第三讲 线性规划数学模型(最优成本)
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第三章线性规讲义划模型
➢ 对偶问题的对偶是原问题。
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
第三讲 线性规划数学模型(最优成本)
例2. 最小化问题
• M&D公司决定生产两种产品：产品A和产品B; • 生产产品A和B所用的时间和成本如下: 产品 A B 制造时间 2 1 总时间 < 600 成本 2 3 总产量 > 350 最少量 125
在满足客户要求前提下制定成本最小的生产计划 ?
数学模型：
min z = 2A+3B S.T. A ≥ 125 (1) (2) (3) A + B ≥ 350 2A + B ≤ 600 A, B ≥ 0
Δz=43.75 d1=43.75/10=4.375
对偶价格： 在一定范围内，当约束条件右 边常数bi增加1个单位所引起最优目 标函数值的改进量，称为该约束条 件的对偶价格。
(2) 数学模型：
max z =10S+9D s.t. 0.7 S + 1 D ≤ 630 0.5 S + 0.833D ≤ 600 1 S + 0.667D ≤708 0.1 S + 0.25D ≤ 135 S，D ≥ 0
可行范围
结论：
• • 目标函数是最大化问题； 在一定范围内，若约束条件的对偶价格 di大于0，则当bi增加1个单位时，其最 优目标函数值相应地增大di个单位；当
bi减少1个单位时，其最优目标函数值 相应地减少di个单位；
• 对偶价格有一定的应用范围。
思考题：
• 若目标函数为最大化问题，而约束条件 的对偶价格di小于0，此时会对目标函 数最优值产生什么样的影响？ • 若目标函数为最小化问题，结论又如 何？
（180，0）
S 200 400 600 800
D 600 约束条件4 约束条件1
400
200
线性规划的数学模型PPT课件
第六年所掌握的资金最多。
解：设x1为第一年的投资; x2为 第一年的保留资金
x1+ x2 第二年： x3为=第10二0 年新的投资； x4：第二年的保 留资金；
2021年5月22日星期六
( x1 2
x3 )
x4
x2
第14页/共21页
第三年：x5为新的投资；x6：第三年的保留资金；
(
x3 2
x5 )
2021年5月22日星期六
第3页/共21页
线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints
构成。称为三个要素。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是：
1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数，通常是求最大值或 最小值；
x7
x j 0, j
2 x 8 2 x9 1,2,,9
0
用单纯形法解得：X＝（22.64，72.36，58.54，0， 26.02， 0，104.06，0，0）’。Z＝208.12。
2021年5月22日星期六
第16页/共21页
即：第一年投资22.64元; 第二年新投资58.54元; 第三年新投资26.02元; 第四年新投资104.06元; 第六年末有资金208.12万元。
第18页/共21页
为了书写方便，上式也可写成
n
max(min) Z c j x j j 1
n j 1
aij
x
j
(或
,)bix j 0 j 1,2,, ni 1,2,, m
在实际中一般xj≥0,但有时xj≤0或xj无符号限制。
2021年5月22日星期六
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
线性规划数学模型
目标规划的数学模型
4.达成函数(即目标规划中的目标函数) 目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负 偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每 一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。 因此目标规划的目标函数只能是minZ = f(d＋、d－)。 一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一： (1)要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽 可能小，则minZ = f(d＋＋ d－)。 (2)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正 偏差变量尽可能小，则minZ = f(d＋)。 (3)要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f(d－)。 对由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即可。
