2017高考数学函数真题汇编

2017年高考数学《不等式》真题汇编

1.（2017北京）已知函数1()3()3

x x

f x =-，则()f x （A ）

（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数

（C ）是奇函数，且在R 上是减函数

（D ）是偶函数，且在R 上是减函数

2.（2017北京）已知函数()cos x

f x e x x =- （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,

]2

π

上的最大值和最小值.

解：（Ⅰ）()cos x

f x e x x =- ∴()(cos sin )1x

f x e x x '=--

∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为0

(cos0sin 0)10k e =--= 切点为(0,1)，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = （Ⅱ）()(cos sin )1x

f x e x x '=--，

令()()g x f x '=，则()(cos sin sin cos )2sin x

x

g x e x x x x e x '=---=- 当[0,

]2

x π

∈，可得()2sin 0x g x e x '=-≤，

即有()g x 在[0,]2

π

上单调递减，可得()(0)0g x g ≤=， 所以()f x 在[0,

]2

π

上单调递减，

所以函数()f x 在区间[0,

]2π

上的最大值为0(0)cos 001f e =-=； 最小值为2()cos

2

2

2

2

f e π

π

ππ

π

=-

=-

3.（2017全国卷Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足

的的取值范围是（D ）

A ．

B ．

C ．

D ．

()f x (,)-∞+∞(11)f =-21()1x f --≤≤x [2,2]-[1,1]-[0,4][1,3]

4.（2017全国卷Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3

）的最大值为

_______

3

5.（2017全国卷Ⅰ）已知函数

2()(2)x x

f x ae a e x =+-- （1）讨论的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x

x x x f x ae

a e ae e '=+--=-+

（i ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减 （ii ）若0a >，则由()0f x '=的ln x a =- 当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<； 当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>

所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增。 （2）（i ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点

（ii ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1

(ln )1ln f a a a

-=-+ 当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； 当(1,)a ∈+∞时，由于1

1ln 0a a

-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； 当(0,1)a ∈时，1

1ln 0a a

-

+<，即(ln )0f a -<又

()f x

又4

22(2)(2)2220f ae

a e e ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点。

设正整数0n 满足03ln(1)n a

>-，

则00000000()(2)20n

n

n

n

f n e ae a n e n n =+-->->-> 由于3ln(1)ln a a

->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点 综上，a 的取值范围为(0,1)

6.（2017全国卷Ⅰ）函数

sin21cos x

y x =

-的部分图像大致为（C ）

7.（2017全国卷Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（C ） A.()f x 在（0,2）单调递增

B.()f x 在（0,2）单调递减

C.y =()f x 的图像关于直线x =1对称

D.y =()f x 的图像关于点（1,0）对称

8.（2017全国卷Ⅰ）已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．

解：（1）函数()f x 的定义域为22(,),()2(2)()x x x x

f x e ae a e a e a '-∞+∞=--=+-

①若0a =，则2()x

f x e =，在(,)-∞+∞单调递增 ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =