2. 圆周角及其计算

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《圆》整理和复习(导学案)

4.培养学生的数据分析能力，通过对圆的周长、面积等计算，提高数据处理和计算能力；
5.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、合作探究，加深对圆的知识点的理解和应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆的基本概念：圆心、半径、直径、周长、面积的定义及其相互关系；
-圆的性质：半径相等、直径垂直、弧相等、圆心角相等的特点及其应用；
《圆》整理和复习（导学案）
一、教学内容
《圆》整理和复习（导学案）
1.圆的基本概念：圆心、半径、直径、周长、面积；
2.圆的性质：半径相等、直径垂直、弧相等、圆心角相等；
3.圆的方程：圆的相交、相离；
5.圆与圆的关系：相切、相交、相离；
6.圆的切线、割线；
7.圆的扇形、圆心角、圆周角；
举例解释：
-通过实际测量和计算，让学生掌握圆的周长和面积的计算方法，并理解其在生活中的应用，如计算车轮的行驶距离；
-通过几何作图，让学生直观感受圆的性质，如半径相等、圆心角相等，并应用于解决实际问题，如设计等分圆的图形。
2.教学难点
-圆的方程推导：理解圆的标准方程和一般方程的推导过程，尤其是从标准方程到一般方程的转换；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆的基本概念。圆是由一组等距离于圆心的点组成的几何图形。它是平面几何中最重要的图形之一，具有许多独特的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了圆在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题，如计算车轮的周长和面积。
-在计算扇形、圆心角、圆周角时，通过实际案例和公式推导，使学生能够熟练掌握计算方法，并应用于实际测量和设计问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）

圆周角和圆心角演示课件

A
A
=
1 2
∠AOC.
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
•16
练习： D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
.O
X
A
B
B
A
BA
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°。
3、如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
A A
O
O
B
C
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
•10
想一想
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
•11
图１不是
图２
不是
图４
2、指出图中的圆周角。
不是
是
图３
不是
图５
•7
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧所对的
•8
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
A O

圆(全)知识点习题及答案

圆一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R 的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l 的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l 的圆柱的体积为，侧面积为2πRl ，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．一、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角（1）图中的圆心角；圆周角；（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度；（3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠AOB= 度；OA B3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相．例：已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d，（1）当d=10厘米时，有d r，直线l与圆（2）当d=12厘米时，有d r，直线l与圆（3）当d=15厘米时，有d r，直线l与圆5、圆与圆的位置关系：例：已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为 d，则：R+r= ， R－r= ；（1）当d=14厘米时，因为d R+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（2）当d=2厘米时，因为d R－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（3）当d=15厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（4）当d=7厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（5）当d=1厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：6、切线性质：例：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO= 度（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，则 = ，∠ =∠；7、圆中的有关计算（1）弧长的计算公式：例：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长=()180所以l =()180= (答案保留π)（2）扇形的面积：例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？（3）圆锥：例：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，则圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积=8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；基础练习一。

[圆周角定理]圆周角

[圆周角定理]圆周角篇一:[圆周角]圆周角教案设计及反思教材依据圆周角是新课标人教版九年级数学上册第二十四章第一节圆的有关性质的重要内容，本节内容依据新人教版九年级《课程标准》和《教师教学用书》及《初中数学新教材详解》。

设计思想本节课是在学习了圆心角的定义、性质定理和推论的基础上，由生活实例引出圆周角，类比圆心角认识圆周角，类比圆心角的性质探究圆周角定理，精选例题及习题对本节内容进行迁移应用。

在教学过程中本着“以人为本，让课堂变为学堂，把时间和空间更多地留给学生”为原则，注重学生的实践活动，通过让学生作图、度量、分析、猜想、验证得出结论，教学过程中充分利用学生已有的认知水平，由浅入深、逐层递进，并能适时地应用直观教具引导学生运用分类讨论及转化的数学思想对圆周角定理进行证明，化解本节课的难点。

这样学生易于接受新知识，也能很快地理解并掌握圆周角定理的内容，同时给学生自主探索留有很大空间，让学生在实践探究、合作交流活动中，亲身体验应用数学的乐趣和成功的喜悦，发展学生的思维，培养学生的多种学习能力。

教学目标1.知识与技能(1)理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，并运用它进行简单的论证和计算。