• 为了弥补线性规划问题的局限性，解决有限资源和计 划指标之间的矛盾，在线性规划基础上，建立目标规 划方法，从而使一些线性规划无法解决的问题得到满 意的解答。
目标规划与线性规划的比较
• 线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条 件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
润比作为权系数即70:120，化简为7:12，P2(7d2＋+12d2 -)
第二目标：P3(d4＋+d4 -)
MinZ = P1d1- + P2 (7d2+ +12d3- ) + P3 (d4- + d4+ )
st
3974xx102xxx11+1x+++1+dd+1542-3-01xx--2x2220d+dx2+3+d223=40=-+00-22d000510d-004+-
线性规划与最优化问题的解法
稻壳学院
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求解方法：使用 单纯形法、椭球 法等算法求解线 性规划问题
线性规划的几何解释
添加 标题
线性规划问题可以看作是在多维空间中寻找一条直 线，使得该直线在满足一系列约束条件下，最大化 或最小化某个目标函数。
添加 标题
线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数 和约束条件。决策变量是问题中需要求解的未 知数，目标函数是希望最大化或最小化的函数， 约束条件是限制决策变量取值的条件。
解决方案：运输问题的解决方案通常包括 确定最优的运输路线和数量，以最小化运 输成本或最大化运输效益。
分配问题
简介：线性规划与最优化问题的实际应用之一是解决分配问题，通过合理分配资源，实 现最大化效益。
实例：如将有限的生产任务分配给不同的生产部门，以最小化生产成本或最大化总产量。
解决方法：利用线性规划模型描述问题，通过求解得到最优解，实现资源的最优分配。
添加 标题
在几何解释中，决策变量可以看作是坐标轴上 的点，目标函数可以看作是该点所在的高或低。 通过移动坐标轴上的点，可以找到使目标函数 取得最大值或最小值的点，即最优解。
添加 标题
线性规划的几何解释有助于直观地理解问题，并快 速找到最优解。在实际应用中，线性规划可以用于 资源分配、生产计划、运输问题等领域。
数。
线性规划问题 在现实生活中 应用广泛，如 生产计划、资 源分配和运输
问题等。
线性规划的基 本概念包括变 量、约束条件 和目标函数。
线性规划问题 通常在凸集上 进行，这使得 问题具有全局
最优解。
线性规划的数学模型
目标函数：要求 最大或最小化的 线性函数
约束条件：决策 变量的限制条件
3. 最优化模型基础：线性规划
A线资源输入 C线资源输入 劳动力资源输入 组装的阿尔法机输出
生产阿尔法机的第二 种配方
1 1. 5 10 －1
A线资源输入 C线资源输入 劳动力资源输入 组装的阿尔法机输出
华中科技大学管理学院
Ajax电脑公司每周资源分配问题
• 添加了第二种配方对应的数学模型
x ij
m ∑ x ij = b j i=1 n s .t . ∑ x ij = a i j =1 x ≥ 0 ij
j = 1 ,2 , L n i = 1 ,2 , L m
华中科技大学管理学院
可中转运输模型
A1 Am
D1
D2
B
B
图8 3 中转供货系统示意图
B
• 模型最优解为：MA*=128、 MA1*=120 MA2*=8、MB*=0、MC*=36；净收入最大 值为Z*=66760
华中科技大学管理学院
非可行模型和无界模型
• 模型是非可行(infeasible)的，即模型没有可 行解
– 每周至少卖出50台伽玛机，超出了C线测试能 力
• 目标函数是无界的(unbounded)
华中科技大学管理学院
无界模型
• 模型如下
Maximize Z = 350MA + 470MB + 610MC－40EA－30EL Subject to MA + MB ≤ 120＋EA MC ≤ 48 ( 目标函数) (A线测试能力) (C线测试能力)
10MA +15MB + 20MC ≤ 2000＋EL (可用劳动力) MA ≥ 0, MB ≥ 0, MC ≥ 0, EA ≥ 0, EL ≥ 0
华中科技大学管理学院
生产阿尔法机的第二 种配方
1 1. 5 10 －1
A线资源输入 C线资源输入 劳动力资源输入 组装的阿尔法机输出
华中科技大学管理学院
Ajax电脑公司每周资源分配问题
• 添加了第二种配方对应的数学模型
x ij
m ∑ x ij = b j i=1 n s .t . ∑ x ij = a i j =1 x ≥ 0 ij
j = 1 ,2 , L n i = 1 ,2 , L m
华中科技大学管理学院
可中转运输模型
A1 Am
D1
D2
