云南省201X年中考数学总复习题型突破二阅读理解型问题课件
中考数学云南专版总复习课件：解答题压轴题突破3 (共151张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
2023年中考数学专项突破之阅读理解课件(共39张PPT)
∵
规定第二年产品售价不超过第一年的售价,∴x≤16.
返回主目录
∵另外受产能限制,销售量无法超过12万件,∴-x+26≤12,解得x≥14,
∴w2=-x2+31x-150(14≤x≤16).
∵-1＜0,对称轴为x=_x001A_31_x001B_2_x001B_,∴x=14时,w2取最小值,
题关键.
返回主目录
当堂检测2
将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)
k
之间是反比例函数关系s= (k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以每千米平均耗
a
油0.1升的速度行驶,可行驶500千米.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式(关系式)；
时该文具店获利最大？
解：设购入甲种笔记本n本,则6n+4(60-n)≤296,解得n≤28.
返回主目录
答：购入甲种笔记本最多28本,此时获利最大.
(3)店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本350本和乙种笔记本150本.如果甲种
笔记本的售价每提高1元,则每天将少售出50本甲种笔记本；如果乙种笔记本的售价每
笔记本共用了47元.
(1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？
解：设甲种笔记本的进价是m元,乙种笔记本的进价是(10-m)元.
由题意得4(m+2)+3(10-m+1)=47,解得m=6.
答：甲种笔记本的进价是6元,乙种笔记本的进价是4元.
(2)该文具店购入这两种笔记本共60本,花费不超过296元,则购买甲种笔记本多少本
云南省中考数学总复习题型突破(二)阅读理解型问题课件
2.[2018· 天水] 规定:[x]表示不大于 x 的最大整数,(x)表示不小于 x 的最小整数,[x)表示最接近 x 的整数.例如:[2.3]=2,(2.3)=3,[2.3) =2.按此规定:[1.7]+(1.7)+[1.7)= 3.[2018· 湘潭] 阅读材料:若 a =N,则
类型1 新定义型问题
例1 [2018· 内江] 对于三个数 a,b,c,用 M{a,b,c}表示这三个数的中位数,用 max{a,b,c}表示这三个数中最 ������(������ ≥ -1), -1(������ < -1).
大数,例如:M{-2,-1,0}=-1,max{-2,-1,0}=0,max{-2,-1,a}= 解决问题: (3)如果 M{9,x2,3x-2}=max{9,x2,3x-2},求 x 的值.
,
A2 为 - ,
1
3
2 2
,A3 - ,2
5
3 2
,A4 - ,
3
3
2 2
,以此可得 A2018 横坐标为-
2017 2
,故答案为: - ,2
3
3 2
, -
2017 2
,
3 2
.
类型1 新定义型问题
6.[2018· 菏泽] 规定:在平面直角坐标系中,如果点 P 的坐 标为(m,n),向量������������可以用点 P 的坐标表示为:������������=(m,n). 已知:������������=(x1,y1),������������ =(x2,y2),如果 x1· x2+y1· y2=0,那么������������ 与������������ 互相垂直.下列四组向量,互相垂直的是( A.������������ =(3,2),������������ =(-2,3) B.������������ =( 2-1,1),������������ =( 2+1,1) C.������������ =(3,20180),������������= - ,-1
1.专题突破“阅读理解题”--丁浩勇
第二编专题突破专题二阅读理解型问题◇专题综述◇随着新课程改革的不断深入，各地中考试题的命制也在不断创新．纵观近些年各地的中考数学试题，有一种新颖的题型始终在中考试卷中占有一席之地，那就是“阅读理解”型中考题．所谓“阅读理解”型试题，就是试题首先给出一段阅读材料，介绍一种学生在课堂上从未涉及到的新知识，然后要求考生在自学新知的基础上，灵活应用新知来解答其后的问题．为何“阅读理解”型中考题近年来越来越受到中考命题者的青睐？这是因为它不但可以考查我们的阅读理解能力、信息处理能力和新知识的应用能力，而且可以考查我们的数学意识、探究能力和创新精神．安徽省近几年来的中考试题中也出现了“阅读理解”型试题，例如2013年的压轴题就是这种类型的试题，分值占卷面总分的9%，因此，我们在中考复习时要高度重视这类试题的训练．解答“阅读理解”型试题，首先要仔细阅读题干中给定的材料，从中获取与所要解决的问题有关的信息，其次要提炼获取的信息，从中感悟解决问题的思想方法，然后用提炼的思想方法快速、准确地解决问题．◇典例解析◇1.新概念型阅读理解题新概念型阅读理解题一开始先给出一段阅读材料，介绍一种学生在课堂上从未涉及到的新的概念，要求考生根据已有知识和技能来自学新概念，理解新知识，并能做到活学活用，应用新概念来解决问题．典例1．（2013咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，︒∠55DECBA，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似==∠=∠点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，5BC，且A，B，C，D四边均在正方形网格=AB，2=（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【解题指导】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明ADE∆，所以问题得解．∆∽BEC（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．【规范解题】（1）E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵︒=∠55=DEC．∴︒+BEC．∴DEA∠125∠∠125∠55=ADE．∵︒A，∴︒=DEA+∠∆．∠．∵BBEC=ADE∠∆∽BEC=A∠∠，∴ADE（2）作图如下：（答案不唯一，以下给出两种方案）∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，∴AEM ∆∽BCE ∆∽ECM ∆，∴AEM ECM BCE ∠=∠=∠．