(2)经历圆周角定理的证明，使学生初步学会运用分类讨论的数学思想和转化的数学思想解决问题。

2.过程与方法采用“活动与探究”的学习方法，由感性到理性、由简单到复杂、由特殊到一般的思维过程研究新知识，引导学生理解知识的发生发展过程，并使学生能应用所学知识解决简单的实际问题。

3.情感、态度与价值观通过学生探索圆周角定理，自主学习、合作交流的学习过程，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习数学的自信心。

教学重点圆周角的概念、圆周角定理及应用。

教学难点圆周角定理的探究过程及定理的应用。

教学准备学生：圆规、量角器、尺子教师：多媒体课件、活动教具教学过程一、创设情景，引入新课大屏幕显示学生熟悉的画面（足球射门游戏）足球场有句顺口溜：“冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好。

人教版九年级上册数学教案：24.1.4圆周角

其次，在新课讲授环节，我强调了圆周角定理和推论的重要性，并通过案例分析让学生体会这些定理在实际问题中的应用。然而，学生在独立解决问题时，对定理的运用还不够熟练。这可能是因为我对定理的讲解和示例还不够充分，导致学生在实际操作时遇到困难。
在实践活动环节，我让学生分组讨论和实验操作，目的是让他们在实践中掌握圆周角的知识。从成果展示来看，大部分学生能够完成实验任务，但仍有部分学生操作不够规范，对圆周角的测量和计算存在误差。这说明我在指导学生实验操作时，还需要更加细致地讲解和演示。
3.能够利用圆周角定理证明圆内接四边形的性质，如对角互补等。
4.通过实际操作，培养学生的观察能力、空间想象力和逻辑思维能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用几何直观和空间想象力，理解圆周角的概念及其与圆心角的关系，提高几何图形的认识和分析能力。
2.强化学生逻辑推理和数学论证的能力，通过圆周角定理及推论的探究和运用，培养严谨的数学思维和推理素养。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是顶点在圆周上，两边都与圆相交的角。它是研究圆性质的重要角度之一，对于解决与圆有关的问题至关重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，其半径为r，我们需要计算圆上两个点对应的圆周角。通过案例分析，我们学习如何应用圆周角定理来解决这个问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了圆周角的概念、性质和应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得思考和改进。
首先，关于圆周角定义的引入，我尝试通过日常生活中的例子让学生感受到圆周角的存在，激发他们的学习兴趣。从学生的反应来看，这个方法还是比较有效的。但在实际操作中，我发现有些学生对圆周角的理解仍然不够深入，可能需要我在课堂上更加形象、直观地展示圆周角的特点。

华东师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1．（2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长．【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2．∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ．∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°，∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°．在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2，∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BD OB BC =， ∴ OB BD BC AD =．在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))．∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4．∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG ＝∠ODG ＝90°．∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))．在△ADC 中，∠ADC ＝90°，∴ ∠A+∠ACD ＝90°．又∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点，∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ．又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ．又∵ ∠A+∠ACD ＝90°，∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ．∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】解：（1）图1：∵点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN ，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π；【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD．答案：256π．【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=35，求tan∠PCB的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE ∥PC ，∴∠PCB=∠CBE ，∵sin ∠BAC==， ∴=， ∵AB=AC ，∴tan ∠CBE===，∴tan ∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解（1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（）Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 2sin 45222AB AC '==⨯=°．。

24.1.4圆周角(人教新课标九年级上)

C O
B A
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有
怎样的关系？为什么？
A
Qp O
B
小结：
本节课你学会了什么?
1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理的运用； 4、圆内接多边形的定义； 5、圆内接四边形的性质。
一、圆周角概念
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
图中的∠ACB、∠ADB 和∠AEB是圆周角 C
D A
O·
E
B
课本P88-1判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
PPຫໍສະໝຸດ PP不是不是
顶点不顶点不在圆上。在圆上。
是
不是
顶点在圆上，两边和圆相交。
两边不和圆相交。
24.1.4 圆周角
教学目标
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角。 2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算。 3.能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明等问题。 4.知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆。 5.能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题。 6.经历观察、类比、猜想、合作交流等数学活动，体会运用分类讨论、转化、完全归纳法等数学思想方确法解决问题,培养学生分析问题和解决问题的能力。
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：连接OD
∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，