B
B
图8 3 中转供货系统示意图
B
• 模型最优解为：MA*=128、 MA1*=120 MA2*=8、MB*=0、MC*=36；净收入最大 值为Z*=66760
华中科技大学管理学院
非可行模型和无界模型
• 模型是非可行(infeasible)的，即模型没有可 行解
– 每周至少卖出50台伽玛机，超出了C线测试能 力
• 目标函数是无界的(unbounded)
华中科技大学管理学院
无界模型
• 模型如下
Maximize Z = 350MA + 470MB + 610MC－40EA－30EL Subject to MA + MB ≤ 120＋EA MC ≤ 48 ( 目标函数) (A线测试能力) (C线测试能力)
10MA +15MB + 20MC ≤ 2000＋EL (可用劳动力) MA ≥ 0, MB ≥ 0, MC ≥ 0, EA ≥ 0, EL ≥ 0
华中科技大学管理学院
线性规划数学模型
该企业应如何拟定生产计划？
七、生产计划问题的数学模型
一、决策变量
设xj为第j种产品的计划产量
二、约束条件 ⑴ 指标约束 ⑵ 需求约束 ⑶ 资源约束
三、目标函数 ⑴ 总产值 ⑵ 总成本
xj ≥ ej ,
xj ≤ dj ,
n
∑a x j=1 ij j
≤
bi,
j = 1,2,… ,n j = 1,2,… ,n i = 1,2,…,m
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
七、生产计划问题的数学模型
一、决策变量
设xj为第j种产品的计划产量
二、约束条件 ⑴ 指标约束 ⑵ 需求约束 ⑶ 资源约束
三、目标函数 ⑴ 总产值 ⑵ 总成本
xj ≥ ej ,
xj ≤ dj ,
n
∑a x j=1 ij j
≤
bi,
j = 1,2,… ,n j = 1,2,… ,n i = 1,2,…,m
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
第三讲 线性规划(二)
i 1
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
数学知识点归纳线性规划与最优化问题
数学知识点归纳线性规划与最优化问题数学知识点归纳：线性规划与最优化问题数学作为一门学科，其中有很多重要的知识点需要我们去学习和掌握。
线性规划和最优化问题就是其中的两个重要知识点。
本文将对线性规划和最优化问题进行详细归纳和讲解。
一、线性规划线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划广泛应用于工程、经济、管理等领域。
下面我们将逐步介绍线性规划的基本概念、模型和解法。
1. 问题的建模在线性规划中，我们需要确定目标函数、约束条件和决策变量。
目标函数是我们希望最大化或最小化的线性指标，约束条件限制了决策变量的取值范围。
通过确定这些要素，我们可以建立一个数学模型，描述出线性规划问题。
2. 单变量线性规划在单变量线性规划中，我们只有一个决策变量。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，我们可以找到使目标函数取得最大值或最小值的决策变量。
3. 多变量线性规划在多变量线性规划中，我们有多个决策变量。
通过使用线性代数和数学优化方法，我们可以求解出目标函数的最优解。
4. 线性规划的解法求解线性规划问题的常用方法有单纯形法和内点法。
单纯形法是一种基于顶点的搜索方法，通过不断迭代改进目标函数的值，直到找到最优解。
内点法则是通过将问题转化为一系列约束条件更强的问题，逐步逼近最优解。
二、最优化问题最优化问题是数学分析中的一个重要问题领域，它涉及在一定约束条件下找出使目标函数取得最大值或最小值的问题。
最优化问题广泛应用于工程、经济和科学等领域。
下面我们将介绍最优化问题的基本概念和求解方法。
1. 单变量最优化问题在单变量最优化问题中，我们只有一个自变量。
通过求导、求极值点和判断二阶导数的符号，我们可以找到目标函数的最大值或最小值。
2. 多变量最优化问题在多变量最优化问题中，我们有多个自变量。
通过使用梯度下降法、牛顿法等数值优化方法，我们可以找到目标函数的最优解。
3. 最优化问题的约束条件最优化问题中的约束条件可以是等式约束或不等式约束。
线性规划问题及其数学模型
6
例 ： min z x1 2 x2 3x3
x1
x2 x3 7 x7
x1
x2 x3 2
3x1 x2 2 x3 7
x1, x2 0, x3无约x束 3 x4 x5
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解 ：标准形为
max z x1 2x2 3(x4 x5 ) 0x6 0x7
供需平衡
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线性规划模型举例
(一) 运输问题 (二) 布局问题 (三) 分派问题 (四) 生产计划问题 (五) 合理下料问题
