2020-2021年高二数学平均变化率教案 苏教版
苏教版选修2-2高中数学导数的概念—平均变化率教案
导数的概念—平均变化率教学目的： 知识与技能：了解曲线的切线的概念过程与方法：掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．情感、态度与价值观：并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 。
教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
教学过程：学生探究过程： 导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫二、讲解新课：１．曲线的切线切线x O y如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线 y=f(x)β∆x ∆yQM Px O y2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法： 因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x∆ 我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.三、讲解范例：例1曲线的方程为y =x 2+1，那么求此曲线在点P (1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.解：k =xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 2200(1)(1)(1)1(11)lim lim x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆+-+==∆∆ y=x 2+1y=2x P(1,2)x O y200()2lim lim (2)2x x x x x x∆→∆→∆+∆==∆+=∆ ∴切线的斜率为2.切线的方程为y －2=2(x －1)，即y =2x .例2求曲线f (x )=x 3+2x +1在点(1，4)处的切线方程.解:k =xf x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆)1()1(lim )()(lim 0000 330(1)2(1)1(1211)lim x x x x∆→+∆++∆+-+⋅+=∆ 23053()()lim x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆20lim[53()]5x x x ∆→=+∆+∆= ∴切线的方程为y －4=5(x －1)，即y =5x －1例3求曲线f (x )=31x 3－x 2+5在x =1处的切线的倾斜角. 分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k =tan α，求出倾斜角α.解：∵tan α=xf x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆)1()1(lim )()(lim 0000 32011(1)(1)5(15)33lim x x x x∆→+∆-+∆+--+=∆ 301()3lim x x x x∆→∆-∆=∆201lim[()1]13x x ∆→=∆-=- ∵α∈［0，π)，∴α=43π. ∴切线的倾斜角为43π.例4求曲线y =sin x 在点(21,6π)处的切线方程. 解：k =xx x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆6sin )6sin(lim )6()6(lim 00ππππ011cos 222lim x x x x ∆→∆+∆-=∆001cos 1sin lim lim 22x x x x x x ∆→∆→∆-∆=+∆∆202sin 12lim 22x x x ∆→∆-=+∆202sin 12lim ()222()2x x x x ∆→∆∆=⋅-+∆110222=⋅⋅+= ∴切线方程是)6(2321π-=-x y ， 即2112323+-=πx y 例5 y =x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.解：设点P 的坐标(x 0，x 03)∴斜率3=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00033000()lim x x x x x ∆→+∆-=∆ 22300033()()lim x x x x x x x∆→∆+∆+∆=∆2220000lim[33()]3x x x x x x ∆→=+∆+∆= ∴3x 02=3，x 0=±1∴P 点的坐标是(1，1)或(－1，－1) 四、巩固练习：1．已知曲线y =2x 2上一点A (1，2)，求(1)点A 处的切线的斜率.(2)点A 处的切线方程.解：(1)k =xx x f x f x x ∆⋅-∆+=∆-∆+→∆→∆220012)1(2lim )1()1(lim 4)24(lim )(24lim 020=∆+=∆∆+∆=→∆→∆x xx x x x ∴点A 处的切线的斜率为4.(2)点A 处的切线方程是y －2=4(x －1)即y =4x －22.求曲线y =x 2+1在点P (－2，5)处的切线方程.解：k =xx x f x f x x ∆---+∆+-=∆--∆+-→∆→∆1)2(1)2(lim )2()2(lim 2200 4)4(lim )(4lim 020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x xx x x x ∴切线方程是y －5=－4(x +2)，即y =－4x －3.点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发五、教学反思 ：这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.六、课后作业：1. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=－3x +2, x ＝２处 （２）y ＝11+x ，x ＝０处． 答案：(1)k=－１２，（２）k=－１。
