2014年高考数学真题分类汇编理科-三角函数(理科)

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2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)(2014•河南)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=()A.[﹣2,﹣1]B.[﹣1,2)C.[﹣1,1]D.[1,2)2.(5分)(2014•河南)=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i3.(5分)(2014•河南)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.(5分)(2014•河南)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.m D.3m5.(5分)(2014•河南)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.6.(5分)(2014•河南)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为()A.B.C.D.7.(5分)(2014•河南)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.8.(5分)(2014•河南)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则()A.3α﹣β=B.3α+β=C.2α﹣β=D.2α+β=9.(5分)(2014•河南)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1其中真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p310.(5分)(2014•河南)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.211.(5分)(2014•河南)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2)D.(﹣∞,﹣1)12.(5分)(2014•河南)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(2014•河南)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为_________.(用数字填写答案)14.(5分)(2014•河南)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为_________.15.(5分)(2014•河南)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为_________.16.(5分)(2014•河南)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为_________.三、解答题17.(12分)(2014•河南)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:a n+2﹣a n=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.18.(12分)(2014•河南)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z﹣N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.19.(12分)(2014•河南)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.20.(12分)(2014•河南)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.21.(12分)(2014•河南)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.四、选做题(22-24题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)选修4-1:集合证明选讲22.(10分)(2014•河南)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.选修4-4:坐标系与参数方程23.(2014•河南)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.选修4-5:不等式选讲24.(2014•河南)若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)(2014•河南)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=()A.[﹣2,﹣1]B.[﹣1,2)C.[﹣1,1]D.[1,2)考点:交集及其运算.专题:集合.分析:根据集合的基本运算即可得到结论.解答:解:A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1},故选:A点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)(2014•河南)=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.解答:解:==﹣(1+i)=﹣1﹣i,故选:D.点评:本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)(2014•河南)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数考点:函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:由题意可得,|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,从而得出结论.解答:解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得f(x)|g(x)|为奇函数,故选:C.点评:本题主要考查函数的奇偶性,注意利用函数的奇偶性规律,属于基础题.4.(5分)(2014•河南)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.m D.3m考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.解答:解:双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)可化为,∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,∴点F到C 的一条渐近线的距离为=.故选:A.点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.5.(5分)(2014•河南)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.考点:等可能事件的概率.专题:计算题;概率与统计.分析:求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.解答:解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况,周六、周日都有同学参加公益活动,共有24﹣2=16﹣2=14种情况,∴所求概率为=.故选:D.点评:本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.6.(5分)(2014•河南)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为()A.B.C.D.考点:抽象函数及其应用.专题:三角函数的图像与性质.分析:在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.解答:解:在直角三角形OMP中,OP=1,∠POM=x,则OM=|cosx|,∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|,其周期为T=,最大值为,最小值为0,故选C.点评:本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用.7.(5分)(2014•河南)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.考点:程序框图.专题:概率与统计.分析:根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.解答:解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.故选:D.点评:本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.8.(5分)(2014•河南)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则()A.3α﹣β=B.3α+β=C.2α﹣β=D.2α+β=考点:三角函数的化简求值.专题:三角函数的求值.分析:化切为弦,整理后得到sin(α﹣β)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(α﹣β)=cosα,则答案可求.解答:解:由tanα=,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(α﹣β)=cosα.由等式右边为单角α,左边为角α与β的差,可知β与2α有关.排除选项A,B后验证C,当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.故选:C.点评:本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.9.(5分)(2014•河南)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1其中真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3考点:命题的真假判断与应用.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可.解答:解:作出图形如下:由图知,区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域,显然,区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方,故A:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2成立;在直线x+2y=2的右上方区域,:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,故p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2正确;由图知,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3错误;x+2y≤﹣1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1错误;综上所述,p1、p2正确;故选:C.点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.10.(5分)(2014•河南)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.2考点:抛物线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:求得直线PF的方程,与y2=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求.解答:解:设Q到l的距离为d,则|QF|=d,∵=4,∴|PQ|=3d,∴直线PF的斜率为﹣2,∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=﹣2(x﹣2),与y2=8x联立可得x=1,∴|QF|=d=1+2=3,故选:B.点评:本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.11.(5分)(2014•河南)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2)D.(﹣∞,﹣1)考点:函数在某点取得极值的条件;函数的零点.专题:导数的综合应用.分析:分类讨论:当a≥0时,容易判断出不符合题意;当a<0时,由于而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,可知:存在x0>0,使得f(x0)=0,要使满足条件f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则必须极小值>0,解出即可.解答:解:当a=0时,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax=0,解得x=0或x=>0,列表如下:x (﹣∞,0)0f′(x)+0 ﹣0 +f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞,f(x)→+∞,而f(0)=1>0,∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,应舍去.当a<0时,f′(x)=3ax2﹣6x=3ax=0,解得x=0或x=<0,列表如下:0 (0,+∞)x(﹣∞,)f′(x)﹣0 + 0 ﹣f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴存在x0>0,使得f(x0)=0,∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,∴极小值=,化为a2>4,∵a<0,∴a<﹣2.综上可知:a的取值范围是(﹣∞,﹣2).故选:C.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.12.(5分)(2014•河南)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.解答:解:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C到BD的中点的距离为:4,∴.AC==6,AD=4,显然AC最长.长为6.故选:B.点评:本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(2014•河南)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为﹣20.(用数字填写答案)考点:二项式定理的应用;二项式系数的性质.专题:二项式定理.分析:由题意依次求出(x+y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.解答:解:(x+y)8的展开式中,含xy7的系数是:=8.含x2y6的系数是=28,∴(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为:8﹣28=﹣20.故答案为:﹣20点评:本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.14.(5分)(2014•河南)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为A.考点:进行简单的合情推理.专题:推理和证明.分析:可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.解答:解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为:A.点评:本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.15.(5分)(2014•河南)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为90°.考点:数量积表示两个向量的夹角.专题:平面向量及应用.分析:根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.解答:解:在圆中若=(+),即2=+,即+的和向量是过A,O的直径,则以AB,AC为临边的四边形是矩形,则⊥,即与的夹角为90°,故答案为:90°点评:本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)(2014•河南)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为.考点:正弦定理.专题:解三角形.分析:由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4.再利用基本不等式可得bc≤4,当且仅当b=c=2时,取等号,此时,△ABC为等边三角形,从而求得它的面积的值.解答:解:△ABC中,∵a=2,且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,∴利用正弦定理可得4﹣b2=(c﹣b)c,即b2+c2﹣bc=4.再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc,∴bc≤4,当且仅当b=c=2时,取等号,此时,△ABC为等边三角形,它的面积为==,故答案为:.点评:本题主要考查正弦定理的应用,基本不等式,属于中档题.三、解答题17.(12分)(2014•河南)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:a n+2﹣a n=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.考点:数列递推式;等差关系的确定.专题:等差数列与等比数列.分析:(Ⅰ)利用a n a n+1=λS n﹣1,a n+1a n+2=λS n+1﹣1,相减即可得出;(Ⅱ)对λ分类讨论:λ=0直接验证即可;λ≠0,假设存在λ,使得{a n}为等差数列,设公差为d.可得λ=a n+2﹣a n=(a n+2﹣a n+1)+(a n+1﹣a n)=2d,.得到λS n=,根据{a n}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.解答:(Ⅰ)证明:∵a n a n+1=λS n﹣1,a n+1a n+2=λS n+1﹣1,∴a n+1(a n+2﹣a n)=λa n+1∵a n+1≠0,∴a n+2﹣a n=λ.(Ⅱ)解:①当λ=0时,a n a n+1=﹣1,假设{a n}为等差数列,设公差为d.则a n+2﹣a n=0,∴2d=0,解得d=0,∴a n=a n+1=1,∴12=﹣1,矛盾,因此λ=0时{a n}不为等差数列.②当λ≠0时,假设存在λ,使得{a n}为等差数列,设公差为d.则λ=a n+2﹣a n=(a n+2﹣a n+1)+(a n+1﹣a n)=2d,∴.∴,,∴λS n=1+=,根据{a n}为等差数列的充要条件是,解得λ=4.此时可得,a n=2n﹣1.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.点评:本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.18.(12分)(2014•河南)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z﹣N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;离散型随机变量的期望与方差.专题:计算题;概率与统计.分析:(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而求出P(187.8<Z<212.2),注意运用所给数据;(ii)由(i)知X~B(100,0.6826),运用EX=np即可求得.解答:解:(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为:=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(﹣30)2×0.02+(﹣20)2×0.09+(﹣10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2)=0.6826;(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.点评:本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.19.(12分)(2014•河南)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.考点:用空间向量求平面间的夹角;空间向量的夹角与距离求解公式.专题:空间向量及应用.分析:(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,进而可得AC=AB1;(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.解答:解:(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,又B10=CO,∴AC=AB1,(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO=CO,又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,∴OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为正三角形,又AB=BC,∴A(0,0,),B(1,0,0,),B1(0,,0),C(0,,0)∴=(0,,),==(1,0,),==(﹣1,,0),设向量=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则,可取=(1,,),同理可得平面A1B1C1的一个法向量=(1,﹣,),∴cos<,>==,∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评:本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)(2014•河南)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)设F(c,0),利用直线的斜率公式可得,可得c.又,b2=a2﹣c2,即可解得a,b;(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意可设直线l的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出.解答:解:(Ⅰ)设F(c,0),∵直线AF的斜率为,∴,解得c=.又,b2=a2﹣c2,解得a=2,b=1.∴椭圆E的方程为;(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意可设直线l的方程为:y=kx﹣2.联立,化为(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,当△=16(4k2﹣3)>0时,即时,,.∴|PQ|===,点O到直线l的距离d=.∴S△OPQ==,设>0,则4k2=t2+3,∴==1,当且仅当t=2,即,解得时取等号.满足△>0,∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为:.点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属于难题.21.(12分)(2014•河南)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x ﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=,只需证明g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max;解答:解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+,由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=e x lnx+,从而f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,∴当x∈(0,)时,g′(x)<0;当x∈(,+∞)时,g′(x)>0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=﹣.设函数h(x)=,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.点评:本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.四、选做题(22-24题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)选修4-1:集合证明选讲22.(10分)(2014•河南)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.考点:与圆有关的比例线段.专题:选作题;几何证明.分析:(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E,即可证明△ADE 为等边三角形.解答:证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠D=∠CBE,∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上,∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE为等边三角形.点评:本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.选修4-4:坐标系与参数方程23.(2014•河南)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.考点:参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.解答:解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.点评:本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.选修4-5:不等式选讲24.(2014•河南)若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.考点:基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用.专题:不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥4,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.(Ⅱ)根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b>8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.解答:解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,∴=+≥2,∴ab≥2,当且仅当a=b=时取等号.∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)由(1)可知,2a+3b≥2=2≥4>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.点评:本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.参与本试卷答题和审题的老师有:lincy;caoqz;wyz123;刘长柏;sxs123;wfy814;孙佑中;minqi5;清风慕竹;maths;qiss(排名不分先后)菁优网2014年6月23日。

专题08 三角函数选择题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(原卷版)(共14页)

专题08 三角函数选择题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(原卷版)(共14页)

加油!有志者事竟成答卷时应注意事项1、拿到试卷,要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2、拿到试卷不要提笔就写,先大致的浏览一遍,有多少大题,每个大题里有几个小题,有什么题型,哪些容易,哪些难,做到心里有底;3、审题,每个题目都要多读几遍,不仅要读大题,还要读小题,不放过每一个字,遇到暂时弄不懂题意的题目,手指点读,多读几遍题目,就能理解题意了;容易混乱的地方也应该多读几遍,比如从小到大,从左到右这样的题;4、每个题目做完了以后,把自己的手从试卷上完全移开,好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题;试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注意,仔细看看有没有遗漏的小题;5、中途遇到真的解决不了的难题,注意安排好时间,先把后面会做的做完,再来重新读题,结合平时课堂上所学的知识,解答难题;一定要镇定,不能因此慌了手脚,影响下面的答题;6、卷面要清洁,字迹要清工整,非常重要;7、做完的试卷要检查,这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题,检查的时候,用手指点读题目,不要管自己的答案,重新分析题意,所有计算题重新计算,判断题重新判断,填空题重新填空,之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友,你们好! 经过两个月的学习,你们一定有不小的收获吧,用你的自信和智慧,认真答题,相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的!1十年(2014-2023)年高考真题分项汇编三角函数选择题目录题型一:三角函数的概念..............................................................................................1题型二:三角恒等变换..................................................................................................1题型三:三角函数的图像与性质.................................................................................3题型四:正余弦定理....................................................................................................11题型五:三角函数的综合应用 (13)题型一:三角函数的概念一、选择题1.(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角,则()A .cos2α>0B .cos2α<0C .sin2α>0D .sin2α<02.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第9题)已知 π()0,α∈,且3cos28cos 5αα-=,则sin α=()A .53B .23C .13D .593.(2021年高考全国甲卷理科·第9题)若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭,则tan α=()4.(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第9题)已知2tan θ–tan(θ+π4)=7,则tan θ=()A .–2B .–1C .1D .2题型二:三角恒等变换一、选择题1.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第8题)已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=().A .79B .19C .19-D .79-2.(2023年新课标全国Ⅱ卷·第7题)已知α为锐角,15cos 4α=,则sin 2α=().A .38B .18-C .34D .14-3.(2021年高考浙江卷·第8题)已知,,αβγ是互不相同的锐角,则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中,大于12的个数的最大值是()A .0B .1C .2D .34.(2021年新高考Ⅰ卷·第6题)若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+()A .65-B .25-C .25D .655.(2022新高考全国II 卷·第6题)若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭,则()A .()tan 1αβ-=B .()tan 1αβ+=C .()tan 1αβ-=-D .()tan 1αβ+=-6.(2019·上海·第16题)已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限,角β在第三象限;②存在α在第二象限,角β在第四象限;A.①②均正确;B .①②均错误;C .①对,②错;D .①错,②对7.(2019·全国Ⅱ·理·第10题)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin 2cos 21αα=+,则sin α=()A .15B .5C .3D .58.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)若1sin 3α=,则cos 2α=()A .89B .79C .79-D .89-9.(2014高考数学课标1理科·第8题)设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则()A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=10.(2015高考数学重庆理科·第9题)若tan 2tan 5πα=,则3cos()10sin()5παπα-=-()A .1B .2C .3D .411.(201512题)sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=()A .2-B .2C .12-D .1212.(2015高考数学陕西理科·第6题)“sin cos αα=”是“cos 20α=”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件13.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=()A .6425B .4825C .1D .162514.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭,则sin 2α=()A .725B .15C .15-D .725-题型三:三角函数的图像与性质一、选择题1.(2023年全国乙卷理科·第6题)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴,则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A .B .12-C .12D .22.(2023年全国甲卷理科·第10题)函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到,则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为()A .1B .2C .3D .43.(2021年新高考Ⅰ卷·第4题)下列区间中,函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是()A .0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B .,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下面结论正确的是()A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C B .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C C .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C D .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C 5.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第7题)设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图,则f (x )的最小正周期为()()A .10π9B .7π6C .4π3D .3π26.(2022高考北京卷·第5题)已知函数22()cos sin f x x x =-,则()A .()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B .()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C .()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D .()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增7.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第12题)已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===,则()A .c b a>>B .b a c>>C .a b c >>D .a c b>>8.(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数2sin 3y x =的图象,只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点()A .向左平移π5个单位长度B .向右平移π5个单位长度C .向左平移π15个单位长度D .向右平移π15个单位长度9.(2022新高考全国I 卷·第6题)记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若23T ππ<<,且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()A .1B .32C .52D .310.(2021高考北京·第7题)函数()cos cos 2f x x x =-是()A .奇函数,且最大值为2B .偶函数,且最大值为2C .奇函数,且最大值为98D .偶函数,且最大值为9811.(2020天津高考·第8题)已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.给出下列结论:①()f x 的最小正周期为2π;②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值;③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度,可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的序号是()A .①B .①③C .②③D .①②③12.(2019·天津·理·第7题)已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数,将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π,且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()A .2-B .CD .213.(2019·全国Ⅱ·理·第9题)下列函数中,以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是()()A .()cos 2f x x =B .()sin 2f x x =C .()cos f x x =D .()sin f x x=14.(2019·全国Ⅰ·理·第11题)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论:①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增③()f x 在[,]ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A .①②④B .②④C .①④D .①③15.(2018年高考数学天津(理)·第6题)将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数()A .在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B .在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C .在区间53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D .在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减16.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第10题)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是()A .π4B .π2C .3π4D .π17.已知函数()sin cos f x a x b x =-(a b ,为常数,0a x ≠∈R ,)的图象关于直线π4x =对称,则函数3π()4y f x =-是A.偶函数且它的图象关于点(π0),对称B .偶函数且它的图象关于点3π02⎛⎫⎪⎝⎭,对称()C.奇函数且它的图象关于点3π02⎛⎫⎪⎝⎭对称D.奇函数且它的图象关于点(π0),对称18.设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,,,那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件()C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件19.(2014高考数学浙江理科·第4题)为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像,可以将函数x y 3sin 2=的图像()A .向右平移4π个单位B .向左平移4π个单位C .向右平移12π个单位D .向左平移12π个单位20.(2014高考数学四川理科·第3题)为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点()A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度21.(2014高考数学陕西理科·第2题)函数()cos(26f x x π=-的最小正周期是()A .2πB .πC .2πD .4π22.(2014高考数学辽宁理科·第9题)将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数()A .在区间7[,1212ππ上单调递减B .在区间7[,1212ππ上单调递增C .在区间[,63ππ-上单调递减D .在区间[,63ππ-上单调递增23.(2014高考数学课标2理科·第12题)设函数xf x m()sinπ=.若存在f x ()的极值点x 0满足x f x m 22200[()]+<,则m 的取值范围是()A .(,6)(6,)-∞-⋃+∞B .(,4)(4,)-∞-⋃+∞C .(,2)(2,)-∞-⋃+∞D .(,1)(4,)-∞-⋃+∞24.(2014高考数学湖南理科·第9题)已知函数()()ϕ-=x x f sin ,且()0320=⎰dx x f π则函数()f x 的图象的一条对称轴是()A .65π=x B .127π=x C .3π=x D .6π=x 25.(2014高考数学大纲理科·第3题)设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则()A .a b c >>B .b c a >>C .c b a >>D .c a b>>26.(2015高考数学新课标1理科·第8题)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为()A .13(,),k 44k k ππ-+∈Z B .13(2,2),k 44k k ππ-+∈Z C .13(,),k 44k k -+∈Z D .13(2,2),k 44k k -+∈Z27.(2015高考数学四川理科·第4题)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()(A)cos(2)2y x π=+(B)sin(22y x π=+(C)sin 2cos 2y x x =+(D)sin cos y x x=+28.(2015高考数学陕西理科·第3题)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A .5B .6C .8D .1029.(2015高考数学山东理科·第3题)要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象()A .向左平移12π个单位B .向右平移12π个单位C .向左平移3π个单位D .向右平移3π个单位30.(2015高考数学湖南理科·第9题)将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(02πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足12()()2f x g x -=的1x ,2x ,有12min3x x π-=,则ϕ=()A .512πB .3πC .4πD .6π31.(2015高考数学安徽理科·第10题)已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(A ,ω,ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是()A .()()()220f f f <-<B .()()()022f f f <<-C .()()()202f f f -<<D .()()()202f f f <<-32.(2017年高考数学天津理科·第7题)设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,||ϕ<π.若5(28f π=,(08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则()A .23ω=,12ϕπ=B .23ω=,12ϕ11π=-C .13ω=,24ϕ11π=-D .13ω=,24ϕ7π=33.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论错误的是()A .()f x 的一个周期为2π-B .()y f x =的图像关于直线83x π=对称C .()f x π+的一个零点为6x π=D .()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减34.(2016高考数学浙江理科·第5题)设函数2()sin sin f x x b x c =++,则()f x 的最小正周期()A .与b 有关,且与c 有关B .与b 有关,但与c 无关C .与b 无关,且与c 无关D .与b 无关,但与c 有关35.(2016高考数学四川理科·第3题)为了得到sin(23y x π=-的图像,只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点()A .向左平行移动3π个单位B .向右平行移动3π个单位C .向左平行移动6π个单位D .向右平行移动6π个单位36.(2016高考数学山东理科·第7题)函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是()A .2πB .πC .32πD .2π37.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第7题)若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A .()26k x k Z ππ=-∈B .()26k x k Z ππ=+∈C .()212k x k Z ππ=-∈D .()212k x k Z ππ=+∈38.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)已知函数()sin()(024f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-,为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为()(A)11(B)9(C)7(D)539.(2016高考数学北京理科·第7题)将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移(0)s s >个单位长度得到点'P ,若'P 位于函数sin 2y x =的图像上,则()A .12t =,s 的最小值为6πB .32t =,s 的最小值为6πC .12t =,s 的最小值为3πD .32t =,s 的最小值为3π二、多选题1.(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第10题)下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像,则sin(ωx +φ)=()()A .πsin(3x +)B .πsin(2)3x -C .πcos(26x +)D .5πcos(2)6x -2.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第11题)下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像,则sin(ωx +φ)=()()A .πsin(3x +)B .πsin(2)3x -C .πcos(26x +)D .5πcos(2)6x -3.(2022新高考全国II 卷·第9题)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则()A .()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B .()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C .直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D .直线2y x =-是曲线()y f x =的切线题型四:正余弦定理1.(2023年北京卷·第7题)在ABC 中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=()A .π6B .π3C .2π3D .5π62.(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第7题)在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =()A .19B .13C .12D .233.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第9题)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC △的面积为2224a b c +-,则C =()A .π2B .π3C .π4D .π64.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第6题)在ABC △中,5cos25C =,1BC =,5AC =,则AB =()A .B C D .5.(2014高考数学重庆理科·第10题)已知ABC ∆的内角,,A B C 满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+,面积满足12,S ≤≤记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边,则下列不等式成立的是()A .()8bc b c +>B .()ac a c +>C .612abc ≤≤D .1224abc ≤≤6.(2014高考数学课标2理科·第4题)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,,则AC=()A .5B C .2D .17.(2014高考数学江西理科·第4题)在ABC ∆中,内角A .B .C 所对应的边分别为,,,c b a ,若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积()A .3B .239C .233D .338.(2017年高考数学山东理科·第9题)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆为锐角三角形,且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是()A .2a b=B .2b a=C .2A B=D .2B A=9.(2016高考数学天津理科·第3题)在ABC △中,若3,120AB BC C ==∠=︒,则AC =()A .1B .2C .3D .410.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题)在△ABC 中,4B π=,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =()A .31010B .1010C .1010-D .31010-11.(2023年全国甲卷理科·第11题)已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形,3,45PC PD PCA ==∠=︒,则PBC 的面积为()A .B .C .D .12.(2021年高考全国乙卷理科·第9题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点E ,H ,G 在水平线AC 上,DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG 称为“表距”,GC 和EH 都称为“表目距”,GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =()()A .⨯+表高表距表目距的差表高B .⨯-表高表距表目距的差表高C .⨯+表高表距表目距的差表距D .⨯表高表距-表目距的差表距13.(2021年高考全国甲卷理科·第8题)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A .B .C 三点,且A .B .C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒,60A B C ''∠'=︒.由C 点测得B 点的仰角为15︒,BB '与CC '的差为100;由B 点测得A 点的仰角为45︒,则A .C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为 1.732≈)()A .346B .373C .446D .473题型五:三角函数的综合应用一、选择题1.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第11题)设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()A .513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D .1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦2.(2019·全国Ⅲ·理·第12题)设函数()sin()5f x x ωπ=+(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:①()f x 在0,2π)(有且仅有3个极大值点②()f x 在0,2π)(有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,10π单调递增④ω的取值范围是1229[)510,其中所有正确结论的编号是()A .①④B .②③C .①②③D .①③④3.(2020北京高考·第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n 充分大时,计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是().A .30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C .60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

2009-2014全国课标1,2及大纲卷三角函数分类汇编(理)

2009-2014全国课标1,2及大纲卷三角函数分类汇编(理)

1.(2009年高考全国卷1第16题)若42ππ<X <,则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .2. (2009年高考全国卷1第17题)在∆ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知222a c b -=,且s i nc o s 3c o s s i n A C A C=,求b.3. (2009年高考全国卷2第3题) 已知ABC ∆中,12cot 5A =-, 则cos A =A.1213B.513C.513- D. 1213-4. (2009年高考全国卷2第8题)若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后,与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合,则ω的最小值为A .16B.14C.13D.125. (2009年高考全国卷2第17题)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,3cos()cos 2A CB -+=,2b ac =,求B 。

6.(2010年高考全国卷1第2题)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=7.(2010年高考全国卷1第14题)已知α为第三象限的角,3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . 8.(2010年高考全国卷1第17题) 已知ABC ∆的内角A ,B 及其对边a,b满足cot cot a b a A b B +=+,求内角C .9.(2010年高考全国卷2第7题)为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像(A )向左平移4π个长度单位 (B )向右平移4π个长度单位 (C )向左平移2π个长度单位 (D )向右平移2π个长度单位10.(2010年高考全国卷2第13题)已知a 是第二象限的角,4tan(2)3a π+=-,则tan a = . 11.(2010年高考全国卷2第17题)(本小题满分10分)ABC ∆中,D 为边BC 上的一点,33BD =,5sin 13B =,3cos 5ADC ∠=,求AD .12.(2011年高考全国卷1第5题)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos 2θ=(A )45- (B )35- (C )35 (D )4513.(2011年高考全国卷1第11题)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则(A )()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 (B )()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 (C )()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增(D )()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 14.(2011年高考全国卷1第12题)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于 (A )2 (B) 4 (C) 6 (D)815.(2011年高考全国卷1第16题)在ABC 中,60,B AC =2AB BC +的最大值为 。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.1.(5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2﹣3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2} 2.(5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.﹣5B.5C.﹣4+i D.﹣4﹣i3.(5分)设向量,满足|+|=,|﹣|=,则•=()A.1B.2C.3D.54.(5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.15.(5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.(5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.78.(5分)设曲线y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.39.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为()A.10B.8C.3D.210.(5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.B.C.D.11.(5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.12.(5分)设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答)13.(5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.14.(5分)函数f(x)=sin(x+2φ)﹣2sinφcos(x+φ)的最大值为.15.(5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围是.16.(5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(Ⅰ)证明{a n+}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(Ⅱ)证明:++…+<.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角D﹣AE﹣C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E﹣ACD的体积.19.(12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=﹣.20.(12分)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.21.(12分)已知函数f(x)=e x﹣e﹣x﹣2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=f(2x)﹣4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(Ⅲ)已知1.4142<<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.【选修4-1:几何证明选讲】22.(10分)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD•DE=2PB2.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,](Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.六、解答题(共1小题,满分0分)24.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.1.(5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2﹣3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}【考点】1E:交集及其运算.【专题】5J:集合.【分析】求出集合N的元素,利用集合的基本运算即可得到结论.【解答】解:∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2},故选:D.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.﹣5B.5C.﹣4+i D.﹣4﹣i【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】根据复数的几何意义求出z2,即可得到结论.【解答】解:z1=2+i对应的点的坐标为(2,1),∵复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,∴(2,1)关于虚轴对称的点的坐标为(﹣2,1),则对应的复数,z2=﹣2+i,则z1z2=(2+i)(﹣2+i)=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5,故选:A.【点评】本题主要考查复数的基本运算,利用复数的几何意义是解决本题的关键,比较基础.3.(5分)设向量,满足|+|=,|﹣|=,则•=()A.1B.2C.3D.5【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】将等式进行平方,相加即可得到结论.【解答】解:∵|+|=,|﹣|=,∴分别平方得+2•+=10,﹣2•+=6,两式相减得4•=10﹣6=4,即•=1,故选:A.【点评】本题主要考查向量的基本运算,利用平方进行相加是解决本题的关键,比较基础.4.(5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1【考点】HR:余弦定理.【专题】56:三角函数的求值.【分析】利用三角形面积公式列出关系式,将已知面积,AB,BC的值代入求出sinB的值,分两种情况考虑:当B为钝角时;当B为锐角时,利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值,利用余弦定理求出AC的值即可.【解答】解:∵钝角三角形ABC的面积是,AB=c=1,BC=a=,∴S=acsinB=,即sinB=,当B为钝角时,cosB=﹣=﹣,利用余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5,即AC=,当B为锐角时,cosB==,利用余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1,即AC=1,此时AB2+AC2=BC2,即△ABC为直角三角形,不合题意,舍去,则AC=.故选:B.【点评】此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.5.(5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p,则由题意可得0.75×p=0.6,由此解得p的值.【解答】解:设随后一天的空气质量为优良的概率为p,则由题意可得0.75×p=0.6,解得p=0.8,故选:A.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于基础题.6.(5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可.【解答】解:几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为3高为2,一个是底面半径为2,高为4,组合体体积是:32π•2+22π•4=34π.底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯的体积为:32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为:=.故选:C.【点评】本题考查三视图与几何体的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.7【考点】EF:程序框图.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】根据条件,依次运行程序,即可得到结论.【解答】解:若x=t=2,则第一次循环,1≤2成立,则M=,S=2+3=5,k=2,第二次循环,2≤2成立,则M=,S=2+5=7,k=3,此时3≤2不成立,输出S=7,故选:D.【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,比较基础.8.(5分)设曲线y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】52:导数的概念及应用.【分析】根据导数的几何意义,即f′(x0)表示曲线f(x)在x=x0处的切线斜率,再代入计算.【解答】解:,∴y′(0)=a﹣1=2,∴a=3.故选:D.【点评】本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容,一般只要求导正确,就能够求解该题.在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会被考查到,特别是用导数研究最值,证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现,学生在复习时要引起重视.9.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为()A.10B.8C.3D.2【考点】7C:简单线性规划.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).由z=2x﹣y得y=2x﹣z,平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大.由,解得,即C(5,2)代入目标函数z=2x﹣y,得z=2×5﹣2=8.故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.10.(5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.B.C.D.【考点】K8:抛物线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由抛物线方程求出焦点坐标,由直线的倾斜角求出斜率,写出过A,B 两点的直线方程,和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程,由根与系数关系得到A,B两点纵坐标的和与积,把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案.【解答】解:由y2=2px,得2p=3,p=,则F(,0).∴过A,B的直线方程为y=(x﹣),即x=y+.联立,得4y2﹣12y﹣9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y 1+y 2=3,y 1y 2=﹣.∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=.故选:D .【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查数学转化思想方法,涉及直线和圆锥曲线关系问题,常采用联立直线和圆锥曲线,然后利用一元二次方程的根与系数关系解题,是中档题.11.(5分)直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A .B .C .D .【考点】LM :异面直线及其所成的角.【专题】5F :空间位置关系与距离.【分析】画出图形,找出BM 与AN 所成角的平面角,利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值.【解答】解:直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,如图:BC 的中点为O ,连结ON ,,则MN0B 是平行四边形,BM 与AN 所成角就是∠ANO ,∵BC=CA=CC 1,设BC=CA=CC 1=2,∴CO=1,AO=,AN=,MB===, 在△ANO 中,由余弦定理可得:cos ∠ANO===.故选:C .【点评】本题考查异面直线对称角的求法,作出异面直线所成角的平面角是解题的关键,同时考查余弦定理的应用.12.(5分)设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【考点】H4:正弦函数的定义域和值域.【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】由题意可得,f(x0)=±,且=kπ+,k∈Z,再由题意可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,可得m2 >m2+3,由此求得m的取值范围.【解答】解:由题意可得,f(x0)=±,即=kπ+,k∈z,即x0=m.再由x02+[f(x0)]2<m2,即x02+3<m2,可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,∴m2 >m2+3,∴m2>4.求得m>2,或m<﹣2,故选:C.【点评】本题主要正弦函数的图象和性质,函数的零点的定义,体现了转化的数学思想,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答)13.(5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.【考点】DA:二项式定理.【专题】5P:二项式定理.【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于3,求出r的值,即可求得x7的系数,再根据x7的系数为15,求得a的值.【解答】解:(x+a)10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r,+1令10﹣r=7,求得r=3,可得x7的系数为a3•=120a3=15,∴a=,故答案为:.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.14.(5分)函数f(x)=sin(x+2φ)﹣2sinφcos(x+φ)的最大值为1.【考点】GP:两角和与差的三角函数;HW:三角函数的最值.【专题】56:三角函数的求值.【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f(x)=sinx,从而求得函数的最大值.【解答】解:函数f(x)=sin(x+2φ)﹣2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]﹣2sinφcos (x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ﹣2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ﹣cos(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)﹣φ]=sinx,故函数f(x)的最大值为1,故答案为:1.【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用,正弦函数的最值,属于中档题.15.(5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围是(﹣1,3).【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f(|x﹣1|)>f(2),即可得到结论.【解答】解:∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,∴不等式f(x﹣1)>0等价为f(x﹣1)>f(2),即f(|x﹣1|)>f(2),∴|x﹣1|<2,解得﹣1<x<3,故答案为:(﹣1,3)【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,将不等式等价转化为f(|x﹣1|)>f(2)是解决本题的关键.16.(5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是[﹣1,1] .【考点】J9:直线与圆的位置关系.【专题】5B:直线与圆.【分析】根据直线和圆的位置关系,画出图形,利用数形结合即可得到结论.【解答】解:由题意画出图形如图:点M(x0,1),要使圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N,使得∠OMN=45°,而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值,此时MN=1,图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1,∴x0的取值范围是[﹣1,1].【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本题的策略之一.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(Ⅰ)证明{a n+}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(Ⅱ)证明:++…+<.【考点】87:等比数列的性质;8E:数列的求和.【专题】14:证明题;54:等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即=常数,又首项不为0,所以为等比数列;再根据等比数列的通项化式,求出{a n}的通项公式;(Ⅱ)将进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从而求和,证明不等式.【解答】证明(Ⅰ)==3,∵≠0,∴数列{a n+}是以首项为,公比为3的等比数列;∴a n+==,即;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当n≥2时,∵3n﹣1>3n﹣3n﹣1,∴<=,∴当n=1时,成立,当n≥2时,++…+<1+…+==<.时,++…+<.∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,只需要根据等比数列的定义就行;数列与不等式常结合在一起考,放缩法是常用的方法之一,通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消法求和的新数列.属于中档题.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角D﹣AE﹣C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E﹣ACD的体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LS:直线与平面平行;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)连接BD交AC于O点,连接EO,只要证明EO∥PB,即可证明PB∥平面AEC;(Ⅱ)延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,说明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱锥E﹣ACD的体积.【解答】(Ⅰ)证明:连接BD交AC于O点,连接EO,∵O为BD中点,E为PD中点,∴EO∥PB,(2分)EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC;(6分)(Ⅱ)解:延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,∵四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,∴CD⊥平面AMD,∴CD⊥MD.∵二面角D﹣AE﹣C为60°,∴∠CMD=60°,∵AP=1,AD=,∠ADP=30°,∴PD=2,E为PD的中点.AE=1,∴DM=,CD==.三棱锥E﹣ACD的体积为:==.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,几何体的体积的求法,二面角等指数的应用,考查逻辑思维能力,是中档题.19.(12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=﹣.【考点】BK:线性回归方程.【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数,横标和纵标的积的和,与横标的平方和,代入公式求出b的值,再求出a的值,写出线性回归方程.(Ⅱ)根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的t的值,预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入,这是一个估计值.【解答】解:(Ⅰ)由题意,=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,∴== =0.5,=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3.∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3,得:=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.【点评】本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件,本题是一个基础题.20.(12分)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.【考点】K4:椭圆的性质.【专题】5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)根据条件求出M的坐标,利用直线MN的斜率为,建立关于a,c的方程即可求C的离心率;(2)根据直线MN在y轴上的截距为2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出N的坐标,代入椭圆方程即可得到结论.【解答】解:(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直,∴M的横坐标为c,当x=c时,y=,即M(c,),若直线MN的斜率为,即tan∠MF1F2=,即b2==a2﹣c2,即c2+﹣a2=0,则,即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2(舍去),即e=.(Ⅱ)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,设M(c,y),(y>0),则,即,解得y=,∵OD是△MF1F2的中位线,∴=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|,则|MF1|=4|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,即设N(x1,y1),由题意知y1<0,则(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).即,即代入椭圆方程得,将b2=4a代入得,解得a=7,b=.【点评】本题主要考查椭圆的性质,利用条件建立方程组,利用待定系数法是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大,有一定的难度.21.(12分)已知函数f(x)=e x﹣e﹣x﹣2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=f(2x)﹣4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(Ⅲ)已知1.4142<<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】16:压轴题;53:导数的综合应用.【分析】对第(Ⅰ)问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的;对第(Ⅱ)问,先验证g(0)=0,只需说明g(x)在[0+∞)上为增函数即可,从而问题转化为“判断g′(x)>0是否成立”的问题;对第(Ⅲ)问,根据第(Ⅱ)问的结论,设法利用的近似值,并寻求ln2,于是在b=2及b>2的情况下分别计算,最后可估计ln2的近似值.【解答】解:(Ⅰ)由f(x)得f′(x)=e x+e﹣x﹣2,即f′(x)≥0,当且仅当e x=e﹣x即x=0时,f′(x)=0,∴函数f(x)在R上为增函数.(Ⅱ)g(x)=f(2x)﹣4bf(x)=e2x﹣e﹣2x﹣4b(e x﹣e﹣x)+(8b﹣4)x,则g′(x)=2[e2x+e﹣2x﹣2b(e x+e﹣x)+(4b﹣2)]=2[(e x+e﹣x)2﹣2b(e x+e﹣x)+(4b﹣4)]=2(e x+e﹣x﹣2)(e x+e﹣x+2﹣2b).①∵e x+e﹣x>2,e x+e﹣x+2>4,∴当2b≤4,即b≤2时,g′(x)≥0,当且仅当x=0时取等号,从而g(x)在R上为增函数,而g(0)=0,∴x>0时,g(x)>0,符合题意.②当b>2时,若x满足2<e x+e﹣x<2b﹣2即,得,此时,g′(x)<0,又由g(0)=0知,当时,g(x)<0,不符合题意.综合①、②知,b≤2,得b的最大值为2.(Ⅲ)∵1.4142<<1.4143,根据(Ⅱ)中g(x)=e2x﹣e﹣2x﹣4b(e x﹣e﹣x)+(8b﹣4)x,为了凑配ln2,并利用的近似值,故将ln即代入g(x)的解析式中,得.当b=2时,由g(x)>0,得,从而;令,得>2,当时,由g(x)<0,得,得.所以ln2的近似值为0.693.【点评】1.本题三个小题的难度逐步增大,考查了学生对函数单调性深层次的把握能力,对思维的要求较高,属压轴题.2.从求解过程来看,对导函数解析式的合理变形至关重要,因为这直接影响到对导数符号的判断,是解决本题的一个重要突破口.3.本题的难点在于如何寻求ln2,关键是根据第(2)问中g(x)的解析式探究b的值,从而获得不等式,这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值,达到了估值的目的.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.【选修4-1:几何证明选讲】22.(10分)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD•DE=2PB2.【考点】N4:相似三角形的判定;NC:与圆有关的比例线段.【专题】17:选作题;5Q:立体几何.【分析】(Ⅰ)连接OE,OA,证明OE⊥BC,可得E是的中点,从而BE=EC;(Ⅱ)利用切割线定理证明PD=2PB,PB=BD,结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2.【解答】证明:(Ⅰ)连接OE,OA,则∠OAE=∠OEA,∠OAP=90°,∵PC=2PA,D为PC的中点,∴PA=PD,∴∠PAD=∠PDA,∵∠PDA=∠CDE,∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°,∴OE⊥BC,∴E是的中点,∴BE=EC;(Ⅱ)∵PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,∴PA2=PB•PC,∵PC=2PA,∴PA=2PB,∴PD=2PB,∴PB=BD,∴BD•DC=PB•2PB,∵AD•DE=BD•DC,∴AD•DE=2PB2.【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查切割线定理、相交弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,](Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.【考点】QH:参数方程化成普通方程.【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(1)利用即可得出直角坐标方程,利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程.(2)利用半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,则直线CD的斜率与直线l的斜率相等,即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标.【解答】解:(1)由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,],即ρ2=2ρcosθ,可得C的普通方程为(x﹣1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等,∴tant=,t=.故D的直角坐标为,即(,).【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.六、解答题(共1小题,满分0分)24.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)由a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥2成立.(Ⅱ)由f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,分当a>3时和当0<a≤3时两种情况,分别去掉绝对值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求.【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|≥|(x+)﹣(x﹣a)|=|a+|=a+≥2=2,故不等式f(x)≥2成立.(Ⅱ)∵f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,∴当a>3时,不等式即a+<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<.当0<a≤3时,不等式即6﹣a+<5,即a2﹣a﹣1>0,求得<a≤3.综上可得,a的取值范围(,).【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.。

