全国卷文科三角函数复习

三角函数（文） 复习

【知识梳理】

一、两角和与差的三角函数

（1）两角和与差公式：

βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±

βββαsin sin cos cos )cos(a a μ=±

β

β

βtan tan 1tan tan )(tan a a a a μ±=

±

注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．

（2）二倍角公式：

a a a cos sin 22sin =

1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a

a

a

a 2

tan 1tan 22tan -=

二、正、余弦定理

在ABC ∆中有:

①正弦定理：2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ∆外接圆半径）

2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧

=⎪⎪

⎪

=⎨⎪

⎪

=⎪⎩

注意变形应用 ②余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

③面积公式：111

sin sin sin 222

ABC S abs C ac B bc A ∆===

三、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域

R R

,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最值

当22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时，max 1y =；

当22

x k π

π=-

()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；

当2x k ππ=+

(

)k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小值

周期性 2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在2,22

2k k π

πππ⎡⎤

-

+

⎢⎥⎣

⎦

()k ∈Z 上是增函数；在

32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦

()k ∈Z 上是减函数．

在

[]()

2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在

[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函数．

在,2

2k k π

πππ⎛

⎫

-

+

⎪⎝

⎭

()k ∈Z 上是增函数．

对称性

对称中心()(),0k k π∈Z

对称轴

()2

x k k π

π=+

∈Z

对称中心

(),02k k ππ⎛

⎫+∈Z

⎪⎝

⎭ 对称中心

(),02k k π⎛⎫

∈Z

⎪⎝⎭

无对称轴

函 数

性 质

四、方法总结

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2

β

α-等。

（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝

a

b

确定。 2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

【选择填空】

考点：三角函数公式的简单应用

1、（2016全国I 卷4题）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c..已知a =2c =，

2

cos 3

A =

，则b=

（A （B （C ）2 （D ）3

技巧：如何选择正弦公式还是余弦公式？ 答：多角用正弦公式；多边用余弦公式。

2、（2013全国II 卷4题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6

B π

=，4

C π

=

，

则ABC ∆的面积为（ ）

（A ）2 （B 1 （C ）2 （D 1

考点：三角函数与正、余弦公式综合