3.1.1《平均变化率》教案(苏教版选修1-1)
课时 1：均匀变化率教课目的：（一）知识目标1 ．感觉均匀变化率宽泛存在于平时生活之中，经历运用数学描绘和刻画现实世界的过程，领会数学的广博精湛以及学习数学的意义。
2 ．理解均匀变化率的意义，为后续成立刹时变化率和导数的数学模型供给丰富的背景。
（二）能力目标领会均匀变化率的思想及内涵（三）感情态度与价值观使学生拥有豪迈的科学态度，相互合作的风格，勇于研究，踊跃思虑的学习精神教课要点：均匀变化率的实质意义与数学意义教课难点：对生活现象作出数学解说教课过程：一．问题情境（ 1）情境某人走路的第 1 秒到第 34 秒的位移时间图象如下图：（ 2）问题 1：“从 A 到 B 的位移是多少？从 B 到 C 的位移是多少？”问题 2：“ AB 段与 BC 段哪一段速度较快？”二．师生活动（1）速度快慢是生活用语，如何将它数学化？（2）曲线上 BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？（ 3）由点 B 上涨到 C 点一定观察y C y B的大小，但仅注意到y C y B的大小可否精确量化 BC 段峻峭的程度？为何？（ 4）在观察y C y B的同时一定观察x C x B，函数的实质在于一个量的改变自己就隐含着这类改变必然相关于另一个量的改变而言。
三．建构数学（ 1）经过比较位移在区间1,32 上的均匀变化率0.5 与位移在区间32,34上的均匀变化率 7.4 ，感知曲线峻峭程度的量化。
（ 2）一般地，给出函数f x2f x1 f x 在区间 x1 , x2上的均匀变化率x2x1（ 3）回到位移曲线图中，从数和形双方面对均匀变化率进行意义建构（ 4）用均匀变化率来量化一段曲线的峻峭程度是“粗拙不精准的”，但应注意当 x2 x1很小时，这类量化便由“粗拙”强迫“精准”。
四．讲堂练习学生议论 P57 练习 1，发布看法。
教师补例：甲、乙两汽车，速度从判两车的性能？0km / h 分别加快到100k / h 和 80k / h ，如何评五．数学应用例 1． P56 页例 1、例 2，并注意小结（1）如何解说例 1 中从出生到第 3 个月，婴儿体重均匀变化率为1（kg /月）？（2）例 1 中两个不一样的均匀变化率的实质意义是什么？（3）例 2 中V t5e 0.1t是一个随时间变化而变化的量，0.316（cm3/ s ）是否表示 10 秒内每一时辰容器甲中水的体积V 减少的速度？例 2． P57 页例 3、例 4，并注意小结（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例 2 的深入（2）例 3 中四个区间的变化致使均匀变化率有如何的变化？这类变化的实质意义和数学意义分别是什么？（3）例 4 讲完后应让学生当堂回答课本中的思虑。
2020-2021学年苏教版数学选修2-2课件：1.1.1 平均变化率
2.(1)求半径r关于体积V的函数r(V)⇒V= 4πr3.
3
(2)半径r(V)的平均变化率⇒ r⇒Δr,ΔV.
V
【解析】1.Δs=(10+0.1)+(10+0.1)2-10-102=2.11, 所以 s＝２１=. 2１1.1(m/s).
t 0.1
故10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为21.1 m/s.
2.已知气球的体积为V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)= 4 πr3.
3
(1)求半径r关于体积V的函数r(V).
(2)求体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时,半径r的平均变化率(精确到
0.01).
【思路导引】1.
v⇒
s ⇒Δs=s(10.1)-s(10),Δt=0.1.
D.5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)
=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是
s （t）2=(5Δtt+5)(m/s).
t
t
类型二 函数平均变化率的应用 【典例】1.在山地自行车比赛中,运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系 s(t)=t+t2(位移单位:m,时间单位:s).则10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为 ____________.
t2 t1
【自我检测】
1.自变量x从2变到3时,函数f(x)=3x-1的函数值的增量与相应自变量的增量之
比等于 ( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.自变量x从2变到3时,函数f(x)=3x-1的函数值的增量为8-5=3,
2020-2021学年苏教版选修2-2 平均变化率 课件(31张)
g(1) g(3) 2 (1) (3)
函数g(x)在[0，5]上的平均变化率为
g(5) g(0) 2 50
思考:
一次函数 y=kx+b在区间 m, n(m n) 上的平均变化
率有什么特点？
答：平均变化率就等于直线的斜率k
例4、已知函数 f (x) x2，分别计算 f (x) 在下列
算第一个10s内V的平均变化率.