由折叠可知：DCM ECM ∆≅∆，∴DCM ECM ∠=∠，CD CE =,∴︒=∠=∠3031BDC BCE ,AB CE BE 2121==．在BCE Rt ∆中，,30tan tan ︒==∠BCBE BCE ∴33=BC BE ,∴332=BC AB .【变题速递】变题1-1．（2011南京）如图4，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图5，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． （2）在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①如图6，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．变题1-2．（2013黄石）如图7，点C 将线段AB 分成两部分，如果ACBC AB AC =，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S 、2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）如图8，在ABC ∆中，︒=∠36A ，AC AB =，C ∠的平分线交AB 于点D ，请问点D 是否是AB 边上的黄金分割点，并证明你的结论；（2）若ABC ∆在（1）的条件下，如图9，请问直线CD 是不是ABC ∆的黄金分割线，并证明你的结论；（3）如图10，在直角梯形ABCD 中，︒=∠=∠90C D ，对角线AC 、BD 交于点F ，延长AB 、DC 交于点E ，连接EF 交梯形上、下底于G 、H 两点，请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线，并证明你的结论.2.新算法型阅读理解题所谓新算法型阅读理解题，就是题目先给出一种新的运算方法并提供案例，然后再提出新的问题，让考生根据新的运算方法解决问题．解答这类问题时常运用类比的方法，对比阅读材料与所要解决的问题之间的异同，选择符合要求的算法进行运算．典例2.（2013宜宾）对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：22-+=⊗ab a b a ，有下列命题：①231=⊗；②方程01=⊗x 的根为：21-=x ，12=x ；③不等式组()⎩⎨⎧-⊗-⊗-0＜31042x x ＜的解集为：﹣1＜x ＜4；④点⎪⎭⎫ ⎝⎛25,21在函数()1-⊗=x y 的图象上．其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①③ C ．①②③ D ．③④【解题指导】根据新定义的运算规则对四个问题逐一进行运算，转化为有理数的运算、一元二次方程、一元一次不等式组、二次函数等熟悉的问题进行判断．【规范解题】①22311312=-⨯+=⊗，所以①正确；②方程01=⊗x 转化为022=-+x x ，它的根为：21-=x ，12=x ，所以②正确；③不等式组()⎩⎨⎧-⊗-⊗-0＜31042x x ＜转化为⎩⎨⎧---0＜40＜22x x ，它的解集为﹣1＜x ＜4，所以③正确； ④函数()1-⊗=x y 转化为22--=x x y ，当21=x 时，4922141-=--=y ，这说明点⎪⎭⎫ ⎝⎛25,21不在函数()1-⊗=x y 的图象上，所以④错误．故本题选择C ．【变题速递】变题2-1．（2013嘉兴）对于点()11,y x A ，()22,y x B ，定义一种运算：()()2121y y x x B A +++=⊕．例如，()4,5-A ，()3,2-B ，()()23425-=-++-=⊕B A ．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足D F F E E D D C ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，F 四点（ ）A ．在同一条直线上B ． 在同一条抛物线上C ．在同一反比例函数图象上D ．是同一个正方形的四个顶点变题2-2．（2013十堰）定义：对于实数a ，符号[]a 表示不大于a 的最大整数．例如：[]57.5=，[]55=，[]4-=-π．（1）如果[]2-=a ，那么a 的取值范围是_____________．（2）如果321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，求满足条件的所有正整数x ．3.解题方法型阅读理解题这类题的阅读材料中先给出解决某一类问题的独特解题策略或方法，然后要求考生运用材料中提供的新的解题策略或方法去解决同类问题．典例3.（2011十堰）请阅读下列材料：问题：已知方程012=-+x x ,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y ,则x y 2=,所以2y x =．把2y x =代入已知方程，得012)2(2=-+y y ．化简，得0422=-+y y ．故所求方程为0422=-+y y ． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程022=-+x x ,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【解题指导】（1）用“y -”代换原方程022=-+x x 中的x ，得方程02)(2=---y y 即为所求；（2）设所求方程的根为y ,则xy 1=(0≠x )． 用“y 1”代换原方程02=++c bx ax 中的“x ”即可．【规范解题】（1）设所求方程的根为y ，则x y -=所以y x -=．把y x -=代入已知方程，得02)(2=---y y ，故所求方程为022=--y y ；（2）设所求方程的根为y ，则x y 1=（0≠x ），于是y x 1=（0≠y ）．把y x 1=代入方程02=++c bx ax ，得012=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c y b y a ．去分母，得02=++cy by a ． 若0=c ，有02=+bx ax ，即()0=+b ax x ，可得有一个解为0=x ，不符合题意．故0≠c ，所求方程为02=++a by cy （0≠c ）．【变题速递】变题3-1．（2013达州）选取二次三项式()02≠++a c bx ax 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：()222422--=+-x x x ； ②选取二次项和常数项配方：()()x x x x 42222422-+-=+-，或()()x x x x 22422422+-+=+-； ③选取一次项和常数项配方：()2222224x x x x --=+-． 