电磁场与电磁波课件(王)第1章矢量代数
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精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
电磁场与电磁波课件第一章 矢量分析
divA lim SA dS V 0 V
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
电磁场与电磁波(第1章 矢量分析)(14-15-1)
eˆx d x eˆ y d y eˆz d z
d Sx eˆx d yd z d Sy eˆ y d x d z d Sz eˆz d x d y
z d Sz eˆz d x d y
dz
d S y eˆ y d x d z
dx
o dyd Sx eˆx d yd z y
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电磁场与电磁波
矢量场的圆柱坐标系分量： A(r) A (r)ˆ A (r)ˆ Az (r)zˆ ˆ ˆ zˆ，ˆ zˆ ˆ，zˆ ˆ ˆ
圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系中的单位
矢量的转换：
ˆ xˆ cos yˆ sin
y
ef
ey e
f
ˆ xˆ sin yˆ cos
ex
xˆ ˆ cos ˆ sin yˆ ˆ sin ˆ cos
f
单位圆
o
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
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电磁场与电磁波
1.2.3 圆球（球面）坐标系
在球面坐标系中，P点的三个坐标是r、、。
rˆ ˆ ˆ，ˆ ˆ rˆ，ˆ rˆ ˆ
返回
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电磁场与电磁波
r 常数 ——以原点O为球心的球面。
常数 ——以Oz轴为轴的圆锥面。
常数 ——以Oz轴为界的半平面。
rˆ xˆ sin cos yˆ sin sin zˆ cos
zˆ rˆ cos ˆ sin
A
rˆArrˆrˆAr
ˆA
f f0（半平面）
球坐标系
d Sx eˆx d yd z d Sy eˆ y d x d z d Sz eˆz d x d y
z d Sz eˆz d x d y
dz
d S y eˆ y d x d z
dx
o dyd Sx eˆx d yd z y
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电磁场与电磁波
矢量场的圆柱坐标系分量： A(r) A (r)ˆ A (r)ˆ Az (r)zˆ ˆ ˆ zˆ，ˆ zˆ ˆ，zˆ ˆ ˆ
圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系中的单位
矢量的转换：
ˆ xˆ cos yˆ sin
y
ef
ey e
f
ˆ xˆ sin yˆ cos
ex
xˆ ˆ cos ˆ sin yˆ ˆ sin ˆ cos
f
单位圆
o
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
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电磁场与电磁波
1.2.3 圆球（球面）坐标系
在球面坐标系中，P点的三个坐标是r、、。
rˆ ˆ ˆ，ˆ ˆ rˆ，ˆ rˆ ˆ
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电磁场与电磁波
r 常数 ——以原点O为球心的球面。
常数 ——以Oz轴为轴的圆锥面。
常数 ——以Oz轴为界的半平面。
rˆ xˆ sin cos yˆ sin sin zˆ cos
zˆ rˆ cos ˆ sin
A
rˆArrˆrˆAr
ˆA
f f0（半平面）
球坐标系
电磁场与电磁波第一章 ppt课件
电磁学的建立，根源于人类对早期发现的一 些电磁现象进行的物理解释，如静电吸物、摩擦 生电、磁石相吸、库仑实验等。
电磁场理论的发展经历三个阶段：
• （一） 静电学、静磁学的建立阶段（19世纪前）
这一阶段，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分 别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的 研究为电磁学理论的建立奠定了基础。
o 2
坐标单位矢量 e,e,ez
z
e e ez
位置矢量
reezz
微分单元关系
线元矢量
d r e d e d e z d z
圆柱坐标系
面元矢量 体积元
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezd积元
赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯 韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观 电磁场理论的奠基人。
三、电磁场理论的主要研究与应用领域
电磁 场理 论的 主要 研究
领域
作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。
作为电子信息技术的理论 基础，集中于三大类应用 问题的研究。
• 信息类专业与电有关的两大核心知识基础：
电路理论
电磁场理论
• 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基 础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点 对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有 关专业课程奠定必要的理论基础。
二、电磁场理论的发展简史
电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用 的现象、规律和应用的学科。
体积元
dVdxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o
电磁场理论的发展经历三个阶段：
• （一） 静电学、静磁学的建立阶段（19世纪前）
这一阶段，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分 别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的 研究为电磁学理论的建立奠定了基础。