甲 乙
解：在区间[0,10]上，V的平均变化率
为 : 5 20.110 5 20.10 = 1 (cm3 / s)
10 0
4
甲
即第一个10s内容器甲中水的体积的
乙 平均变化率为 1 cm3 / s.
4
练习： 环境保护部门在规定的排污达标日期前，对甲、
乙两家企业进行检查，连续检测结果如图所示（其 中 W1(t)，W2(t) 分别表示甲、乙两企业的排污量），试 比较两个企业的治污效果. W W1(t)
32 1
31
T (℃) 30 20
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
气温在区间[32，34]上的平均变化率为
yC - yB = 33.4 - 18.6 = 14.8 = 7.4
xc - xB
34 - 32
2
平均变化率:
一般的，函数f (x) 在区间 [x1, x2 ]上的平均变化率为
2.平均变化率的实际作用:反映函数变化的快慢.
3.平均变化率的几何意义:过曲线上两点的直线的斜率.
例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该 婴儿体重的平均变化率.
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.1.1 平均变化率》0
2、函数在区间上的平均变化率为___________,平均变化率是曲线陡峭程度的“__________〞；而曲线陡峭程度是平均变化率的“__________〞
探究互动
引例:如图
例2水经过虹吸管沉着器甲中流向容器乙，t后容器甲中水的体积〔单位：〕，计算第一个10内V的平均变化率
例3函数，分别计算在以下区间上的平均变化率：
〔1〕[1，3]；〔2〕[1，2]；〔3〕[1，]；堂检测
1、小远从出生到第12个月的体重变化如以下图，比拟从出生到第3个月与第6个月到第12个月小远体重变化的快慢，重量W单位:g
盐阜中学高二年级数学学科学案
初备人：汤爱民 二稿审核人：姚东盐总37课时 2021年1月6日
课题
平均变化率
课型
新授课
课时
1
教学目标
1.通过实例分析，了解并掌握平均变化率的概念；
2.会求函数在指定区间上的平均变化率
教学重难点
平均变化率的意义
学习过程
备注
预习引导
1、函数的定义:_____________________________________________________;
问题1：AB段和BC段气温变化情况如何？从图像上看有何特征？
问题2：图中的图像能否称为函数图像？
问题3：如何“量化〞〔数学化〕曲线上升的陡峭程度？
新知：1、平均变化率的定义:
2、平均变化率的几何意义:
例题分析
例1函数，，分别计算在区间[-3，-1]，
[0，5]上及的平均变化率
思考：一次函数在区间上平均变化率有什么特点？
苏教版高中数学选修(2-2)课件平均变化率说课
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
普通高中课程标准实验教科书(数学选修2-2)
平均变化率
《平均变化率》说课
一、背景分析 1.教材分析 2.学情分析
《平均变化率》说课
二、教学设计 1.教学目标的确定 2.课堂结构的设计 3.教学媒体的设计 4.教学过程的设计
《平均变化率》说课
（1）创设情境，引出问题 （2）案例分析，建构概念 （3）典例分析，形成能力 （4.4教）学思过考程运的用设，计学生实践
《平均变化率》说课
三、教法学法 四、教后反思
《平均变化率》说课
以“再创造”为理念，以“反思”为核 心，渗透“由具体到抽象、由现象 到本质”的思维方式，感受数学的 应用价值，追求课堂教学的生活性 、发展性和生命性，力图使课堂成 为思想与思想碰撞，心灵与心灵交 融的平台．
《平均变化率》说课
感谢各位专家、评委！
平均变化率教案
高中数学选修2—2
1.1.1 平均变化率（教案）
高中数学选修2—2 1.1.1 平均变化率（教学设计）
一、教学目标
知识与技能：
1、理解平均变化率的概念；
2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学
描述刻画现实世界的过程。
过程与方法：
1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感、态度与价值观：
感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
二、教学重点、难点
重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。
难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。
三、教学方法
引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。
四、教学基本流程
创设情境，引导探索分析归纳，建立概念
例题讲解，尝试应用回顾反思，感悟升华
五、教学过程（具体如下表）
面的高度
的平均速度
示为体积
板书设计:
Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学 3.1.1 平均变化率学案(无答案)苏教版选修1-1(2021年整理)
江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1.1 平均变化率学案（无答案）苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1.1 平均变化率学案（无答案）苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1.1 平均变化率学案（无答案）苏教版选修1-1的全部内容。