根据上述材料，解决下面问题：（1）写出482+-x x 的两种不同形式的配方；（2）已知03322=+-++x xy y x ，求y x 的值．变题3-2．（2013济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x 的方程0111=----x x x m 无解，方程062=++kx x 的一个根是m ．（1）求m 和k 的值；（2）求方程062=++kx x 的另一个根．4.探究论证型阅读理解题这类阅读理解题的材料中先给出一种探究问题的解题思路或论证过程，然后将这个问题加以拓展廷伸，要求考生在透彻理解材料的基础上，运用材料中所用的方法或思路解决新的问题．典例4.（2012山西）问题情境：将一副直角三角板（Rt △ABC 和Rt △DEF ）按图11所示的方式摆放，其中∠ACB =90°，CA =CB ，∠FDE =90°，O 是A B 的中点，点D 与点O 重合，DF ⊥AC 于点M ，DE ⊥BC 于点N ，试判断线段OM 与ON 的数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM =ON ，证明如下：连接CO ，则CO 是AB 边上中线，∵CA =CB ，∴CO 是∠ACB 的角平分线．（依据1）∵OM ⊥AC ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ．（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．拓展延伸：（3）将图11中的Rt △DEF 沿着射线BA 的方向平移至如图12所示的位置，使点D 落在BA 的延长线上，FD 的延长线与CA 的延长线垂直相交于点M ，BC 的延长线与DE 垂直相交于点N ，连接OM 、ON ，试判断线段OM 、ON 的数量关系与位置关系，并写出证明过程．【解题指导】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；（2）证△OMA ≌△ONB （AAS ），即可得出答案；（3）求出矩形DMCN ，得出DM =CN ，△MOC ≌△NOB （SAS ），推出OM =ON ，∠MOC =∠NOB ，得出∠MOC -∠CON =∠NOB -∠CON ，求出∠MON =∠BOC =90°，即可得出答案．【规范解题】（1）依据1：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；依据2：角平分线上的点到角的两边距离相等．（2）证明：∵CA =CB ，∴∠A =∠B ，∵O 是AB 的中点，∴OA =OB ．∵DF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠AMO =∠BNO =90°．在△OMA 和△ONB 中，∠A =∠B ，OA =OB ，∠AMO =∠BNO ，∴△OMA ≌△ONB （AAS ），∴OM =ON ．（3）OM =ON ，OM ⊥ON ．理由如下：连接CO ，则CO 是AB 边上的中线．∵∠ACB =90°，∴OC =AB =OB ，又∵CA =CB ，∴∠CAB =∠B =45°，∠1=∠2=45°，∠AOC =∠BOC =90°，∴∠2=∠B ，∵BN ⊥DE ，∴∠BND =90°，又∵∠B =45°，∴∠3=45°，∴∠3=∠B ，∴DN =NB ．∵∠ACB =90°，∠NCM =90°．又∵BN ⊥DE ，∴∠DNC =90°，∴四边形DMCN 是矩形，∴DN =MC ，∴MC =NB ，∴△MOC ≌△NOB （SAS ），∴OM =ON ，∠MOC =∠NOB ，∴∠MOC ﹣∠CON =∠NOB ﹣∠CON ，即∠MON =∠BOC =90°，∴OM ⊥ON ．【变题速递】变题4-1．（2013山西）数学活动——求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图13，将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起，其中∠ACB =∠E =90°，BC =DE =6，AC =FE =8，顶点D 与边AB 的中点重合，DE 经过点C ，DF 交AC 于点G ．求重叠部分（△DCG ）的面积．图12 图11（1）独立思考：请回答老师提出的问题．（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF 绕点D 旋转，使DE ⊥AB 交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图14，你能求出重叠部分（△DGH ）的面积吗？请写出解答过程．（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF 绕点D 旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．“爱心”小组提出的问题是：如图15，将△DEF 绕点D 旋转，DE ，DF 分别交AC 于点M ，N ，使DM =MN ，求重叠部分（△DMN ）的面积．任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN 的面积是 ．②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图16中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图13的基础上按顺时针旋转）．变题4-2．（2011苏州）如图17，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB ）放在直线1l 上．OA 边与直线1l 重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺吋针方向旋转120°，此时点O 运动到了点1O 处，点B 运动到了点1B 处；小慧又将三角形纸片11B A ，绕点1B 按顺吋针方向旋转 120°，此时点A 运动到了点1A 处，点1O 运动到了点2O 处（即顶点O 经过上述两次旋转到达2O 处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧1OO 和21O O ，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线1l 围成的图形面积等于扇形1AOO 的面积、11B AO ∆的面积和扇形211O O B 的面积之和．小慧进行类比研究：如图18，她把边长为1的正方形纸片0ABC 放在直线2l 上，0A 边与直线2l 重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点1O 处（即点B 处），点C 运动到了点1C 处，点B 运动到了点2B 处，小慧又将正方形纸片111B C AO 绕顶点1B 按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线2l 围成图形的面积；若正方形纸片OABC 按上述方法经过5次旋转．