圆周角教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案

圆周角教学设计一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解和描述圆周角及其特性；2. 计算和应用圆周角的测量值；3. 通过解决实际问题应用圆周角的概念和计算。

二、教学重点1. 圆周角的概念和特性；2. 圆周角的测量和计算。

三、教学内容与过程1. 引入（10分钟）为了引发学生对圆周角的兴趣和注意，可以通过以下方式引入：- 展示一个圆图形，引导学生观察圆周上的弧；- 提问学生，让他们描述圆上的弧之间的关系和角度的测量方法。

2. 概念讲解（20分钟）- 在黑板上绘制一个圆，并引导学生认识圆周；- 定义圆周角的概念，即圆周上的两条射线之间所夹的角；- 引导学生发现并描述圆周角的特性，例如：对于同一弧所对的圆周角相等，对于整个圆周的夹角为360度等。

3. 计算与应用（40分钟）- 引导学生理解如何测量圆周角；- 提供一些实际问题，让学生应用圆周角的概念解决问题，例如：一个轮胎转过了120度，计算它所对应的弧长是多少？- 分发练习册，让学生进行计算和应用练习。

4. 总结与讨论（15分钟）- 让学生分享他们在解决实际问题时的方法和答案；- 总结圆周角的重要特性和应用；- 鼓励学生提问和答疑。

四、教学资源与评估1. 教学资源- 圆形图形板书；- 实际问题练习册；- 计算器（可选）。

2. 教学评估- 观察学生在课堂中的参与和回答问题的能力；- 检查学生完成的练习册，并提供反馈；- 对学生的理解程度进行口头评估。

五、教学延伸对于学习较好的学生，可以考虑以下延伸活动：- 引导学生探究圆周角与爬虫在旋转时的角度关系；- 让学生研究圆上的其他角度性质，例如：直角角度的测量，半圆对应的角度等。

六、教学反思本节课通过引入、概念讲解、计算与应用、总结与讨论的方式进行教学，旨在帮助学生理解并应用圆周角的概念和计算方法。

教师在引入阶段需要抓住学生的兴趣点，通过实际问题的应用帮助学生理解概念。

在计算与应用阶段，教师可以提供不同难度的问题，以满足不同层次学生的需求。

圆周角计算公式

圆周角计算公式
圆周角计算公式是：圆周角的度数等于所夹弧的长度与圆的半径之比再乘以360度，或者等于它所对的弧的度数的一半。

用公式表示为：圆周角的度数= (所夹弧的长度÷圆的半径) ×360度；或者圆周角的度数= 所对的弧的度数÷2。

这个公式可以用来计算圆周角的度数，其中所夹弧的长度指的是圆周角所夹的圆弧的长度，圆的半径则是指圆的半径长度。

在计算时，需要注意所夹弧的长度应该是以弧度为单位，而不是以角度为单位。

另外，圆周角定理也提供了另一种计算圆周角的方法，即一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

这个定理可以用来快速计算圆周角的度数，只需要知道所对圆心角的度数即可。

总之，圆周角计算公式提供了两种计算圆周角的方法，可以根据具体情况选择使用哪种方法。

九年级数学《圆》知识点归纳及分类训练

<<圆>>知识点归纳（1）掌握圆的有关性质和计算① 弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.② 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③ 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半. ④ 圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角. （2）点与圆的位置关系① 设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点在圆外d r ⇔>；点在圆上d r ⇔=；点在圆内d r ⇔<． ② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆. ③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（3）直线与圆的位置关系① 设圆心到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，则直线与圆相离d r ⇔>；直线与圆相切d r ⇔=；直线与圆相交d r ⇔<．② 切线的性质:与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径. ③ 切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.④ 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. ⑤ 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. ⑥ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.（4）与圆有关的计算① 弧长公式：180n rl π= 扇形面积公式：213602n r S lr π==扇形（其中为n 圆心角的度数，r 为半径） ② 圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积③ 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体． ④ 圆锥的侧面积＝12×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积能力提升（一）—— 圆中的有关概念和性质一、知识点回顾：1.确定一个圆有两要素，一是，二是，圆心确定、半径确定；2.圆既是对称图形，又是对称图形；它的对称中心是，对称轴是，有条对称轴。

圆的知识点复习

圆的知识点复习(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆的有关概念和性质（复习）一、知识点回顾：1.确定一个圆有两要素，一是，二是，圆心确定、半径确定；2.圆既是对称图形，又是对称图形；它的对称中心是，对称轴是，有条对称轴。