平均变化率●三维目标1．知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型．2．过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．3．情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：平均变化率的概念．难点：平均变化率概念的形成过程．【问题导思】1．物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t 的函数，表示为s＝s（t)．在运动的过程中测得了一些数据,如下表．t/s025101315…s/m069203244…物体在0~2 s和10~13 s这两段时间内,哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？2．某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示．比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢?一般地，函数f（x)在区间[x1,x2］上的平均变化率为。
【题型分类】【类型一】平均变化率的概念及意义的应用例1、在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积0.1=⨯（单位：3()52tV t-cm)，计算第一个10s内V的平均变化率。
1.1.平均变化率-苏教版选修2-2教案
1.1.平均变化率-苏教版选修2-2教案课型设计教学目标1.掌握平均变化率的概念和计算方法；2.知道平均变化率在实际生活中的应用；3.学会利用平均变化率解决问题。
教学重点1.平均变化率的概念和计算方法；2.平均变化率在实际生活中的应用。
教学难点1.利用平均变化率解决问题。
教学方法1.讲授法；2.举例法；3.导入法；4.案例分析法。
教学过程一、导入（5分钟）1.通过一个生活案例，让学生感受到物体的变化是随着时间而变化的。
二、讲授（20分钟）1.引入平均变化率的概念；2.讲解平均变化率的计算方法；3.通过例题演示平均变化率的计算过程；4.讲解平均变化率的三种情况：增加、减少、变化量为0。
三、举例（15分钟）1.通过一些日常生活中的例子，让学生更好地理解平均变化率的应用。
四、案例分析（20分钟）1.提供一些实际问题，让学生运用平均变化率求解答案。
五、总结（5分钟）1.对平均变化率进行总结，并强调其在实际生活中的应用。
教学评价1.学生能够正确理解平均变化率的概念和计算方法；2.学生能够灵活运用平均变化率解决实际问题；3.学生能够在日常生活中发现和分析变化率的存在。
课堂练习练习1甲、乙两人购买了同一品牌手机，甲8月20日以980元购买，9月20日以820元卖出；乙8月28日以980元购买，9月20日以880元卖出。
比较两人的获利情况。
练习2某厂家建筑面积为1200平方米，今年销售额为300万元，去年销售额为200万元，请计算该厂家今年销售额的平均增长率。
练习3某学生的成绩如下表所示，请计算他的平均分数和日常学习进步情况。
科目语文数学英语政治历史分数（分）90 80 75 85 78参考资料苏教版高中数学选修2-2《平均变化率》。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.1.1 平均变化率》
《平均变化率》课堂实录扬州市邗江区公道中学葛艳开场白：世界充满着变化，有些变化几乎让我们无法察觉，而有的变化足以让人们感叹和惊呼！下面我们一起来重温下扬州市2021年3月和4月的日最高气温。
师：以3月18日作为第一天作出日最高气温曲线，你有何感想？生：天热得太快了！师：怎么看出来天热得快的呢？是否要计算一下分别升高了多少C ？生：3月18日至4月18日升高了C ，而从4月18日至4月2021高了C六、教学过程（一）呈现背景创设情境情境1 扬州市2021年3月和4月日最高气温记载如下列图表所示：时间t d3月18日4月18日4月2021日最高气温T℃℃℃℃情境2 扬州市某区近十几年来，房价的变化如下图所示：（二）启发引导提出问题情境1 扬州市2021年3月和4月日最高气温记载如下列图表所示：时间t d3月18日4月18日4月2021日最高气温T℃℃℃℃问题1 由图表：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月2021哪一段时间气温变化得更快？【设计意图】从学生的直观感受得知，从4月18日到4月2021温变化得更快，而通过升高温度的比较，从3月18日到4月18日升高了度，而从4月18日到4月2021只升高了度，引发学生的思考，>，学生怎么说明后一段气温变化得更快呢？追问1 “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？【设计意图】分别从数和形两个角度对气温陡增进行剖析，让学生充分感受“无形不直观，无数不入微”的数形结合思想。
追问2 如何从数学角度刻画气温“陡增”呢？【设计意图】用具有潜在意义的、饶有兴趣的实际问题，将教学内容自然呈现在学生面前，用问题（问题串）抓住学生，激发其探究欲望．这个实际问题让学生直观的感受到生活实际中的一些变化快慢的问题，从而会产生数学问题就是如何用数学模型去刻画这种变化的快慢．同时让学生体会到“数学源于生活”体现课堂教学的“生活性”．先从直观上感知曲线的“陡峭”，进而提出量化陡峭程度的问题，充分体现数形结合的思想方法，与学生共同体会“无形不直观，无数不入微”的辩证思想。