【山东8年高考】2007-2014年高考数学真题分类汇编(名师整理):三角函数

【山东8年高考】2007-2014年高考数学真题分类汇编(名师整理):三角函数

三角函数(一)选择题1、(07山东理5)函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为( ) A .π,1B .π,2C .2π,1D .2π,2答案:A2、(07山东文4)要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( )A .向右平移π6个单位 B .向右平移π3个单位 C .向左平移π3个单位D .向左平移π6个单位答案:A3.(08山东卷5)已知cos (α-6π)+sin α=473,sin()56πα+则的值是 (A )-532 (B )532 (C)-54 (D) 54答案:C4.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,故选B.答案:B【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.5.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x =B. 22sin y x =C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,故选A.答案:A【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.6、(2010山东文数)(10)观察2'()2x x =,4'3()4x x =,'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -= (A )()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - 答案:D7、(2011山东3)若点(a,9)在函数3xy =的图象上,则tan6a π的值为 A .0 B .33C .1D .3答案:D8、(2011山东理数6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=A .3B .2C .32D .23 答案:C9、(2011山东文数6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=A .23 B .32C .2D .3答案:B10、(2012山东卷文(5))设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真 答案:C11、(2012山东卷文(8))函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A (A)23- (B)0 (C)-1 (D)13-- 答案:A12(2013山东数学理)8.函数cos sin y x x x =+的图象大致为答案:8.D13、(2013山东数学文)(9)、函数x x x y sin cos +=的图象大致为答案:D(二)填空题1.(08山东卷15)已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(1,3-),n =(cos A ,sin A ).若m ⊥n ,且a cos B +b cos A =c sin C ,则角B =答案:6π. 2、(2010山东数)2、已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,a=2b=2sin +cos =2=B B A 若,,,则3.(2014山东文12)函数23sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为 . 答案:π4.(2014山东理12)在ABC ∆中,已知tan AB AC A ⋅=,当6A π=时,ABC ∆的面积为________. 答案:61(三)解答题1、(07山东理20)如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解法一:如图,连结11A B ,由已知22102A B =,122030210260A A =⨯=, 1221A A A B ∴=,又12218012060A A B =-=∠,122A A B ∴△是等边三角形,1212102A B A A ∴==,北1B2B1A2A120 105 乙 甲北 1B2B1A2A120 105甲乙由已知,1120A B =,1121056045B A B =-=∠,在121A B B △中,由余弦定理,22212111212122cos45B B A B A B A B A B =+-22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯ 200=.12102B B ∴=.因此,乙船的速度的大小为1026030220⨯=(海里/小时). 答:乙船每小时航行302海里.解法二:如图,连结21A B ,由已知1220A B =,122030210260AA =⨯=,112105B A A =∠, cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=-2(13)4-=,sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+2(13)4+=.在211A A B △中,由余弦定理,22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯⨯北1B2B1A2A120 105 乙甲100(423)=+.1110(13)A B ∴=+.由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠, 12145A A B ∴=∠,即121604515B A B =-=∠,2(13)cos15sin1054+==.在112B A B △中,由已知12102AB =,由余弦定理,22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++2222(13)10(13)(102)210(13)1024+=++-⨯+⨯⨯200=.12102B B ∴=,乙船的速度的大小为1026030220⨯=海里/小时. 答:乙船每小时航行302海里.2、(07山东文17)在ABC △中,角A B C ,,的对边分别为tan 37a b c C =,,,. (1)求cos C ;(2)若52CB CA =,且9a b +=,求c . 解:(1)sin tan 3737cos C C C=∴=,又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±. tan 0C >,C ∴是锐角.1cos 8C ∴=.(2)52CB CA =, 5cos 2ab C ∴=,20ab ∴=.又9a b +=22281a ab b ∴++=. 2241a b ∴+=.2222cos 36c a b ab C ∴=+-=.6c ∴=.3.(08山东卷17)(本小题满分12分)已知函数f (x )=)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数,且函数y =f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π(Ⅰ)美洲f (8π)的值; (Ⅱ)将函数y =f (x )的图象向右平移6π个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )的单调递减区间. 解:(Ⅰ)f (x )=)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x=2sin(ϕω+x -6π) 因为 f (x )为偶函数,所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立,因此 sin (-ϕω+x -6π)=sin (ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π),整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω>0,且x ∈R ,所以 cos (ϕ-6π)=0.又因为 0<ϕ<π,故 ϕ-6π=2π.所以 f (x )=2sin(x ω+2π)=2cos x ω.由题意得 .2,222 = 所以 ωπωπ⋅=故 f (x )=2cos2x . 因为 .24cos2)8(==ππf(Ⅱ)将f (x )的图象向右平移个6π个单位后,得到)6(π-x f 的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到)64(ππ-f 的图象.).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤32ππ-≤2 k π+ π (k ∈Z),即 4k π+≤32π≤x ≤4k π+38π(k ∈Z)时,g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k (k ∈Z)4.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角,若cosB=31,1()24c f =-,且C 为锐角,求sinA. 解: (1)f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 233222x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)的最大值为132+,最小正周期π. (2)()2c f =13sin 22C -=-41, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=,又因为在∆ABC 中, cosB=31, 所以 2s i n33B =, 所以2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=. 【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系. 5.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cossin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.(3) 求ϕ.的值;(4) 在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C.. 解: (1)1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+因为函数f(x)在π=x 处取最小值,所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=(2)因为23)(=A f ,所以3cos 2A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a b A B =,也就是sin 12sin 222b A B a ==⨯=, 因为b a >,所以4π=B 或43π=B .当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=. 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 6、(2010山东文数)(17)(本小题满分12分) 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+(0ω>)的最小正周期为π, (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,求函数()y g x =在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.7、(2010山东理数)8、(2011山东理数17)在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos A-2cos C 2c-a =cos B b. (I )求sin sin C A的值; (II )若cosB=14,b=2,ABC ∆的面积S 。

2014年全国个省市高考理科数学分类汇编:三角函数

2014年全国个省市高考理科数学分类汇编:三角函数

一、选择题 1、(新课标全国卷Ⅰ)8题 设)2,0(πα∈,)2,0(πβ∈,且ββαcos sin 1tan +=,则( ) A.23πβα=- B. 22πβα=- C. 23πβα=+ D. 22πβα=+2、(新课标全国卷Ⅱ)4题 钝角三角形ABC 的面积是21,2,1==BC AB ,则=AC ( ) A.5 B.5 C.2 D. 12'、(新课标全国卷Ⅱ)12题设函数mx x f πsin 3)(=.若存在)(x f 的极值点0x 满足[]22020)(m x f x <+,则m 的取值范围是( )A.),6()6,(+∞⋃--∞B. ),4()4,(+∞⋃--∞C. ),2()2,(+∞⋃--∞D. ),1()1,(+∞⋃--∞ 3、(大纲卷-广西卷)3题设︒=33sin a ,︒=55cos b ,︒=55tan c ,则( ) A.c b a >> B.a c b >> C.a b c >> D. b a c >> 4、(安徽卷)6题设函数))((R x x f ∈满足x x f x f s i n )()(+=+π.当π<≤x 0时,0)(=x f ,则=)623(πf ( ) A.21 B. 23 C.0 D. 21- 5、(湖南卷)9题已知函数)sin()(ϕ-=x x f ,且0)(320=⎰dx x f π,则函数)(x f 的图像的一条对称轴是( )A.65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x 6、(四川卷)3题为了得到函数x y x y 2sin )12sin(=+=的图像,只需把函数的图像上所有的点( )A.向左平行移动21个单位长度 B. 向右平行移动21个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D. 向右平行移动1个单位长度7、(浙江卷)4题 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像,可以将函数x y 3cos 2=的图像( )A.向右平移4π个单位B. 向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位8、(陕西卷)2题 函数)62cos()(π-=x x f 的最小正周期是( )A.2πB.πC. π2D. π4 9、(辽宁卷)9题将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移2π个单位长度,所得图像对应的函数( )A.在区间]127,12[ππ上单调递减B. 在区间]127,12[ππ上单调递增 C. 在区间]3,6[ππ-上单调递减 D. 在区间]3,6[ππ-上单调递增二、填空题1、(新课标全国卷Ⅰ)16题已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,2=a ,且C b c B A b s i n )()s i n )(s i n 2(-=-+,则△ABC 面积的最大值为 .2、(新课标全国卷Ⅱ)14题函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为 . 3、(大纲卷-广西卷)16题若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数,则a 的取值范围是 .4、(安徽卷)11题 若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 . 5、(广东卷)12题在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知,2cos cos b B c C b =+则=ba. 6、(四川卷)13题如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m ,则河流的宽度BC 约等于 m.C(用四舍五入法将结果精确到个位,参考数据: 7、(陕西卷)13题 设20πθ<<,向量)1,(cos ),cos ,2(sin θθθ==,若//,则=θtan .8(山东卷)12题在 △ABC 中,已知A tan =⋅,当6π=A 时,△ABC 的面积为 .9、(福建卷)12题在 △ABC 中,60=A ,32,4==BC AC ,则△ABC 的面积为 . 10、(天津卷)12题△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知C B a c b sin 3sin 2,41==-,则A cos 的值为 . 11、(江苏卷)5题已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (πϕ<≤0),它们的图像有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 . 12、(江苏卷)14题若△ABC 的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是 . 三、解答题 1、(新课标全国卷Ⅰ)未考 2、(新课标全国卷Ⅱ)未考 3、(大纲卷-广西卷)17题共10分△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知31tan ,cos 2cos 3==A A c C a ,求B . 4、(安徽卷)16题12分设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且3=b ,1=c ,B A 2=. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求)4sin(π+A 的值.5、(广东卷)16题12分已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且23)125(=πf . (1) 求A 的值; (2) 若),2,0(,23)()(πϑθθ∈=-+f f 求)43(ϑπ-f . 6、(广东卷)18题12分如图,在平面四边形ABCD 中,7,2,1===AC CD AD .(Ⅰ)求CAD ∠cos 的值; (Ⅱ)若621sin ,147cos =∠-=∠CBA BAD ,求BC 的长. BD7、(四川卷)16题12分 已知函数)43sin()(π+=x x f .(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间; (Ⅱ)若α是第二象限角,,2cos )4cos(54)3(απαα+=f 求ααsin cos -的值. 8、(浙江卷)18题14分在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知b a ≠,3=c ,B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-.(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若54sin =A ,求△ABC 的面积. 9、(湖北卷)17题11分某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系: )24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃,则在那段时间实验室需要降温? 10、(陕西卷)16题12分△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(Ⅰ)若a 、b 、c 成等差数列,证明:)sin(2sin sin C A C A +=+; (Ⅱ)若a 、b 、c 成等比数列,求B cos 的最小值. 11、(江西卷)16题12分已知函数)2cos()sin()(θϑ+++=x a x x f ,其中R a ∈,)2,2(ππϑ-∈.(Ⅰ)当4,2πθ==a 时,求)(x f 在区间],0[π上的最大值与最小值;(Ⅱ)若)2(πf =0,1)(=πf ,求a ,θ的值.12、(重庆卷)17题共13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)8分 已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像关于直线3π=x 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求ϖ和ϕ的值; (Ⅱ)若43)2(=αf (326παπ<<),求)23cos(πα+的值. 13、(山东卷)16题12分已知向量),,2(sin ),2cos ,(n x x m ==函数x f ⋅=)(,且)(x f y =的图像过点(3,12π)和点(2,32-π). (Ⅰ)求n m ,的值(Ⅱ)将)(x f y =的图像向左平移ϕ(0<ϕ<π)个单位后得到函数)(x g y =的图像,若)(x g y =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求)(x g y =的单调递增区间.14、(福建卷)16题13分已知函数21)cos (sin cos )(-+=x x x x f . (Ⅰ)若20πα<<,且22sin =α,求)(αf ; (Ⅱ)求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间. 15、(北京卷)15题13分 如图,在△ABC 中,8,3==∠AB B π,点D 在BC 边上,且71cos ,2=∠=ADC CD . (Ⅰ)求BAD ∠sin ; (Ⅱ)求BD ,AC 的长.F16、(天津卷)15题13分 已知函数R x x x x x f ∈+-+⋅=,43cos 3)3sin(cos )(2π. (Ⅰ)求)(x f 的最小正周期; (Ⅱ)求)(x f 在闭区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. 17、(辽宁卷)17题12分在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a >c .已知.3,31c o s ,2===⋅b B 求:(Ⅰ)a 和c 的值; (Ⅱ))cos(C B -的值. 18、(江苏卷)15题14分 已知),2(ππα∈,55sin =α. (1) 求)4sin(απ+的值;(2) 求)265cos(απ-的值.。