3.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等。

例1：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦① 若AB=CD ，则有 = ， =② 若AB=CD ，则有 = ， =③ 若∠AOB=∠COD ，则有 = ， = 4.在在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角，相等的圆周角所对的弧，同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的。

例2.如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠CAB ＝∠CBA ， ∠COB 与∠COA 相等吗为什么例3．如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A ＝30°，则∠BOC= °，∠OBC= °5.半圆或直径所对的圆周角都是 °，90°的圆周角所对的弦是圆是。

例4．填空：1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °，∠ABD= ° 2、如图，⊙O 的直径AB=10，弦BC=5，∠B= °6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧。

即：如图，若AB ⊥CD ，则有AP PB ，AC ︵ CB ︵，AD= 典型题：例5．如上图，若CD=10，AB=8，求PC 的长例6．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13米，则拱高为_____．7．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的，圆心就是的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的，圆心是的交点，叫做三角形的内心。

圆周角教学设计

圆周角教学设计引言：圆周角是数学中的重要概念之一，它在几何学和三角学中都有广泛的应用。

本文将设计一堂圆周角的教学课程，通过引入实际生活中的例子和互动讨论的方式，帮助学生更好地理解和应用圆周角的概念。

第一部分：引入圆周角的概念在课程一开始，我会通过一个生动的例子引入圆周角的概念。

我将带来一张饼干的图片，并询问学生，如果他们要将饼干平均分成几块，每一块的角度应该是多少。

通过这个问题，我希望学生能够思考如何计算圆周角，并引导他们逐步理解圆周角的概念。

第二部分：圆周角的计算方法在学生对圆周角有了初步的了解后，我将介绍圆周角的计算方法。

我会引入弧度制和度数制两种计算方式，并通过具体的例子进行讲解。

例如，我会给学生一个扇形的图片，让他们计算扇形的圆周角，并比较两种计算方法的差异。

通过这种比较，学生可以更好地理解弧度制和度数制的转换关系，并掌握圆周角的计算方法。

第三部分：圆周角的应用在学生掌握了圆周角的计算方法后，我将引入圆周角在实际生活中的应用。

例如，我会给学生一个城市地图，让他们计算两个地点之间的方位角。

通过这个例子，学生可以将圆周角的概念应用到实际问题中，并培养他们的解决问题的能力。

第四部分：圆周角的性质在学生对圆周角的应用有了一定的了解后，我将介绍圆周角的一些基本性质。

例如，我会告诉学生圆周角的度数和所对的弧长成正比，以及圆周角的对称性等。

通过这些性质的介绍，学生可以更深入地理解圆周角的特点，并应用到更复杂的问题中。

结语：通过本堂圆周角的教学课程，学生可以从生活中的例子中感受到圆周角的实际应用，并掌握圆周角的计算方法和性质。

通过互动讨论和实践操作，学生的学习兴趣和参与度也会得到提高。

希望这堂课程能够帮助学生更好地理解和应用圆周角的概念，为他们的数学学习打下坚实的基础。

圆知识点汇总

圆知识点汇总（一）一、圆、垂径定理1、圆的定义及表示法（1）圆的定义1：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转所成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心。

线段OA叫做半径（如图1-1）。

（2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

（3）圆的定义2：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。

（圆是一条闭合曲线，不包含中间的部分）确定一个圆的要素是圆心和半径。

2、与圆有关的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）直径：经过圆心的弦是直径。

注意：圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦。

（3）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（4）半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。

（画图判断带弦的不叫弧，叫弓形）（5）优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

优弧CAB，记作“⌒CAB”，如图1-2。

（6）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

劣弧表示时只需两个字母。

（7）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

（8）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

（9）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（10）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

判断：长度相等的弧叫做等弧。

（×）3、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

注意：（1）圆的对称轴有无数条。

（2）错误说法：圆的对称轴是直径。

因为直径是弦，弦是线段，所以直径是线段，而对称轴是直线。

应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。

4、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

5、垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（4）在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等。

圆各知识点总结

第24章圆知识点总结一、圆的基本性质1.圆的有关概念（1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；拓展：a.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；b.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；c.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；d.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