求顶点O 经过的路程；问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是π222041+？ 请你解答上述两个问题．图16图15 图14图13◇专题训练◇一、选择题1.（2011滨州）在快速计算法中,法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时,左、右手伸出的手指数应该分别为 ( )A ．1,2B ．1,3C ．4,2D ．4,32.（2011永州）对点（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（y x +，y x -）；且规定)),((),(11y x P P y x P n n -=（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2）=（3，1-），P 2（1，2）= P 1（P 1（1，2））= P 1（3，1-）=（2，4），P 3（1，2）= P 1（P 2（1，2））= P 1（2，4）=（6，2-）．则P 2011（1，1-）=（ ）．A ．（0,21005 ）B ．（0,-21005 ）C ．（0,-21006）D ．（0,21006）3.（2013潍坊）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，则x 的取值可以是（ ）． A.40 B.45 C.51 D.564.（2013东营）若定义：()()b a b a f ,,-=，()()n m n m g -=,, ，例如()()2,12,1-=f ，()()5,45,4-=--g ，则()()=-3,2f g （ ）． A ．()3,2- B ．()3,2- C ．()3,2 D ．()3,2--二、填空题5.（2011河北）如图1，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ．6.（2011崇左）我们把分子为1的分数叫理想分数，如12，13，14，...．任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如111236=+；111111;; (34124520)=+=+．根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数ba n 111+=（n 是不少于2的正整数），那么a +b =______．（用含有n 的式子表示）7.（2011黄石）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(,)m n 表示第m 图17 图18图1行第n 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(,)m n ，如果调整后的座位为(,)i j ，则称该生作了平移[,a b ]],m i n j ⎡=--⎣,并称a b +为该生的位置数．若某生的位置数为10，则当m n +取最小值时，m n ⋅的最大值为 ．8.（2013扬州）如果n b =10，那么称b 为n 的劳格数，记为()n d b =，由定义可知：n b =10与()n d b =所表示的是b 、n 两个量之间的同一关系．（1）根据劳格数的定义，填空：()=10d ，()=-210d ；（2）劳格数有如下运算性质：若m 、n 为正数，则()()()n d m d mn d +=，()()n d m d n m d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛． 根据运算性质，填空：()()=a d a d 2（a 为正数），若()3010.02=d ，则()=4d ，()=5d ，()=08.0d ； （3）下表中与数x 对应的劳格数()x d 有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．x 1.5 3 5 6 8 9 12 27d(x) 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c 3-3a-3c 4a-2b 3-b-2c 6a-3b9.（2013菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是 （写出2个即可）．三、解答题10.（2012湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式042＞-x ．解：∵()()2242+-=-x x x ，∴042＞-x 可化为 ()()022＞+-x x ．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①2020x x +>⎧⎨->⎩， ②2020x x +<⎧⎨-<⎩． 解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜-2，∴()()022＞+-x x 的解集为x ＞2或x ＜-2，即一元二次不等式042＞-x 的解集为x ＞2或x ＜-2．（1）一元二次不等式0＞162-x 的解集为 ；（2）分式不等式13x x --＞0的解集为 ； （3）解一元二次不等式0＜322x x -．11.（2013黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如()221223+=+．善于思考的小明进行了以下探索：设()222n m b a +=+（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有222222mn n m b a ++=+． ∴222n m a +=，mn b 2=．这样小明就找到了一种把类似2b a +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若()233n m b a +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：=a ，=b ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + 3=（ + 3）2；（3）若()2334n m a +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？12.（2013长沙）设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式b x a ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]b a ,．