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线性规划模型的条件
• （1）要求解问题的目标函数能用数 值指标来反映，且为线性函数；
• （2）存在着多种方案； • （3）要求达到的目标是在一定约束
• “” 约束：加入非负松驰变量
例： max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
4
x1
4 x2
x4 16 x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
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• “” 约束： 减去非负剩余变量；
• xk可正可负（即无约束）；
x 令 xk Mxak' x xk" xk' , xk" 0
i 1
每人只做一件工作
n xij 1
每人i 对每1,件2工,作只, n有
j 1
做与不做两种情况
xij 0 或 1 i, j 1,2,, n
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(四）生产组织与计划问题
(Ⅰ) 生产的机器最多 (Ⅱ) 总的加工成本最低 （Ⅲ）生产存储问题
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(四）生产组织与计划问题 应如何分配机
线性规划的数学模型和基本性质
1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
线性规划图解法(NO3)
2x1 =16
最优值
C
2x2 =10 Maxz=37
Z=30 B Z=37
Z=15
0
4
8A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
3
一、线性规划问题的图解法
3、LP问题图解法的步骤：
（1）画出直角坐标系； （2）依次做每条约束直线，标出可行域的方向，并找出 它们共同的可行域；
（3）任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线） ,根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开 可行域处，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。
例：用图解法求解如下线性规划问题
最优解为
max Z 4x1 3x2
s.t.
32xx11
3 2
x x
2 2
24 26
x1,
x
2
0
B(0,13) Q3(0,8)
3x1+2x2=26 Q2(6,4)
x1=6,x2=4 最优值为 maxz=36
2x1+3x2=24
Q1(26/3,0) A(12,0)
一、线性规划问题的图解法
4、线性规划解的特性
• 由线性不等式组成的可行域是凸多边形(凸多边形是凸集)
凸集定义：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合
a
b
c
d
• 可行域有有限个顶点。 • 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在 其区域的内部。
5
一、线性规划问题的图解法
5、线性规划解的可能性
x1 x2 5 s.t.3x1 4x2 24
x1, x2 0
4
2
O
2
4
6
8 x1
线性规划模型 ppt课件
例：求解线性规划问题的最优解
maxz2x23x3x4
x1x2x35 s.t. 2x2x246x3x3x4x5624
x1,x2,x3,x4,x5 0
1 1 1 0 0 0 1 4 1 0
0 2 6 0 1
解：（1）构造初始单纯单纯形表（第1、4 、5列构成的矩阵可逆）所以可取
x0(5,0,0,6,24)
分析和建立模型
（1）确定决策变量：设 x（ i i 1， 2， 3， 4）
为第i种矿石的选取的数量（单位10kg） ； （2）确定目标函数：
目标应该是使得总费用最小，即
f 1 0 x 1 1 5 x 2 3 0 x 3 2 5 x 4
达到最小；
（3）确定约束条件：选定的四种矿石的数量 应该满足铸件对三种成分的需求量，并且矿石数 量应该是非负的，即
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
例 （配料问题）某铸造厂生产铸件 ，每件需要20千克铅，24千克铜和30 千克铁。现有四种矿石可供选购，它们 每10千克含有成分的质量（千克）和 价格（元）如图。问：对每个铸件来说 ，每种矿石各应该选购多少，可以使总 费用最少？试建立数学模型。
x（ i i 1， 2， 3， 4）
具有以上结构特点的模型就是线性规划模型
，记为LP（Linear Programming），具有以 下一般形式：
s.t.
