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2017 届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，

通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式， 代入直线方程即可。 技巧在于： 设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参

考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、（ 07 山东） 已知椭圆 C ：

x 2

y 2 1若直线 l ： y kx m 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点（ A ， B

4

3

l 过定点，并求出该定点的坐标。 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线

解： 设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，由

y kx m 得 (3

4k

2

)x

2

8mkx 4( m

2

3)

0 ，

3x

2

4y 2 12

64m 2k 2 16(3 4k 2 )(m 2 3) 0 ， 3 4k 2 m 2

x 1 x 2

8mk , x 1 x 2 4( m 2 3)

3 4k 2 3 4k 2

3(m 2 4k 2 )

y 1 y 2

( kx 1

m) (kx 2

m) k 2 x 1 x 2 mk (x 1 x 2 ) m 2

3 4k 2 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2,0), 且 k AD k BD

1 ，

y 1

y 2

1， y 1 y 2 x 1 x 2 2( x 1

x 2 ) 4 0 ，

x 1

2 x 2 2

3(m 2

4k 2 ) 4(m 2 3) 16mk

4

0 ，

3

4k

2

3

4k

2

3 4k

2

2k

整理得： 7m 2 16mk 4k 2

0 ，解得： m 1

2k ,m 2

，且满足 3 4k 2 m 2

当 m 2k 时， l : y

7

k( x

2) ，直线过定点 (2,0), 与已知矛盾；

当 m

2k 时， l : y k (x 2

) ，直线过定点 ( 2

,0)

7

7

7 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为

( 2

,0).

7

P 做相互垂直的直

◆方法总结： 本题为 “弦对定点张直角” 的一个例子 ：圆锥曲线如椭圆上任意一点

线交圆锥曲线于

AB ，则 AB 必过定点

x 0 (a 2 b 2 ) y 0 ( a 2

b 2 )

(

2

2

,

2

2

) 。（参考百度文库文章： “圆锥曲线的弦

a

b

a

b

对定点张直角的一组性质”

）

◆模型拓展： 本题还可以拓展为 “手电筒” 模型： 只要任意一个限定

AP 与 BP 条件（如 k AP k BP 定

值， k AP k BP 定值），直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）

。（参考

优酷视频资料尼尔森数学第一季第 13 节）

此模型解题步骤：

Step1：设 AB 直线 y kx m ，联立曲线方程得根与系数关系，

求出参数范围；

Step2：由 AP 与 BP 关系（如 k AP

k

BP

1 ），得一次函数 k f (m)或者 m f (k ) ；

Step3：将 k f ( m)或者 m

f (k ) 代入 y kx m ，得 y k (x x 定 ) y 定 。

◆迁移训练

练习 1：过抛物线 M: y 2

2 px 上一点 P （ 1,2）作倾斜角互补的直线

PA 与 PB ，交 M 于 A 、 B 两点，

求证：直线 AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习 2：过抛物线 M: y 2

4x 的顶点任意作两条互相垂直的弦

OA 、OB ，求证： 直线 AB 过定点。（经

典例题，多种解法）

练习 3：过 2x

2

y

2

1

上的点作动

弦 AB 、AC 且 k AB

k

AC 3，证明 BC 恒过定点。（本题参考答案：

1 1

( ,

) ）

5

5

练习 :4：设 A 、B 是轨迹 C ： y 2

2 px( P 0) 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OA 和 OB 的倾斜角 分别为 和 ，当

, 变化且 4 时，证明直线

AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

（参考答案

2 p,2 p ）

【答案】设 A x 1, y 1 , B

x 2 , y 2 ，由题意得 x 1, x 2

0 ，又直线 OA,OB 的倾斜角 , 满足

，

4

故 0

,

，所以直线

AB 的斜率存在，否则， OA,OB

直线的倾斜角之和为

从而设

AB 方程为

4

y

kx b ，显然 x 1 y 12 , x 2

y 22 ，

2 p

2 p

将 y kx

b 与 y 2 2 px( P

0) 联立消去 x ，得 ky 2 2 py 2 pb 0

由韦达定理知 y 1

y 2 2 p

, y 1 y 2 2 pb ①

k k

由

，得 1＝ tan

tan(

tan tan

2 p( y 1

y 2 )

) =

tan tan

=

4 p 2

4

4

1

y 1 y 2

将①式代入上式整理化简可得：

2 p

1，所以 b

2 p 2 pk ，

b 2 pk

此时，直线 AB 的方程可表示为

y kx

2 p 2 pk 即 k (x 2 p)

y 2p

所以直线 AB 恒过定点

2 p,2 p .

（ 2013 年高考陕西卷（理） ）已知动圆过定点

A (4,0),

且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.

练习 5：

C 的方程 ;

( Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹

( Ⅱ ) 已知点 B (-1,0),

设不垂直于 x 轴的直线 l

与轨迹 C 交于不同的两点 P ,

Q , 若 x 轴是

PBQ 的角

平分线 , 证明直线 l 过定点 .

【答案】 解:( Ⅰ) (4,0), 设圆心 C

A

( x, y), MN 线段的中点为 E ，由几何图像知 ME

MN ,CA 2

CM 2

ME 2 EC 2

（x 4)2 y 2 42 x 2

y 2 8x 2

( Ⅱ ) 点 B (-1,0),

设 P( x , y 1 ), Q( x , y ),由题知 y

1

y

2 0， y y

2 0, y

2 8x , y

2 2

8x 2

.

1

2

2

1

1

1

y 1

y 2

y 1

y 2

8( y 1 y 2 ) y 1 y 2 ( y 2

y 1 ) 0

8 y 1 y 2

0 直线 PQ

x 1 1 x 2

1

y 1

2

8 y 2

2

8

方程为 : y

y 1

y 2 y

1 (x x 1 ) y y 1 1 y 1 (8x y 1

2 )

x 2 x 1 y 2

y( y

2

y ) y ( y 2 y ) 8x y 2 y( y 2 y ) 8 8x

y 0, x 1

1

1 1

1

1

所以 , 直线 PQ 过定点 (1,0)

练习 6：已知点 B

1,0 , C 1,0 , P 是平面上一动点，且满足

| PC | | BC |

PB CB

（ 1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；

（ 2）已知点 A(m, 2) 在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE ，且 AD AE ，判断：直