小学奥数 三角形等高模型与鸟头模型(一).学生版

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13

，则三角形面积与原来的一样．这就是

说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

b

a

S 2S 1 D

C B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

例题精讲

4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型

【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；

⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．

【例 2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．

⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？

⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

D C

B

A

【例 3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．

E

D C

A

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．

【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD

的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．

A

C

D

E F

【例 4】

如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、

G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．

E B

A

E B

A

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．

E D G

C

B

B C

G E

【例 5】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

E

E

E

D

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．

【例 6】

如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？

E

D

C

B

A

【例 7】

如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？

F

D

E C

B

A

【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么

与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？

E

D

C

B

A

【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

O

D

B

A

【例 8】

如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？

A

B E

C D

D

C E

B A

【例 9】

如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．

A

A

【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，

AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？

C

B

【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24

AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．

A

B

C D

Z Y

【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．

F E

D C

B

A

【巩固】如图，在三角形ABC中，8

BC 厘米，高是6厘米，E、F分别为AB 和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？

F

E

C

B

A

【例 10】如图所示，A、B、C都是正方形边的中点，△COD比△AOB大15平方厘米。△AOB的面积为平方厘米。

E

A