专题05---2014-2024北京三角函数选题真题汇编解析版

专题05---2014-2024北京三角函数选题真题汇编解析版

专题05北京高考三角函数选填真题1.【2024年北京卷06】已知()()sin 0f x x ωω=>,()11f x =−,()21f x =,12min π||2x x −=,则ω=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 2.【2024年北京卷12】已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为________.由题意π2π,Z k k βα=++∈,从而()cos cos π2πcos k βαα=++=−,3.【2023年北京卷13】已知命题p:若α,β为第一象限角,且α>β,则tanα>tanβ.能说明p 为假命题的一组α,β的值为α= ,β= . 【答案】 9π4π3单位圆因为f (x )=tanx 在(0,π2)上单调递增,若0<α0<β0<π2,则tanα0<tanβ0, 取α=2k 1π+α0,β=2k 2π+β0,k 1,k 2∈Z ,则tanα=tan (2k 1π+α0)=tanα0,tanβ=tan (2k 2π+β0)=tanβ0,即tanα<tanβ, 令k 1>k 2,则α−β=(2k 1π+α0)−(2k 2π+β0)=2(k 1−k 2)π+(α0−β0), 因为2(k 1−k 2)π≥2π,−π2<α0−β0<0,则α−β=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)>3π2>0,即k 1>k 2,则α>β.不妨取k 1=1,k 2=0,α0=π4,β0=π3,即α=9π4,β=π3满足题意.故答案为:9π4;π3. 4.【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ,则( )A .f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B .f(x)在(−π4,π12)上单调递增C .f(x)在(0,π3)上单调递减D .f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 5.【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3,则A =________;f(π12)=________. 【答案】 1 −√2 【解析】 ∵f(π3)=√32A −√32=0,∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3) f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2 【三角函数性质灵活考查】(2022北京卷改编)若()sin f x A x x =关于3x π=对称,则A =________.【答案】3− 【解析】对称性运用 ∵f(2π3)=f(0),∴A =−36. 【2021年北京07】函数f(x)=cosx −cos2x ,试判断函数的奇偶性及最大值( ) A .奇函数,最大值为2 B .偶函数,最大值为2 C .奇函数,最大值为98D .偶函数,最大值为98【答案】D由题意,f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x),所以该函数为偶函数, 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98, 所以当cosx =14时,f(x)取最大值98. 7.【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称,写出一个符合题意的θ=___. 【答案】5π12(满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可)8. 【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day ).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n 充分大时,计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是( ). A .3n (sin 30°n +tan 30°n ) B .6n (sin 30°n +tan 30°n) C .3n (sin60°n+tan60°n)D .6n (sin60°n+tan60°n)【答案】A单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n,每条边长为2sin30°n,所以,单位圆的内接正6n 边形的周长为12nsin 30°n,单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan 30°n,其周长为12ntan 30°n,∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n),则π=3n (sin 30°n+tan30°n).9.【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2,则常数φ的一个取值为________. 【答案】π2(2kπ+π2,k ∈Z 均可)【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ), 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2,解得sinφ=1,故可取φ=π2.故答案为:π2(2kπ+π2,k ∈Z 均可). 10. 【2019年北京文科06】设函数f (x )=cosx +bsinx (b 为常数),则“b =0”是“f (x )为偶函数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C解:设函数f (x )=cosx +bsinx (b 为常数), 则“b =0”⇒“f (x )=cosx 为偶函数”,“f (x )为偶函数”⇒()()f x f x =− ,cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−,cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−sin sin b x b x ∴=−,2sin 0b x ∴=对任意x 成立;∴0b =11. 【2019年北京文科08】如图,A ,B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,∠APB 是锐角,大小为β,图中阴影区域的面积的最大值为( )A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+【答案】B解:由题意可得22AOB APB β∠=∠=,要求阴影区域的面积的最大值,即为直线QO ⊥AB ,即有QO =2,Q 到线段AB 的距离为22cos β+,224AB sin sin ββ==,扇形AOB 的面积为12•2β•4=4β,△ABQ 的面积为12(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β,即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β. 12. 【2019年北京理科09】函数2()2f x sin x =的最小正周期是 . 【答案】π213. 【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中,记d 为点P(cosθ.sinθ)到直线x −my −2=0的距离.当θ、m 变化时,d 的最大值为( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 解:法一:由题意d =|cosθ−msinθ−2|√12+m 2=|√m 2+1sin(θ+α)−2|√m 2+1,tan α=1m =yx ,∴当sin (θ+α)=−1时,d max =1+2√m 2+1≤3.∴d 的最大值为3.法二: P 点在单位圆221x y +=上动,圆心到直线距离的最大值(圆心到过定点的距离)+半径 14. 【2018年北京理科11】设函数π()cos()6f x x ω=−(0)ω>.若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为___________.ω⋅π4−π6=2kπ,k ∈Z ,解得ω=8k +23 15. 【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中,AB ̂,CD ̂,EF ̂,GH ̂是圆221x y +=上的四段弧(如图),点P 其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan cos sin ααα<<,则P 所在的圆弧是( )A .AB ̂ B .CD ̂C .EF ̂D .GH ̂ 【答案】C解:A .在AB 段,正弦线小于余弦线,即cos α<sin α不成立,故A 不满足条件. B .在CD 段正切线最大,则cos α<sin α<tan α,故B 不满足条件. C .在EF 段,正切线,余弦线为负值,正弦线为正, 满足tan α<cos α<sin α,D .在GH 段,正切线为正值,正弦线和余弦线为负值, 满足cos α<sin α<tan α不满足tan α<cos α<sin α. 16. 【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称,若sinα=13,则cos (α−β)= .解:方法一:∵角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称,方法二:∵sinα=13,当α在第一象限时,cosα=2√23, ∵α,β角的终边关于y 轴对称,∴β在第二象限时,sinβ=sinα=13,cosβ=−cosα=−2√23, ∴cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7917. 【2016年北京理科07】将函数sin(2)3y x π=−图象上的点(,)4t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点'P .若'P 位于函数sin 2y x =的图象上,则A.12t =,s 的最小值为6πB.t =,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3π D.t =,s 的最小值为3π【答案】A将x =π4代入得:t =sin π6=12,将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P 向左平移s 个单位, 得到P ′(π4−s ,12)点,若P ′位于函数y =sin2x 的图象上, 则sin (π2−2s )=cos2s =12,则2s =±π3+2k π,k ∈Z , 则s =±π6+k π,k ∈Z ,由s >0得:当k =0时,s 的最小值为π618. 【2014年北京理科14】设函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==−,则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π.则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12.又f (π2)=﹣f (π6),则f (x )有对称中心(π3,0), 由于f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3,从而7π12−π3=T 4⇒T =π.。

[3]2014年高考理数分类汇编《三角函数》

[3]2014年高考理数分类汇编《三角函数》
ép p ù pö , ú 上具有单调性,且 f æ ç ÷=-f ë6 2û è2ø æp ö ç ÷ 知,函数 f ( x ) 的对称中心为 è 6 ø
【 解析 】 p ;由 f ( x ) 在区间 ê
pö 1 æ p 2p ö 7 p æp ö æ 2 ,设函数 f ( x ) 的最 ç ÷= f ç ÷ 知函数 f ( x ) 的对称轴为直线 x = ç + ÷= 2 è 2 3 ø 12 è2ø è 3 ø 1 p p 2 p 7 p p T 小正周期为 T ,所以 T ³ - ,即 T ³ ,所以 - = ,解得 T = p . 2 2 6 3 12 3 4 1 3.(2014 年天津)在 DABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = a , 2sin B = 3sin C ,则 4
p
p p æ pö - a Î ç 0, ÷ ,所以 a - b = - a ,即 2 a - b = ,故选 B. 2 2 2 è 2ø
2 cos 3 x 的图像(
)
10.(2014 年浙江)为了得到函数 y = sin 3x + cos 3 x 的图像,可以将函数 y = A.向右平移 个单位
1 2
B. 3.(2014 年湖南) 已知函数 f ( x ) = sin ( x - j ) ,且 ( )
ò
2 x 3
0
f ( x ) dx = 0 ,则函数 f ( x ) 的图象的一条对称轴是
A. x =
5 p 6
B. x =
7 p 12
C. x =
p
3
0
2.(2014 年北京) 设函数 f ( x ) = sin (w x + j ) , A > 0, w > 0 ,若 f ( x ) 在区间 ê , ú 上具有单调性,且 ë6 2û

2014年各省高考理科数学试题精编5.三角函数与正余弦定理

2014年各省高考理科数学试题精编5.三角函数与正余弦定理

2014年全国高考理科数学试题选编五.三角函数及解三角形试题一.选择题和填空题1全国课标Ⅰ6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]的图像大致为( ).2.全国课标Ⅰ.8..设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且1sin tan cos βαβ+=,则( ).A .π32αβ-=B .π32αβ+=C .π22αβ-=D .π22αβ+=3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB =1,BC ,则AC =( ). A .5 BC .2D .14.(2014课标全国Ⅱ.12)设函数π()3sin xf x m=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <,则m 的取值范围是( ). A .(-∞,-6)∪(6,+∞) B .(-∞,-4)∪(4,+∞) C .(-∞,-2)∪(2,+∞) D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 5. (大纲全国.3)设a =sin 33°,b =cos 55°, c =tan 35°,则( ). A .a >b >c B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b 6.(陕西2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=的最小正 周期是( ).A .π2B .πC .2πD .4π 7.(安徽.6)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时, f (x )=0,则23π6f ⎛⎫⎪⎝⎭=( ). A .12 BC .0D .12-8.(浙江4)为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图象,可以将函数 3y x =的图象( ).A .向右平移π4个单位 B .向左平移π4个单位 C .向右平移π12个单位 D .向左平移π12个单位9.(江西4)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边 分别为a ,b ,c ,若c 2=(a -b )2+6,π3C =, 则△ABC 的面积是( ).A .3 B.2 C.2D.10.(辽宁9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( ).A .在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减B .在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增C .在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上单调递减D .在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上单调递增11.(四川3)为了得到函数y =sin(2x +1)的图象, 只需把函数y =sin 2x 的图象上所有的点( ).A .向左平行移动12个单位长度 B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度12.(重庆10)已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足 sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A -B )+12, 面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为 A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成 立的是( ).A .bc (b +c )>8B .ab (a +b )> C .6≤abc ≤12 D .12≤abc ≤2413.全国课标Ⅰ.16.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2, 且(2+b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C , 则△ABC 面积的最大值为__________. 14.(全国课标Ⅱ.14)函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最 大值为__________.15.(大纲全国.16)若函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭是减函数,则a 的取值范围是__.16.(北京14)设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则f (x )的最小正周期为__________.17.(安徽.11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是__________.18.(天津.12)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知14b c a -=,2sin B =3sin C ,则cos A 的值为__________.19.(福建.12)在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =ABC 的面积等于_____. 20. (广东12)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的 边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B =2b , 则ab=________. 21.(四川13)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m ,则河流的宽度BC 约等于__________m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.801.73)二.解答题1. (大纲全国117满分10分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3a cos C =2c cos A ,1tan 3A =,求B .2. (陕西16满分)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .(1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C );(2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 3. (北京15满分13分)如图, 在△ABC 中,π3B ∠=,AB =8, 点D 在BC 边上,且CD =2,1cos 7ADC ∠=. (1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长.4. (天津15满分13分)已知函数()2πcos sin 3f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=,x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 5. (安徽16满分12分)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1, A =2B . (1)求a 值;(2)求πsin()4A +的值. 6. (福建16满分13分)已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12. (1)若π02α<<,且sin α=,求f (α)的值; (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 7. (湖北.17满分11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:()ππ10sin 1212f t t t -⋅-=,t ∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?8. (湖南18满分12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD =1,CD =2,AC =.(1)求cos ∠CAD 的值; (2)若cos BAD ∠=,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.9. (浙江18满分14分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ≠b,c =22cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C 的大小;(2)若4sin 5A =,求△ABC 的面积. 10. (广东.16满分12分)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R ,且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值;(2)若()3()2f f θθ-+=,π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,, 求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭. 11. (江西16满分12分)已知函数 f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a =π4θ=时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭,f (π)=1,求a ,θ的值. 12. (辽宁17满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知2BA BC ⋅=,1cos 3B =,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)c os(B -C )的值.13. (山东16满分12分)已知向量a =(m ,cos 2x ), b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a ·b ,且y =f (x )的图象过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图象,若y =g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.14. (四川16满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求cos α-sin α的值.15. (重庆17满分13分)已知函数 f (x )=1π)0,22x ωϕωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭+的图象关于直线π3x =对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值;(2)若π2π263f αα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值..五.三角函数及解三角形试题解析一.选择题和填空题1全国课标Ⅰ6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]的图像大致为( ).解析:由题意|OM |=|cos x |,f (x )=|OM ||sin x |=|sin x cos x |=1sin 22x ,由此可知C 正确.2.全国课标Ⅰ.8..设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且1sin tan cos βαβ+=,则( ).A .π32αβ-=B .π32αβ+=C .π22αβ-=D .π22αβ+=解析:由已知,得sin 1sin cos cos αβαβ+=, ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β.∴sin αcos β-cos αsin β=cos α. ∴sin(α-β)=cos α,∴sin(α-β)=πsin 2α⎛⎫-⎪⎝⎭. ∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ22αβ-<<-,ππ022α<-<,∴π2αβα-=-,∴π22αβ-=.故选C.3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB =1,BC ,则AC =( ). A .5 BC .2D .1解析:由题意知S △ABC =12AB ·BC ·sin B ,即11122B =⨯,解得sin 2B =. ∴B =45°或B =135°. 当B =45°时,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B=2212112-⨯+. 此时AC 2+AB 2=BC 2,△ABC 为直角三角形, 不符合题意; 当B =135°时,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B=22121(5-⨯+=,解得AC 符合题意.故选B. 4.(2014课标全国Ⅱ.12)设函数π()3sinx f x m=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <,则m 的取值范围是( ). A .(-∞,-6)∪(6,+∞) B .(-∞,-4)∪(4,+∞) C .(-∞,-2)∪(2,+∞) D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:∵x 0是f (x )的极值点,∴f ′(x 0)=0,即0ππcos 0x m m=, 得0πππ2x k m =+,k ∈Z , 即012x mk m =+,k ∈Z .∴x 02+[f (x 0)]2<m 2可转化为2221π122mk m mk m m m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦, k ∈Z ,即2221+32k m m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,k ∈Z ,即221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭,k ∈Z .要使原问题成立,只需存在k ∈Z ,使223112k m ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭成立即可.又212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2的最小值为14,∴23114m ->,解得m <-2或m >2.故选C.5. (大纲全国.3)设a =sin 33°,b =cos 55°, c =tan 35°,则( ). A .a >b >c B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b解析:∵a =sin 33°,b =cos 55°=sin 35°,sin 35tan 35cos35c ︒=︒=︒,∴sin 35sin 35sin 33cos35︒>︒>︒︒.∴c >b >a ,选C.6.(陕西2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=的最小正 周期是( ).A .π2B .πC .2πD .4π 解析:f (x )的最小正周期2ππ2T ==. 7.(安徽.6)设函数f (x )(x ∈R )满足 f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时, f (x )=0,则23π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=( ). A .12 BC .0D .12- 解析:由题意得23π17π17π11π11π17πsin sin +sin666666f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7π17π11π11π17πsin sin +sin 66666f ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭=5π5π11π17π+sin +sin+sin 6666f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =111102222+-+=.8.(浙江4)为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图象,可以将函数 3y x =的图象( ). A .向右平移π4个单位 B .向左平移π4个单位 C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位解析:ππsin 3cos 332cos 3412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=ππcos 33412x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此需将函数 3y x =的图象向右平移π12个单位.故选C.9.(江西4)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2=(a -b )2+6,π3C =, 则△ABC 的面积是( ). A .3 BCD.解析:在△ABC 中,由已知条件及余弦定理可得c 2=(a -b )2+6=a 2+b 2-π2cos 3ab , 整理得ab =6, 再由面积公式1sin 2S ab C =,得1π6sin 23ABC S ∆=⨯⨯=.故选C.10.(辽宁9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( ). A .在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减 B .在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增 C .在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上单调递减 D .在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上单调递增 解析:设平移后的函数为f (x ),则()ππ3sin 223f x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3sin 2π3x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π3sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π232k x k -≤+≤+,k ∈Z ,解得f (x )的递减区间为5ππππ+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,k ∈Z ,同理得递增区间为π7πππ+1212k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,,k ∈Z . 从而可判断得B 正确. 11.(四川3)为了得到函数y =sin(2x +1)的图象, 只需把函数y =sin 2x 的图象上所有的点( ). A .向左平行移动12个单位长度 B .向右平行移动12个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度解析:∵y=sin(2x+1)=1 sin 22x⎛⎫+⎪⎝⎭,∴需要把y=sin 2x图象上所有的点向左平移1 2个单位长度即得到y=sin(2x+1)的图象.12.(重庆10)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是().A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 解析:由sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+1 2得,sin 2A+sin[A-(B-C)]+sin[A+(B-C)]=12,所以sin 2A+2sin A cos(B-C)=1 2 .所以2sin A[cos A+cos(B-C)]=12,所以2sin A[cos(π-(B+C))+cos(B-C)]=12,所以2sin A[-cos(B+C)+cos(B-C)]=12,即得sin A sin B sin C=1 8 .根据三角形面积公式S=12ab sin C,①S=12ac sin B,②S=12bc sin A,③因为1≤S≤2,所以1≤S3≤8. 将①②③式相乘得1≤S3=18a2b2c2sin A sin B sin C≤8,即64≤a2b2c2≤512,所以8≤abc≤,故排除C,D选项,而根据三角形两边之和大于第三边,故b+c>a,得bc(b+c)>8一定成立,而a+b>c,ab(a+b)也大于8,而不一定大于,故选A.13.全国课标Ⅰ.16.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为__________.解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得2221cos22b c aAbc+-==.∴sin A=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴1sin2ABCS bc A∆=⋅≤,即(S△ABC)max=14.(全国课标Ⅱ.14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为__________.解析:∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.15.(大纲全国.16)若函数f(x)=cos 2x+a sin x在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭是减函数,则a的取值范围是__.解析:f(x)=cos 2x+a sin x=1-2sin2x+a sin x.令t=sin x,∵x∈ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭,∴1,12t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1112t<<,由题意知1222a-≤⨯(-),∴a≤2,∴a的取值范围为(-∞,2].16.(北京14)设函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ236f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则f(x)的最小正周期为__________.解析:由f(x)在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且ππ26f f⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知,f(x)有对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭,由π2π23f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知f(x)有对称轴1π27ππ22312x⎛⎫=+=⎪⎝⎭.记f(x)的最小正周期为T ,则1ππ226T ≥-,即2π3T ≥. 故7πππ12344T-==,解得T =π. 17.(安徽.11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是__________. 解析:把函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的图象向右平移φ个单位,得到()ππsin 2()sin(22)44f x x x ϕϕ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭=的图象.由()πsin 224f x x ϕ⎛⎫-+⎪⎝⎭=的图象关于y 轴 对称,所以ππ2π42k ϕ-+=+,k ∈Z .即ππ28k ϕ=--,k ∈Z . 当k =-1时,φ的最小正值是3π8.18.(天津.12)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的 边分别是a ,b ,c .已知14b c a -=,2sin B =3sin C , 则cos A 的值为__________. 解析:由2sin B =3sin C ,结合正弦定理得2b =3c ,又14b c a -=,所以32b c =,a =2c . 由余弦定理得222cos =2b c a A bc+-=222322322c c c c c ⎛⎫+-() ⎪⎝⎭⋅⋅=14-.19.(福建.12)在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =ABC 的面积等于_____.解析:由题意及余弦定理得222216121cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯,解得c =2.所以S =12bc sin A =12×4×2×sin 60°=故答案为20. (广东12)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的 边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B =2b ,则ab=________. 解析:因为b cos C +c cos B =2b ,所以由正弦定理可得sin B cos C +sin C cos B =2sin B , 即sin(B +C )=2sin B ,所以sin(π-A )=2sin B ,即sin A =2sin B . 于是a =2b ,即2ab=. 21.(四川13)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m ,则河流的宽度BC 约等于__________m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.801.73)解析:如图所示,过A 作AD ⊥CB 且交CB 的延长线于D.在Rt △ADC 中,由AD =46 m ,∠ACB =30° 得AC =92 m.在△ABC 中,∠BAC =67°-30°=37°, ∠ABC =180°-67°=113°,AC =92 m ,由正弦定理sin sin AC BCABC BAC =∠∠,得92sin113sin37BC =︒︒,即92sin67sin37BC=︒︒,解得92sin3760m sin67BC ︒≈≈︒. 二.解答题1. (大纲全国117满分10分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3a cos C =2c cos A ,1tan 3A =,求B . 分析:通过3a cos C =2c cos A ,借助于正弦定理把a ,c 转化成关于A ,C 的三角函数值,由已知1tan 3A =,从而求出tan C ,再利用公式 tan B =-tan(A +C )求出B . 解:由题设和正弦定理得3sin A cos C =2sin C cos A .故3tan A cos C =2sin C , 因为1tan 3A =,所以cos C =2sin C ,1tan 2C =. 所以tan B =tan[180°-(A +C )] =-tan(A +C )=tan tan tan tan 1A CA C +-=-1,即B =135°.2. (陕西16满分)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .(1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C );(2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 分析:在(1)问中结合等差数列性质,得出a ,b ,c 之间关系,再利用正弦定理转化为角的关系,进而结合三角形内角和为π,利用诱导公式将角B 转化为用角A 和C 来表示,从而达到证明目标等式.在(2)问利用等比数列基本性质,得出a ,b ,c 之间关系,再结合余弦定理,表达出cos B 的式子,依据基本不等式得出其范围,注意等号成立的条件.解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B . ∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ), ∴sin A +sin C =2sin(A +C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac . 由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=,当且仅当a =c 时等号成立. ∴cos B 的最小值为12. 3. (北京15满分13分)如图,在△ABC 中,π3B ∠=,AB =8,点D 在BC 边上,且CD =2,1cos 7ADC ∠=.(1)求sin ∠BAD ;(2)求BD ,AC 的长.分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得 ∠BAD =∠ADC -∠B ,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD 中,根据正弦定理,结合(1)即可求得BD ,然后在△ABC 中,直接利用余弦定理求AC 即可.解:(1)在△ADC 中,因为1cos 7ADC ∠=,所以sin ADC ∠. 所以sin ∠BAD =sin(∠ADC -∠B ) =sin ∠ADC cos B -cos ∠ADC sin B1127-=(2)在△ABD 中,由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠==∠=. 在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =82+52-2×8×5×12=49. 所以AC =7.4. (天津15满分13分)已知函数()2πcos sin 3f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=,x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 分析:(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式,化简函数解析式为一个角的三角函数的形式,再求周期. (2)可利用函数f (x )在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性求最值.解:(1)由已知,有()21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭==21sin cos 2x x x ⋅+=1sin 2(1cos 2)444x x -++=1sin 2cos 244x x =-=1πsin 223x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以,f (x )的最小正周期2ππ2T ==. (2)因为f (x )在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数,在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,π144f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,π1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,π144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以,函数f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14,最小值为12-.5. (安徽16满分12分)设△ABC 的内角A ,B ,C所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B .(1)求a 值; (2)求πsin()4A +的值. 分析:(1)通过观察给出的条件及求解的问题,先将角的关系化为边的关系.首先由A =2B ,得sin A =sin 2B ,再由倍角公式将2B 的三角函数化为B 的三角函数,再由正弦定理、余弦定理将角的关系化为边的关系进行求解.(2)由(1)知三边都已确定,先由余弦定理求出cos A 的值,再利用平方关系求出sin A 的值,最后利用两角和的正弦公式求解. 解:(1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得2222a cb a b +-=⋅.因为b =3,c =1,所以a 2=12,a =.(2)由余弦定理得22291121cos263b ca A bc +-+-===-. 由于0<A <π,所以sin 3A ===故πππ2221242sin()sin cos cos sin ()44432326A A A -+=+=⨯+-⨯= ππ122c o s c o s 44A ++-.6. (福建16满分13分)已知函数f(x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若π02α<<,且sin 2α=,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.分析:首先结合已知角的范围,利用同角三角函数的基本关系式及已知的正弦值,求出余弦值,注意符号的判断,然后代入已知的函数关系式,得出结果.在第(2)问中,结合式子特点,利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式,得出最终的目标——y =A sin(ωx +φ)+B 形式,运用2πT ω=得出周期,再结合三角函数的图象与性质等基础知识求得单调区间,此时要注意复合函数的单调性.另外,也可先化简再分别求解. 解法一:(1)因为π02α<<,sin 2α=,所以cos 2α=. 所以()11(22222fα=+-=. (2)因为 f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=11cos21sin 2222x x ++- =11sin 2cos222x x + =π)24x +,所以2ππ2T ==. 由πππ2π22π242k x k -≤+≤+,k ∈Z ,得3ππππ88k x k -≤≤+,k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . 解法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=11cos21sin 2222x x ++- =11sin 2cos222x x +=π224x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)因为π02α<<,sin α=, 所以π4α=, 从而()π3π1)442f αα+==.(2) 2ππ2T ==. 由πππ2π22π242k x k -≤+≤+,k ∈Z ,得3ππππ88k x k -≤≤+,k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间 为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z. 7. (湖北.17满分11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:()ππ10sin 1212f t t t ⋅-=,t ∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?分析:由函数f (t )为a cos t +b sin t 型,故可利用辅助角公式对f (t )化简为f (t )=10-2sin ππ123t ⎛⎫+⎪⎝⎭,再根据t ∈[0,24),把ππ123t +的范围求出,再利用单位圆或者正弦函数的图象求出ππsin 123t ⎛⎫+⎪⎝⎭的范围,从而求得f (t )的最大与最小值.对于第(2)问,要求实验室温度不高于11 ℃,即满足不等式f (t )>11的t 的范围就是实验室需要降温的时间段,可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式. 解:(1)因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-,又0≤t <24,所以πππ7π+<31233t ≤, ππ1sin +1123t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭-.当t =2时,ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭;当t =14时,ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度 为8 ℃,最大温差为4 ℃.(2)依题意,当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得()ππ102sin +123f t t ⎛⎫⎪⎝⎭=-, 故有ππ102sin +11123t ⎛⎫>⎪⎝⎭-, 即ππ1sin +1232t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.又0≤t <24,因此7πππ11π61236t <+<, 即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温.8. (湖南18满分12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD =1,CD =2,AC =.(1)求cos ∠CAD 的值; (2)若cos BAD ∠=,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.分析:对于第(1)问,由已知△ACD 中三边求角,很容易想到利用余弦定理进行求解.对于第 (2)问,目标为求BC 的长度,而BC 是△ABC 中的边.又AC 已知,AC 所对的角∠CBA 的正弦已知,所以联想到利用正弦定理来求,但需要 ∠BAC 的正弦值.而已知中有cos ∠BAD 的值,发现∠BAC =∠BAD -∠CAD ,因此用两角差的正弦公式求得sin ∠BAC ,从而问题得解. 解:(1)如题图,在△ADC 中,由余弦定理,得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅.故由题设知,cos CAD ∠==(2)如题图,设∠BAC =α,则α=∠BAD -∠CAD .因为cos 7CAD ∠=,cos 14BAD ∠=-, 所以cos CAD ∠sinBAD ∠于是sinα=sin(∠BAD -∠CAD )=sin ∠BAD cos ∠CAD -cos ∠BAD sin ∠CAD=147⎛-⨯= ⎝⎭. 在△ABC 中,由正弦定理,sin sin BC AC CBAα=∠.故sin 3sin AC BC CBA α⋅===∠ 9. (浙江18满分14分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ≠b,c =22cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C 的大小;(2)若4sin 5A =,求△ABC 的面积.分析:(1)将已知等式运用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化为2A,2B 的三角函数式,结合角A ,B 的范围求出2A,2B 的关系式,然后求出角C .(2)由(1)知C ,又已知sin A ,c ,则可由sin sin a cA C=求出a ,则由 1sin 2ABC S ac B =知,只需求sin B 即可.结合B =π-(A +C )运用两角和的正弦公式可求sin B .解:(1)由题意得1cos 21cos 2 2 22A B A B ++-=, 11 2cos 2 2cos 222A AB B -=-,ππsin 2sin 266A B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由a ≠b ,得A ≠B ,又A +B ∈(0,π),得ππ22π66A B -+-=, 即2π3A B +=,所以π3C =.(2)由c =4sin =5A ,=sin sin a cA C,得8=5a .由a <c ,得A <C ,从而3cos 5A =,故sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C=410+. 所以△ABC 的面积为1sin 2S ac B ==10. (广东.16满分12分)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R ,且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值;(2)若()3()2f f θθ-+=,π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,, 求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭. 解:(1)∵π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 且5π3122f ⎛⎫=⎪⎝⎭, ∴5π5ππ2πsin sin 121243f A A ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=32A ⋅=.∴A =(2)∵π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,且()3()=2f f θθ-+,∴()ππ()44f f θθθθ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 4444θθθθ⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦π32cos sin=42θθ, ∴cos θ=,且π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,.∴sin θ==. ∵3π3ππ444f θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π =4θθ-. 11. (江西16满分12分)已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a∈R ,ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a =π4θ=时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭,f (π)=1,求a ,θ的值.分析:(1)先将a =π4θ=代入f (x ),再利用两角和的正弦公式和余弦公式对f (x )进行化简,最终化成一个三角函数值的形式,根据所给角的范围,借助于数形结合求出最大值和最小值;(2)利用所给条件列出方程联立成方程组求出a ,θ. 解:(1)ππ()sin 42f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22πcos )cos sin sin 224x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪+ πcos )2sin cos sin 224x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭+,因为x ∈[0,π],从而π3ππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故f (x )在[0,π],最小值为-1.(2)由π()0,2(π)0,f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1,a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩, 又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,知cos θ≠0,解得1,π.6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩12. (辽宁17满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知2BA BC ⋅=,1cos 3B =,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)c os(B -C )的值.分析:(1)将条件中的2BA BC ⋅=,转化为边角的量表示,可得a 与c 的关系,再结合余弦定理列方程组求解.(2)由(1)及正弦定理可得sin C ,进而求出c os C ,再由两角差的余弦公式求出c os(B -C )的值. 解:(1)由2BA BC ⋅=,得c ·ac os B =2. 又1cos 3B =,所以ac=6. 由余弦定理,得a 2+c2=b 2+2acc os B .又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.解226,13,ac a c=⎧⎨+=⎩得a =2,c =3或a =3,c =2. 因a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin 3B ===,由正弦定理, 得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因a =b >c ,所以C 为锐角,因此7cos 9C ===. 于是c os(B -C )=c os Bc os C +sin B sin C 17233927=⋅= 13. (山东16满分12分)已知向量a =(m ,cos 2x ), b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a ·b ,且y =f (x )的 图象过点π12⎛ ⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图象,若y =g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.分析:在第(1)问中,可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式,再由图象过两点,代入整理可得关于m ,n 的方程组,利用此方程组即得m ,n 的值.在第(2)问中,通过图象平移知识,可得含参数φ的g (x )的解析式,从中设出最高点,然后根据两点距离为1,可确定最高点的坐标,代入可求出g (x )确定的解析式,从而求出单调区间.解:(1)由题意知f (x )=a·b =m sin 2x +n cos 2x . 因为y =f (x )的图象过点π12⎛⎝和2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以ππsin cos 664π4π2sin cos 33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩,,即1,212,2m n =⎨⎪-=-⎪⎩ 解得m =n =1.(2)由(1)知()2cos2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由题意知()π()2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.设y =g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2), 由题意知2011x +=,所以x 0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y =g (x )得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因为0<φ<π,所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos 22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 由2k π-π≤2x ≤2k π,k ∈Z ,得πππ2k x k -≤≤,k ∈Z ,所以函数y =g (x )的单调递增区间 为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,k ∈Z 14. (四川16满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求cos α-sin α的值.分析:在第(1)问,通过整体思想,将π34x +看作一个整体,借助y =sin x 的单调递增区间,解不等式求出x 的范围得到f (x )的单调递增区间,要注意k ∈Z 不要漏掉;在第(2)问,利用已知条件求出3f α⎛⎫⎪⎝⎭,然后利用和角公式展开整理,得到关于sin α+cos α与cos α-sin α的方程,再对sin α+cos α与0的关系进行讨论,得到 cos α-sin α的值.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z , 由πππ2π32π242k x k -+≤+≤+,k ∈Z ,得π2ππ2π43123k k x -+≤≤+,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . (2)由已知, 有π4πsin cos 454αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos 2α-sin 2α),所以ππ4ππsin coscos sin (cos cos sin sin )(c 44544αααα+=-, 22ππ4ππsin cos cos sin (cos cos sin sin )(cos sin )44544αααααα+=-- 即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α). 当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=3π4+2k π,k ∈Z . 此时,cos α-sin α=当sin α+cos α≠0时, 有(cos α-sin α)2=54. 由α是第二象限角,知cos α-sin α<0, 此时cos α-sin α=2-综上所述,cos α-sin α=15. (重庆17满分13分)已知函数f (x )=1π)0,22x ωϕωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭+的图象关于直线π3x =对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值;(2)若π2π263f αα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.分析:在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性,两最高点之间的距离是一个周期,从而根据公式2πT ω=,准确求出ω;而求φ,则根据对称轴处取最值并结合φ的取值范围给k赋值才能准确求出φ.第(2)问中已知2f α⎛⎫=⎪⎝⎭,结合α的范围判断并求出πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值,然后进一步将3cos π2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化成sin α,而后将α写成π6α-加上π6的形式,从而求出最后的值,该题解答过程中,必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式.解:(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离 为π,所以f (x )的最小正周期T =π,从而2π=2Tω=. 又因f (x )的图象关于直线π3x =对称, 所以ππ2π+32k ϕ⋅+=,k =0,±1,±2,…. 因ππ22ϕ-≤<得k =0,所以π2ππ236ϕ=-=-.(2)由(1)得π2226f αα⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π1sin =64α⎛⎫- ⎪⎝⎭.由π2π63α<<得ππ062α<-<,所以πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭==.因此3πππcos sin sin 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππ13151315sin cos cos sin 666642428αα+⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ11cos sin 6642428α⎛⎫-=+=⎪⎝⎭。

