线方向的确定直线参数方程u提供了直线的方向向量(a, b, c)。

通过观察参数的取值范围，我们可以判断直线的方向是向上还是向下，是向左还是向右。

3. 直线的长度计算在直线参数方程u中，我们可以通过改变参数u的取值范围来计算直线的长度。

通过固定一个取值范围，我们可以得到直线上两点的坐标，从而计算出直线的长度。

4. 直线的投影直线参数方程u可以应用于直线的投影计算。

通过将直线参数方程中的参数u限制在一定的范围内，我们可以将直线投影到二维平面上，得到直线在平面上的投影。

总结直线参数方程u为直线提供了一种便捷的表示方法，并在几何学和物理学中应用广泛。

通过直线参数方程u，我们可以方便地描述直线的性质、方向和位置，同时进行相关的计算和分析。

参数方程的意义

选修4—4 极坐标与参数方程§4.4.1 参数方程的意义（理科）总第56教案一、【教学目标】1、理解参数方程的意义，掌握选择适当的参数求曲线方程；2、初步掌握参数方程转化为普通方程的方法。

二、【教学难点】 1、如何选择参数； 2、参数方程化普通方程。

三、【基本概念】1、什么是曲线的参数方程？① 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以认为是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x （*），反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式（*）所确定的点P （y x ,）都在曲线C 上，那么方程（*）叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参数。

它起着联系变量x 、y 的桥梁作用。

② 当我们要建立曲线上点的坐标之间的直接关系比较困难时，常常通过设立某个与x 、y 都有关系的参数，求出曲线的参数方程。

相应地，我们把直接反映x,y 关系的方程称为普通方程。

2、如何合理选择参数？求曲线的参数方程的关键在于参数的选择。

选择参数时，应注意所选参数必须与两个坐标都有联系，通常情况下，若轨迹与运动有关，常选择时间t 为参数；若轨迹与转动有关，通常选择角α为参数；另外数学上我们还可以选择距离、斜率、比值等为参数。

四、【典型例题】例题1、设炮弹的发射角为α，发射初速度为0v ，求弹道曲线的方程。

（不计空气阻力）例题2、如图，边长为a 的等边三角形ABC 的两个顶点A 、B 分别在x 、y 的正半轴上移动，顶点C 和原点O 分别在AB 的两侧，求顶点C 的轨迹的参数方程。

思考：如何把此参数方程化为普通方程？例题3、以O 为圆心，分别以a 、b 为半径（a ＞b ＞0）作两个圆，自O 作一条射线分别交两圆于M 、N 两点，自M 作Ox MT ⊥，垂足为T ，自N 作MT NP ⊥，垂足为P ，求点P 的轨迹的参数方程。

例题4、过抛物线2y =px 2（p ＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB中点M 的轨迹方程。

参数方程

设M(x,y),由上面两直线方程可求得: 18a x 2 , 2 2 x y a 9 (a为参数), 消去参数a, 得 1( x 0). 2 9 4 y 2a 18 a2 9
点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去B,B).
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参数方程及其应用例 (2015· 内蒙古包头市模拟)已知直线 x＝1＋1t， 2 l： 3 y＝ t 2 参数)． (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点，求|AB|；
A
12
x 5cos (5).二次曲线 ( 是参数） y 3sin 的左焦点的坐标为（） (-4,0)
t t
x e e (6).参数方程 ( t 为参数 ) 表示的曲线（ t t y e e A.双曲线B.双曲线的下支C.双曲线的上支D.圆
若x y a恒成立，求实数 a的取值范围
x2 y 2 x= 3 cos , (1)由椭圆 + =1的参数方程为 ( 为参数)， 3 4 y 2sin 可设点P的坐标为( 3 cos , 2sin ) 3 1 则2x+y=2 3 cos 2sin 4 cos sin 2 2
P ( x, y ) t 的几何意义：表示有向线段 P0 P 的数量，
直线上两点P1,P2对应的参数分别是t1，t2，则 | P1P2|=| t1-t2 |
4
●两个要点 x＝x0＋tcosα， (1)在直线的参数方程 (t 为参数)中 t 的几何 y＝y0＋tsinα 意义是表示在直线上从定点 P0(x0，y0)到直线上的任一点 P(x，y) 构成的有向线段 P0P 的数量且在直线上任意两点 P1、P2 的距离为 |P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.