o 2
坐标单位矢量 e,e,ez
z
e e ez
位置矢量
reezz
微分单元关系
线元矢量
d r e d e d e z d z
圆柱坐标系
面元矢量 体积元
dS edldlz e ddz dS edldlz eddz dSz ezd积元
赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯 韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观 电磁场理论的奠基人。
三、电磁场理论的主要研究与应用领域
电磁 场理 论的 主要 研究
领域
作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。
作为电子信息技术的理论 基础，集中于三大类应用 问题的研究。
• 信息类专业与电有关的两大核心知识基础：
电路理论
电磁场理论
• 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基 础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点 对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有 关专业课程奠定必要的理论基础。
二、电磁场理论的发展简史
电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用 的现象、规律和应用的学科。
体积元
dVdxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o
精品课件-电磁场与电磁波-第1.1节
(2) 叉积（续）
在直角坐标系中，叉积还可以表示为
ax ay az A B Ax Ay Az
Bx By Bz
ax Ay Bz Az By ay Az Bx Ax Bz az Ax By Ay Bx
结论
如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量
必然相互平行。 a x a y a z ,a y a z a x ,a z a x a y
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
知识就是力量，感谢支持 ！
----谢谢大家！！
ax
ay
ay
az
az
1
矢量的标量积
(2) 叉积(cross product) 任意两个矢量的叉积是一个矢量，故也称为矢量积。
C A B an AB sin
方向垂直于矢量 A与B
C
组成的平面，且 A、B
与C成右手螺旋关系
大小等于两 个矢量的大 小与它们的 夹角的正弦
之乘积 B
A
矢量的叉积
在直角坐标系中 a x a x a y a y a z a z 0
结论
矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。 任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积 是一个矢量 如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必 然相互垂直。 如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必 然相互平行。
矢量的代数运算
加法和减法
矢量的乘积
1. 矢量的加法和减法
C A B ax Ax Bx a y Ay By az Az Bz
D A B ax Ax Bx ay Ay By az Az Bz
结论:矢量的加减运算同向量的加减，符 合平行四边形法则。
电磁场与电磁波第1章
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
矢量与矢量点乘(标积）
A B | A || B | cos AB Ax Bx Ay B y Az Bz
两矢量点积的含义：
B
AB
A
1. 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的 乘积，其结果是一个标量。
矢量的点积为标量 满足交换律和分配律
A B en AB sin A B B A A (B C) A B A C
矢量的叉乘（叉积、矢积） 矢量的叉积为矢量 不满足交换律
满足分配律
鲁东大学 例1：在直角坐标系中，矢量A 由原点指向点P1(2,3,3) ， 矢量 B 由P1指向点P2(1,-2,2)，求 (1)矢量 A ，幅值 A 以及单位矢量 e A (2)矢量 A 与Y轴的夹角 (3)矢量B (4) A 和B 之间的夹角 解答： (1) A e 2 e 3 e 3 x y z
A A 22 32 32 22
A ex 2 e y 3 ez 3 eA A 22
(2)夹角由下式确定：
A ey | A | cos
A ey -1 3 cos cos 50 . 2 |A| 22
-1
鲁东大学
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系； 三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为： 直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。
A＋B ＋C＝A＋ B＋C
矢量与矢量点乘(标积）
A B | A || B | cos AB Ax Bx Ay B y Az Bz
两矢量点积的含义：
B
AB
A
1. 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的 乘积，其结果是一个标量。
矢量的点积为标量 满足交换律和分配律
A B en AB sin A B B A A (B C) A B A C
矢量的叉乘（叉积、矢积） 矢量的叉积为矢量 不满足交换律
满足分配律
鲁东大学 例1：在直角坐标系中，矢量A 由原点指向点P1(2,3,3) ， 矢量 B 由P1指向点P2(1,-2,2)，求 (1)矢量 A ，幅值 A 以及单位矢量 e A (2)矢量 A 与Y轴的夹角 (3)矢量B (4) A 和B 之间的夹角 解答： (1) A e 2 e 3 e 3 x y z
A A 22 32 32 22
A ex 2 e y 3 ez 3 eA A 22
(2)夹角由下式确定：
A ey | A | cos
A ey -1 3 cos cos 50 . 2 |A| 22
-1
鲁东大学