2014年高考真题数学解答题:三角函数(理科)

2014年高考真题数学解答题:三角函数(理科)

2014年高考真题数学解答题:三角函数(理科)1.(2014.(1(2)求.2.(2014.(1)求()f x 的单调递增区间; (2)若α是第二象限角,,求cos sin αα-的值.3.(2014.陕西)ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. (1)若c b a ,,成等差数列,证明:()C A C A +=+sin 2sin sin ; (2)若c b a ,,成等比数列,求B cos 的最小值.4.(2014.山东)已知向量(,cos2)a m x =,(sin 2,)b x n =,设函数()f x a b =⋅,且()y f x =的图象过点(Ⅰ)求,m n 的值;(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调增区间.5.(2014.江西)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,(1时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2,求,a θ的值.6.(2014.,x R ∈,且 (1)求A 的值;(27.(2014.(1,求()f α的值; (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.8.(2014.对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和ϕ的值;(2)若.9.(2014.天津)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .1)求角C 的大小;(2)求ABC ∆的面积.10.(2014.辽宁)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ⋅=,,3b =,求:(1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ,已知21)求角C 的大小;(2)已知4b =,ABC ∆的面积为6,求边长c 的值.形ABCD 中,13.(2014.湖北)某实验室一天的温度(单位:C )随时间t (单位:h )的变化近似(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11C ,则在哪段时间实验室需要降温?14.(2014.大纲卷)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3cos 2cos a C c A =,B.15.(2014.北京)如图,在ABC ∆中,点D 在BC 边上,且2CD =,.16.(2014.安徽)设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3,1,2b c A B === (1(2.2014年高考真题数学解答题:三角函数(理科)参考答案1.(1(2 【解析】试题分析:(1)的值,根据两角和的正弦公式,可知还要求得cos α,由于,所以cos 0α<,利用同角关系可得;(2差的余弦公式我们知要先求得sin 2,cos 2αα,而这由二倍角公式结合(1)可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型,只要应用公式,不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换,“函数名称”的变换等技巧,可以算得上是容易题,当然要正确地解题,也必须牢记公式,及计算正确.试题解析:(1(2)由(1【考点】三角函数的基本关系式,二倍角公式,两角和与差的正弦、余弦公式.2.(1(2 【解析】看作一个整体,根据正弦函数sin y x =的单调递增区间便可得间.(2求三角函数值时,首先考虑统一角,故利用和角公式和函数得:意这里不能将.若sin cos 0αα+=,则 若sin cos 0αα+≠,则 【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.3.(1)证明见解析;(2 【解析】试题分析:(1)因为c b a ,,成等差数列,所以2a c b +=,再由三角形正弦定理得sin sin 2sin A C B+=,又在ABC∆中,有()B A B π=-+,所以sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+,最后得:()sin sin 2sin A C A C +=+,即得证;(2)因为c b a ,,成等比数列,所以2b a c=,由余弦定理得根据基本不等式222a c ac +≥(当且仅当a c =时等号成立)(当且仅当a c =时等号成立),所以B cos 试题解析:(1)c b a ,,成等差数列2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+(2)c b a ,,成等比数列2b ac∴=222a c ac+≥(当且仅当a c=时等号成立)(当且仅当a c=时等号成立)(当且仅当a c=时等号成立)所以Bcos的最小值为考点:正弦定理;余弦定理;基本不等式.4.(I(II )函数()y g x=的单调递增区间为【解析】试题分析:(1)由题意知()sin2cos2f x a b m x n x=∙=+.根据()y f x=的图象过点(2)由(依题意知到点0,3()的距离为1的最高点为0,2().由222,k x k k Zπππ-≤≤∈,得得到()y g x =的单调递增区间为2试题解析:(1)由题意知:()sin 2cos2f x a b m xn x =∙=+. 因为()y f x =的图象过点(2)由(设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ,由题意知:2011x +=,所以00x =,即到点0,3()的距离为1的最高点为0,2().由222,k x k k Z πππ-≤≤∈,得所以,函数()y g x =的单调递增区间为考点:平面向量的数量积,三角函数的化简,三角函数的图象和性质.5.(1-1. (2【解析】试题分析:(1合基本三角函数性质求最值:因为[0,]x π∈,从而,故()f x 在[0,]π上-1.(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可. 由得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又知cos 0,θ≠试题解析:解(1因为[0,]x π∈,从而故()f x 在[0,]π上的最大值为-1. (2)由得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又知cos 0,θ≠解得考点:三角函数性质 6.(1(2【解析】试题分析:(1代入函数()f x 的解析式求出A 的值;(2)先利用已知条件θ的某个三角函数值,然后将代入函数()f x 的解析式,并结合诱导公式对. 试题解析:(1)(20,2πθ⎛∈ ⎝,sin 0θ>,则 34f π⎛∴- 【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数,综合考查三角函数的求值问题,属于中等题. 7. ;(2) π,【解析】试题分析:(1)求出角α的余弦值,再根据函数即可求得结论.(2) 由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函f x化简.根据三角函数周期的公式即可的结论.根据函数的单调递数的化一公式,将函数()增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.试题解析:(1)因为,所以.所以12(2)因为-.由得f x的单调递增区间为所以()考点:1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.8.(1(2【解析】试题分析:(1)由函数图像上相邻两个最高点的距离为π求出周期,再利用公式出ω的值;.x,由(2)由(1)知n2结合用同角三角函数的基本关系可求值,因为可由两角和与差的三角函数公式求出sin α从而用诱导公式求得. 解:(1)因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以()f x 的最小正周期T π=,2,,因得0k =(2)由(1考点:1、诱导公式;2、同角三角函数的基本关系;3、两角和与差的三角函数公式;4、三角函数的图象和性质.9.(1(2 【解析】试题分析:(1)求角C 的大小,由已知可利用降幂公式进行降幂,及倍角公式变形得,移项整理,有两角和与差的三角函数关系,得(2)求ABC∆的面积,面积,故求出sin B即可,故由()sin sinB A C=+即可求出sin B,从而得面积.(1得,A B≠,又()0,A Bπ+∈,得由a c<,得A C<,故,所以ABC∆的面积为点评:本题主要考查诱导公式,两角和与差的三角函数公式,二倍角公式,正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,等基础知识,同时考查运算求解能力.10.(1)a=3,c=2;(2【解析】试题分析:(1)由2BA BC⋅=和ac=6.由余弦定理,得2213a c+=.解22613aca c=⎧⎪⎨+=⎪⎩,即可求出a,c;(2)在ABC∆中,a b c =>,所以C 为锐角,因此,利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+,即可求出结果.(1)由2BA BC⋅=得,cos 2c a B ⋅=,又ac=6.由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+.又b=3,所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得a=2,c=3或a=3,c=2. 因为a>c,∴ a=3,c=2. (2)在ABC ∆中,,又因为a b c =>,所以C 为锐角,于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+= 考点:1.解三角形;2.三角恒等变换.11.(1(2 【解析】试题分析:(1)再用两个角的和的余弦公式求)cos(B A +,由三角形三内角和定理可求得C cos ,从而求得角C ;(2)根据三角形的面积公式求出边a ,再由余弦定理求c 边.(1(2,4=b , 由余弦定理得C ab b a Ccos 2222-+=,所以考点:两个角和差公式、二倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式. 12.【解析】试题分析:(1)在CDE ∆中已知两边与一角,利用余弦定理即可求出第三条边DC 的长度,再利用余弦定理即可求出角CED 的正弦值.(2)由(1)三角形DEC 的三条边,根据正余弦直角的关系可得角DEC 的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也可求的),角,,DEC BEC AEB ∠∠∠之和为0180,其中两个角的正余弦值已知,则可以利用余弦的和差角公式求的角AEB 的余弦值,AE 长度已知,利用直角三角形AEB 中余弦的定义即可求的BE 长. 如图设CED α∠=(1)在CDE ∆中,由余弦定理可得2222cos EC CD DE CD DE EDC =+-∠,于是又题设可知 271CD CD =++,即260CD CD +-=,解得2CD =(30CD =-<舍去),在CDE∆中,由正弦定理可得23sin2213277CD EC π== (2)由题设可得,于是根据正余弦之间的关系可得,而,所以s s i n在Rt EAB ∆中考点:正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之间的关系 13.(1)4C ;(2)在10时至18时实验室需要降温. 【解析】试题分析:(1)利用两个角的和的正弦公式把)(t f 变成的取值范围,从而求得)(t f 在)24,0[上的最大值与最小值;(2),得出t 的取值范围,从而得到结论.(1于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12,取得最小值8. (2)依题意,当11)(>t f 时实验室需要降温.故在10时至18时实验室需要降温.考点:三角函数的实际运用,两个角的和的正弦公式,三角不等式的解法. 14.135B ? . 【解析】试题分析:由题设及正弦定理得:3sin cos 2sin cos ,A C C A =从而得tan A 与tan C 的关系式,由已知tan A 的值即可得tan C 的值,再利用三角形内角和定理及两角和的正切函数公式可求得tan B 的值,最后求得B Ð的大小. 试题解析:由题设和正弦定理得1.tan 3A =又考点:1.正弦定理;2.三角恒等变换.15.(1(2)7. 【解析】试题分析:(1)由条件,根据1cos sin 22=+αα求ADC ∠sin ,再由两个角的差的正弦公式求BAD ∠sin ;(2)根据正弦定理求出BD ,再由余弦定理求AC .(1)在ADC ∆中,因为 所以B ADC B ADC B ADC BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=∠sin cos cos sin )sin(sin(2)在ABD ∆中,由正弦定理得 在ABC ∆中由余弦定理得B BC AB BC AB AC cos 2222⋅⋅-+=考点:同角三角函数的关系,两个角的差的正弦公式,正弦定理与余弦定理.16.(1(2【解析】试题分析:(1)根据2A B =,则有sin sin 22sin cos A B B B ==,再由正、余弦定理.可以求得.(2)由余弦定理可以求出,而0A π<<,所以.故(1)因为2A B=,所以s i n s i n 22s i n c o A B B B ==,由正、余弦定理得因为3,1b c ==,所以由余弦定理得.由于0A π<<,所以考点:1.正、余弦定理;2.三角函数恒等变形.。

