天体运动和万有引力总结 (1)

天体运动总结

1. 开普勒三定律

所有绕太阳运动的行星轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（后简化为所有轨道都是圆，太阳在圆心上），注意：第一定律只是描述了一个图像，并没有需要计算的东西，而且太阳究竟在哪个焦点上还得看第二定律 对于某一颗行星来说，它的扫面速度是恒定的。这句话也可以说成是：离太阳越近，速度越大。这是判断近日点远日点的根据。

第二定律有个计算是研究近日点远日点速度与到太阳距离关系的。

a b

根据扫面速度相同就有这样的关系 a b v a v b =

对于所有绕太阳运动的行星来说，轨道半长轴的三次方与周期的平方的比值都一样

简化之后为：所有绕太阳运动的行星，其轨道半径的三次方与周期的平方的比值都一样 3

2r k T

= 这里需要注意的是，这些天体所围绕的“中心天体”必须为同一个天体，这个定律可以在后面的推导中证明。

2. 万有引力

万有引力公式

只要是两个有质量的物体，两者之间必定有万有引力的作用，公式为：

记住：G 为引力常量，是由“卡文迪许”通过“扭秤实验”得来的，其目的就是为了测出地球质量。这里要记住两个和地球有关的常数：质量6×1024kg ，半径6400km 。

m 1，m 2是这两个物体的质量

r 为两个物体质心之间的距离，对于两个质点来说就是之间的距离。而对于形状规则、质量均匀的几何体来说，质心就在几何中心。

关于万有引力公式需要说明几点：

A. 万有引力公式是本章的基础，对于一个天体来说，它的运动状态就是由万有引力定律来支配

B. 万有引力公式最常见的错误就是把公式写成12m m F G r

=，把r 的平方给丢掉这是一个致命的错误，将会直接导致后面计算错误。

C. 万有引力的方向肯定在两物体之间的连线上而指向对方

D. 甲对乙的引力和乙对甲的引力是一对作用力反作用力

万有引力的规律

从公式上来看，当两个物体质量一定时，万有引力随着距离的增大而减小，并且和距离的“平方”成

反比。所以一定要养成这样的意识，距离是原来n 倍，力就变为原来的n 2分之一倍，或者，力变

为原来的n 分之一倍，这样会缩短做题时间，一般做题的时候不要在这

方面浪费时间。

地球对地球表面的物体都有吸引力，这个力就表现在重力上，但要清楚，重力只是万有引力的一个分

力。可以这么想：万有引力首先得提供物体由于随地球自转而所需的向心力，剩下来的那部分就

是重力。这样就需要注意，向心力指向自转轴，所以重力就不能指向地心了。又由于这个向心力

很小，所以重力很接近万有引力。当然，地球不同纬度所需向心力是不同的，赤道所需向心力最

大，两极点不需要向心力，所以赤道表面的重力加速度最小，两极点重力加速度最大。

一个物体受到另一个物体的吸引力和第三个物体无关，所以太空中一个物体所受吸引力应为所有其他

物体对它的吸引力的矢量和，只不过我们现在所考虑的都是吸引力最大的那个力（其他的引力比

起这个引力小的不是一点半点）。不过也有例外情况，最常见的就是在地球和月球的连线上，肯定

v a

v b

会有那么一个点，使得地球和月球对这一点上的物体的吸引力大小相等方向相反。

3. 天体运动

在这里我们先介绍圆轨道，而我们常见的问题也是圆形轨道。圆轨道的天体运动的特点一定要知道：

A. 角速度ω，周期T ，速度大小v ，向心加速度大小a 都是固定的

B. 万有引力完全的提供向心力2

n Mm G F r =，我们以后所有的计算都是从这个公式推导过来的，其中M 表示中心天体，m 为绕中心天体运动的行星、飞船、卫星等的质量。

下面探讨绕“同一个中心天体”运动的那些行星、卫星、飞船的各个物理量之间的关系

角速度ω和半径r 的关系

万有引力提供向心力：22n Mm G F m r r

ω==

可得：ω=也就是说半径越大（离中心天体越远），角速度越小

线速度v 和半径r 的关系

万有引力提供向心力：2

2n Mm v G F m r r

==

可得v =对于绕地球做匀速圆周运动的卫星来说，速度最快的那个轨道是沿地球表面的那颗，速度为第一宇宙速度s ，越往外速度越小

也就是说半径越大（离中心天体越远），线速度越小；或者说越远速度越小

周期T 和半径r 的关系

万有引力提供向心力：2

22n Mm G F m r r T π⎛⎫== ⎪⎝⎭

可得T =也就是说半径越大（离中心天体越远），周期越大；或者说越远的话，转一周用的时间越长。参阅八大行星的公转周期。

关于开普勒第三定律 上面三个公式推导过程都是用了万有引力提供向心力，从2

22Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭

可知：322

4r GM T π=，只要中心天体质量M 一样，那么轨道半径的三次方和周期平方只比就是固定值，这也就是为什么第三定律在应用时必须绕同一中心天体。

其实我们可以推导出这样的定律：

对于所有绕同一中心天体运动的行星来说，轨道半径的三次方与角速度的平方的乘积是固定值

对于所有绕同一中心天体运动的行星来说，速度的平方与半径的比值是固定值 实际上开普勒在研究行星运动规律的时候，周期是很好测的量，所以就研究出3

2r k T

=的规律，其实它和上面两个式子是一样的意思。而且，把上面两个式子联立的话就会出来最基本的圆周运动公式v r ω=

双星系统

双星系统的特点：万有引力提供向心力，由于两个天体受到的万有引力相等，所以向心力相等；绕连线上一点O 转动，并且角速度相同。

221122m r m ωω=L ，这样就能分别求出两个半径，将结果带回到“万有引力提供向心力”这个公式里就可以求出周期，角速m 1 m 2