直线参数方程的几何意义

红旗数学，方法先行一、参数方程及参数等的几何意义★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 ★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+；|MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ⋅=⋅；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ⋅-+=-=-=，即.例1：已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ，两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到B A ,两点的距离之积。

（1）如何写出直线l 的参数方程解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为43π，所以它的参数方程是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 243cos 1t y t x ，（t 为参数），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 222221，（t 为参数）① （2）如何求出交点A ，B 所对应的参数21t t ，？把①代入抛物线的方程，得 0222=-+t t ，（3）||||||MB MA AB ⋅、与21t t ，有什么关系？由参数方程的几何意义可得：||||MB MA ⋅=2|2|||21=-=⋅t t二、求弦的中点坐标★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为：红旗数学，方法先行⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+=++=+++=+=)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零 (其中中点M 的相应参数为t ，而221t t t +=，所以中点坐标也为：⎩⎨⎧+=+=t p y y t p x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点，则中点M 的相应参数：221t t t +==0 （因为⎩⎨⎧+=+=tp y y t p x x 200100，而21p p ，均不为0，所以t=0）例2：直线l )(542531为参数，t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=与双曲线1)2(22=--x y 相交于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的坐标。

参数方程ρ的几何意义

参数方程ρ的几何意义参数方程ρ的几何意义参数方程是一种描述曲线或曲面的数学表达式，它是将自变量t作为参数，通过给定的函数关系式来确定一个或多个因变量。

在三维空间中，一个点可以由三个坐标x、y、z来表示。

而在极坐标系下，一个点可以由极径ρ和极角θ来表示。

因此，在描述曲线或曲面时，我们可以使用参数方程ρ=f(θ)和z=g(θ)来表示。

一、极坐标系简介极坐标系是一种二维坐标系统，它使用极径和极角来描述点的位置。

在平面直角坐标系下，每个点都可以用x轴和y轴上的坐标表示。

而在极坐标系下，则是用一个长度为r的向量从原点开始指向该点，并用一个角度θ来表示这个向量与x轴正半轴之间的夹角。

二、参数方程ρ=f(θ)和z=g(θ)在三维空间中，我们可以使用参数方程ρ=f(θ)和z=g(θ)来描述一个曲面。

其中ρ代表距离原点的距离（即极径），z代表垂直于xy平面的高度（即z轴上的坐标），而θ则代表与x轴正半轴的夹角。

三、参数方程的几何意义1. 参数方程描述的是一个曲面参数方程ρ=f(θ)和z=g(θ)描述的是一个曲面，它可以是任何形状，如圆锥、圆柱、球体等。

通过改变函数关系式，我们可以得到不同形状的曲面。

2. 曲面在极坐标系下的表示在极坐标系下，一个点可以用极径ρ和极角θ来表示。

因此，通过参数方程ρ=f(θ)和z=g(θ)，我们可以得到该曲面在极坐标系下的表示方式。

3. 极坐标系下的体积计算使用参数方程ρ=f(θ)和z=g(θ)，我们可以计算出该曲面在极坐标系下所围成的体积。

这对于一些物理问题或工程问题非常有用。

4. 参数方程在计算机图形学中的应用计算机图形学中经常使用参数方程来描述三维模型。

通过给定函数关系式，计算机可以生成相应形状的模型，并进行渲染和动画效果处理。

四、应用举例1. 球体球体可以用以下参数方程来表示：x = r sin φ cos θy = r sin φ sin θz = r cos φ其中r为球体半径，φ为极角，θ为方位角。

直线参数方程几何意义和实际应用

直线参数方程几何意义和实际应用甘肃大鹏2020.6.2一、直线的参数方程一般形式：)(00为参数t bt y y at x x ⎩⎨⎧+=+=标准形式：)[),,0(sin cos 00为参数t t y y t x x πααα∈⎩⎨⎧+=+=0≥y 那么这两个参数的几何意义是什么？我们先来研究一下一般式，我们都知道，如果确定直线上的一点和直线的方向就可确定这条直线，而参数方程的一般形式就是借助直线上的一点和直线的方向向量来表示直线的。

对于直线l ，我们在直线上任取相异的两点B A ,，则向量AB 称为向量的方向向量。

设),(00y x P 为直线l 上一点，),(b a a =为直线的方向向量，则直线的参数方程为：)(00为参数t bty y at x x ⎩⎨⎧+=+=其中),(00y x P 为基本起点，),(b a =为基本向量。

证明：设),(y x M 为直线上任意一点，则),(00y y x x PM --= 因为a PM //所以a t PM =即：⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒=--tb y y ta x x tb y y ta x x b a t y y x x 000000),(),( 此时参数t 的几何意义：（1）0>t 时，a PM 与同向，0=t 时a PM 与重合，0<t 时a PM 与反向。