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(新课标Ⅰ卷)(解析版)_最新修正版

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(新课标Ⅰ卷)(解析版)_最新修正版

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年新课标1理科11】关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,π)单调递增③f(x)在[﹣π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③【解答】解:f(﹣x)=sin|﹣x|+|sin(﹣x)|=sin|x|+|sin x|=f(x)则函数f(x)是偶函数,故①正确,当x∈(,π)时,sin|x|=sin x,|sin x|=sin x,则f(x)=sin x+sin x=2sin x为减函数,故②错误,当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|sin x|=sin x+sin x=2sin x,由f(x)=0得2sin x=0得x=0或x=π,由f(x)是偶函数,得在[﹣π,)上还有一个零点x=﹣π,即函数f(x)在[﹣π,π]有3个零点,故③错误,当sin|x|=1,|sin x|=1时,f(x)取得最大值2,故④正确,故正确是①④,故选:C.2.【2017年新课标1理科09】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x)=cos(2x)=sin(2x)的图象,即曲线C2,故选:D.3.【2016年新课标1理科12】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|),x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【解答】解:∵x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则,即T,解得:ω≤12,当ω=11时,φ=kπ,k∈Z,∵|φ|,∴φ,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9时,φ=kπ,k∈Z,∵|φ|,∴φ,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选:B.4.【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=()A.B.C.D.【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°.故选:D.5.【2015年新课标1理科08】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.(kπ,kπ),k∈z B.(2kπ,2kπ),k∈zC.(k,k),k∈z D.(,2k),k∈z【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为2()=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得ϕ,k∈z,即ϕ,f(x)=cos(πx).由2kπ≤πx2kπ+π,求得2k x≤2k,故f(x)的单调递减区间为(,2k),k∈z,故选:D.6.【2014年新课标1理科08】设α∈(0,),β∈(0,),且tanα,则()A.3α﹣βB.3α+βC.2α﹣βD.2α+β【解答】解:由tanα,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(α﹣β)=cosα=sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.故选:C.7.【2012年新课标1理科09】已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx)在区间[,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2]【解答】解:法一:令:不合题意排除(D)合题意排除(B)(C)法二:,得:.故选:A.8.【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos2θ=()A.B.C.D.【解答】解:根据题意可知:tanθ=2,所以cos2θ,则cos2θ=2cos2θ﹣1=21.故选:B.9.【2011年新课标1理科11】设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则()A.f(x)在单调递减B.f(x)在(,)单调递减C.f(x)在(0,)单调递增D.f(x)在(,)单调递增【解答】解:由于f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ),由于该函数的最小正周期为T,得出ω=2,又根据f(﹣x)=f(x),得φkπ(k∈Z),以及|φ|,得出φ.因此,f(x)cos2x,若x∈,则2x∈(0,π),从而f(x)在单调递减,若x∈(,),则2x∈(,),该区间不为余弦函数的单调区间,故B,C,D都错,A正确.故选:A.10.【2010年新课标1理科09】若,α是第三象限的角,则()A.B.C.2 D.﹣2【解答】解:由,α是第三象限的角,∴可得,则,应选A.11.【2018年新课标1理科16】已知函数f(x)=2sin x+sin2x,则f(x)的最小值是.【解答】解:由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin2x的一个周期,故只需考虑f(x)=2sin x+sin2x在[0,2π)上的值域,先来求该函数在[0,2π)上的极值点,求导数可得f′(x)=2cos x+2cos2x=2cos x+2(2cos2x﹣1)=2(2cos x﹣1)(cos x+1),令f′(x)=0可解得cos x或cos x=﹣1,可得此时x,π或;∴y=2sin x+sin2x的最小值只能在点x,π或和边界点x=0中取到,计算可得f(),f(π)=0,f(),f(0)=0,∴函数的最小值为,故答案为:.12.【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是.【解答】解:方法一:如图所示,延长BA,CD交于点E,则在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°,∴设AD x,AE x,DE x,CD=m,∵BC=2,∴(x+m)sin15°=1,∴x+m,∴0<x<4,而AB x+m x x,∴AB的取值范围是(,).故答案为:(,).方法二:如下图,作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动,分别交EB、EC于A、D,则四边形ABCD即为满足题意的四边形;当直线移动时,运用极限思想,①直线接近点C时,AB趋近最小,为;②直线接近点E时,AB趋近最大值,为;故答案为:(,).13.【2014年新课标1理科16】已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C,则△ABC面积的最大值为.【解答】解:因为:(2+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C⇒(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc,又因为:a=2,所以:,△ABC面积,而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以:,即△ABC面积的最大值为.故答案为:.14.【2013年新课标1理科15】设当x=θ时,函数f(x)=sin x﹣2cos x取得最大值,则cosθ=.【解答】解:f(x)=sin x﹣2cos x(sin x cos x)sin(x﹣α)(其中cosα,sinα),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ)2+cos2θ=1,解得cosθ.故答案为:15.【2011年新课标1理科16】在△ABC中,B=60°,AC,则AB+2BC的最大值为.【解答】解:设AB=cAC=bBC=a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时,此时a,c符合题意因此最大值为2另解:因为B=60°,A+B+C=180°,所以A+C=120°,由正弦定理,有2,所以AB=2sin C,BC=2sin A.所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin(120°﹣A)+4sin A=2(sin120°cos A﹣cos120°sin A)+4sin Acos A+5sin A=2sin(A+φ),(其中sinφ,cosφ)所以AB+2BC的最大值为2.故答案为:216.【2010年新课标1理科16】在△ABC中,D为边BC上一点,BD DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为,则∠BAC=.【解答】解:由△ADC的面积为可得解得,则.AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°,,则.故∠BAC=60°.17.【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A ﹣sin B sin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.【解答】解:(1)∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C.则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C=sin2A﹣sin B sin C,∴由正弦定理得:b2+c2﹣a2=bc,∴cos A,∵0<A<π,∴A.(2)∵a+b=2c,A,∴由正弦定理得,∴解得sin(C),∴C,C,∴sin C=sin()=sin cos cos sin.18.【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.∴由正弦定理得:,即,∴sin∠ADB,∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,∴cos∠ADB.(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB,∵DC=2,∴BC5.19.【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B,∴3c sin B sin A=2a,由正弦定理可得3sin C sin B sin A=2sin A,∵sin A≠0,∴sin B sin C;(2)∵6cos B cos C=1,∴cos B cos C,∴cos B cos C﹣sin B sin C,∴cos(B+C),∴cos A,∵0<A<π,∴A,∵2R2,∴sin B sin C•,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bc cos A,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c∴周长a+b+c=3.20.【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,整理得:2cos C sin(A+B)=sin C,即2cos C sin(π﹣(A+B))=sin C2cos C sin C=sin C∴cos C,∴C;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S ab sin C ab,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5.21.【2013年新课标1理科17】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB,求P A;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得P A2=PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°.∴P A.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BC cos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.22.【2012年新课标1理科17】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a cos C a sin C﹣b﹣c=0(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.【解答】解:(1)由正弦定理得:a cos C a sin C﹣b﹣c=0,即sin A cos C sin A sin C=sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C=sin(A+C)+sin C,即sin A﹣cos A=1∴sin(A﹣30°).∴A﹣30°=30°∴A=60°;(2)若a=2,△ABC的面积,∴bc=4.①再利用余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bc•cos A=(b+c)2﹣2bc﹣bc=(b+c)2﹣3×4=4,∴b+c=4.②结合①②求得b=c=2.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1.函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.则函数()f x 的单调递增区间为( )A .,63k k ππππ轾犏-+犏臌,k z ∈B .,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈C .,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈D .,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象, 可得:332113441264T ππππω=⋅=-=, 解得:2ω=, 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上,可得:2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,可得:2262k ππϕπ⨯+=+,k ∈Z ,解得:26k πϕπ=+,k ∈Z ,由于:0ϕπ<<, 可得:6π=ϕ,即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令222262k x k πππππ-≤+≤+,k ∈Z 解得:36k x k ππππ-≤≤+,k ∈Z ,可得:则函数()f x 的单调递增区间为:,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .故选C .2.将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()g x 的图像,若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-,则122x x -的最大值为( ) A .4912π B .356π C .256π D .174π 【答案】C 【解析】由题意,函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象, 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-, 则()()123g x g x ==,则22,62x k k Z πππ+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈,因为12,[2,2]x x ππ∈-,所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--, 当12711,66x x ππ==-时,122x x -取得最大值,最大值为711252()666πππ⨯--=, 故选C.3.将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像,若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A .23-π B .3π-C .6π-D .2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++, 将其图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像, 所以()cos()13g x x πϕ=-++,又()(4)g x g x π=-,所以()g x 关于2x π=对称, 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈,即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈,因为0πϕ-<<,所以易得23πϕ=-.故选A4.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,(,0)24A B π, ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则()f x =( ) A .sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C .sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D .3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<,所以34πϕ=,所以3()sin()4f x x πω=+, 因为3()sin()0444f πππω=+=,由图可知,3244k ππωππ+=+,解得18,k k Z ω=+∈, 又因为24T ππω=<,可得8ω>,所以当1k =时,9ω=, 所以3()sin(9)4f x x π=+, 故答案选D.5.已知函数()cos f x x x =-,则下列结论中正确的个数是( ). ①()f x 的图象关于直线3x π=对称;②将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象;③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心;④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. A .1 B .2C .3D .4【答案】A由题意,函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ①中,由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值,则()f x 的图象不关于直线3x π=对称,故①错; ②中,将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象,故②对; ③中,由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭,可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心,故③错; ④中,由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤,解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤,即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈, 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈,解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈,即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故④错. 故选:A .6.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ,满足()22sin 40a a B B -++=,b =则ABC △的面积为A .BC .D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程,则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…,故若使得方程有解,则只有△0=,此时6B π=,b =代入方程可得,2440a a -+=,由余弦定理可得,2428cos3022c c+-︒=⨯,解可得,c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选:C .7.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,则b 的取值范围为( )A .(0,4)B .(2,C .D .4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,∴ 022A π<<,3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<,04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==,由正弦定理得12cos 2b b A a ==,即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8.已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若6sin c os 7sin2C A A =,53a b =,则C =( ). A .3πB .23π C .34π D .56π 【答案】B 【解析】由题意,因为672sinCcosA sin A =,可得:614sinCcosA sinAcosA =, 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=,可得∴614sinC sinA =或0cosA =, 又由a b <,则A 为锐角,所以0cosA =不符合舍去, 又由正弦定理可得:37c a =,即:73a c =, 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭, ∵(0,)C π∈,∴23C π=. 故选:B .9.若函数()2sin()f x x ωϕ=+ (01ω<<,02πϕ<<)的图像过点,且关于点(2,0)-对称,则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2s i n ϕ∴=sin ϕ= 02πϕ<<3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭,即:23k πωπ-+=,k Z ∈126k πωπ∴=-+,k Z ∈01ω<< 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭,()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果:110.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+,∴10x y -+>, ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+()1121x y x y ∴-++≥=-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥,当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ,即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈,即()12k x y k Z π+==∈, 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭(当且仅当0k =时取等号), 从而xy 的最小值为1.411.设函数()sin(2)3f x x π=+,若120x x <,且12()()0f x f x +=,则21x x -的取值范围是_______.【答案】(3π,+∞) 【解析】不妨设120x x <<,则2121x x x x -=-,由图可知210()33x x ππ->--=.故答案为:(3π,+∞) 12.已知角α为第一象限角,sin cos a αα-=,则实数a 的取值范围为__________.【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+,因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为:(1,2]13.已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,则cos 2ϕ=___. 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14.如图,四边形ABCD 中,4AB =,5BC =,3CD =,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=°,则AD 的长为______【解析】连接AC ,设ACB θ∠=,则120ACD θ∠=-,如图:故在Rt ABC ∆中,sin θθ==, ()11cos 120cos 2222θθθ-=-+=-=, 又在ACD ∆中由余弦定理有()2223cos 120AD θ+--==,解得265AD =-即AD =15.在锐角ABC ∆中,角A B C ,,的对边分别为a b c ,,.且c o s c o s A B a b+=b =.则ac +的取值范围为_____.【答案】(6,【解析】cos cos 3A B C a b a +=cos cos sin 3b A a BC ∴+= ∴由正弦定理可得: sin cos sin cos sin B A A B B C +=,可得:sin()sin sin A B C B C +==,sin B ∴=, 又ABC ∆为锐角三角形,3B π∴=,∴可得:sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-均为锐角,可得:,62636A A πππππ<<-<-<,(6,a c ∴+∈.故答案为: (6,.16.在ABC ∆中,已知AB 边上的中线1CM =,且1tan A ,1tan C ,1tan B成等差数列,则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ,1tan C ,1tan B 成等差数列, 所以211tan tan tan C A B =+,即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==, 所以2sin 2cos sin sin C C A B =,由正弦定理可得2cos 2c C ab=,又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=,所以222222a b c c ab ab+-=,故2222a b c +=, 又因为AB 边上的中线1CM =,所以1CM =,因为()12CM CA CB =+, 所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++,即22224232c b a ab c ab=++⋅=,解c =即AB 的长为3.17.在ABC ∆中,A B C ,,的对边分别a b c ,,,60,cos A B ︒==(Ⅰ)若D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,求DCBD的值; (Ⅱ)若 ccos cos 2B b C +=,求ABC ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)4;【解析】(Ⅰ)因为cos 3B =,∴sin 3B =, ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==, 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠,sin DCCAD∠, 因为AD 平分BAC ∠,所以sin 4sin DC BBD C ===.(Ⅱ)由cos cos 2c B b C +=,即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==,所以sin sin a b A B =,∴sin sin 3a Bb A ==,故11sin 222ABCSab C ==⨯=18.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别,,a b c ,()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈,函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.(1)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,求()f x 的值域;(2)若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】(1)2⎛⎤-⎥ ⎝⎦(2)【解析】(1)()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称, ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数,5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,且()0f =,5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦(2)∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理,2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABCSbc == 19.在ABC ∆中,已知2AB =,cos 10B =,4C π=.(1)求BC 的长; (2)求sin(2)3A π+的值.【答案】(1)5BC =(2【解析】解:(1)因为cos B =,0B π<<,所以sin B ===在ABC ∆中,A B C π++=,所以()A B C π=-+, 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中,由正弦定理知sin sin BC AB A C=,所以4sin sin 55AB BC A C =⨯==. (2)在ABC ∆中,A B C π++=,所以()A B C π=-+, 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )1021025B C B C ⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭,于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=, 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此,sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24172425225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.20.如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90ABC ∠=︒.已知AD =BD =(Ⅰ)求sin ABD ∠的值;(Ⅱ)若2CD =,且CD BC >,求BC 的长.【答案】(Ⅰ)4(Ⅱ)1BC = 【解析】(Ⅰ)在ABD 中,由正弦定理,得sin sin AD BD ABD A =∠∠.因为60,A AD BD ︒∠===所以sin sin sin 604AD ABD A BD ︒∠=⨯∠==(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,sin ABD ∠=, 因为90ABC ︒∠=,所以()cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=. 在BCD ∆中,由余弦定理,得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠.因为2,CD BD ==所以2462BC BC =+-,即2320BC BC -+=,解得1BC =或2BC =.又CD BC >,则1BC =.21.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且234cos2sin 22A b b a B =+. (1)求cos A ;(2)若a =5c =,求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解:(1)由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+, 化简得4cos 3sin b A a B =,由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =, 因为sin 0B ≠, 所以4tan 3A =,且A 为ABC ∆的内角, 即3cos 5A =. (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-, 所以220256b b =+-,所以2650b b -+=,所以1b =或5.22.已知在△ABC 中,222a c ac b +-=. (Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)求cos cos A C +的最大值.【答案】(Ⅰ)3π;(Ⅱ)1. 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=(Ⅱ)由(Ⅰ)可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++=1sin cos 22C C ⋅+⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=()A.[1,2)B.[﹣1,1]C.[﹣1,2)D.[﹣2,﹣1] 2.(5分)=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数4.(5分)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.m D.3m5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为()A.B.C.D.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则()A.3α﹣β=B.3α+β=C.2α﹣β=D.2α+β= 9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1其中真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3 10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.211.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为.15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为.16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为.三、解答题17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n﹣1,其中λ为常数.﹣a n=λ(Ⅰ)证明:a n+2(Ⅱ)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.20.(12分)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l 的方程.21.(12分)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.选修4-5:不等式选讲24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=()A.[1,2)B.[﹣1,1]C.[﹣1,2)D.[﹣2,﹣1]【考点】1E:交集及其运算.【专题】5J:集合.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.【解答】解:由A中不等式变形得:(x﹣3)(x+1)≥0,解得:x≥3或x≤﹣1,即A=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),∵B=[﹣2,2),∴A∩B=[﹣2,﹣1].故选:D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解:==﹣(1+i)=﹣1﹣i,故选:D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),f(﹣x)•g(﹣x)=﹣f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,|f(﹣x)|•g(﹣x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,f(﹣x)•|g(﹣x)|=﹣f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.|f(﹣x)•g(﹣x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,故选:C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.4.(5分)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.m D.3m【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.【解答】解:双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)可化为,∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,∴点F到C的一条渐近线的距离为=.故选:A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.【考点】C6:等可能事件和等可能事件的概率.【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况,周六、周日都有同学参加公益活动,共有24﹣2=16﹣2=14种情况,∴所求概率为=.故选:D.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为()A.B.C.D.【考点】3P:抽象函数及其应用.【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.【解答】解:在直角三角形OMP中,OP=1,∠POM=x,则OM=|cosx|,∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|,其周期为T=,最大值为,最小值为0,故选:C.【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.【考点】EF:程序框图.【专题】5I:概率与统计.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.故选:D.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则()A.3α﹣β=B.3α+β=C.2α﹣β=D.2α+β=【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值.【专题】56:三角函数的求值.【分析】化切为弦,整理后得到sin(α﹣β)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(α﹣β)=cosα,则答案可求.【解答】解:由tanα=,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(α﹣β)=cosα=sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.故选:C.【点评】本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1其中真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【考点】2K:命题的真假判断与应用;7A:二元一次不等式的几何意义.【专题】59:不等式的解法及应用;5L:简易逻辑.【分析】作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可.【解答】解:作出图形如下:由图知,区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域,p1:区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方,故:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2成立;p2:在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内,∃(x,y)∈D,x+2y≥2,故p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2正确;p3:由图知,区域D有部分在直线x+2y=3的上方,因此p3:∀(x,y)∈D,x+2y ≤3错误;p4:x+2y≤﹣1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1错误;综上所述,p1、p2正确;故选:C.【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.2【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求得直线PF的方程,与y2=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求.【解答】解:设Q到l的距离为d,则|QF|=d,∵=4,∴|PQ|=3d,∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2,∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=﹣2(x﹣2),与y2=8x联立可得x=1,∴|QF|=d=1+2=3,故选:B.【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)【考点】53:函数的零点与方程根的关系.【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.【分析】由题意可得f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.【解答】解:∵f(x)=ax3﹣3x2+1,∴f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;①当a=0时,f(x)=﹣3x2+1有两个零点,不成立;②当a>0时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上有零点,故不成立;③当a<0时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(0,+∞)上有且只有一个零点;故f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上没有零点;而当x=时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上取得最小值;故f()=﹣3•+1>0;故a<﹣2;综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2);故选:D.【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题.12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.【解答】解:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C到BD的中点的距离为:4,∴.AC==6,AD=4,显然AC最长.长为6.故选:B.【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为﹣20.(用数字填写答案)【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题;5P:二项式定理.【分析】由题意依次求出(x+y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.【解答】解:(x+y)8的展开式中,含xy7的系数是:8.含x2y6的系数是28,∴(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为:8﹣28=﹣20.故答案为:﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为A.【考点】F4:进行简单的合情推理.【专题】5M:推理和证明.【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.【解答】解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为:A.【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为90°.【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.【解答】解:在圆中若=(+),即2=+,即+的和向量是过A,O的直径,则以AB,AC为邻边的四边形是矩形,则⊥,即与的夹角为90°,故答案为:90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】11:计算题;35:转化思想;48:分析法;58:解三角形.【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解:因为:(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC⇒(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc,又因为:a=2,所以:,△ABC面积,而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以:,即△ABC面积的最大值为.故答案为:.【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.三、解答题17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:a n﹣a n=λ+2(Ⅱ)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.【考点】83:等差数列的性质;8H:数列递推式.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)利用a n a n+1=λS n﹣1,a n+1a n+2=λS n+1﹣1,相减即可得出;(Ⅱ)假设存在λ,使得{a n}为等差数列,设公差为d.可得λ=a n+2﹣a n=(a n+2﹣a n+1)+(a n+1﹣a n)=2d,.得到λS n=,根据{a n}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.【解答】(Ⅰ)证明:∵a n a n+1=λS n﹣1,a n+1a n+2=λS n+1﹣1,∴a n(a n+2﹣a n)=λa n+1+1≠0,∵a n+1∴a n﹣a n=λ.+2(Ⅱ)解:假设存在λ,使得{a n}为等差数列,设公差为d.﹣a n=(a n+2﹣a n+1)+(a n+1﹣a n)=2d,则λ=a n+2∴.∴,,∴λS n=1+=,根据{a n}为等差数列的充要条件是,解得λ=4.此时可得,a n=2n﹣1.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而求出P(187.8<Z<212.2),注意运用所给数据;(ii)由(i)知X~B(100,0.6826),运用EX=np即可求得.【解答】解:(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为:=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(﹣30)2×0.02+(﹣20)2×0.09+(﹣10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2)=0.6826;(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.【考点】M7:空间向量的夹角与距离求解公式;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】5H:空间向量及应用.【分析】(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C ⊥AO,B10=CO,进而可得AC=AB1;(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.【解答】解:(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,又B10=CO,∴AC=AB1,(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO=CO,又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,∴OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为正三角形,又AB=BC,∴A(0,0,),B(1,0,0,),B1(0,,0),C(0,,0)∴=(0,,),==(1,0,),==(﹣1,,0),设向量=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则,可取=(1,,),同理可得平面A1B1C1的一个法向量=(1,﹣,),∴cos<,>==,∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l 的方程.【考点】K4:椭圆的性质;KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)通过离心率得到a、c关系,通过A求出a,即可求E的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx﹣2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)将y=kx﹣2代入,利用△>0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.【解答】解:(Ⅰ)设F(c,0),由条件知,得又,所以a=2,b2=a2﹣c2=1,故E的方程.….(5分)(Ⅱ)依题意当l⊥x轴不合题意,故设直线l:y=kx﹣2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)将y=kx﹣2代入,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,当△=16(4k2﹣3)>0,即时,从而又点O到直线PQ的距离,所以△OPQ的面积=,设,则t>0,,当且仅当t=2,k=±等号成立,且满足△>0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为:y=x﹣2或y=﹣x﹣2.…(12分)【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.21.(12分)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】15:综合题;53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=,只需证明g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得g (x)min,h(x)max;【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+,由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=e x lnx+,∵f(x)>1,∴e x lnx+>1,∴lnx>﹣,∴f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,∴当x∈(0,)时,g′(x)<0;当x∈(,+∞)时,g′(x)>0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=﹣.设函数h(x)=xe﹣x﹣,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.【考点】NB:弦切角;NC:与圆有关的比例线段.【专题】15:综合题;5M:推理和证明.【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E,即可证明△ADE为等边三角形.【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠D=∠CBE,∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上,∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE为等边三角形.【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合;QH:参数方程化成普通方程.【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.选修4-5:不等式选讲24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【考点】RI:平均值不等式.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.(Ⅱ)根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b>8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,∴=+≥2,∴ab≥2,当且仅当a=b=时取等号.∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号.而由(1)可知,2≥2=4>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.。