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系； 三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为： 直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。
A＋B ＋C＝A＋ B＋C
电磁场与电磁波第一章.ppt
第1章 矢量场
物理量随空间的分布称为场。本书涉及的物理量主要是标 量和矢量。前者称为标量场，后者称为矢量场。 1.1 矢量及其矢量场
1.2 三种常用坐标系中的矢量场 1.3 梯度 1.4矢量场的散度 1.5 矢量场的旋度
1.1 矢量及其矢量场
1.矢量的表示方法
a矢量的概念
E, H, F,v
b矢量的特点
反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系
1.6无旋场与无散场
() 0 ( A) 0
矢量场的唯一性定理
2.矢量的代数运算法
a.加减法：法则和规律
A B
平行四边形法则：
A B
B
A B B A A (B C) (A B) C
A
三角形法则： A B来自BABAB B A
A
b.标积：
A B A B cos Ax Bx Ay By Az Bz
满足乘法交换律： A B B A
直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；
圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。
一：位置矢量（位矢）
r
o
p 有向线段 r 可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与
参考点选择有关，与坐标系选择无关。 位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。
二：正交坐标系
1：直角坐标系
单位矢量： ex , ey , ez （常矢量）
1．2 三种常见坐标系中的矢量场
场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不 同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函 数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。
共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。
物理量随空间的分布称为场。本书涉及的物理量主要是标 量和矢量。前者称为标量场，后者称为矢量场。 1.1 矢量及其矢量场
1.2 三种常用坐标系中的矢量场 1.3 梯度 1.4矢量场的散度 1.5 矢量场的旋度
1.1 矢量及其矢量场
1.矢量的表示方法
a矢量的概念
E, H, F,v
b矢量的特点
反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系
1.6无旋场与无散场
() 0 ( A) 0
矢量场的唯一性定理
2.矢量的代数运算法
a.加减法：法则和规律
A B
平行四边形法则：
A B
B
A B B A A (B C) (A B) C
A
三角形法则： A B来自BABAB B A
A
b.标积：
A B A B cos Ax Bx Ay By Az Bz
满足乘法交换律： A B B A
直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；
圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。
一：位置矢量（位矢）
r
o
p 有向线段 r 可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与
参考点选择有关，与坐标系选择无关。 位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。
二：正交坐标系
1：直角坐标系
单位矢量： ex , ey , ez （常矢量）
1．2 三种常见坐标系中的矢量场
场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不 同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函 数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。
共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。
电磁场与电磁波课件
电磁场与电磁波理论
A B
D
D
AB
B
ABC D B
C
ABC D
C
A
B A
A
Nanjing
University
of
Information
Science
&
Technology
Az ( B z )
A(B )
Ay ( B y )
O y
O
Ax ( B x )
y
x
x
代学方法：若 两矢量的对应分量相等，则 A B 。 A x = B x , A y = B y , A z = B z ，则 A 例如：在直角坐标系中，若
A、 B
第一章 矢量分析
直角坐标系下矢量表示：A A x e x A y e y A z e z
电磁场与电磁波理论
z
Az A
Байду номын сангаас大小：
A A
eA
Ax A y Az
2 2
2
ez ex Ax
方向（单位矢量）：
A
ey O
A Ay A ex x e y ez z A A A A
电磁场与电磁波理论
标量积
a A B A B co s
矢量积
C A B e n A B sin
e x e y e y e z e z e x 0
e x e x e y e y e z e z 1
R R
大小：
电磁场与电磁波理论课件PPT第1章
（1.2.6）
♥ 标量函数 在空间给定点沿 方向的方向导数等
于该点的梯度矢量
在该方向上的投影 。
（1.2.5）
1-43
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2. 标量场的梯度
♥ 梯度的表示——哈密顿（Hamilton）算子 ◘ 直角坐标系中的哈密顿算子 （1.2.7） ◘ 直角坐标系中的梯度表示式 （读作del）
（1.1.33）
（1.1.35）
1-34
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2 1.2.1
场的微分运算 场的基本概念
1.2.2
1.2.3 1.2.4
标量场的方向导数和梯度
矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度