苏教版高中数学选修2-2《平均变化率》参考教案
1.1.1《平均变化率》教案一、教学目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义.2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.二、教学重点、难点重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义 三、教学过程 一、问题情境1.情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）问题1：你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？（形与数两方面） 曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度. 问题2：你能据此归纳出 “函数f (x )的平均变化率”的一般性定义吗？ 如果将上述气温曲线看成是函数y = f (x ) 的图象,任取x 1,x 2 [1,34]则函数y(d)20= f (x )在区间[1,34]上的平均变化率为(34)(1)341f f --，在区间[1，x 1]上的平均变化率为11()(1)1f x f x --，在区间[x 2，34]上的平均变化率为22(34)()34f f x x --.问题3：下面分别是两个函数y =f (x )和y =g (x )的图象，它们在区间[x 1,x 2 ]上平均变化率是否相等？为什么？用平均变化率来量化曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的.问题4：如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间[32，34]上的平均变化率.气温在区间[1，32] 上的平均变化率约为0.5；气温在区间 [32，34]上的平均变化率为7.4.问题5：你能发现“平均变化率的数值”和“曲线的陡峭程度”以及“气温变化的速度”之间有什么样的对应关系吗？平均变化率的绝对值越大，曲线越陡峭，变量变化的速度越快.二、学生活动1.曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度.2.由点B 上升到C 点，必须考察y C —y B 的大小，但仅仅注意y C —y B 的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，为什么？3.在考察y C —y B 的同时必须考察x C —x B ，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变.三、建构数学1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化.2.一般地,给出函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为2121()()f x f x x x --.3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构. 4.平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”.四、数学运用例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.重量W (单位:kg)解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为6.5 3.530--=1（kg/月） 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为118.6126--=0.4（kg/月）【跟踪练习1】水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯ （单位：3cm ），试计算第一个10s 内V 的平均变化率.解：在第一个10秒内，体积V 的平均变化率为(10)(0)100V V --=2.5510-＝－0.25（3cm /ｓ）,即第一个10s 内容器甲中水的体积V 的平均变化率为－0.25（3cm /ｓ）.639 1211 t/月W/kg例2 已知函数f （x ）=2x +1，g （x ）=—2x ，分别计算函数f （x ）及g （x ）在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率.解：函数f （x ）在区间[-3，-1]上的平均变化率为(1)(3)(1)(3)f f ------=[2(1)1][2(3)1]2⨯-+-⨯-+=2.同理可得,函数f （x ）在区间[0，5]上的平均变化率为 2； 函数g （x ）在区间[-3，-1]上的平均变化率为-2； 函数g （x ）在区间[0，5]上的平均变化率为-2．【跟踪练习2】已知f (x )=3x +1,求f (x )在区间[a ,b ]上的平均变化率: (1)a =-1,b =-2; (2)a =-1,b =1; (3)a =-1,b =-0.9.例3 已知函数2()f x x =，分别计算函数()f x 在下列区间上的平均变化率： (1) [1，3]； (2) [1，2]； (3) [1，1.1]； (4) [1，1.01]; (5)[1，1.001] .[探究与思考]当x 0逼近1的时候，f (x )在区间[1， x 0]上的平均变化率呈现什么样的变化？答案：逼近2五、回顾小结1.本节课学习的数学知识有：平均变化率的概念；平均变化率的应用2.本节课涉及的数学思想方法有：以直代曲、数形结合、归纳、逼近思想 六、课堂练习必做题 2-1课本P7(2、3、4)选做题：向气球内匀速吹气时,你会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,你能从数学的角度解释这一现象吗?。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.1.1 平均变化率》4