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当n x m ≤≤时，有n y m ≤≤，我们就称此函数是闭区间[]n m ,上的“闭函数”．（1）反比例函数xy 2013=是闭区间[]2013,1上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数()0≠+=k b kx y 是闭区间[]n m ,上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数5754512--=x x y 是闭区间[]b a ,上的“闭函数”，求实数a ，b 的值．13.（2013兰州）如图3，在平面直角坐标系xoy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，23-），点M 是抛物线C 2：m mx mx y 322--=（0＜m ）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．14．（2013安徽）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图4，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”．其中C B ∠=∠．（1）在图4所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图5，在“准等腰梯形”ABCD 中，C B ∠=∠，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：ECBE DC AB =； （3）在由不平行于BC 的直线截PBC ∆所得的四边形ABCD 中，BAD ∠与ADC ∠的平分线交于点E ，若EC EB =，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（即图6所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）．图3图4 图5 图615.（2013台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，23tan =A ，求证：ABC ∆是“好玩三角形”； （3）如图8，已知菱形ABCD 的边长为a , β2=∠ABC ，点P ，Q 从点A 同时出发，以相同的速度分别沿折线BC AB -和DC AD -向终点C 运动，记点P 所经过的路程为s ． ①当︒=45β时，若APQ ∆是“好玩三角形”，试求sa 的值 ②当βtan 的取值在什么范围内，点P ，Q 在运动过程中，有且只有一个APQ ∆能成为“好玩三角形”请直接写出βtan 的取值范围．（4）依据（3）中的条件，提出一个关于“在点P ，Q 的运动过程中，βtan 的取值范围与APQ ∆是“好玩三角形”的个数关系的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）．16.（2011青岛）问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常用比较两个数或代数式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的差M ﹣N ，若M ﹣N ＞0，则M ＞N ；若M ﹣N ＝0，则M ＝N ；若M ﹣N ＜0，则M ＜N ．问题解决如图10，把边长为a +b （a ≠b ）的大正方形分割成两个边长分别是a 、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小．解：由图可知，M =22a b +，N =2ab ，∴M ﹣N =()2222a b ab a b +-=-．∵a ≠b ，∴()20a b ->，∴M ﹣N ＞0，∴M ＞N ．类比应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为2a b +元/千克、2ab a b+元/千克（a ，b 是正数，且a ≠b ），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低．（2）试比较图11、图12两个矩形的周长M 1、N 1的大小（b ＞c ）．联系拓广图9 图10图11 图7 图8 备用图小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图13所示（b ＞a ＞c ＞0），售货员分别可按图14、图15、图16三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．参考答案专题二 阅读理解型问题答案变题速递1-1.（1）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 上的中线，∴CD=21AB ，∴CD=BD ，∴∠BCE=∠ABC ，∵BE ⊥CD ，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠ACB ，∴△BCE ∽△ABC ，∴E 是△ABC 的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC 内，作∠CBD=∠A ，②在∠ACB 内，作∠BCE=∠ABC ，BD 交CE 于点P ，则P 为△ABC 的自相似点；②∵P 是△ABC 的内心，∴∠PBC=21∠ABC ，∠PCB=21∠ACB ，∵△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，∴∠PBC=∠A ，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A ，∠ACB=2∠BCP=4∠A ，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=7180︒，∴该三角形三个内角度数为：7180︒，7360︒，7720︒．1-2.（1）点D 是AB 边上的黄金分割点，理由如下：∵︒=∠36A °，AC AB =，∴︒=∠=∠72ACB B °．∵CD 平分ACB ∠，∴︒=∠36DCB ，∴︒=∠=∠72B BDC °，∴BCD ∆∽BAC ∆，∴BC BD AB BC =．又∵AD CD BC ==，∴ADDBAB AD =，∴D 是AB 边上的黄金分割点． （2）直线CD 是ABC ∆的黄金分割线，理由如下：设ABC ∆的边AB 上的高为h ，则h AD S ADC ⋅=∆21，h BD S DBC ⋅=∆21，h AB S ABC ⋅=∆21，∴AB AD S S ABC ADC ∶∶=∆∆，AD BD S S ADC DBC ∶∶=∆∆．