(2)圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。

(3)弦：圆上任意两点连成的线段；通过圆心的弦是直径，是圆中最长的弦，也是圆的对称轴。

(4) 弧：圆上任意两点之间的部分；以A 、B 为端点的弧记作B A(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（半圆是弧，不包括直径的部分，因此求半圆的周长时不要画蛇添足。

）(6)劣弧：在同圆或等圆中，弧长小于该圆半圆的弧叫劣弧。

优弧：弧长大于该圆半圆的弧叫优弧。

（优弧通常用三个字母表示，如C AB。

） (7)同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆(8)等圆：能够重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆. (9)弦心距：从圆心到弦的距离 2.圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆点。

3．垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分线所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算

中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算复习目标1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。

2.掌握圆的基本性质。

3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。

考点梳理一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.【答案】解：①半径OD经过弦AB的中点C，①半径OD①AB．(1)①AB＝3AC＝BC3①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD ＝1.(2)①OD①AB ，OA ＝OB ， ①①AOD ＝①BOD ．①①AOB ＝120°，①①AOC ＝60°． ①OC ＝OA·cos①AOC ＝OA·cos60°＝12R ， ①1122CD OD OC R R R =-=-=．二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：在图中(1)直径CD ，(2)CD①AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．①圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，①O与AB相切于点D，求证：AC与①O相切．【答案】证明：连接OD，作OE①AC，垂足为E，连结OA．①AB与①O相切于点D，①OD①AB．①AB＝AC，OB＝OC，①①1＝①2，①OE＝OD．①OD为①O半径，①AC与①O相切．三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．①过两点A、B的圆有无数个，如图所示．①经过在同一直线上的三点不能作圆．①不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．①圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是①O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过①O上的一点A；①OA①l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．3.三角形外心、内心有关知识比较4.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．①同心圆是内含的特殊情况．①圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．①“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360 n °．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n°的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．1．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】C【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】连接OA，①CD为O的直径，弦AB CD⊥，AB=3，①AE=12设OA=OC=x，则OE=x-1，①()222x x-+=，解得：x=5，13①O的半径为5．故选C．2．（2022·河南九年级期末）如图，AD为①O的直径，6cmAD=，DAC ABC∠=∠，则AC的长度为（）A．2B．22C．32D．33【答案】C【分析】连接CD，由圆周角定理可知90∠=∠可知AC CD=，由∠=︒，再根据DAC ABCACD勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：连接CD，AD是O的直径，∴∠=︒，ACD90∠=∠，DAC ABC∠=∠，ABC ADC∴∠=∠，DAC ADC∴CD AC=，∴=，AC CD又222AC CD AD+=，22∴=，2AC ADAD=，6∴=AC故选：C．3．（2022·全国九年级课时练习）O的半径为10cm，弦//AB CD．若==，则AB和CD的距离为（）AB CD12cm,16cmA．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 【答案】C【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．【详解】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，①AB①CD，①OF①CD，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=10cm，①在Rt①AOE中，由勾股定理可得；8EO cm，在Rt①COF中，由勾股定理可得：6OF===cm，①EF=OF+OE=8+6=14cm．当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，①AB①CD，①OE①AB，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=5cm，在Rt①AOE中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，1068EO OA AE在Rt①COF中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，OF OC CF1086①EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；故选C．4．（2022·全国九年级课时练习）如图，在ABC中，10,8,6===，经过AB AC BC点C且与边AB相切的动圆与,CB CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8【答案】D【分析】设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD①AB，由勾股定理逆定理知，ABC是直角三角形，OC+OD=EF，而OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．【详解】解：设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，①10,8,6===，AB AC BC①AC2+BC2=AB2，①ABC 是直角三角形，①ACB =90°， ①EF 是①O 的直径， ①OC +OD =EF ， ①①O 与边AB 相切， ①OD ①AB ， ①OC +OD ≥CD ，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上时，OC +OD =EF 有最小值，此时最小值为CD 的长， ①CD =864.810AC BC AB ⋅⨯==， ①EF 的最小值为4.8．