平均变化率【学习目标】通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；【学习重点】会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．【学习难点】对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．【问题情境】1某市2021年3月18日到4月202134天）的气温变化曲线图：观察图象，回答问题：问题1 在 [1,32]，[32,34]两个时间段内气温变化较大的是哪个？气温变化较快的是哪个？为什么？ 问题2 如何量化气温在某时间段内变化的快慢程度呢？【建构数学】一般地，函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为_______________．注意：（1）平均变化率不能脱离区间而言．（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．（3）平均变化率的几何意义：【数学运用】例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月20 30 34 0 2 10该婴儿体重的平均变化率．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t 后容器甲中的水的体积Vt=5×（单位：），试计算第一个10内V 的平均变化率．例3已知函数2()f x x ，分别计算函数在下列区间上的平均变化率：（1） [1，3]（2） [1，2]（3） [1，]（4） [1,]乙t/月例4 已知函数()21()2f x x g x x =+=-，，分别计算()f x 及()g x 在区间[3,1][0,5]--，上的平均变化率．【课堂练习】1、课本第69页 练习1，2，52、填空（1）函数()31f x x =-在[2,1]--上的平均变化率为_________________（2）已知函数2()f x x x =-+在区间[1,]a 上的平均变化率为-3，则a =____________【课堂小结】【课后反思】。
高中数学平均变化率教案
高中数学平均变化率教案一、教学目标：1. 掌握平均变化率的概念；2. 能够计算函数在两点之间的平均变化率；3. 能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学重点和难点：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 能够准确应用平均变化率解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）：通过一个生活中的例子引入平均变化率的概念，让学生了解平均变化率的重要性和应用场景。
2. 讲解平均变化率的概念和计算方法（10分钟）：通过具体的数学例题讲解平均变化率的定义和计算公式，并让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 练习题讲解（15分钟）：通过一些实例题和应用题，引导学生熟练掌握平均变化率的计算方法和解题技巧。
4. 小组讨论（10分钟）：分成小组，让学生根据所学知识讨论解决实际问题的方法，并在小组中相互讨论和交流。
5. 整合巩固（10分钟）：让学生根据所学知识，解决一些复杂的实际问题，巩固平均变化率的应用能力。
6. 课堂小结（5分钟）：对本节课学习内容进行总结，强调平均变化率的重要性和应用意义。
四、板书设计：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 函数在两点之间的平均变化率公式；3. 应用平均变化率解决实际问题的步骤。
五、课后作业：1. 完成课堂练习题；2. 练习书上相关练习题目；3. 总结平均变化率的概念和应用方法，写一份小结。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了平均变化率的概念和应用方法，并能够熟练解决相关问题。
同时，也发现了学生在计算过程中容易犯的错误和不足之处，需要加强课后练习和巩固。
通过不断总结和反思，提高自己的教学水平，更好地引导学生学习。
高中数学3.1《平均变化率》学案(苏教版选修1-1)
二．数学构建
一般地，给出函数 在区间 上的平均变化率为：
请回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义解释：
数：；
形：。
说明：用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当 很小时，这种量化便由“粗糙”逼迫“精确”。
课题
平均变化率
课型
新授
时间