∵D 是AB 的黄金分割点，∴ADDBAB AD =，∴=∆∆ABC ADC S S ∶ADC DBC S S ∆∆∶，∴CD 是ABC ∆的黄金分割线．（3）GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．∵BC ∥AD ，∴EBD ∆∽EAH ∆，EGC ∆∽EHG ∆，∴EH EG AH BG =，EH EG HD GC =，∴HD AHGC BG =．同理，由BGF ∆∽DHF ∆，CGF ∆∽AHF ∆，得AH HD GC BG =，∴AHHDHD AH =，∴HD AH =，∴GC BG =，∴梯形ABGH 与梯形GCDH 上下底分别相等，高也相等，∴ABCD GCDH ABGH S S S 梯形梯形梯形21==，∴GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．2-1.设出四点的坐标，根据新定义运算代入D F F E E D D C ⊕=⊕=⊕=⊕这个条件，得出各点的横坐标与纵坐标之和相等，判断四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上．设()33,y x C ，()44,y x D ，()55,y x E ，()66,y x F ，由D F F E E D D C ⊕=⊕=⊕=⊕，得()()()()()()()()4646656554544343y y x x y y x x y y x x y y x x +++=+++=+++=+++，于是有66554433y x y x y x y x +=+=+=+．令k y x y x y x y x =+=+=+=+66554433，则k x y +-=11，k x y +-=22，k x y +-=33，k x y +-=44，这就是说互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线k x y +-=上．故本题选择A ．2-2.（1）根据“[]a 表示不大于a 的最大整数”可知，当[]2-=a 时，a 的最小值是2-，且a 一定小于1-，即2-≤a ＜1- ；（2）根据题意，得3≤21+x ＜4．解这个不等式组，得5≤x ＜7 ．所以满足条件的正整数为5，6.3-1.（1）()12441616848222--=+-+-=+-x x x x x 或()x x x x 424822--=+-;(2) 因为()02432332222=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-++y y x x xy y x ，所以2=y ，1-=x ，因此()112=-=y x ．3-2.（1）分式方程去分母得：01=--x m ，由题意将1=x 代入得：011=--m ，即2=m ，将2=m 代入方程得：0624=++k ，即5-=k ；（2）设方程另一根为a ，则有62=a ，即3=a ．4-1.（1）确定点G 为AC 的中点，从而△ADC 为等腰三角形，其底边AC =8，底边上的高GD =21BC =3，从而面积可求； （2）本问解法有多种，解答中提供了三种不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；（3）①对于爱心小组提出的问题，过D 点作AD 的垂线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，列方程求解；②本问要求考生自行提出问题，答案不唯一，属于开放性问题．4-2.①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可， ②再利用正方形纸片OABC 经过4次旋转得出旋转路径，进而得出222120222041πππ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+，即可得出旋转次数．专题训练1.A2.D3.C4.B5.36.2)1(+=+n b a 7.368.（1）1，2-；（2）6020.0，6990.0，0970.1-；（3）当()b a d -=23时，可推出()()b a d d 24329-==，符合，同理()27d 也符合，如果()3d 错误，则()9d 和()27d 两个错误，不可能，所以()3d 、()9d 、()27d 全部正确．当()c a d +=5，得()()()c a d d d --=-=15102，则()()()1236+--=+=c b a d d d ，()()c a d d 333238--==，全部正确，如果()5d 错误，则()6d 和()8d 两个也错误，不可能，所以()5d 、()6d 、()8d 全部正确．所以()5.1d 、()12d 错误．它们的正确结果如下：()()()()1310535.1-+-=-+=c b a d d d d ，()()()()()c b d d d d d 2236233612--=-=-=．9.由等边三角形的性质可知，最长的面径为等边三角形的高，最短的面径平行于三角形一边，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径．如图，（1）等边三角形的高AD 是最长的面径，且3223=⨯=AD ；（2）当EF ∥BC 时，EF 为最短面径，此时，212=⎪⎭⎫⎝⎛BC EF ，解得2=EF ．10.（1）∵x 2-16=（x +4）（x -4），∴x 2-16＞0可化为（x +4）（x -4）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得4040x x +>⎧⎨->⎩或4040x x +<⎧⎨-<⎩．解不等式组①，得x ＞4，解不等式组②，得x ＜-4，∴（x +4）（x -4）＞0的解集为x ＞4或x ＜-4，即一元二次不等式x 2-16＞0的解集为x ＞4或x ＜-4．（2）∵13x x --＞0，∴1030x x ->⎧⎨->⎩或1030x x -<⎧⎨-<⎩，解得：x ＞3或x ＜1． （3）∵2x 2-3x =x （2x -3），∴2x 2-3x ＜0可化为 x （2x -3）＜0，由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得0230x x >⎧⎨-<⎩或0230x x <⎧⎨->⎩，解不等式组①，得0＜x ＜32，解不等式组②，无解，∴不等式2x 2-3x ＜0的解集为0＜x ＜32．11.（1）∵()233n m b a +=+，∴323322mn n m b a ++=+，223n m a +=，mn b 2=． （2）设1=m ，1=n ，∴4322=+=n m a ，22==mn b ．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：223n m a +=，mn b 2=．