故选D ．5．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；①等弧所对的弦相等；①圆中90°的角所对的弦是直径；①相等的圆心角对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦；①任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对①①进行判断；根据圆周角定理对①进行判断；根据垂径定理对①进行判断；根据三角形外接圆的定义对①进行判断．【详解】解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；①能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故①正确，符合题意； ①圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故①错误，不符合题意；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故①错误，不符合题意； ①平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故①错误，不符合题意； ①任意三角形一定有一个外接圆；故①正确，符合题意；其中正确的有①①①，故选：B ．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）四边形ABCD 中，ACD △是边长为6的等边三角形，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，则对角线BD 的长的取值范围是（） A ．33BD <≤+B ．36BD << C ．63BD <≤+D ．3BD <≤【答案】C 【分析】由①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形可知点B 在以AC 为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD 长度的取值范围．【详解】①①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形， ①点B 在以AC 为直径的圆上，如图中①O ，连接OD 并延长，交①O 于点E 和点B ，①等边①ACD的边长为6，①AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD①AC，①①COD=90°，①OD=2222CD OC-=-=，6333①BD=OD+OB=333+，△是边长为6的等边三角形，ACD当B与,A C重合时，BD最小6=①对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤333+．故选：C．7．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC∠=︒，30Rt△中，90ACB∠=︒，3ABCAB=，将ABCRt△绕直角顶点C顺时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边上时，停止转动，则点B经过的路径长为__．3【分析】首先根据勾股定理计算出BC 长，再根据等边三角形的判定和性质计算出60ACA ∠'=，进而可得60BCB ∠'=，然后再根据弧长公式可得答案．【详解】解：30B ∠=，3AB =，①ACB=90° ①1322AC AB ==，60A ∠=，①22332BC AB AC =-=AC A C ='，AA C ∴'是等边三角形， 60ACA ∴∠'=，60BCB ∴∠'=，∴弧长3360321802l ππ⋅⋅==，故答案为：32π． 8．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，以AC 为直径做半圆交AB 于点D ，若1BC =，则图中阴影部分的面积为__．3π+【分析】连接OD ，CD ，根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，解直角三角形求得AC =CD OC OD =，32AD =，60COD ∠=︒，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OD ，CD ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒， ①9030A B ∠=︒-∠=︒，又①1BC =， ①22BA BC ==，①AC =AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，12OA AC =，又①30A ∠=︒，12CD AC ∴==①32AD ， ①30A ∠=︒，260COD A ︒∴∠=∠=，∴阴影部分的面积()()ABC AOD AOD COD COD S S S S S S ∆∆=++--+△半圆扇形扇形 122ABC ACD COD S S S S ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭△△半圆扇形22601111321222360222ππ⎛⋅ =⨯⋅-+⨯⨯⎪⎝⎭38π+=，故答案为：38π+．9．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，AB BC =，以AB 为直径的①O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作//CE AB ，且CAD CAE ∠=∠．（1）求证：AE 是①O 的切线；（2）若5AB =，4=AD ，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明AEC △和ADC 全等即可得到结论；（2）由勾股定理求出2CD =，根据全等三角形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：AB BC =，BAC BCA ∴∠=∠，//CE AB ，BAC ACE ∴∠=∠，ACB ACE ∴∠=∠，在AEC △和ADC 中，CAD CAE AC ACACB ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADC AEC ASA ∴≅△△，ADC E ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，90E ∴∠=︒，//AB CE ，180BAE E ∴∠+∠=︒，90BAE ∴∠=︒，AE ∴是O 的切线；（2）解：90ADB ∠=︒，5AB =，4=AD ，3BD ∴==，532CD BC BD ∴=-=-=，①ADC AEC ≅△△，2CE CD ∴==．10．（2022·安庆市第四中学九年级）如图，①O 是①ABC 的外接圆，FH 是①O 的切线，切点为F ，FH ①BC ，连结AF 交BC 于E ，①ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）求证：AF平分①BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）AD =214．【分析】（1）连结OF，由FH是①O的切线，可得OF①FH，由FH∥BC，可得OF垂直平分BC，根据垂径定理可得BF FC=，根据圆周角性质可得①1=①2即可；（2）根据①ABC的平分线BD，可得①4=①3，可证①FDB=①FBD，可得BF=FD，再证①BFE①①AFB，根据性质可得BF AFFE BF=，再求BF=DF= 7，可求494FA=，即可求AD．【详解】（1）证明：连结OF，①FH是①O的切线，①OF①FH，①FH∥BC，①OF垂直平分BC，①BF FC=，①①1=①2，①AF平分①BAC，（2）解①①ABC 的平分线BD 交AF 于D ， ①①4=①3，①1=①2，①①1+①4=①2+①3，①①5=①2，①①1+①4=①5+①3 ，①①FDB =①FBD ，①BF =FD ，在①BFE 和①AFB 中，①①5=①2=①1，①AFB =①EFB ， ①①BFE ①①AFB ， ①BF AF FE BF=， ①2BF FE FA =⋅， ①2BF FA FE= ， ①BF =DF =EF +DE =7，①274944FA ==， ①AD=AF -DF =4974-=214．。