1-35
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
1.2.1 场的基本概念
第1章 矢量分析与场论
1.矢量与单位矢量
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段。 该线段的长度 该线段的方向 代表该矢量的模， 代表该矢量的方向
（1.1.1）
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。
（1.1.2）
1-12
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 在直角坐标系中矢量的表示 （1.1.3） ——矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影 矢量的大小 矢量的方向的单位矢量 （1.1.4）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
2.矢量表示法
♥ 矢量的方向余弦
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。 ♥ 矢量的方向的单位矢量 （1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来
电磁场与电磁波_第一章.ppt
(x x')2 (y y')2 (z z')2
ey
(x x')2
y y' (y y')2
(z z')2
ez
R
R
z z' (x x')2 (y y')2 (z z')2
续
先证明一个关系：
f (R) ex
xf (R) ey源自yf (R) ez
z
直角坐标系中的矢量公式
任一矢量 A在直角坐标系中可表示为：
A ex Ax ey Ay ez Az
矢量和：
A B ex (Ax Bx ) ey (Ay By ) ez (Az Bz )
矢量点积：
A B AxBx AyBy Az Bz
直角坐标系中的叉积
A B (ex Ax ey Ay ez Az )(exBx eyBy ez Bz )
z) ez
的三个相互正交的坐
分别是 , 和z 增
加的方向，且遵循右手螺旋法 则
e e ez , e ez e
ez e e
坐标单位矢量不一定是常矢量，除了z方向例 外
园柱坐标系单位矢量和直角系单位矢
量的变换关系
e
exc
os
ey
s
in
e ex sin ey cos
或反过来，
ex ey
A(B C) AB AC
矢量的叉积
两个矢量 A 和 B 的叉积 A B 是一
个矢量，它垂直于包含矢量 A 和 B 的
平 确面定，符其合大右A小 手定 法B义 则为(e手n A指AB从BssininA卷，向方B向) 的
根据叉积定义，显然有 A B B A
最新-《电磁场与电磁波》第1章矢量分析-PPT文档资料
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
o y
x
(A y B z A z B y )a ˆx (A z B x A x B z)a ˆy (A x B y A y B x )a ˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A | aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
定义： A B C |A ||B ||C |s inc o s hBC A
含义：
C
标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
《电磁场与电磁波 》课件001
(1-1-11)
2)
任意两个矢量A与B的矢量积(Vector Product)是一个矢量，
矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，
其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3所示， 记为
C=A×B=anABsinθ
(1-1-12)
an=aA×aB (右手螺旋)
矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个非零矢量的叉
积等于零矢量，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相
互平行矢量的叉积一定等于零矢量。
矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即
A×B=－B×A
(1-1-13)
A×(B+C)=A×B+A×C (1-1-14)
图 1-3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积的图示；(b) 右手螺旋
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、 y、z轴 分量的方向。
空间中的一点P(X, Y, Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上 的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称 为位置矢量(Position Vector)，它在直角坐标系中表示为
r =axX+ayY+azZ
Ax cos
Ay
s i n
Az 0
－sin cos
0
0 A
0
A
1 Az
再根据
x2 y2 ，cos x 和sin y
因此， 矢量在直角坐标系中的表达式为
A
ax
(x2
kx
3
y2)2
ay
(x2
ky
3
y2)2
az
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体积元： dV d d dz
1.2
矢量变换：
三种常用的正交坐标系
圆柱坐标系
A e A e A ez Az ex Ax ey Ay ez Az
Ax cos A = sin y Az 0
面的右手法线方向: en
A B en AB sin
意义：矢量的叉积可以表征两矢量间含
en
有垂直分量（正交分量）成分的多少。
如果两矢量正交，则其叉积有最大值； 如果两矢量平行，则其叉积为零。
1.1
矢量代数
矢量正交 矢量平行
A B A B en AB A / / B A B 0
内 容
1.1 矢量代数
1.2
1.3 1.4
三种常用的正交曲线坐标系
标量场的梯度 矢量场的通量与散度
1.5
1.6 1.7
矢量场的环流和旋度
无旋场与无散场 拉普拉斯运算与格林定理
复 杂 现 象 的 紧 凑 描 述