max(or min) f c1x1 c2 x2 cn xn
线性规划的解的唯一性与最优性知识点总结
线性规划的解的唯一性与最优性知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它在现代管理、经济、工程等领域都有着重要的应用。
其中，解的唯一性与最优性是线性规划中的关键知识点，理解和掌握这些内容对于有效地解决实际问题至关重要。
一、线性规划的基本概念线性规划问题通常是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{1n}x_n ＼leq （＼geq ，＝） b_1$＄a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{2n}x_n ＼leq （＼geq ，＝） b_2$＄＼cdots$＄a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq （＼geq ，＝） b_m$其中，＄x_j （j ＝ 1, 2, ＼cdots, n)＄为决策变量，＄c_j （j ＝ 1, 2,＼cdots, n)＄为目标函数系数，＄a_{ij} （i ＝ 1, 2, ＼cdots, m; j ＝ 1, 2,＼cdots, n)＄为约束条件系数，＄b_i （i ＝ 1, 2, ＼cdots, m)＄为约束条件右端项。
二、解的概念在线性规划中，解可以分为可行解、基可行解和最优解。
可行解是指满足所有约束条件的解。
基可行解是指可行解中的极点，即满足约束条件且非零变量的个数等于约束条件个数的可行解。
最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
三、解的唯一性1、唯一最优解当线性规划问题的可行域是凸集，且目标函数在可行域上是严格凸（凹）函数时，线性规划问题存在唯一最优解。
凸集是指对于集合中的任意两点，连接这两点的线段上的所有点都在集合内。
严格凸（凹）函数是指对于函数定义域中的任意两点，函数值在两点连线上的取值严格小于（大于）两点函数值的线性插值。
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问题3. min z = 2A+3B S.T. A ≥ 125 (1) (2) (3) A + B ≥ 351 2A + B ≤ 600 A, B ≥ 0
问题4. min z = 2A+3B S.T. A ≥ 125 (1) (2) (3) A + B ≥ 350 2A + B ≤ 650 A, B ≥ 0
Par公司计算机输出结果
Objective Function Value = Variable Value ---------------------------S 539.99842 D 252.00110 7667.99 Reduced Costs -----------------0.000 0.000
对偶价格部分
Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit ------------ --------------- ---------------- --------------1 495.60000 630.000 682.363 2 479.99929 600.000 No Upper Limit 3 580.00140 708.000 900.000 4 117.00012 135.000 No Upper Limit
数学模型：
max z =10S+9D s.t. 0.7 S + 1 D ≤ 630 0.5 S + 0.833D ≤ 600 1 S + 0.667D ≤708 0.1 S + 0.25D ≤ 135 S，D ≥ 0 （1） （2） （3） （4）
D 600 约束条件4 约束条件1
400
200
可行域
可行范围
结论：
• • 目标函数是最大化问题； 在一定范围内，若约束条件的对偶价格 di大于0，则当bi增加1个单位时，其最 优目标函数值相应地增大di个单位；当
bi减少1个单位时，其最优目标函数值 相应地减少di个单位；
• 对偶价格有一定的应用范围。
思考题：
• 若目标函数为最大化问题，而约束条件 的对偶价格di小于0，此时会对目标函 数最优值产生什么样的影响？ • 若目标函数为最小化问题，结论又如 何？
（180，0）
S 200 400 600 800
计算结果比较：
最优解为： 最优解为：
S=540 D=252 max z = 7668
S=540 D=252 max z = 7668
Δz=0 d4=0
Par公司计算机输出结果: Constraint -------------1 2 3 4 Slack/Surplus --------------0.00000 120.00071 0.00000 17.99988 Dual Prices -----------------4.37496 0.00000 6.93753 0.00000
第三章(续)
五、线性规划的灵敏度分析
5.1 图解法的灵敏度分析 • 灵敏度分析：
建立数学模型和求得最优解 后，研究线性规划的一个或多个参 数（系数）cj , aij , bi 变化时，对最 优解产生的影响。
例1. 最大化问题 • Par公司决定生产两种新产品：高、 中价位的高尔夫袋。 • 生产一个标准袋的利润是10美元， 生产一个高级袋的利润是9美元。
640
（1） （2） （3） （4）
D 600 约束条件4 约束条件1
400
200
可行域
（0，200） 约束条件3
（180，0）
S 200 400 600 800
计算结果比较：
最优解为： 最优解为：
S=527.5 D=270.75 max z = 7711.75
S=540 D=252 max z = 7668
生产每个高尔夫袋所需要的时间
各部门生产耗时 产品 标准袋 高档袋
最大生产 时间
切割印染 7/10 1 < 630
缝合 1/2 5/6 < 600
完成 1 2/3 < 708
检查包装 1/10 1/4 < 135
高档袋和标准袋各应生产多少才可以获得最大利润 ?