九下数学知识点总结圆

九下数学知识点总结圆
圆的基本定义与性质：圆是一个平面几何图形，由平面上所有与固定点（即圆心）距离相等的点组成。

这些点到圆心的距离称为半径。

圆具有无数条对称轴，这些对称轴都经过圆心。

弦、直径与弧：连接圆上任意两点的线段称为弦。

如果弦经过圆心，则这条弦称为直径，且直径是圆中最长的弦。

圆上任意两点之间的部分称为圆弧或弧。

弧可分为优弧（大于半圆）和劣弧（小于半圆）。

圆心角、圆周角：顶点在圆心的角称为圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

顶点在圆上且两边都与圆相交的角称为圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

圆的周长与面积：圆的周长（或称为圆的周长）可以通过公式C = 2πr（或C = πd，其中d为直径）计算。

圆的面积可以通过公式S = πr²计算。

扇形及其面积：由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形称为扇形。

扇形的面积可以通过公式S = nπr²/360或S = rl/2计算，其中n为圆心角的度数，r为半径，l为弧长。

除此之外，九下数学中与圆相关的知识点还可能包括切线、切点、圆与直线的位置关系、圆与多边形的关系等。

这些知识点是进一步理解和应用圆的基本性质的基础。

请注意，具体的知识点可能因教材和地区而异，因此建议参考所使用的数学教材或咨询数学教师以获取更详细和准确的知识点总结。

同时，通过做练习题和解决实际问题，可以加深对圆相关知识的理解和应用能力。

小学数学弧长与圆周角的计算

弧长公式： L=πrθ，其中L 表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角。
弧长的测量方法：使用尺子或圆规测量。
弧长的应用：计算圆周长、面积等几何问题。
01
02
03
04
圆周角的定义
圆周角：在圆周上任意一点引出的与圆周相交的角
圆周角的大小：等于该点与圆心的连线与圆周的夹
角
圆周角的性质：圆周角等于其所在圆的圆心角的一
练习题三及解析
题目：已知一个圆的半径为r，求其弧长L和圆周角
θ。
解析：根据公式L = 2πr 和θ = 360°/r，可以计算
出弧长L和圆周角θ。
答案：弧长L = 2πr，圆周角θ = 360°/r。
提示：注意单位换算，弧长和圆周角的单位分别是
米和度。
练习题四及解析
题目：已知一个圆的半径为 r，求其弧长L和圆周角θ。
小学数学弧长与圆周角的计算
汇报人：xxx
目录
01 弧长与圆周角的基本概算方法
04 弧长与圆周角的应用
05
弧长与圆周角的练习题及解析
01
弧长与圆周角的基本概念
弧长的定义
弧长是指圆上任意两点之间的曲线长度。
06
THANK YOU 小学数学两条平行线夹角的计算
汇报人：xxx
01
解析：根据公式L = 2πr和θ = 360°/r，可以计算出弧长 L和圆周角θ。
02
题目：已知一个圆的直径为 d，求其弧长L和圆周角θ。
03
解析：根据公式L = πd和θ = 180°/d，可以计算出弧长L和圆周角θ。
04
题目：已知一个圆的周长为 C，求其弧长L和圆周角θ。