直 观 想 象 和 运 算 变 换
矢 量 运 算 公 式
1.8
亥姆霍兹定理
在 电 磁 理 论 中 其 重 要 作 用
r
r e e 位置矢量： zz
1.2
三种常用的正交坐标系
圆柱坐标系
矢量 A 在柱坐标系中可用三个分量表示为
若有
则
A e A e A ez Az B e B e B ez Bz
A+B e ( A B ) e ( A B ) ez ( Az Bz ) A B A B A B Az Bz
物理意义：一个矢量的模与另一矢量在该矢量上投影的乘积。如果 两矢量正交（垂直，又称为正交矢量），则其点积为零；如果两矢 量平行，则其点积的绝对值取最大值。
1.1
矢量代数
两矢量正交
两矢量平行
A B A B 0 A / / B A B AB
矢量点积满足交换律
1.2
三种常用的正交坐标系
直角坐标系
在电磁学研究中，常需完成线、面和体积分，需要关于长度、面和 体微分元的知识。
位置矢量微元：
dr ex dx ey dy ez dz e ey 、 e z 的方向不随x，y，z的变化而变化 注意 x 、
面元矢量：
dSx ex dydz dSz ez dxdy
e A B A B e A B ez Az Bz
1.2
三种常用的正交坐标系
圆柱坐标系
位置矢量： r e ez z
e 注意：圆柱坐标系中的坐标单位矢量 e 和 都不是常矢量
dr d (e ) d (ez z ) e d de ez dz
R ex ( x1 x2 ) ey ( y1 y2 ) ez ( z1 z2 ) 例1.3 设 A ex 3 ey 2 ez 和 B ex ey 3 ez 2 求 C 2 A 3B ，并求 C 的单位矢量 eC 及其与z轴的夹角
1.2
三种常用的正交坐标系
长度元
圆柱坐标系
度量系数（拉梅系数）：
d d h 1 h d d 坐标微分 dz hz 1 dz
面元矢量：
dS e d dz
dSz ez d d
dS e d dz
在电磁学中，经常要计算线积分、面 积分和体积分。每一种情况都需要表示一 个坐标微分变化对应的微分长度变化。然 而，有些坐标不是长度；而且需要一个变 换因子将微分变化 转换成长度变化
A B B A
A ( B C) A B A C k ( A B) kB A B kA
1.1
矢量代数
4）矢量的矢积（叉积） A B 矢量积 A B 是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘, 再乘 以它们夹角α(≤π)的正弦, 其方向与 A , B成右手螺旋关系, 为所在平
矢量的矢积符合分配律：
( A B) C A C B C
A B B A
但不符合交换律。 由定义知, 5）三重积
标量三重积： A ( B C) B (C A) C ( A B) A ( B C) B( A C) C( A B) 矢量三重积：
A
矢量的几何表示
常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。
1.1
2. 矢量的代数运算 1）矢量的加减法：
矢量代数
平行四边形法则
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 结合律
A B B A A ( B C) ( A B) C
dV dxdydz
dS y ey dxdz
体积元：
1.2
2. 圆柱坐标系
三种常用的正交坐标系
0 0 2 z
e , e e 0 e e 1 e e 1 e e ez e ez e e e 0 e e 0 ez e 0 ez ez 1 ez e e ez ez 0
直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系。
1.2
1. 直角坐标系 坐标变量：x,y,z
三种常用的正交坐标系
e ey ，e z 相互正交 坐标单位矢量： x ， ex ey 0 ey ez 0 ez ex 0 ex ey ez ey ez ex ez ex ey ex ex 1 ex ex 0
1.2
则有
三种常用的正交坐标系
直角坐标系
A+B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz ) A B Ax Bx Ay By Az Bz A B (ex Ax e y Ay ez Az ) (ex Bx e y B y ez Bz ) ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
1.1
1. 标量和矢量
矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示 其中
A | A | 为矢量的模 A eA A 为矢量的单位矢量
A eA A eA | A |
A cos A = sin Az 0
sin cos 0
sin
0 A 0 A 1 Az
0 Ax A cos 0 y 0 1 Az
er A B Ar Br e A B e A B
1.2
位置矢量：
三种常用的正交坐标系
球坐标系
e 球坐标系中的坐标单位矢量 er、e 、 都不是常矢量 dr d ( e r ) e dr d e 位置矢量微元： r r rr
ey ey 1 ey ey 0
ez ez 1 ez ez 0
位置矢量： r ex x ey y ez z
矢量运算：
设
A ex Ax ey Ay ez Az
,
B ex Bx ey By ez Bz
e e er e er e
1.2
三种常用的正交坐标系
球坐标系
矢量 A 在柱坐标系中可用三个分量表示为
若有 则
A er Ar e A e A B er Br e B e B
A+B er ( Ar Br ) e ( A B ) e ( A B ) A B Ar Br A B A B
？
位置矢量微元： 随 不同而变化
e ex cos ey sin
e ex sin ey cos
e
de (ex sin ey cos )d e d dr e d e d ez dz de e d
1.2
三种常用的正交坐标系
矢量运算的图形表示只能进行一般性讨论，从数学的观点， 把矢量分解成沿三个相互正交（垂直）方向上的分量来处理更 为方便。对电磁学理论来说，虽然电磁定律不随坐标系变化， 但是在求解实际问题时，还需要将这些定理得出的关系用一个 跟已知问题的几何特征相适合的坐标系来表达。在三维空间中， 一个点相当于三个面的交点。假定三个面用u1=常数、u2=常数、 u3=常数来描述，其中u的值可以不是长度。当这三个面两两垂 直时，可得到正交坐标系。在电磁理论中，最常用的坐标系为
ex ey e
e
1.2
3. 球坐标系
三种常用的正交坐标系
0 r 0 0 2
x r sin cos , y r sin sin z r cos
右旋法则: