离散数学课后答案

离散数学课后答案

习题一

6.将下列命题符号化。

（1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨.

（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.

答：

（1）（p Λ¬q ）ν（¬pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ¬q ）ν（¬pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语

14.将下列命题符号化.

(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.

(2)老王是山东人或河北人.

(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服.

(4)王欢与李乐组成一个小组.

(5)李辛与李末是兄弟.

(6)王强与刘威都学过法语.

(7)他一面吃饭, 一面听音乐.

(8)如果天下大雨, 他就乘班车上班.

(9)只有天下大雨, 他才乘班车上班.

(10)除非天下大雨, 他才乘班车上班.

(11)下雪路滑, 他迟到了.

(12)2与4都是素数, 这是不对的.

(13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的.

答：

(1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.

(2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.

(3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.

(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.

(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.

(6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.

(7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.

(8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.

(9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.

(10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.

(11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.

(12) ¬ (p∧q)或¬p∨¬q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.

(13) ¬ ¬ (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.

16.

19.用真值表判断下列公式的类型:

(1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→¬q) →¬q

(3) ¬ (q→r) ∧r

(4)(p→q) →(¬q→¬p)

(5)(p∧r) ↔( ¬p∧¬q)

(6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r)

(7)(p→q) ↔ (r↔s)

答：

(1), (4), (6)为重言式.

(3)为矛盾式.

(2), (5), (7)为可满足式

习题二

9.用真值表求下面公式的主析取范式.

(1) (pνq)ν(¬pΛr)

(2) (p→q) →(¬p↔q)

答：

(1)

(2)p q (p → q) →(¬p ↔ q)

0 0 1 0 0 1

0 1 1 1 1 0

1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0

从真值表可见成真赋值为01, 10.于是(p → q) →(¬p ↔ q) ⇔ m1 ∨ m2

11.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式；

(1) (pνq)Λr

(2) p→(pνqνr)

(3) ¬(q→¬p)Λ¬p

15.用主析取范式判断下列公式是否等值:

(1) (p→q) →r与q→ (p→r)

(2) ¬(pΛq)与(¬pνq)

答：

(1)(p→q) →r ⇔¬(¬p∨q) ∨ r ⇔¬(¬p∨q) ∨ r ⇔ p¬∧q ∨ r ⇔p¬∧q∧(r¬∨r) ∨(p¬∨p) ∧(q¬∨q)∧r ⇔p¬∧q∧r ∨p¬∧q∧¬r ∨ p ∧q∧r ∨ p∧¬q∧r ∨¬p∧q∧r ∨¬p∧¬q∧r = m101 ∨ m100 ∨ m111 ∨m101 ∨ m011 ∨ m001 ⇔m1 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 = ∑(1, 3, 4, 5, 7).

而 q→(p→r) ⇔¬q ∨(¬p∨r) ⇔¬q ∨¬p ∨r ⇔(¬p∨p)¬∧q∧(¬r∨r) ∨¬p∧(¬q∨q)∧(¬r∨r) ∨(¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r ⇔(¬p¬∧q∧¬r)∨(¬p¬∧q∧r)∨(p¬∧q∧¬r)∨(p¬∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p ∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨

m7 ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ⇔∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r).

16. 用主析取范式判断下列公式是否等值:

(1)(p→q) →r与q→ (p→r)

(2) ¬ (p∧q)与¬ (p∨q)

答：

(1)(p→q) →r) ⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7

q→ (p→r) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7

所以(p→q) →r) k q→ (p→r)

(2)¬ (p∧q) ⇔m0∨m1∨m2

¬ (p∨q) ⇔m0

所以¬ (p∧q) k ¬ (p∨q)

习题三

15.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:

(1)前提: p→ (q→r), s→p, q 结论: s→r

(2)前提: (p∨q) → (r∧s), (s∨t) →u 结论: p→u

答：

(1)证明: ① s 附加前提引入

② s→p 前提引入

③ p ①②假言推理

④ p→(q→r) 前提引入

⑤ q→r ③④假言推理

⑥ q 前提引入

⑦ r ⑤⑥假言推理

(2)证明: ① P 附加前提引入

② p∨q ①附加

③ (p∨q) → (r∧s) 前提引入

④ r∧s ②③假言推理

⑤④化简

⑥ s∨t ⑤附加

⑦ (s∨t) →u 前提引入

⑧ u ⑥⑦假言推理

16.在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:

(1)前提: p→¬q, ¬r∨q, r∧¬s 结论: ¬p

(2)前提: p∨q, p→r, q→s 结论: r∨s