离散数学(西安交大版)习题解第一部分(集合论部分)
大学《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。
）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
(集合论)离散数学习题参考答案3
第二部分 集合论第八次：（函数）P161 3,4,6,11,19,24,253 (1) 双射，反函数,({}){},({}){};118844f f f f −−===2(2) 双射，反函数:,()log ,({}){},({,}){,};111121201f R R f x x f f −+−−→===(3) 单射，({}){,},({,}){};155623f f −=<><>=(4) 单射，({,}){,},({,}){,};123571301f f −==(5) 满射，({,}){,},({}){,};11212111f f −−==−(6) 单射，((,))(,([,])[,];11311101044422f f −== (7) 单射，({,}){,},({}){};112101232f f −==1 (8) 单射，((,))(,),({,}){,};1110112323f f −=+∞= 4（1）是单射，但不是满射；（2）不是单射，也不是满射；（3）不是单射，也不是满射；（4）是满射但不是单射；（5）是单射但不是满射；（6）不是单射，也不是满射；6. (1) f: A->B ,不是单射，也不是满射；(2) 不是从A 到B 的函数，因为dom f ≠N;（3）f: A->B, 不是单射，因为f(<0,1>)=f(<0,2>)=0. 是满射；(4) f: A->B, 不是单射，也不是满射；(5) f: A->B, 是单射，不是满射；(6) f: A->B, 是单射、满射、双射；（7）f: A->B, 不是单射，也不是满射；(8) 不是从A 到B 的函数，因为dom f ≠R;(9) 不是从A 到B 的函数，因为ran f 不⊆N;11. (1) 是函数，单满射都不是 (2) 不是函数 (3) 不是函数 (4) 是函数，单射 (5) 不是函数19. (1) ,()(())()224281g f x f g x x x x ==+−=++D 4+()(())22242f g x g f x x x ==−+=D(2) 都不是单射，也不是满射和双射。
离散数学习题答案如下
离散数学习题答案如下离散数学是一门研究离散结构和离散现象的数学学科。
它与连续数学相对应，强调的是离散的、不连续的数学对象和现象。
离散数学的研究对象包括集合、关系、函数、图论等。
在离散数学的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
下面是一些离散数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 集合论习题题目：给定集合A={1,2,3,4,5}和集合B={3,4,5,6,7}，求A与B的并集、交集和差集。
答案：A与B的并集为{1,2,3,4,5,6,7}，交集为{3,4,5}，A与B的差集为{1,2}。
2. 关系与函数习题题目：给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，判断该关系是否为自反、对称、传递关系。
答案：该关系不是自反关系，因为元素1没有与自身相关联；该关系不是对称关系，因为(1,2)属于R，但(2,1)不属于R；该关系是传递关系，因为对于任意的(a,b)和(b,c)，若(a,b)和(b,c)均属于R，则(a,c)也属于R。
3. 图论习题题目：给定无向图G，其邻接矩阵为：0 1 1 01 0 1 11 1 0 10 1 1 0求图G的度数序列和邻接矩阵的平方。
答案：图G的度数序列为(2,3,3,2)，即顶点1的度数为2，顶点2的度数为3，顶点3的度数为3，顶点4的度数为2；邻接矩阵的平方为：2 23 22 3 3 33 34 32 3 3 24. 组合数学习题题目：有5个红球和3个蓝球，从中选取3个球，求选取的球中至少有一个红球的概率。
答案：选取的球中至少有一个红球等价于选取的球中没有红球的概率的补集。
选取的球中没有红球的情况只有选取3个蓝球，所以概率为C(3,3)/C(8,3)=1/56。
因此，选取的球中至少有一个红球的概率为1-1/56=55/56。
以上是一些离散数学习题的答案，通过解答这些习题可以加深对离散数学的理解和掌握。
离散数学作为一门重要的数学学科，不仅在理论研究中有广泛应用，也在计算机科学、信息科学等领域中发挥着重要作用。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
离散数学习题解第一部分(集合论部分)99
离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解]1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。
因为空集是任意集合的子集；2）假。
因为空集不含任何元素；3）真。
因为空集是任意集合的子集；4）真。
因为∅是集合{∅}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
2）假。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
西南交大离散数学1_1
1）否定
定义：设P为一命题，P的否定是一个新 的命题，记作：ךP。若P为T， ךP为F； 若P为F， ךP为T。 “ ”ך是一元运算。
其运算规则表如下：
P T F
ךP P： ךP：太阳不从东边出来
注意： “”ך表示命题的否定。
2）合取
联词“∨ ”的运算法则： P T T F F Q T F T F P∨ Q T T T F
注意：“∨ ”为可兼或
例： P ：成都是中国的首都。 Q ：成都是一个故都。 P ∨Q：
P ∨ Q ：成都是中国的首都或者是一个 故都。
4）条件
定义：给定两个命题P和Q，其条件命
题是一个复合命题，记作P→ Q ,读作：
“如果P，那么Q”或“若P则Q ”。当
且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，
P→ Q的真值为F，否则P→ Q 的真值
为T。
我们称P为前件，Q为后件。
联给词“→ ”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P→Q
T F T T
例： P ：x>y
Q ：x-y>0
P→Q ：
P→Q ：如果x>y 则x-y>0
以做这件事，并且李四也可以做这 件事。若设： P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这事。 则可表示为： P ∧ Q
不能表示为： P ∨ Q
关于命题逻辑--答案
答案: 1.？ 2.如果我问你右边的路是否通向废 墟,你会说是吗?