2014年高中数学题型分析(三角函数大题)

2014年高中数学题型分析(三角函数大题)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编:三角函数(教师)1、(2013年高考北京卷(理))在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos A =,所以s i n A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s 2c o s 13B A =-=.所以sin B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a Cc A==.2、(2013年高考陕西卷(理))已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ)()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ)上的图像知,在,由标准函数时,当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.3、(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在ABC 中,内角,,A B C的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++==求tan α的值. 【答案】由题意得4、(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; [来源:学§科§网](Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】5、(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值; (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】6、(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 【答案】7、(2013年高考四川卷(理))在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos 2BA B =7、(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设△ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos ba c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin 9B ==,由正弦定理得sin sin 3a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.8、(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解:(Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ;解得,令时,当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x所以.]28[]8,0[)(上单调递减,上单调递增;在在πππx f y = 9、(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ==,,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-,又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==10、(2013年高考湖南卷(理))已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解:(I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ11、、(2013年高考湖北卷(理))在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 12、(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.【答案】13、(2013年高考新课标1(理))如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=,∴tan αtan PBA ∠. 14、(2013年高考江西卷(理))在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=.(2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.2014年全国高考理科数学试题分类汇编:三角函数(学生)1、(2013年高考北京卷(理))在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.2、(2013年高考陕西卷(理))已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.3、(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在ABC 中,内角,,A B C的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==求tan α的值. 4、(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; [来源:学§科§网](Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.5、(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值; (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值 6、(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 7、(2013年高考四川卷(理))在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影. 7、(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设△ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.8、(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.9、(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ==,,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.10、(2013年高考湖南卷(理))已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.11、(2013年高考湖北卷(理))在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.12、(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.13、(2013年高考新课标1(理))如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA14、(2013年高考江西卷(理))在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围。

2014全国高考理数试题分类汇编:三角函数

2014全国高考理数试题分类汇编:三角函数

2014全国高考试题分类汇编:三角函数 1.已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (1)若02πα<<,且2sin 2α=,求()f α的值; (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.2.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,且B A c b 2,1,3===.(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求)4sin(π+A 的值.3.已知函数()sin(3)4f x x π=+.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,4()cos()cos 2354f απαα=+,求cos sin αα-的值.4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知,3a b c ≠=22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若4sin 5A = ,求△ABC 的面积.5.某实验室一天的温度(单位:)随时间(单位;h )的变化近似满足函数关系;(1) 求实验室这一天的最大温差;(2) 若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温?6.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===.(1)求cos CAD ∠的值;(2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.7.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,)22a R ππθ∈∈-(1)当2,4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值.8.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.9.已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭,x R ∈. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 10.已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π,且23)125(=πf , (1)求A 的值;(2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)43(θπ-f .11.已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==,函数()f x a b =⋅,且()y f x =的图像过 点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (I )求,m n 的值;(II )将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像,若 ()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.12.ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. (I )若c b a ,,成等差数列,证明:()C A C A +=+sin 2sin sin ;(II )若c b a ,,成等比数列,求B cos 的最小值.13.已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω,x x f 的图像关于直线3π=x 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(I )求ω和ϕ的值;(II )若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值14.已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (2)若02πα<<,且2sin 2α=,求()f α的值; (3)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,且B A c b 2,1,3===.(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求)4sin(π+A 的值.16.已知函数()sin(3)4f x x π=+.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,4()cos()cos 2354f απαα=+,求cos sin αα-的值.17.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知,3a b c ≠=22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若4sin 5A =,求△ABC 的面积.18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===.(1)求cos CAD ∠的值;(2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.19.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,)22a R ππθ∈∈-(1)当2,4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值.20.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.21.已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭,x R ∈. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22.已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π,且23)125(=πf , (1)求A 的值;(2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)43(θπ-f . 23.已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==,函数()f x a b =⋅,且()y f x =的图像过 点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (I )求,m n 的值;(II )将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像,若 ()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.24.ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. (I )若c b a ,,成等差数列,证明:()C A C A +=+sin 2sin sin ; (II )若c b a ,,成等比数列,求B cos 的最小值.25.已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω,x x f 的图像关于直线3π=x 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(I )求ω和ϕ的值;(II )若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.。

2014年高考数学(理)试题分项版解析:专题04 三角函数与解三角形(分类汇编)Word版含解析

2014年高考数学(理)试题分项版解析:专题04 三角函数与解三角形(分类汇编)Word版含解析

1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π=2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<,它们的图像有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 .3. 【2014高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =,则co s C 的最小值是 .【答案】4【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =,4. 【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增5. 【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边,2=a ,且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+,则ABC ∆面积的最大值为____________.又22b c 4bc bc +-=≥,故1S bcsinA 2BAC ∆=≤ 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理;2、()三角形的面积公式.6. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,,则AC=( )A. 5B.C. 2D. 17. 【2014全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.8. 【2014山东高考理第12题】在ABC ∆中,已知tan AB AC A ⋅=,当6A π=时,ABC∆的面积为________.9. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( ) A .向左平行移动12个单位长度 B .向右平行移动12个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度10. 【2014高考广东卷理第12题】在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,已知b B c C b 2cos cos =+,则=ba.11. 【2014全国1高考理第6题】如图,图O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ,则],0[)(π在x f y =的图像大致为( )【考点定位】1.解直角三角形;2、三角函数的图象. 12.【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则( ) (A ) 32παβ-=(B )32παβ+=(C )22παβ-=(D )22παβ+=13. 【2014高考北京版理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性,且2()()()236f f f πππ==-,则()f x 的最小正周期为 .14. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称, 则ϕ的最小正值是________.15. 【2014高考福建卷第12题】在ABC ∆中,60,4,A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________.16. 【2014江西高考理第4题】在ABC ∆中,内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ,若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积( )A.3B.239 C.233 D.3317. .【2014四川高考理第13题】如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67,30,此时气球的高是46m ,则河流的宽度BC 约等于 m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 670.92≈,cos670.39≈,sin 370.60≈,cos370.80≈ 1.73≈)18. 【2014浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像,可以将函数x y 3sin 2=的图像( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位19. 【2014浙江高考理第17题】如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为,某目标点沿墙面的射击线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 .20.【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足,,面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为,记≤≤所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A.8)(>+c b bcB.()ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A 【解析】试题分析:由题设得:()()1sin 2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1sin 2+sin2B+sin 22A C ⇒=21. 【2014陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是( ).2A π .B π .2C π .4D π22. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=,2sin 3sin B C =,则cos A 的值为_______.23. 【2014大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则( )A .a b c >>B .b c a >>C .c b a >>D .c a b >>24. 【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数,则a 的取值范围是 .。

2014年高考数学真题讲解-三角函数

2014年高考数学真题讲解-三角函数

2014年高考数学真题讲解—三角函数主编:宁永辉 主编单位:永辉中学生学习中心本文档是由永辉中学生学习中心原创文档,包含2014年全国高考文科和理科两份三角函数汇编真题,文档中包括大量的知识点讲解,以及解题思路讲解内容,作为高考第一轮复习过程中最细致的一份资料。

2014年高考三角函数文科试题一、选择题:1、【2014年全国高考数学全国卷文科】已知角α的终边经过点)3,4(-,则=αcos ( )A.54 B.53 C.53- D.54- 【解析】:本题考查三角函数终边上任意点的定义,或者直线的斜率与倾斜角之间的关系和同角之间的基本关系和三角函数在四个象限的正负。

【知识点回顾】:(1)、三角函数终边上任意点的定义: 如下图所示:如图上面图形所示: ①、22sin yx y +=α,sin 正弦函数与纵坐标y 的正负有关,y 坐标在第一、二象限为正,第三、四象限为负,所以:正弦函数第一、二象限为正,第三、四象限为负。

②、22cos yx x +=α,cos 余弦函数与横坐标x 的正负有关,x 坐标在第一、四象限为正,第二、三象限为负,所以:余弦函数第一、四象限为正,第二、三象限为负。

③、xy=αtan ,tan 正切函数与横纵坐标y x ,的正负都有关,同号为正,异号为负,第一象限同正,第三象限同负,所以第一、三象限为正,第二、四象限为负,所以:正弦函数第一、三象限为正,第二、四象限为负。

④、总结:三角函数计算式正区间负区间正弦函数sin22sin y x y +=α第一象限 第二象限第三象限 第四象限 余弦函数cos22cos y x x +=α第一象限 第四象限 第二象限 第三象限 正切函数tanxy =αtan 第一象限 第三象限第二象限 第四象限(2)、直线的斜率与倾斜角之间的关系:①、直线的斜率定义:直线方程b kx y +=中的k 为直线的斜率。