（2t t =表示PM 相对于方向向量a 的个数。

特别地，若直线的倾斜角为α，则直线的方向向量a 的单位向量)sin ,(cos αα=e此时直线的参数方程为)[),,0(sin cos 00为参数t t y y t x x πααα∈⎩⎨⎧+=+=就变为直线参数方程的标准式。

此时t 的几何意义：（1）0>t 时，e PM 与同向，点M 在P 点的上方，0=t 时M P 与点点重合，0<t 时a PM 与反向，点M 在P 点的下方。

（2t t =表示点M 到P 点的距离。

直线参数方程的几何意义

一、参数方程及参数等的几何意义★ 若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为★ 若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，； |MP|+|MQ|的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+； |MP|·|MQ|的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ⋅=⋅； |PQ|的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ⋅-+=-=-=，即.例1：已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ，两点，求线段AB 的长与点)2,1(-M 到B A ,两点的距离之积。

（1）如何写出直线l 的参数方程解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为43π，所以它的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 243cos 1t y t x ，（t 为参数），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 222221，（t 为参数）① （2）如何求出交点A ，B 所对应的参数21t t ，？把①代入抛物线的方程，得 0222=-+t t ，（3）||||||MB MA AB ⋅、与21t t ，有什么关系？由参数方程的几何意义可得：二、求弦的中点坐标★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，则弦的中点坐标公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+=+++=+=2)sin ()sin (22)cos ()cos (2201021'201021'ααααt y t y y y y t x t x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+=++=+++=+=)(22)()(2)(22)()(2212022012021'211021011021't t p y t p y t p y y y y t t p x t p x t p x x x x ，21p p ，为常数，均不为零(其中中点M 的相应参数为t ，而221t t t +=，所以中点坐标也为：⎩⎨⎧+=+=t p y y tp x x 2010 ) ★ 若过点M )(00y x ，、倾斜角为α的直线l 与圆锥曲线交于A 、B 两点，且M 恰为弦AB 中点，则中点M 的相应参数：221t t t +==0（因为⎩⎨⎧+=+=t p y y tp x x 200100，而21p p ，均不为0，所以t=0）例2：直线l )(542531为参数，t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=与双曲线1)2(22=--x y 相交于A 、B两点，求弦AB 中点M 的坐标。

数学参数方程知识点总结8篇

数学参数方程知识点总结8篇第1篇示例：数学中的参数方程是一种常用的描述曲线、曲面的方法，它的应用非常广泛，涉及到几何、物理、工程等各个领域。

掌握数学参数方程的知识对于深入理解数学的原理和应用非常重要。

下面将对数学参数方程的相关知识点进行总结。

一、参数方程的定义参数方程是指用一个或多个参数表示的方程。

通常情况下，参数方程用t表示参数。

比如一个二维曲线的参数方程可以表示为x=f(t),y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别表示曲线上点的横坐标和纵坐标关于参数t 的函数。

1. 描述曲线的形状参数方程可以用来描述各种不规则曲线，如螺旋线、心形曲线等。

通过选择合适的参数函数，可以绘制出各种形状独特的曲线。

2. 计算曲线的长度对于参数方程表示的曲线，可以利用微积分的知识计算曲线的长度。

通过计算曲线上相邻两点之间的距离，对其进行积分求和，可以得到曲线的长度。

曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标。

利用参数方程表示的曲线可以通过求导计算出曲线的曲率，并进一步研究曲线的几何性质。

4. 综合应用在物理学、工程学等领域中，参数方程的应用非常广泛。

比如在物体运动学的研究中，可以用参数方程描述物体在空间中的运动轨迹，从而计算速度、加速度等物理量。

三、参数曲面方程除了参数方程可以描述曲线外，参数方程也可以用来描述曲面。

一个三维曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v)，其中f(u,v)、g(u,v)、h(u,v)分别表示曲面上点的三个坐标关于参数u,v的函数。

四、常见参数曲线1. 抛物线：x=t, y=t^2。

这个参数方程描述了抛物线的形状，t的取值范围可以确定抛物线的长度和位置。

2. 圆弧：x=a\cos t, y=a\sin t。

这个参数方程描述了以原点为圆心、半径为a的圆的圆弧。

五、总结第2篇示例：数学中的参数方程是一种描述曲线或曲面的方法，它利用参数表示曲线或曲面上的点的位置。