有关圆周角概念及定理

圆周角及其定理教课目的1、理解圆周角的观点，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算 .2、经历圆周角定理的证明，使学生认识分类证明命题的思想和方法，领会类比、分类的教课方法 .3、经过学生主动研究圆周角定理及其推论，合作沟通的学习过程，学习成长的快乐及数学的应用价值 .教课要点难点教课要点：圆周角的观点、圆周角定理及其应用 .教课难点：圆周角定理的分类证明 .教课过程一、情境导入足球场上的数学在足球竞赛中，甲带球向对方球门 PQ 攻击,当他冲到 A 点时，伙伴乙已经冲到 B 点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门 .问哪一种射门方式进球的可能性大？ (提示：仅从射门角度考虑，射门角度越大越好 .)设计企图：让学生感觉到生活之中的数学识题，激发学习兴趣 .二、自我研究1、圆周角的观点察看图形∠APB 的极点 P 从圆心 O 挪动到圆周上（电脑动画） . 教师指出∠ APB 是圆周角.由圆心角顺利迁徙到圆周角 .学生对照圆心角的定义，试试给出圆周角的定义：极点在圆上，而且两边都和圆订交的角，叫圆周角 .辨析观点鉴别以下各图形中的角是否是圆周角，并说明原因 .A B C D思虑特点圆周角拥有什么特点？明确结论：①极点在圆上；②两边都和圆订交 .设计企图：让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角观点。

2、合作沟通，着手操作学生先着手画圆周角，再互相沟通、比较，研究圆心与圆周角的地点关系，并请学生代表上讲台用投影展现沟通成就 .教师再利用电脑，动画展现圆心与圆周角可能拥有的不一样的地点关系，并由学生概括出圆心与圆周角拥有三种不一样的地点关系：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外面 .设计企图：学生着手画圆周角，进一步熟习圆周角，另一方面，早先研究出圆心与圆周角的三种地点关系，将难点分别，为后边证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度 .研究问题同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？试验操作当圆心角分别是锐角（ 4 50）、钝角（1100）和平角（1800）时，着手丈量出弧 BC 所对的圆周角∠ BAC 和∠BDC 的度数，比较它们的大小，而后在优弧 BAC 上随意取一点 E，丈量∠BEC 的度数，研究同弧所对的圆周角与圆心角的关系 .猜想结论同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 .电脑考证教师改变圆心角∠ BOC 的度数，再经过电脑丈量弧 AB 所对的圆周角∠ BAC 和∠BDC 的度数，进一步考证学生的猜想 .设计企图：学生合作沟通，研究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数目关系，教师再经过电脑丈量来考证，让学生进一步明确它们之间的关系.4、证明定理命题剖析命题：（电脑显示）同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.学生说出已知、求证 .问题：圆心与圆周角的三种地点关系中，哪一种地点关系最特别？此时你能不可以证明∠ A= 1/2∠BOC？三种状况：第一种状况：圆心在圆周角一边上；第二种状况：圆心在圆周角的内部；第三种状况：圆心在圆周角的外面。

圆周角与弧度

圆周角与弧度圆周角和弧度是数学中与圆相关的重要概念。

它们在几何学、三角学和物理学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍圆周角和弧度的定义、转换关系以及它们的实际应用。

一、圆周角的定义在圆上选择两条半径，这两条半径所夹的角被称为圆周角。

圆周角的度量单位为度，用符号°表示。

圆周角的大小通常是通过度数来表示，例如：90°、180°等。

二、弧度的定义弧度是圆周角的另一种度量单位。

弧度用弧长与半径的比值进行定义，弧度的度量单位为弧度，用符号rad表示。

弧度的定义公式为：θ= s/r，其中θ表示弧度，s表示弧长，r表示半径。

三、圆周角和弧度的转换关系由于圆周角和弧度是等价的度量单位，因此可以通过一定的换算关系进行转换。

换算公式如下：1圆周角= π弧度1弧度≈ 57.3°转换的关键是要记住π 的值，常用的近似值是3.14。

四、圆周角和弧度的实际应用圆周角和弧度在几何学、三角学和物理学等学科中有着广泛的应用。

以下是一些常见应用的例子：1. 弧度的应用在三角学中，弧度非常有用。

因为弧度与半径无关，所以它可以用于描述弧长与角度之间的关系。

例如，在圆的弧长为2πr 时，对应的角度为2π 弧度。

2. 圆周角的应用在几何学中，圆周角可以用于推导和证明各种定理。

例如，在圆的直径上的圆周角是直角。

3. 物理学中的应用在物理学中，圆周角和弧度用于描述运动物体的路径和角度。

例如，在运动学中，利用圆周角和弧度可以计算物体的位移、速度和加速度等。

总结：本文介绍了圆周角和弧度的定义、转换关系以及实际应用。

圆周角和弧度是数学中与圆相关的重要概念，它们在几何学、三角学和物理学等学科中有着广泛的应用。

了解和掌握圆周角和弧度的概念对于理解和解决与圆有关的问题非常重要。

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