解： 1．确定决策变量：S =标准袋的产量 D =高档袋的产量 2．确定目标函数：Par公司的目标是利润最大 max z=10S+9D 3．确定约束条件： 0.7 S + 1 D ≤ 630 （切割印染） 0.5 S + 0.833D ≤ 600 （缝合） 1 S + 0.667D ≤708 （成型） 0.1 S + 0.25D ≤ 135（检测包装） 4．变量取值限制： S≥ 0, D ≥ 0
max z =10S+9D s.t. 0.7 S + 1 D ≤ 630 0.5 S + 0.833D ≤ 600 1 S + 0.667D ≤708 0.1 S + 0.25D ≤ 135 S，D ≥ 0 （1） （2） （3） （4）
136
D 600 约束条件4 约束条件1
400
200
可行域
（0，200） 约束条件3
（1）
610
（2） （3） （4）
D 600 约束条件4 约束条件1
约束条件2
400
200
可行域
（0，200） 约束条件3
（180，0）
S 200 400 600 800
计算结果比较：
最优解为： 最优解为：
S=540 D=252 max z = 7668
S=540 D=252 max z = 7668
（180，0）
S 200 400 600 800
D 600 约束条件4 约束条件1
400
200
可行域
（0，200） 约束条件3
（180，0）
S 200 400 600 800
可以得到： 当 -3/2 ≤ - (c1 / c2 ) ≤ -7/10 时， 原最优解仍是最优解。 • 固定 c2 =9，代入上式得 6.3 ≤ c1 ≤ 13.5 • 固定 c1 =10，代入上式得 6.67 ≤ c2 ≤ 14.29
(1)目标函数中系数 cj 的灵敏度分析 将目标函数z = c1 x1 + c2 x2 写成斜 截式 x2= -(c1 / c2 ) x1 + z / c2 则斜率为 - (c1 / c2 ) •当 k1 ≤ - (c1 / c2 ) ≤ k2 (1) 时，原 最优解仍是最优解
• 固定 c2 ，代入式（1）并整理得c1 的最优范围 • 固定 c1 ，代入式（1）并整理得c2 的 最优范围 • 假若c1 ， c2均改变，则可直接用式 （1）来判断。
结论：
当目标函数的系数 cj单一变化 时，只要不超过其上、下限，最优 解不变。
最优范围
练习题1.
Par公司数学模型（0）：
max z =10S+9D s.t. 0.7 S + 1 D ≤ 630 0.5 S + 0.833D ≤ 600 1 S + 0.667D ≤708 0.1 S + 0.25D ≤ 135 S，D ≥ 0 （1） （2） （3） （4）
约束条件(2)的对偶价格的分析：
min z = 2A+3B S.T. A ≥ 125 (1) (2) (3) 351 A + B ≥ 350 2A + B ≤ 600 A, B ≥ 0
Variable Lower Limit Current Value Upper Limit ------------ --------------- ---------------- --------------S 6.3000 10.000 13.4999 D 6.6667 9.000 14.2857
问题1. min z = c1 A + c2 B S.T. A ≥ 125 (1) (2) (3) A + B ≥ 350 2A + B ≤ 600 A, B ≥ 0
问题2. min z = 2A+3B S.T. A ≥ 126 (1) (2) (3) A + B ≥ 350 2A + B ≤ 600 A, B ≥ 0
400
200
可行域
（0，200） 约束条件3
（180，0）
S 200 400 600 800
计算结果比较：
最优解为： 最优解为：
S=541.875 D=250.6875 max z = 7674.938
S=540 D=252 max z = 7668
Δz=6.938 d3=6.938
(4) 数学模型：
模型0： 模型1： 模型2： 模型3： 模型4： 模型5： 模型6： 模型7：
max z = 10 S + 9 D max z = 13 S + 9 D max z = 10 S + 8 D max z = 13 S + 8 D max z = 6 S + 9 D max z = 10 S + 6 D max z = 6 S + 6 D max z = 18 S + 9 D
可行域
（0，200） 约束条件3
（180，0）
S 200 400 600 800
将目标函数 z = c1 x1 + c2 x2 写成斜截式 x2= -(c1 / c2 ) x1 + z / c2 则斜率为 - (c1 / c2 )
D 600 约束条件4 约束条件1
400
200
可行域
（0，200） 约束条件3
（0，200） 约束条件3
（180，0）