∵mn 24=，且m 、n 为正整数，∴2=m ，1=n 或者1=m ，2=n ，∴713222=⨯+=a ，或1323122=⨯+=a ．12.（1）反比例函数x y 2013=在第一象限，y 随x 的增大而缩小，当1=x 时，201312013==y ；当2013=x 时，120132013==y ，所以当20131≤≤x 时，有20131≤≤y ，符合闭函数的定义，所以是闭函数；（2）分两种情况讨论：①若0＞k ，一次函数是增函数，根据“闭函数”的定义可知，当mx =时，m y =，当n x =时，n y =，代入解析式得，⎩⎨⎧=+=+n b nk m b mk ，解得⎩⎨⎧==01b k ，所以一次函数的解析式为x y =；②若0＜k ，一次函数是减函数，根据“闭函数”的定义可知，当m x =时，n y =，当n x =时，m y =，代入解析式得，⎩⎨⎧=+=+m b nk n b mk ，解得⎩⎨⎧+=-=n m b k 1，所以一次函数的解析式为n m x y ++-=．（3）因为()5112512--=x y ，所以该二次函数开口向上、最小值是511-，且当2＜x 时，y 随x 的增大而减小，当2＞x 时，y 随x 的增大而增大；①当2≤b 时：此二次函数y 随x 的增大而减小，所以根据“闭函数”的定义有第9题图⎪⎩⎪⎨⎧=--=--②575451①57545122a b b b a a ，解得⎩⎨⎧-==21b a 或⎩⎨⎧=-=12b a ，由于a b ＞，所以只能取2-=a ，1=b ； ②当b a ＜＜2时：此时最小值就是a =-511，根据“闭函数”的定义有b 可能等于5754512--a a ，也可能等于5754512--b b ；当5754512--=a a b 时，由于12516657511545115157545122=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=--a a ，即2125166＜=b ，不合题意舍去；当5754512--=b b b 时，解得21099±=b ，由于2＞b ，所以取21099+=b ； ③当2≥a 时：此时二次函数y 随x 的增大而增大，所以根据“闭函数”的定义有⎪⎩⎪⎨⎧=--=--②575451①57545122b b b a a a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=2109921099b a ，因为021099＜-不合题意，所以舍去． 综上所述，2-=a ，1=b 或511-=a ，21099+=b ．13.（1）令y =0，则 0322=--m mx mx ． ∵m ＜0，∴0322=--x x ，解得：11-=x ， 32=x ， ∴A （1-，0）、B （3，0）．（2）存在． ∵设抛物线C 1的表达式为)3(1-+=x x a y ）（（0≠a ），把C （0，23－）代入可得21=a ．∴Ｃ1：23212--=x x y ．设P （n ，23212--n n ），∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC=162723432+--）（n ．∵043＜-=a , ∴当23=n 时,S △PBC 最大值为1627． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，m 3-），M （1，m 4-），BD 2=992+m ， BM 2=4162+m ，DM 2=12+m ， ∵∠MBD <90°, ∴讨论∠BMD =90°和∠BDM=90°两种情况．当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2 ，4162+m ＋12+m =992+m ，解得：221-=m , 222=m (舍去) ；当∠BDM =90°时，BD 2+ DM 2= BM 2 ，992+m ＋12+m =4162+m ，解得：11-=m ，12=m ．综上 1-=m ，22-=m 时，△BDM 为直角三角形． 所以，它的面径长可以是2，3（或介于2和3之间的任意两个实数）． 14．（1）如图所示：（画出其中一种即可）．（2）证明：∵AE ∥CD ，∴C AEB ∠=∠，又∵AB ∥ED ，∴DEC B ∠=∠，∴ABE ∆∽。
九年级数学总复习课件：题型二专题四新定义问题
①求证：△BCE是等边三角形； ②求证：DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股 四边形.
例谈“定义新 运算”的解题 策略
例题图
【定义翻译】若一个四边形中存在相邻两边的 平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边 形为勾股四边形，理解此定义时，关键是不能 受勾股定理的影响，错误的认为相邻的两边和 对角线是在一个直角三角形中.
（1）【思路分析】利用含有直角的四边形找出 特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可. 解：正方形、矩形.
（2）【思路分析】①要证明△BCE是等边三角 形，根据等边三角形的判定方法：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形判定即可；② 要证明四边形ABCD是勾股四边形，则根据已知 条件可知DC2+CE2=DE2，只要证明AC=DE, BC=CE即可.
第二部分 热点题型攻略
题型二 解答题重难点突破
专题四 新定义问题
典例精讲
例（’14兰州）给出定义：若一个四边形中存在 相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称 该四边形为勾股四边形. （1）2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋 转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE.已知 ∠DCB=30°.
①证明：∵△ABC≌△DBE, ∴BC=BE. ∵∠CBE=60°， ∴△BCE是等边三角形.
②证明：∵△ABC≌△DBE, ∴AC=DE， 又∵△BCE是等边三角形， ∴BC=CE,∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°， ∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2. ∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.
【方法指点】1. 定义新运算题：在定义新运算 中，第一要理解新定义符号的含义，严格按新 的规则操作，将新定义运算转化成一般的+、－、 ×、÷数学式子，然后计算得出结果.一般说来， 新定义的运算不满足运算定律，因此要特别注 意题中所要求的运算顺序.