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（6）明天是否开大会？ （7）天气多好啊！ （8）我正在说谎。 （9）我学英语，或者我学日语。
3、命题的表示
在本课程中，我们将使用大写字母A、 B、…、P、Q、…，或带下标的大写字 母，或方括号括起来的数字。来表示命 题。 如： P：太阳从西边出来。 [12]：太阳从西边出来。 即命题既可用字母也可用数字来表示
2015年7月西安交通大学《离散数学》作业及满分答案-最新
2015年7月西安交通大学《离散数学》作业及满分答案解: 一般地, R1°R2≠R1°R2.反例: R1={(1,3), (3,1)} 对称!R2={(3,2), (2,3)} 对称!R1°R2 ={(1,2)} 不对称!证明: 不妨记A={a1, a2, a3, …,an, …}B={b1, b2, b3, …, bm}作映射φ: A→A∪Bφ(ai)=bi (i=1,…,m)φ(ai)=ai-m (i=m+1,m+2,…)则可以说明φ为A→A∪B的双射，故结论得证。
证明：因为G不连通，则G可以分为若干连通子图:G1=（V1，E1），--- ，Gn=（Vn，En）根据G的补图的构造过程知V1中每个顶点与其它顶点集V2，--- ，Vn中顶点有边相连。
这样，在G的补图中，有? 分别属于两个顶点子集Vi与Vj中的任意两个顶点之间有边直接相连，? 属于同一个顶点子集Vi的任意两个顶点借助顶点子集Vj的任意一个顶点连通。
所以，根据连通的定义知：G的补图一定连通。
证明：设T=(V,E)是一棵树，若T中最多只有一片树叶，则有∑d(v) ≥1+2(|V|-1)=2|E|+1,这与结论∑d(v) =2|E| 矛盾! 矛盾说明T 不止一片树叶。
解: A×B={({a},{b}), ({a},a), (a, {b}), (a, a), (b, {b}), (b, a)} A?B=(A-B) ∪(B-A)={{a}, b, {b}}P(A)={?, {a}, a, b, {{a}, a}, {{a},b}, {a,b}, A}.证明: (1) ?a,b? H?K,就有a,b? H, a,b? K，因为H, K是群G的子群，所以，a*b-1?H，a*b-1?K，因此a*b-1? H?K。
故H?K是G的子群。
(2) 对于?a? H?K, ? g?G, 就有a? H，a?K。
因为H，K是群G的正规子群，所以g*a*g-1?H,g*a*g-1?K,从而有g*a*g-1?H?K，故H?K是G的正规子群。
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离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。
因为空集是任意集合的子集；2）假。
因为空集不含任何元素；3）真。
因为空集是任意集合的子集；4）真。
因为∅是集合{∅}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
2）假。
例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。
3）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。
5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B⊆C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B⊆C，则A⊆C。
3）如果A⊆B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊆B∧B∈C，则A⊆C。
[解] 1）真。
因为B⊆C⇔∀x（x∈B⇒x∈C），因此A∈B⇒A∈C。
2）假。
例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B⊆C，但A∉C。
3）假。
例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A⊆B∧B∈C，但A∉C。
4）假。
例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A⊆B∧B∈C，但A∉C。