09/ 9 /
学习目标
1．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型
提供丰富的背景；
2．会求平均变化率。
学习重点
平均变化率的实际意义与数学意义
一、自主学习
一．问题情境
某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：
问题1：“从A到B的位移是？从B到C的位移是？”
三．自学检测：
1.课本（文）P59（理）P7练习1，结论是。
2.甲、乙两汽车，速度从 分别加速到 和 ，如何评判两车的性能？。
二问题探究
问题1．课本（文）P58（理）P7页例1、例2，并注意小结
（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（ 月）？
（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么？
（3）例2中 是一个随时间变化而变化的量， （ ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积 减少的速度？
问题2．课本（文）P58（理）P7例3、例4，并注意小结
（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化。
（2）例3中四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？
（3）你从例4中发现一次函数 在区间 上的平均变化率有什么特点？
平均变化率教案高中数学
平均变化率教案高中数学教学目标：1. 了解平均变化率的概念及其计算方法；2. 掌握在各种情况下计算平均变化率的技巧；3. 能够应用平均变化率解决实际问题。
教学重点：1. 平均变化率的定义；2. 平均变化率的计算方法；3. 平均变化率的应用。
教学难点：1. 理解平均变化率与图像的关系；2. 解决实际问题时如何确定变化量和时间间隔。
教学准备：1. 讲义、笔记本、书本等教学资料；2. 课件或投影仪。
教学过程：1. 导入：引导学生回顾导数的概念，并引出平均变化率的概念。
简单解释平均变化率是某一函数在两个点之间的变化率的平均值。
2. 讲解：（1）介绍平均变化率的计算方法，即在两个点处的函数值的差除以对应自变量的差。
（2）通过具体例子讲解平均变化率的计算过程，并提示学生注意变化量和时间间隔的确定。
3. 练习：让学生进行一些练习，巩固平均变化率的计算方法。
可以包括各种函数的计算和图像分析。
4. 分析：引导学生分析平均变化率与图像的关系，让他们理解在图像上如何表示平均变化率。
5. 应用：通过实际问题的讨论，让学生应用平均变化率的概念解决实际问题，培养他们的计算能力和应用能力。
6. 总结：总结本节课的重点内容，强调平均变化率的重要性和应用范围。
教学延伸：1. 可以引导学生探究平均变化率与导数的关系，深入了解两者之间的联系。
2. 鼓励学生自主寻找更多实际问题，应用平均变化率进行解决，提高他们的问题发现和解决能力。
布置作业：布置相关练习题，要求学生巩固所学知识，并提出自己的疑惑和问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握平均变化率的概念和计算方法，能够运用平均变化率解决实际问题。
同时，也要引导学生深入思考，加深他们对平均变化率的理解和运用。
平均变化率学习教学学习设计苏教版本汇学习教案
均匀变化率教课方案与评析教材苏教版《一般高中课程标准实验教科书·数学》选修第章。
教材的地位和作用“导数及其应用”在整个高中教材中的地位和作用是特别重要的，它既是对函数知识的增补和完美，也为此后进一步学习微积分确立基础。
经过本章的学习，促使学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，进而进一步发展学生的数学思想能力。
《一般高中数学课程标准（实验）》对“导数及其应用”内容的办理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及有关知识，也有别于过去教材将导数只是作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的办理方式，而是依据“均匀变化率—刹时变化率—导数的观点—导数的几何意义”的次序来安排，用“迫近”的方法定义导数，这类观点成立的方式形象、直观、生动又简单理解，突出了导数观点的实质。
均匀变化率是本章的一个重要的基本观点，本节课是“导数及其应用”的开端课，对导数观点的形成起着奠定作用。
教课目的.知识与技术经过丰富的实例，让学生经历均匀变化率观点的形成过程，领会均匀变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型。
.过程与方法理解均匀变化率的观点，认识均匀变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的均匀变化率。
.感情、态度与价值观感觉数学模型刻画客观世界的作用，进一步领悟变量数学的思想，提升剖析问题、解决问题的能力。
教课要点均匀变化率的观点。
教课难点均匀变化率观点的形成过程。
教课方法启迪式教课与研究式学习相联合。
教课工具多媒体课件、实物投影仪。
教课过程一、创建情境，提出问题（教师出示情境.）情境：胡锦涛同志在党的十七大报告中提出：“加强发展协调性，努力实现经济又好又快发展。
转变发展方式获得重要进展，在优化构造、提升效益、降低耗费、保护环境的基础上，人均国内生产总值()到年比年翻两番”。
（年中国人均为美元，年约为美元。
）特别令人振奋的是：十六大以来，我国公民经济保持安稳快速发展，年我国人均初次超出美元，达到美元，在短短的年内于年又超出美元，达到美元。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 3.1.1 平均变化率》
《平均变化率》教学设计高二数学李明一、前期分析：二、教学过程设计：本节课以我个人的小故事引入课题，从我读大学时候的体重为140斤，到马坝中学工作8年，涨到体重160斤，再来第一山工作2年体重涨到176斤，这样一个变化的过程，让学生分析各个时间段体重变化的快慢，进而引出这节课的课题“平均变化率”。
学生瞬间被我的体重变化所吸引，然后积极思考，回答我提出的三个问题。
变化情况，吸引学生的求知欲望。
利用层层递进的问题情境，让学生在朴素的生活环境中体会对于“平均变化率”概念的理解。
三、学习目标解读跟随老师解读，结合预习过程中对平均变化率的感知、认识，确定自己本节课的学习要求学生认真阅读目标，明确本节的需要达成的两条学习目标：1 仔细研读教材两遍，用自己的话说出平均变化率的概念，并能从生活中找到两个实例验证；2 通过分析图像，试着求平均变化率，总结求平均变化率的步骤，说出两点数形结合思想的认识。
通过解读学习目标，明确本节课重难点，做到有的放矢。
四、自主探究督促学生：1认真审题，静心思考，独立、迅速完成2找出要讨论的问题，准备讨论独立订正预习案中错误，继续完成探究案，将问题试题标注出来，准备讨论五、高效展示前黑板展示问题1，思考1，问题2，3，思考3后黑板展示例题1，拓展1，例题2，拓展2让学生把核心问题，和核心例题都展示在黑板上，供大家一起分享和提升六、合作探究（探究案和预习案中不能解决的问题）1教师巡视，观察学生存在的问题，及时解决，讨论时深入小组内讨论，了解学生的疑问，帮助其解决问题，并及时做好评价；2关注学生的模糊点和新生成的问题，及时引导学生深入思考；1先根据探究案自主探究，展示同学到黑板同步自主探究注意锻炼学生的独立思考能力，合作探究锻炼学生的表达能力及团队协作精神，同时注意规3教师对学生展示情况进行批阅，标注组间探究时注意的问题，并对展示情况做好评价【预习中学生存在的问题】1、平均变化率的概念和几何意义理解不到位；2、求平均变化率的步骤不规范。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高二数学平均变化率教案苏教版
一、教学目标
1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
二、教学重点、难点
重点：平均变化率的实际意义和数学意义
难点：平均变化率的实际意义和数学意义
三、教学过程
一、问题情境
1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
（理解图中A、B、C点的坐标的含义）
实用文档
实用文档
问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？
二、学生活动
1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。
2、由点B 上升到C 点，必须考察y C —y B 的大小，但仅仅注意y C —y B 的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，为什么？
3、在考察y C —y B 的同时必须考察x C —x B ，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。
三、建构数学
1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。
t (d) 20 30 34 2
2030
10
2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率。
3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。
4。
平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。
四、数学运用
例1、在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，
乙两人的经营成果？
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器
甲中水的体积（单位：），
计算第一个10s内V的平均变化率。
实用文档
实用文档
注：
例3、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]。
五、课堂练习
1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
2、已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）=—2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率。
T(月)
6 3 9 12 3.56.58.611
（发现：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？）
六、回顾反思
1、平均变化率
一般的，函数在区间[x1，x2]上的平均变化率。
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．七、作业
实用文档。