中考数学全面突破《新定义及阅读理解型问题》练习题含答案
题型4 新定义及阅读理解型问题题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝1a－b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x⊗(－2)＝2x－4－1的解是( )A. x＝4B. x＝5C. x＝6D. x＝72.对于实数a、b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若关于x 的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是( )A. 0B. 2C. 3D. 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( )①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大．其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a ≥b ）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________． 6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)，例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM ·AB ，BN 2＝AN ·AB ，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________．8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程． 证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)； (2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q(p ，q 是正整数，且p ≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x ≤y ≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7， 所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝3x＋9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y＝－2x＋4与y＝－2x－6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形；(2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′.【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________；(4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)；(5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B【解析】根据题意a⊗b＝1a－b2，则x⊗(－2)＝1x－（－2）2＝1x－4，又∵x⊗(－2)＝2x－4－1，∴1x－4＝2x－4－1，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的根，∴原方程x⊗(－2)＝2x－4－1的解是x＝5.2. B【解析】当x＋3≥－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝x＋3，此时x ≥－1，∴y≥2；当x＋3＜－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝－x＋1，此时x＜－1，∴y＞2.综上y的最小值为2.3. B【解析】①∵24＝16，∴log216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log212＝－1，故③正确．4. C【解析】∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，若a@b＝0，则(a＋b)2－(a－b)2＝0，∴(a＋b)2＝(a－b)2, ∴a＋b＝±(a－b)，∴a＝0或b＝0，∴①正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，∴a@(b＋c)＝[a＋(b＋c)]2－[a－(b＋c)]2＝[a＋(b ＋c)＋a－(b＋c)][a＋(b＋c)－(a－b－c)]＝4ab＋4ac，∵a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＋a2＋2ac＋c2－a2＋2ac－c2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c，∴②正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a －b)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab，当a＝b＝0时，满足a@b＝a2＋5b2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c，则2c＝2a＋2b，b＝c－a，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab＝4a(c－a)＝－4(a－12c)2＋c2，∴当a＝12c时，4ab有最大值是c2，即a＝b时，a@b的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32.7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN ·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )， ∴MB ＝MG. 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF 是“匀称三角形”． 理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD 、OD ， ∵AB 是⊙O 直径， ∴AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ， ∴D 是BC 中点， ∵O 是AB 中点， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC.∵DF 切⊙O 于D 点， ∴OD ⊥DF ， ∴EF ⊥AF ，过点B 作BG ⊥EF 于点G ，易证Rt △BDG ≌Rt △CDF(AAS )， ∴BG ＝CF ， ∵BE CF ＝53， ∴BE BG ＝53， ∵BG ∥AF(或Rt △BEG ∽Rt △AEF)， ∴BE BG ＝AE AF ＝53.在Rt △AEF 中，设AE ＝5k ，则AF ＝3k ， 由勾股定理得，EF ＝4k ，∴AF ＋EF ＋AE 3＝3k ＋4k ＋5k 3＝4k ＝EF ，∴△AEF 是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m 是一个完全平方数，∴m ＝p ×q ，当p ＝q 时，p ×q 就是m 的最佳分解， ∴F(m)＝p q ＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y ＋x)－(10x ＋y)＝18， 得y ＝x ＋2(y ≤9)，∴t ＝10x ＋y ＝10x ＋x ＋2＝11x ＋2(1≤x ≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个， ∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179， ∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22. (2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2， 又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切． (3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25， ∴这两条直线之间的距离为2 5. 12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD ′＝60°，∠PAO ＝60°.∵∠DAP ＝∠DAD ′－∠PAD ′＝60°－∠PAD ′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD ′，∴∠DAP ＝∠D ′AO. ∵∠D ＝∠D ′，AD ＝AD ′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ，又∵∠PAO＝60°，∴△AOP是等边三角形．选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO＝60°. ∵∠EAP＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′，∠E′AO＝∠PAO－∠PAE′＝60°－∠PAE′，∴∠EAP＝∠E′AO(ASA)．∵∠E＝∠E′，AE＝AE′，∴△EAP≌△E′AO，∴AP＝AO，又∵∠PAO＝60°，∴△AOP是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC，AD′，CD′.∵AE′＝AB，∠E′＝∠B＝180°×（5－2）＝108°，E′D′＝BC，5∴△AE′D′≌△ABC(SAS)，∴AD′＝AC，∠AD′E′＝∠ACB，∴∠AD′C＝∠ACD′，∴∠OD ′C ＝∠OCD ′， ∴OC ＝OD ′，∴BC －OC ＝E ′D ′－OD ′，即BO ＝E ′O. ∵AB ＝AE ′，∠B ＝∠E ′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE ′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD ′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OA BA ＝D ′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D ′AO ， 由(1)知∠D ′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ， ∵∠EAB ＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE ＋∠BAO ＝48°， 同理可证得∠OAB ＝∠PAE ，∴∠OAB ＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，AO ＝AP ，且∠PAO ＝60°，故△AOP 是等边三角形．(5)60°－180°n(n ≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n 边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB ＝180°（n －2）n－60°2，化简得∠OAB ＝60°－180°n(n ≥3)．13. 解：(1)由题意得n ＝1， ∴抛物线y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y ＝mx ＋1，得m ＝－1， ∴m ＝－1，n ＝1.(2)由题意设“路线”L 的解析式为y ＝a(x －h)2＋k ， ∵顶点Q 的坐标在y ＝6x 和y ＝2x －4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6hk ＝2h －4， 解得h ＝－1或3，∴顶点Q 的坐标为(－1，－6)或(3，2)， ∴y ＝a(x ＋1)2－6或y ＝a(x －3)2＋2， 又∵“路线”L 过P(0，－4)，代入解得a ＝2(顶点为(－1，－6))， a ＝－23(顶点为(3，2))，∴y ＝2(x ＋1)2－6或y ＝－23(x －3)2＋2，即y ＝2x 2＋4x －4或y ＝－23x 2＋4x －4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k 2－2k ＋12a ，4ak －（3k 2－2k ＋1）24a )，设带线l ：y ＝px ＋k ，代入顶点坐标得p ＝3k 2－2k ＋12，∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ，令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y轴于点(0，k)，∵k ≥12＞0，∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0，∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k＋3，令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2， ∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2， 故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。