6．求下列集合的幂集：1）{a，b，c}2）{a，{b，c}}3）{∅}4）{∅，{∅}}5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}}[解] 1）{∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}}3）{∅，{∅}}4）{∅，{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}5）{∅，{{a，b}}}7．给定自然数集合N的下列子集：A={1，2，7，8}B={ x|x2＜50}C={x|x可以被3整除且0≤x≤30}D={x|x=2K，K∈I∧O≤K≤6}列出下面集合的元素：1）A∪B∪C∪D2）A∩B∩C∩D3）B\（A∪C）4）（A′∩B）∪D[解] 因为B={1，2，3，4，5，6，7}，C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}，D={1，2，4，8，16，32，64，}，故此1）A∪B∪C∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，30，32，64}2）A∩B∩C∩D=∅3）B\（A∪C）={4，5}4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，64}8．设A、B、C是集合，证明：1）（A\B）=A\(B\C)2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C）3）（A\B）\C=(A\C)\B[证明] 1）方法一：（A\B）\C=（A∩B′）∩C′（差集的定义）=A∩（B′∩C′）（交运算的结合律）=A∩（B∪C）′（deMorgan律）=A\（B∪C）（差集的定义）方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，则x∉C，同时，x∈A\B，x∈A，x∉B，所以，x∈A，x∉B∪C，即x∈A\（B∪C），由此可见（A\B）\C⊆A\（B∪C）。
反之，对任一元素x∈A\（B∪C），则x∈A，且x∉B∪C，也就是说x∉A，x∉B，x∉C。
所以x∈（A\B）\C，由此可见A\（B∪C）⊆（A\B）\C。
因此A\（B\C）。
2）方法一：（A\B）\C=A\（B∪C）（根据1））=A\（C∪B）（并运算交换律）=A\（（C∪B）∩Ⅹ）（0—1律）=A\（（C∪B）∩（C∪C′））（0—1律）=A\（C∪（B∩C′）（分配律）=（A\C）\（B∩C′）（根据1）=（A\C）\（B∩C）（差集的定义）方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x∉B，x∉C，x∈A\C。
又由x∉B，x∉B\C，x∈（A\C）\（B\C）\（B\C）。
所以（A\B）\C⊆（A\C）\（B\C）。
反之，对任x∈（A\C）\（B\C），可知x∈A\C，x∉B\C。
由x∈A\C，可知x∈A，x∉C。
又因为x∉B\C及x∉C，可知x∉B。
所以，x∈（A\B）\C。
因此（A\B）\C⊆（A\B）\C。
由此可得（A\B）\（B\C）⊆（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C=A\（B∪C）(根据1))=A\（C∪B）（并运算交换律）=（A\C）\B （根据1））方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x∉B，x∉C。
由为x∈A，x∉C，所以，x∈A\C。
又由x∉B，x∈（A\C）\B。
所以，（A\B）\C⊆（A\C）\B。
同理可证得（A\C）\B⊆（A\B）\C。
9. 设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：A⊆B⇔A′∪B=X⇔A∩B′=∅[解](采用循环证法)(1)先证A⊆B⇒A′∪B=X；方法一：A′∪B=A′∪(A∪B) （因为条件A⊆B及定理4）=(A′∪A)∪B （∪的结合律）=(A∪A′)∪B （∪的交换律）=X∪B （互补律）=X （零壹律）方法二：A⊆B⇒A∪B=B （定理4）⇒B=A∪B （等号=的对称性）⇒A′∪B=A′∪(A∪B) （两边同时左并上A′）⇒A′∪B==(A′∪A)∪B （∪的结合律）⇒A′∪B=(A∪A′)∪B （∪的交换律）⇒A′∪B=X∪B （互补律）⇒A′∪B=Ｘ（零壹律）方法三：因为A′⊆X且B⊆X，所以根据定理2的3'）就有A′∪B⊆Ｘ；另一方面，由于B⊆A′∪B 及根据换质位律可得B′⊆A′⊆A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3'），可得X=B∪B′⊆A′∪B，即X⊆A′∪B；所以，A′∪B=Ｘ。
