江苏省扬州市高考数学一模试卷

2016年江苏省扬州市高考数学一模试卷二、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为．3．（5分）如图所示的流程图，若输出的x的值为，则相应输出的y值为．4．（5分）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为．5．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．6．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．7．（5分）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为．8．（5分）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为．9．（5分）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．10．（5分）已知=（cosα，sinα），=（2，1），a∈（﹣，），若•=1，则sin（2a+）=．11．（5分）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为．12．（5分）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为．13．（5分）已知在数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记S n=a1+a2+…a n．若S n=2015，则n=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为．二、简答题：本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．（1）求证：DE∥平面ABC1；（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．16．（14分）已知函数f（x）=cos2ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）=，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．17．（15分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足（λ∈R），PO⊥F2M，O为坐标原点．（1）若椭圆方程为=1，且P（2，），求点M的横坐标；（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．18．（15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）19．（16分）已知函数f（x）=（ax2+x+2）e x（a＞0），其中e是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．20．（16分）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a n}生成{b m}的控制函数．（1）已知a n=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；（2）已知a n=2n，且f（m）=m，求{b m}的前m项和S m；（3）已知a n=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．数学附加题．21．已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：x﹣y=1，求矩阵A．22．在极坐标系中，求圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值．23．某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．24．已知函数f（x）=2x﹣3x2，设数列{a n}满足：a1=，a n+1=f（a n）（1）求证：对任意的n∈N*，都有0＜a n＜；（2）求证：++…+≥4n+1﹣4．2016年江苏省扬州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析二、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5分）（2016•扬州一模）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B={1}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），∵B={0，1，2}，∴A∩B={1}，故答案为：{1}2．（5分）（2016•扬州一模）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），得z=2+3i，则z的虚部可求．【解答】解：由z=i（3﹣2i）=2+3i，则z的虚部为：3．故答案为：3．3．（5分）（2016•扬州一模）如图所示的流程图，若输出的x的值为，则相应输出的y 值为．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，由x的值为，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：由已知中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，由于：sin=＞cos，所以：执行y=cos，输出y的值为．故答案为：．4．（5分）（2016•扬州一模）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为144．【考点】程序框图．【专题】对应思想；定义法；算法和程序框图．【分析】根据频率和为1，求出男生身高在180cm以上（含180cm）的频率和频数．【解答】解：根据频率分布直方图，得；男生身高在180cm以上（含180cm）的频率为1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.18；对应的人数有800×0.18=144．故答案为：144．5．（5分）（2016•扬州一模）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为4．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其中a=3，b=4；其焦点坐标为（﹣5，0），（5，0），渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0，则焦点到其渐近线的距离d===4；故答案为：4．6．（5分）（2016•扬州一模）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，求出基本事件总数和这2个数的和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出这2个数的和为偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n==10，这2个数的和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴这2个数的和为偶数的概率：p==．故答案为：．7．（5分）（2016•扬州一模）已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，，则该数列的前5项的和为31．【考点】等比数列的前n项和．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，，∴a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前5项的和为=31故答案为：31．8．（5分）（2016•扬州一模）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为5．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；规律型；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】利用体积求出正四棱锥的高，求出底面对角线的长，然后求解侧棱长．【解答】解：正四棱锥底面边长为，体积为32，可得正四棱锥的高为h，=32，解得h=3，底面对角线的长为：4=8，侧棱长为：=5．故答案为：5．9．（5分）（2016•淮安模拟）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得α+β的值．【解答】解：∵函数（0≤x＜π），∴≤2x+＜，且（α≠β），不妨设α＜β，∴2α+=，2β+=2π+，∴2α+2β=，∴α+β=，故答案为：．10．（5分）（2016•扬州一模）已知=（cosα，sinα），=（2，1），a∈（﹣，），若•=1，则sin（2a+）=．【考点】运用诱导公式化简求值；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；三角函数的求值．【分析】通过数量积推出三角函数关系，然后利用诱导公式化简所求的表达式，利用平方关系式，即可求出结果．【解答】解：，，，，可得2cosα+sinα=1.，又sin2α+cos2α=1，解得cosα=，=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣2×=．故答案为：．11．（5分）（2016•扬州一模）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为3．【考点】基本不等式．【专题】方程思想；消元法；不等式的解法及应用．【分析】由对数的运算可得b2=a，整体代入可得=a+=a﹣1++1，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞b＞1，∴t=log a b＜1，又∵2log a b+3log b a=7，∴2t+=7，解得t=，或t=3（舍去），∴t=log a b=，∴b2=a，∴=a+=a﹣1++1≥2+1=3，当且仅当a﹣1=即a=2且b=时取等号．故答案为：312．（5分）（2016•扬州一模）已知圆O：x2+y2=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为±1．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0），与圆的方程联立可得（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0，得到根与系数的关系．利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，可得=k2，化为k2=1，即可求出直线l的斜率．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0，±1）．联立圆O：x2+y2=4，化为（1+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，∴=k2，∴（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2，化为tk（x1+x2）+t2=0，∴k•（﹣）+t=0，∴k2=1，故答案为：±1．13．（5分）（2016•扬州一模）已知在数列{a n}中，a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），记S n=a1+a2+…a n．若S n=2015，则n=1343．【考点】数列的求和．【专题】分类讨论；转化法；等差数列与等比数列．【分析】a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a1+3=﹣a+3．分类讨论：当a∈（0，1）时，可得a n+4=a n．当a∈[1，2]时，可得：a n+2=a n．即可得出．【解答】解：∵a1=a（0＜a≤2），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+3=﹣a+3．①当a∈（0，1）时，3﹣a∈（2，3），∴a3=a2﹣2=1﹣a∈（0，1），∴a4=﹣a3+3=a+2∈（2，3），∴a5=a4﹣2=a∈（0，1），…，∴a n+4=a n．∴a1+a2+a3+a4=a+（﹣a+3）+（1﹣a）+（a+2）=6．∵S n=2015=335×6+5，∴a1=a≠5，a1+a2=3≠5，a1+a2+a3=4﹣a≠5，舍去．②当a∈[1，2]时，3﹣a∈[1，2]，∴a3=﹣a2+3=a∈[1，2]，∴a n+2=a n．∵a1+a2=3，∴S n=2015=671×3+2，a1=a=2时，n=671×2+1=1343．故答案为：1343．14．（5分）（2016•扬州一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．【解答】解：若{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}=∅，则等价为f（x﹣1）﹣f（x）≤0恒成立，即f（x﹣1）≤f（x）恒成立，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若a≤0，则当x≥0时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a+3a）=x，∵f（x）是奇函数，∴若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），则f（x）=x，x＜0，综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x﹣1）≤f（x）恒成立，若0≤x≤a时，f（x）=[﹣x+a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣x；当a＜x≤2a时，f（x）=[x﹣a﹣（x﹣2a）﹣3a]=﹣a；当x＞2a时，f（x）=（x﹣a+x﹣2a﹣3a）=x﹣3a．即当x≥0时，函数的最小值为﹣a，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）的最大值为a，作出函数的图象如图：由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合图可得1﹣3a≥3a，即6a≤1，求得0＜a≤，综上a≤，故答案为：（﹣∞，]二、简答题：本大题共6小题，共90分。