电磁场与电磁波课件(王)第1章矢量代数

r
r e e 位置矢量： zz
1.2
三种常用的正交坐标系
圆柱坐标系
矢量 A 在柱坐标系中可用三个分量表示为
若有
则
A e A e A ez Az B e B e B ez Bz
A+B e ( A B ) e ( A B ) ez ( Az Bz ) A B A B A B Az Bz
？
位置矢量微元： 随 不同而变化
e ex cos ey sin
e ex sin ey cos
e
de (ex sin ey cos )d e d dr e d e d ez dz de e d
e A B A B e A B ez Az Bz
1.2

三种常用的正交坐标系

圆柱坐标系
位置矢量： r e ez z
e 注意：圆柱坐标系中的坐标单位矢量 e 和 都不是常矢量
dr d (e ) d (ez z ) e d de ez dz
A
矢量的几何表示
常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。
1.1
2. 矢量的代数运算 1）矢量的加减法：
矢量代数
平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四边形法则
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 结合律
A B B A A ( B C) ( A B) C
物理意义：一个矢量的模与另一矢量在该矢量上投影的乘积。如果 两矢量正交（垂直，又称为正交矢量），则其点积为零；如果两矢 量平行，则其点积的绝对值取最大值。
1.1
矢量代数
两矢量正交
两矢量平行
A B A B 0 A / / B A B AB
矢量点积满足交换律
面的右手法线方向: en

A B en AB sin
意义：矢量的叉积可以表征两矢量间含
en
有垂直分量（正交分量）成分的多少。
如果两矢量正交，则其叉积有最大值； 如果两矢量平行，则其叉积为零。
1.1
矢量代数
矢量正交 矢量平行
A B A B en AB A / / B A B 0
1.2
则有
三种常用的正交坐标系
直角坐标系
A+B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz ) A B Ax Bx Ay By Az Bz A B (ex Ax e y Ay ez Az ) (ex Bx e y B y ez Bz ) ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
1.1
2）标量乘矢量
矢量代数
kA eAkA
3）矢量的标积（点积） A B
标量积
A B 是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以它
们夹角 (取小角, 即 )的余弦:
A B AB cos a A B cos a AB
ey ey 1 ey ey 0
ez ez 1 ez ez 0
位置矢量： r ex x ey y ez z
矢量运算：
设
A ex Ax ey Ay ez Az
,
B ex Bx ey By ez Bz
1.2
三种常用的正交坐标系
矢量运算的图形表示只能进行一般性讨论，从数学的观点， 把矢量分解成沿三个相互正交（垂直）方向上的分量来处理更 为方便。对电磁学理论来说，虽然电磁定律不随坐标系变化， 但是在求解实际问题时，还需要将这些定理得出的关系用一个 跟已知问题的几何特征相适合的坐标系来表达。在三维空间中， 一个点相当于三个面的交点。假定三个面用u1=常数、u2=常数、 u3=常数来描述，其中u的值可以不是长度。当这三个面两两垂 直时，可得到正交坐标系。在电磁理论中，最常用的坐标系为
1.2
三种常用的正交坐标系
直角坐标系
在电磁学研究中，常需完成线、面和体积分，需要关于长度、面和 体微分元的知识。
位置矢量微元：
dr ex dx ey dy ez dz e ey 、 e z 的方向不随x，y，z的变化而变化 注意 x 、
面元矢量：
dSx ex dydz dSz ez dxdy
矢量的矢积符合分配律：
( A B) C A C B C
A B B A
但不符合交换律。 由定义知, 5）三重积
标量三重积： A ( B C) B (C A) C ( A B) A ( B C) B( A C) C( A B) 矢量三重积：
A B B A
A ( B C) A B A C k ( A B) kB A B kA
1.1
矢量代数
4）矢量的矢积（叉积） A B 矢量积 A B 是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘, 再乘 以它们夹角α(≤π)的正弦, 其方向与 A , B成右手螺旋关系, 为所在平
er A B Ar Br e A B e A B
1.2
位置矢量：
三种常用的正交坐标系
球坐标系
e 球坐标系中的坐标单位矢量 er、e 、 都不是常矢量 dr d ( e r ) e dr d e 位置矢量微元： r r rr
内 容
1.1 矢量代数
1.2
1.3 1.4
三种常用的正交曲线坐标系
标量场的梯度 矢量场的通量与散度
1.5
1.6 1.7
矢量场的环流和旋度
无旋场与无散场 拉普拉斯运算与格林定理
复 杂 现 象 的 紧 凑 描 述
直 观 想 象 和 运 算 变 换
矢 量 运 算 公 式
1.8
亥姆霍兹定理
在 电 磁 理 论 中 其 重 要 作 用
1.1
1. 标量和矢量
矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示 其中
A | A | 为矢量的模 A eA A 为矢量的单位矢量
A eA A eA | A |
直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系。
1.2
1. 直角坐标系 坐标变量：x,y,z
三种常用的正交坐标系
e ey ，e z 相互正交 坐标单位矢量： x ， ex ey 0 ey ez 0 ez ex 0 ex ey ez ey ez ex ez ex ey ex ex 1 ex ex 0
ex ey e
e
1.2
3. 球坐标系
三种常用的正交坐标系
0 r 0 0 2
x r sin cos , y r sin sin z r cos
右旋法则:
er e e
体积元： dV d d dz
1.2
矢量变换：
三种常用的正交坐标系
圆柱坐标系
A e A e A ez Az ex Ax ey Ay ez Az
Ax cos A = sin y Az 0
e e er e er e
1.2
三种常用的正交坐标系
球坐标系
矢量 A 在柱坐标系中可用三个分量表示为
若有 则
A er Ar e A e A B er Br e B e B
A+B er ( Ar Br ) e ( A B ) e ( A B ) A B Ar Br A B A B
1.2
三种常用的正交坐标系
长度元
圆柱坐标系
度量系数（拉梅系数）：
d d h 1 h d d 坐标微分 dz hz 1 dz
面元矢量：
dS e d dz
dSz ez d d
dS e d dz
在电磁学中，经常要计算线积分、面 积分和体积分。每一种情况都需要表示一 个坐标微分变化对应的微分长度变化。然 而，有些坐标不是长度；而且需要一个变 换因子将微分变化 转换成长度变化
A cos A = sin Az 0
sin cos 0
sin
0 A 0 A 1 Az
0 Ax A cos 0 y 0 1 Az
Ay Az Az ex ey By Bz Bz ex ey ez Ax Ay Az Bx By Bz Ax Ax ez Bx Bx Ay By
1.2
三种常用的正交坐标系
直角坐标系
例1.2 求从点P( x1 , y1 , z1 ) 到点 Q( x2 , y2 , z2 ) 的距离矢量 R 。
dV dxdydz
dS y ey dxdz
体积元：
1.2
2. 圆柱坐标系
三种常用的正交坐标系
0 0 2 z
e , e , ez
e ez 0 e e 0 e e 1 e e 1 e e ez e ez e e e 0 e e 0 ez e 0 ez ez 1 ez e e ez ez 0
R ex ( x1 x2 ) ey ( y1 y2 ) ez ( z1 z2 ) 例1.3 设 A ex 3 ey 2 ez 和 B ex ey 3 ez 2 求 C 2 A 3B ，并求 C 的单位矢量 eC 及其与z轴的夹角
1.1
矢量代数
例1.1 若 A B A C ，是否意味着 B C ？ 解： 由于 A B A C
可以写为
A (B C) 0
于是可作出如下结论： A (B C) A 为零向量 或 或 B C 0 所以，只有 B C 0 才有 B C 。