(2)次证A′∪B=X⇒A∩B′=∅；A′∪B=X⇒(A′∪B)′=X′（两边同时取补运算′）⇒(A′)′∩B′=X′（de Morgan律）⇒A∩B′=X′（反身律）⇒A∩B′=X′（零壹律）(3)再证A∩B′=∅⇒A⊆B；方法一：A=A∩X (零壹律) =A∩(B∪B′) (互补律)=(A∩B)∪(A∩B′) (分配律)=(A∩B)∪∅(条件A∩B′=∅)=A∩B (零壹律)⊆B （定理2的3)）方法二：A∩B′=∅⇒B=B∪∅(零壹律)=B∪(A∩B′) （条件A∩B′=∅）=(B∪A)∩(B∪B′) (分配律)=(A∪B)∩(B∪B′) (∪的交换律)=(A∪B)∩X (互补律)=A∪B (零壹律)⇒A⊆B （定理4的2)）10. 对于任意集合A，B，C，下列各式是否成立，为什么？1）A∪B=A∪C⇒B=C2）A∩B=A∩C⇒B=C[解] 1）不一定。
例如：A={a}，B={a，b}，C={b}。
显然有A∪B=A∪C，但B≠C。
2）不一定。
例如：A={a}，B={a，b}，C={b，c}。
显然有A ∩B=A ∩C ，但B ≠C 。
11．设A ，B 为集合，给出下列等式成立的充分必要条件：1） A\B=B 2） A\B=B\A 3） A ∩B=A ∪B 4） A ⊕B=A[解] 1）A\B=A ∩B ′，由假设可知A\B=B ，即A ∩B ′=B 。
由此可知B=A ∩B ′⊆B ′，故此B=B ∩B ′=∅。
由假设可知A=A\∅=A\B=B=∅。
所以当A\B=B 时有A=B=∅∅。
反之，当A=B=∅时，显然A\B=B 。
因此A\B=B 的充分必要条件是A=B=∅。
2）设A\B ≠∈∅，则有元素a ∈A\B ，那么，a ∈A ，而由假设A\B=B\A 。
所以a ∈B\A ，从而a ∉A ，矛盾。
所以A\B=，故A ⊆B 。
另一方面由B\A=A\B=∅。
可得B ⊆A 。
因此当A\B=B\A 时，有A=B 。
反之，当A=B 时，显然A\B=B\A=∅ 因此，A\B=B\A 的充要条件是A=B 。
3）由于A ∪B=A ∩B ，从而A ⊆A ∪B=A ∩B ⊆B ，以及B ⊆A ∪B=A ∩B ⊆A 故此A ∪B=A ∩B ，有A=B 。
5） 根据定理6的1）有A ⊕∅=A ，由已知条件A ⊕B=A ，可得A ⊕B=A ⊕∅。
从而由对称差的消去律可得B=∅。
反之，若B=∅，则A ⊕B=A ⊕∅=A 。
所以A ⊕B=A 的充分必要条件为B=∅。
12. 对下列集合，画出其文图：1） A ′∩B ′ 2） A\（B ∪C ）′ 3） A ∩（B ′∪C ） [解]ABA ′∩B ′A \ (B ∪C ) ′ BCA ∩ (B ′∪C )A CBA XXX13. 用公式表示出下面图中的阴影部分 [解]14. 试用成员表法证明1）（A ⊕B ）⊕C=A （B ⊕C ） 2）（A ∪B ）∩（B ∪C ）⊆AB ′ [解] 1）成员表如下 A B C A ⊕B （A ⊕B ）⊕CB ⊕C A ⊕（B ⊕Ｃ）０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ ０ １ １ １ １ ０ １ １ １ ０ ０ ０ １ ０ ０ １ １ ０ １ １ ０ １ １ ０ １ ０ １ １０ ０ ０ １ ０ １ １ １０ １ ０ １成员表中运算结果⊕Ｃ及Ａ⊕（Ｂ⊕Ｃ）的两列状态表明，全集中的每一个体对它俩有相同的从属关系，故 （Ａ⊕Ｂ）⊕Ｃ＝Ａ⊕（Ｂ⊕Ｃ） 1） 成员表如下：A B C A ∪B （B ∪C ） (B ∪C)′(A ∪B)∩(B ∪C)′B ′ A ∩B ′ ０ ０ ０ ０ ０1 ０ 1 0 ０ ０ １ ０ １ 00 1 0 ０ １ ０ １ １0 0 0 0 ０ １ １ １1 0 ０ 0 0 １ ０ ０ １0 1 １ 1 1 １ ０ １ １ 1 0 ０ 1 1 １ １０ 1 1 0 ０ 0 0 １ １ １1 １ 0 0 0 0AC Bx(A ∪B ∪C)∪(A ∩B ∩C)′BC Ax(A ∩C) \B成员表中运算结果（A∪B）∩（B∪C）′及A∩B′的两列状态表明，全集中的每一个体，凡是从属（A∪B）∩（B∪C）′的，都从属A∩B′，故（A∪B）∩（B∪C）′ A∩B注：自然数集N取为{1，2，3，……，n，……}习题二（第二章关系）1．设A={1，2，3，}，B={a，b}求1）A×B 2）B×A 3）B×B 4）2B×B[解] 1）A×B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}2）B×A={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}3）B×B={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}4）2B={∅，{a}，{b}，{a，b}}2B×B{（∅，{a}），（∅，b），（{a}，a），（{a}，b），（{b}，a），（{b}，b），（{a，b}，b）}2．使A⊆A×A成立的集合A存在吗？请阐明理由。