系统辨识与自适应控制--大作业

1 辨识的对象模型

假设有一理想数学模型，它的离散化方程如下式所示：

() 1.8(1)0.3(2) 1.2(1)(2)()y k y k y k u k u k e k +-+-=-+-+

式中，()e k 是服从正态分布的白噪声)1,0(N ，()k u 为系统输入，()k y 为系统输出。

现在输入信号采用4阶M 序列，其幅值为1。假设系统的模型阶次是已知的，即

1212()(1)(2)(1)(

2)()y k a y k a y k bu k b u k e k +-+-=-+-+。

下面采用递推最小二乘参数辨识。

2 递推最小二乘参数辨识方法

简单的最小二乘参数辨识一次性方法计算复杂，不能够进行在线辨识，而且

所需要的计算存储空间很大，而很多计算都是重复的计算。为了解决这个问题，并实现在线的实时辨识，引入递推的最小二乘参数辨识。

递推最小二乘参数辨识的整体思想是，最新辨识出来的参数是建立在上次辨识的参数基础上，根据最新得到的辨识数据，对辨识的参数添加了一个参数增量。下面利用数学语言对递推最小二乘参数辨识方法进行描述。

根据最小二乘原理，用N 次观测数据，得出参数向量θ的最小二乘估计l

θˆ

1()()T T N N N

H H H Y N θ-= (1) 其中，ˆN

θ表示根据N 次观测数据所得到的最小二乘值计量，下表N 表示该符号代表N 次观测数据构成的矩阵。

()[(1),(2),...,()]T Y N y y y N = (2)

N H =(0)

.....(1)(0).....(1)(1).....(2)(1).....(2).

.(1).....()(1).....()y y n u u n y y n u u n y N y N n u N u N n ----⎡⎤⎢⎥----⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥------⎣⎦

（3）然后令1()T

N N N P H H -=，且N P 是一方阵，它的维数取决于未知数的个数，而与观

测次数无关。则

1

1111T

N N N N P P h h --+++⎡⎤=+⎣

⎦ （4） 式中1N h +表示第1N +次观测数据。 利用矩阵反演公式计算（4）式

11

11111111T T T

N N N N N N N N N N N N P P h h P P h I h P h h P ---+++++++⎡⎤⎡⎤=+=-+⎣⎦⎣⎦ （5） 式中11T

N N N I h P h ++⎡⎤+⎣⎦是一个标量，其求逆只是一个简单的除法。 令1

111T

N N N N I h P h γ-+++⎡⎤=+⎣

⎦，于是有1111T N N N N N N P I P h h P γ++++⎡⎤=-⎣⎦，则最小二乘估计量ˆN θ

的表达式可改写为1

ˆ()T N N N P h Y N θ+=，于是第1N +次观测数据所得到的最小二乘值计量为

1

11111ˆˆ(1)(1)T T N N N N N N P h Y N P P h Y N θθ++++++⎡⎤=+=++⎣⎦

由（4）式可知

111T T T

N N N N P P h h +++=- （6）

于是

111ˆˆˆ(1)T N N N N N K Y N h θθθ+++⎡⎤=++-⎣⎦ （7）

111N N N K P h +++= （8）

将上述的推导过程总结如下：

1111111111ˆˆˆy(1)1T N N N N N N N N T

N N N T N N N N K N h P h K h P h P I K h P

θθθ++++++++++⎧⎡⎤=++-⎣⎦⎪⎪=⎨+⎪

⎪⎡⎤=-⎣

⎦⎩ 3 辨识过程

整体上的辨识过程流程图如下图所示：

图-1 递推最小二乘参数辨识流程示意图

详细步骤如下所示：

1 在此选择4阶的M 序列。这样，M 序列的最大循环周期长度为15（bit ）。首先利用MATLAB 程序生成4阶幅值为1的M 序列和服从正态分布的白噪声序列。

2 根据上述的输入序列，带入待辨识的系统模型中，得到一系列对应的输出信号序列。然后根据输入和输出序列，组建辨识所需的观测矩阵。 本系统的观测矩阵形式如下：

(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(2)(14)(13)(14)(13)m y y u u y y u u H y y u u --⎡⎤⎢⎥

--⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

3选取待辨识的参数向量为模极小的数值，选取迭代矩阵P 的初值为极大的

矩阵，如2

0,100.P I σσ==

4 计算增益矩阵G

(1)()

()1()(1)()

T

P k k G k k P k k φφφ-=

+- 其中

T ()[(1) ... () (1) ... u() ]

q b k y k y k n u k k n φ=------

5 将上述的初值和增益矩阵G(k)代入上述的递推最小二乘参数辨识方程组中进行循环计算。直到计算的结果精度符合要求或者迭代的次数达到最大为止。

4 辨识结果与分析

利用matlab 对上述系统进行辨识方针，输入的M 序列如下图所示：

图-2 M序列信号图辨识的结果如下图所示：

图-3 递推最小二乘参数辨识结果图辨识结果与真实的系统参数对比：