北航 动态规划03级考试题目

第一小节 动态规划问题

——最短路径问题

一 在正式提出动态规划法前我们先看一个数学例子：

例1：在 x 1+x 2+x 3+…+x n =a 是约束条件下，求n x x x z +++= 21的极大值. 令 a x a f ==max )(1 ( 0a x ≤≤ ) )m a x ())(max()(12x a x x a f x a f -+=-+= 令 x a x y -+=

且0)

(22121=---=

--

=x a x x x a x

a x

dx

dy

可得a -x=x, 所以 x=a/2

故 a a a a f 22

2)(2=+= 同理 ))(2max()(max()(23x a x x a f x a f -+=-+=

令 )(2x a x y -+=

0)

(222221=---=--=x a x x x a x a x dx dy 所以 a -x=2x , x=a/3 所以 f 3(a)=a a a a a f 33

1

331231)(3==+=

用数学归纳法可以证明：f n (a) =na , x 1=x 2=x 3=…=x n =n

a

证明：1：n=1 …

2：设f n (a) =na , x 1=x 2=x 3=…=x n =n

a

成立，则 f n+1(a)=max(x +f n (a-x))=max(

)(x a n x -+)

令 y=)(x a n x -+

y ’=

x 21

x

a n -2=

0)

(2=---x a x nx x a

所以 nx=a-x ,(n+1)x=a x=

1

+n a f n+1(a)=

1+n a +n 1

+n a =a n )1(+ 我们刚才的解题策略是：“摸着石头过河”，f2 利用f1的结果，f3又利用f2的结果。。。。。。

类似于游戏中的一个勇士打败了一些敌人后得到一件武器，然后去打败另一个强大一些的对手，得到一件更好的武器，接着打败更强大的敌人。。。。。最后取得胜利。。。

在实际生活中，有这么一类问题，它们的活动过程可分为若干个阶段，而且在任一阶段 后的行为仅依赖于第I 阶段的过程状态，而与I 阶段之前的过程如何达到这种过程如何达到这种状态的方式无关，这样的过程就构成了一个多阶段决策过程。在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人根据这类问题的多阶段决策的特性，提出了解决问题的“最优性原理”从而创建了最优化问题的一种最新的算法设计方法——动态规划。 分治法和动态规划法的比较

动态规划算法与分治法类似，其根本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求

解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解，与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的.以从16个数据中找出最大者为例，说明 分治法的“静”和动态规划法的“动”的区别。

下面我们以具体的例子来说明如何运用动态规划算法来求解问题，并分析可用动态规划算法解的问题的所应具备的一般特征。

对教材68页上的里子给予简要说明（因为书上的文字叙述有些含混晦涩，对符号的说明不清晰）

y

下面精讲一个例子

1. 介绍这个图的特点…..从而说明从O 到A 的最短路径必由7段而不是更多或更少段组成。

其行进路线必然是x 和y 单调递增的（非严格单调）。从O(0,0)到U （4，3）点的每一

条路径对应于由4个x 上的和3个y 上的字符构成的字符串，这种字符串的数目为C 47=35.

如果采用穷举法进行搜索，需要进行35*6=210次加法，34次比较。

2. 下面我们采用动态规划法来解决这一问题。令O 为起点到U 的最短距离为Do ，以A 为

起点到U 的最短距离为D A - - - ,用d ij 表示（i , j ）边的长度。 显然Ds=dsu=2,Dt=dTU=3,

D Q =min{2+2,5+3}=4 D P =1+Ds=1+2=3 D R =3+D T =3+3=6

D L =min{Dlq+DQ,d LP +DP}=min{4+D Q ,2+Dp}=min{4+4,2+3}=5 Dk=3+Dp=3+3=6

D M = min{2+D Q ,4+D R }=min{2+4,4+6}=6 D N =4+D R =4+6=10 D F =2+D K =2+6=8

D G =min{1+D K ,3+D L }=min{1+6,3+5}=7 D H =min{1+5,1+6}=6

D J =min{3+D M ,3+D N }=min{3+6,3+10}=9 D C =min{2+D F ,2+D G }=min{2+8,2+7}=9 D D =min{4+D G ,2+D H }=min{4+7,2+6}=8 D

E =min{1+D H ,2+D J }=min{1+6,2+9}=7 D A =min{3+D C , 2+D D }=min{3+9,2+8}=10 D B =min{2+D D ,3+D E }==min{2+8,3+7}=10 Do==min{1+D B ,2+D A }=min{1+10,2+10}=11

共进行了29次加法，12次比较。由Do=1+DB=11回溯，可得到最短路径为

O —>B-→D->H →L —>P-→S-→U O-→B-→E-→H-→L-→P-→S-→U

推广到x 轴m 段y 轴n 段的情形：用动态规划法需要做2mn+（m+n-2）次加法，mm 次比