②、直线斜率的计算式:),(),,(2211y x y x 为直线b kx y +=上两点,直线斜率:2121x x y y k --=。

2014年高考理科数学真题解析分类汇编:函数专题练习[1]解析

2014年高考理科数学真题解析分类汇编:函数专题练习[1]解析

函数专题练习下列函数中,在区间(0,+R )上为增函数的是()A . y = x + 1B .y = (x — 1)2 C . y = 2 x D .y = log o.5(x + 1)x 2 +1, x>0 ,3.已知函数f(x)=则下列结论正确的是()|cos x , x < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1,+s )4.函数f(x) = ln(x 2 — x)的定义域为()A . (0, 1]B . [0 , 1]C . ( — 3 0) U (1 ,+s )6.[函数y = f(x)的图像与函数y = g(x)的图像关于直线5. 函数f(x)"(log 2x ) 2—1的定义域为 A. 0, 2 B . (2 ,+s ) C.(2,+s )D.U [2 ,+s )7. A . y = g(x) B . y = g( — x) C . y =— g(x)D . y =— g(— x)下列函数中,在区间(0,+s )上为增函数的是( ) A . y = x + 1 B . y = (x — 1)2 C . y = 2 x D . y = log °.5(x + 1) 广2x + 1 , x>0 , & 已知函数f(x)= f 则下列结论正确的是( ) |cos x , x < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1,+s ) 设函数 f(x) - , ( x 2+ 2x + k ) 2+ 2 (x 2+ 2x + k )— 3 ,其中k<— 2. (1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示); ⑵讨论函数f(x)在D 上的单调性;(3)若k< — 6,求D 上满足条件f(x)>f(1)的x 的集合(用区间表示).1设函数 f(x)(x € R )满足 f(x + n )= f(x)+ sin x .当 0< x< n 时,f(x)= 0,贝U f1 A.2B FC . 0D .2. D . ( — 3, 0] U [1,+s )x + y = 0对称,则y = f(x)的反函数是(P■- 4X 2+ 2,— 1 < x<0,10.设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x € [ — 1,1)时,f(x)i则f[2 ;= ________ •x,0 < X <1 ,匕丿11. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 «x)组成的集合:对于函数 0(x),存 在一个正数M ,使得函数 «x)的值域包含于区间[一 M , M].例如,当$1(x)=X 3,如X ) = sin X 时,© 1(x)€ A ,© 2(x)€B.现有如下命题:① 设函数f(x)的定义域为D ,则“ f(x)€ A ”的充要条件是“ ? b € R , ? a € D , f(a)= b ”; ② 函数f(x)€ B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③ 若函数f(x), g(x)的定义域相同,且 f(x)€ A , g(x)€ B ,则f(x)+ g(x)?B ;X④ 若函数 f(x)= aln(x + 2) + -2石(X > — 2, a € R )有最大值,则 f(x) € B. 其中的真命题有 _________ .(写出所有真命题的序号)-2+ 1 , ->0 ,12.已知函数f(x)= <则下列结论正确的是()|cos X , X < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1 ,+s )13.已知f(x), g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且f(x)— g(x)= X 3+ -2 + 1,则f(1)+ g(1)=()A . — 3B . — 1C . 1D . 314•设函数f(-), g(-)的定义域都为 R ,且f(-)是奇函数,g(-)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C . f(x)|g(x)|是奇函数D . |f(x)g(x)|是奇函数15 .已知偶函数f(x)在[0,+^ )单调递减,f(2) = 0,若f(x — 1)>0,则X 的取值范围是 __________________17.若函数y = log a x(a>0,且a ^ 1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是(16 . 若函数 f(x) = cos 2X + asin X 在区间 —,—;是减函数,则a 的取值范围是18. 已知函数 f(x)= 5|X , g(x)= ax 2— x(a € R )•若 f[g(1)] = 1,则 a =( )A . 1B . 2C . 3D . — 11 1 1119. 已知 a = 2— 3, b = Iog 2§, c = log 元,则( )A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a20 .设集合 A = {x||x — 1|v 2}, B = {y|y = 2x , x € [0 , 2]},则 A A B =()A . [0, 2]B . (1 , 3)C . [1 , 3)D . (1 , 4)21.已知实数x , y 满足a x v a y (0 v a v 1),则下列关系式恒成立的是( )11 2 233A. 2 >-2B. ln(x 2+ 1)> In(y 2+ 1) C. sin x >sin y D. x 3>y 3x 十1 y 十122 .下列函数中,满足“ f(x + y) = f(x) •y)”的单调递增函数是( )1 3 WxA . f(x)= x2B . f(x) = xC . f(x)= 2D . f(x)= 323 .已知 4a = 2, Ig x = a ,贝V x = ________ .24 .已知实数x , y 满足a x v a y (0 v a v 1),则下列关系式恒成立的是()1 12 233A. 2 >弋B. In(x + 1)>ln(y + 1)C. sin x >sin yD. x >yx 十1 y 十126 . 若等比数列{ a n }的各项均为正数,且 aean + a g a 12 = 2e 5,则In a 1 + In a 2 +…+ In a 2o = ____________1 1 1127 . 已知 a = 2— 3, b = Iog 2§, c = log 云,则( )A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a1 228 .函数f(x)= Iog2(x — 4)的单调递增区间为( )A . (0,+^ )B .(―汽 0)C . (2,+^ )D . ( — m,— 2)29.在同一直角坐标系中,函数 )25 .函数 f(x) =1(Iog 2x ) 2 的定义域为(—1A.B . (2 ,+s )C. 0, U (2 ,+ )30 .函数 f(x)= Iog2& • log/(2x)的最小值为 ____________1 2 2 231. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x >0 时,f(x)= $(|x — a 2|+ |x — 2a 2|— 3a 2).若? x € R, f(x — 1)< f(x),则实数a 的取值范围为( )32. 已知函数f(x)= |x — 2|+ 1, g(x)= kx ,若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( 0, 2 B. 2 1 C.(1 , 2) D. (2 ,+^ )33.在同一直角坐标系中,函数134.已知函数f(x) = x 2 + e x — 2(x<0)与g(x) = x 2 + ln(x + a)的图像上存在关于 y 轴对称的点,则a 的取值范围是( (—命同D.[-g 越35. 已知函数f(x) = x 2 + 3x|, x € R 若方程f(x)— a|x — 1|= 0恰有4个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为36.已知函数 f(x)= x 3+ ax 2 + bx + c ,且 0<f(— 1) = f( — 2) = f(— 3)< 3,则( )A . c < 3B . 3<c < 6C . 6<c < 9D . c>937. 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )p + q (P + 1) (q+ 1)—1I — /A. 2B. 2 ° pq D. (p +1)( q +1)— 138.如图1-2,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A.6' 6B. C. 1 11 3,3D.A.A . i, ―)B . i, e) C.码,)图1-2A.y=在x3-5xB. 2 3 4y=质x-5x C.y = 2x3- x D .y —2x3+1x y125x40.曲线y= e-5x+ 2在点(0, 3)处的切线方程为_____________41.若曲线y = e-x上点P处的切线平行于直线2x+ y+ 1 = 0,则点P的坐标是42.已知函数f(x)= (x2+ bx+ b) 1 —2x(b € R).(1)当b= 4时,求f(x)的极值;⑵若f(x)在区间0, 3上单调递增,求b的取值范围.43 •曲线y= xe x—1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2eB. eC. 2D. 144.设曲线y= ax—In(x+ 1)在点(0, 0)处的切线方程为y= 2x,则a =( )A. 0B. 1 C . 2 D . 345 .已知函数f(x)= ax3—3x2+ 1,若f(x)存在唯一的零点x°,且x0>0,则a的取值范围是()A . (2,+^ )B . (1,+^ )C . ( — g, 2)D . ( — g, —1)46.如图1-4,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为147.若函数f(x), g(x)满足f(x)g(x) dx = 0,则称f(x) , g(x)为区间[—1, 1]上的一组正交函数,给出三组函数:* — 11 1 2① f(x) = singx , g(x) = cosqx :②f(x) = x +1, g(x) = x — 1;③f(x) = x , g(x) = x .其中为区间[—1, 1]上的正交函数 的组数是()A . 0B . 1C . 2D . 32 n48. 已知函数f(x)= sin(x —妨,且/ —of(x) dx = 0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是49.若 f(x)= x 2 + 2 J f(x)dx ,则'1f(x)dx =( )* 0 * 01 1A . — 1B . — 3C .3D . 150.直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 22 B. 42 C. 2 D. 451 .定积分J (2x + e x )dx 的值为()2 0A . e + 2B . e + 1C . eD . e — 152.已知 f(x)= ln(1 + x)— ln(1 — x), x € (— 1, 1).现有下列命题:f 2x 、①f( — x) = — f(x);②f =2f(x);③|f(x)p 2|x|.其中的所有正确命题的序号是 ( )A .①②③B .②③C .①③D .①②y 轴对称的点,则a 的取值范围是(54. 设f(x)是定义在(0,+^ )上的函数,且f(x)>0,对任意a>0, b>0,若经过点(a , f(a)), (b , — f(b))的直线 与x 轴的交点为(c , 0),则称c 为a , b 关于函数f(x)的平均数,记为 M f (a , b),例如,当f(x)= 1(x>0)时,可得M f (a ,a + bb) = c =—厂,即M f (a , b)为a , b 的算术平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可 )55. 已知定义在[0, 1]上的函数f(x)满足:A . x = 5 n"67n x =12(1) 当 f(x) = (2) 当 f(x) = _______ (x>0)时, _______ (x>0)时, M f (a , b)为a , b 的几何平均数; M f (a , b)为a , b 的调和平均数 2aba + b53 .已知函数f(x) = x 2+ e x — *x<0)与g(x)= x 2 + In(x + a)的图像上存在关于① f(0) = f(1) = 0;②对所有x, y€ [0, 1],且X M y,有|f(x) —f(y)|<;|x—y|. 若对所有x, y € [0, 1], |f(x)—f(y)|<k恒成立,则k的最小值为()1111込 B.4D.856. 以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数M组成的集合:对于函数0(x),存在一个正数M,使得函数«x)的值域包含于区间[一M , M].例如,当O i(x)= x3,规(x) = sin x时,©i(x)€ A, © 2(x)€ B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“ f(x)€ A”的充要条件是“ ? b € R, ? a € D , f(a)= b”;②函数f(x)€ B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x), g(x)的定义域相同,且f(x)€ A, g(x)€ B,则f(x)+ g(x)?B;x④若函数f(x)= aln(x+ 2) + -2—^(x> —2, a€ R)有最大值,则f(x) € B.x ~—I其中的真命题有_________ .(写出所有真命题的序号)2 2 1 i 、57. 设函数f i(x) = x , f2(x)= 2(x—x ), f3(x) = §|sin 2n x|, a i = 99, i= 0, 1, 2,…,99.记l k=l f k(a i)—f k(a o)|+ |f k(a2)—fg)—…+ |f k(a99)—f k(a98)|, k= 1, 2, 3,则( )A . I1<l2<l3B . I2<I1<I 3C . I1<I 3<I2D . I3<l2<l1x2+ x, x<0,58. [2014浙江卷]设函数f(x) = 2 若f[f(a)] < 2,则实数a的取值范围是____________ .——, x》0.11. ①③④ [解析]若f(x) € A ,则f(x)的值域为R ,于是,对任意的b € R ,一定存在a € D ,使得f(a) = b ,故 ①正确.取函数f(x)= x(- 1 < x < 1),其值域为(—1, 1),于是,存在M = 1,使得f(x)的值域包含于[—M , M ] = [- 1 , 1], 但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.当f(x) € A 时,由①可知,对任意的b € R ,存在a € D ,使得f(a)= b ,所以,当g(x) € B 时,对于函数f(x) + g(x), 如果存在一个正数M ,使得f(x) + g(x)的值域包含于[—M , M ],那么对于该区间外的某一个b °€ R ,一定存在一个a 0 € D ,使得 f(a °)=b — g(a 0),即卩 f(a °) + g(a °) = b °?[ — M , M ],故③正确.x对于f(x) = aln(x + 2) + PR (x >- 2),当a > 0或a < 0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,答案11 nn . 5 n =sin - 6 61 2.2. A [解析]由基本初等函数的性质得,选项 上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.B 中的函数在(0, 1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+^ )3. D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(- 1) = cos(- 1) = cos 1, 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝y f(x)在区间(0,+8 )上是增函数,且函数值 f(1)M f(- 1),贝y f(x)不是偶函数; f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(一g, 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [ — 1, 1];•••函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为 [—1,+^ ).4. C [解析]由 x 2- x>0,得 x>1 或 x<0.5. C [解析]根据题意得,x > 0, (lOg 2)X> 0,2- 1 >0,解得x >2或x <1故选C.6. D [解析]设(X 0, y 0)为函数y = f(x)的图像上任意一点,其关于直线 x + y = 0的对称点为(—y °,一 x 0).根据 题意,点(—y 0,- X 0)在函数y = g(x)的图像上,又点(X 0 , y °)关于直线y =x 的对称点为(y 0, X 0),且(y 0, x 0)与(—y 0,—x 0)关于原点对称,所以函数y = f(x)的反函数的图像与函数y = g(x)的图像关于原点对称,所以-y = g(-x),即y=-g( - x).7. A [解析]由基本初等函数的性质得,选项 上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.B 中的函数在(0, 1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+g )& D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(- 1) = cos(- 1) = cos 1, 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝U f(x)在区间(0,+g )上是增函数,且函数值f(1)M f(- 1),贝U f(x)不是偶函数; f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(-g, 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [- 1, 1];•函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[—1,+g ).1. A [解析]由已知可得,f心=fi n6 . 6siJ!n + sin^6 6+ sin10. 1 [解析]由题意可知,1 1 1 1 1易知f(x) € — 2,2,所以存在正数 M = 2,使得f(x) € [ — M , M ],故④正确.12. D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(— 1) = cos(— 1) = cos 1, f(1)丰 f(— 1),则 f(x)不是偶函数; 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝U f(x)在区间(0,+^ )上是增函数,且函数值 f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(一汽 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [ — 1, 1];•••函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[—1,+^ ).13. C [解析]因为 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(1) + g(1) = f( — 1) — g(— 1)= (— 1) + (— 1) + 1= 1. 14. C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为 C.15.(— 1, 3)[解析]根据偶函数的性质,易知 f(x)>0的解集为(—2, 2),若f(x — 1)>0,则—2<x — 1<2,解得 —1<x<3.16. (— ^, 2][解析]f(x)= cos 2x + as in x =— 2si n x + asi n x + 1,令 si n x = t ,贝 U f(x) = — 2t + at + 1•因为 x € 時,n ,所以 t € g, 1 ,所以 f(x) = — 2t 2+ at + 1, t € £, 1 J 因为 f(x)= cos 2x + asin x 在区间 肓,j 是减函数, 所以f(x) = — 2t 2+ at + 1在区间1, 1上是减函数,又对称轴为 x =罗,•学2,所以a € ( — ^, 2].17. B [解析]由函数y = log a x 的图像过点(3, 1),得a = 3. 选项A 中的函数为y = 3,则其函数图像不正确;选项的函数为y = (— x)3,则其函数图像不正确;选项 D 中的函数为y = log 3(— x),则其函数图像不正确.18.A[解析]g(1) = a — 1,由 f [g(1)] = 1,得 5|a "= 1,所以 |a — 1|= 0,故 a = 1.19. C [解析]因为 0<a = 2 — 3<1 , b = Iog 2§<0, c = log 刃>log^ = X 所以 c>a>b.20. C [解析]根据已知得,集合 A = {x|— 1v x v 3}, B = {y|1< y < 4},所以 A n B = {x|1<x v 3}.故选 C.1 121. D [解析]因为 a x v a y (0v a v 1),所以 x >y ,所以 sin x >sin y , ln(x 2 +1)>ln(y 2 + 1), 定正确,故选D.22.B [解析]由于f(x + y) = f(x)f(y),故排除选项 A , C.又f(x)= *为单调递减函数,所以排除选项D.__ 1 1 1 ___________________________________________________________23. ,10 [解析]由 4a = 2,得 a = ^,代入 lg x = a ,得 lg x = p 那么 x = 10? = . 10.24. D [解析]因为 a x v a y (0v a v 1),所以 x >y ,所以 sin x >sin y ,ln(x 2+1)>In(y 2 + 1),尹+门 定正确,故选D.X> 0,解得 1故选C.x > 2或x v ?.B 中的函数为y = x 3,则其函数图像正确;选项25. C [解析]根据题意得, 爲 2—1> 0,526. 50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质••••{a n }为等比数列,且 a io a ii + a g a i2= 2e ,55二 a i°a ii + a g a i2=2a i°a ii = 2e ,二 a i°a ii = e ,• • In a i + In a ?+…+ In a 20=In (a i a 2 …a 2o )= In (a io a ii/0 = In (e)" = In e'° = 50.” —「,1111 11 * 才,27. C [解析]因为 0<a = 2-3<1 , b = Iog 2§<0, c = log刃'log^ =1,所以 c>a>b.28. D [解析]要使f(x)单调递增,需有宀4>°,解得x<-2. x<0,29. D [解析]只有选项D 符合,此时0<a<1,幕函数f(x)在(0,+^ )上为增函数,且当x € (0, 1)时,f(x)的 图像在直线y = x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+^ )上为减函数,故选D.1 2 2 2 2 12 2231.B [解析]因为当 x >0 时,f(x) = q (|x -a |+ |x — 2a|-3a ),所以当 0W x < a 时,f(x) = ^(a - x + 2a — x — 3a ) =-x ;当 a 2<x<2a 2 时,f(x) = 1(x - a 2+ 2a 2-x - 3a 2) = - a 2; 当 x >2a 2时,f(x) = *(x — a 2+ x — 2a 2— 3a 2) = x — 3a 2.x , 0W x < a 2,22小2—a , a <x<2a ,x 3a , x — 2a .30.— 14,所以当[解析]f(x) = Iog 2 x • log 2(2x)=1 4.1^Iog 2 x • 2log 2(2x) = Iog 2x • (1 + log 2X )= (log 2x)+ log 2x = T f —综上,f(x)=x =,函数f(x)取得最小值- W *■/.故选 B.32. B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实数,则函数 f(x), g(x)有两1个交点,则k > ,且k v 1.故选B.33.D [解析]只有选项D 符合,此时0<a<1,幕函数f(x)在(0,+^ )上为增函数,且当x € (0, 1)时,f(x)的 图像在直线y = x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+^ )上为减函数,故选 D. 34. B [解析]依题意,设存在 P(- m , n)在f(x)的图像上,贝UQ(m , n)在g(x)的图像上,则有 m 2+ e m —-=m 2 + ln(m + a),解得 m + a = ee _m — 3,即卩 a = ee _m —?— m(m >0),可得 a € (— a, e).35. (0, 1) U (9,+a )[解析]在同一坐标系内分别作出y = f(x)与y = a|x — 1|的图像如图所示.当y = a|x —1|r2—ax + a =一 x 一3x , 2 2 2 七 整理得 x 2+ (3 — a)x + a = 0,则△ = (3 — a)2— 4a = a 2— 10a + 9 = 0,a>0,36. C [解析]由 f( — 1) = f( — 2) = f( — 3)得? f = 6, 则 f(x)= x 3+ 6x 2 + 11x + c ,而 0<f(— 1)w 3,故 0< — 6+ c < 3, b = 11, 37. D [解析]设年平均增长率为 x ,则有(1 + p)(1 + q)= (1 + x)2,解得x = , (1 + p )( 1 + q )— 1.与y = f(x)的图像相切时,由—1 + a — b + c =— 8 + 4a — 2b + c ,—8 + 4a — 2b + c =— 27+ 9a — 3b + c—7+ 3a — b = 0, 19 — 5a + b = 0 6<c W 9,故选 C.=0.联立厂 125a 一 5c = 2,75a + c = 0,/ =盍,解得故该三次函数的解析式为_丄3 3 y= 125x 一 5x38. A [解析]设该三次函数的解析式为y= ax3+ bx2+ cx + d•因为函数的图像经过点(0, 0),所以d= 0,所以y = ax3+ bx2 + cx.又函数过点(一5, 2), (5,—2),则该函数是奇函数,故b = 0,所以y = ax3+ cx,代入点(一5, 2) 得—125a —5c= 2•又由该函数的图像在点(—5, 2)处的切线平行于x轴,y'= 3ax2+ c,得当x=—5时,y'= 75a + c_ 5x40.y =- 5x + 3 [解析]本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法•因为 y=_ 5e _,所以切线的斜率 k =_ 5e 0=_ 5,所以切线方程是:y — 3 =_ 5(x _ 0),即 y =— 5x + 3.一 x41.(— In 2, 2)[解析]设点P 的坐标为(x o , y o ), y '=— e .又切线平行于直线2x + y + 1 = 0,所以—e _x o =_ 2,可得x o =_ In 2,此时y = 2,所以点P 的坐标为(一In 2 , 2).—5x (x + 2)42. ----------------------------------------------------------- 解:(1)当 b = 4 时,f' x)= ,由 f 'x)= 0,得 x =_ 2 或 x = 0.\1 — 2x所以b 的取值范围为(_R, £] 43. C [解析]因为y'= (xe x 1) = e x 1 + xe x 1,所以 y = xe x1在点(1, 1)处的导数是 y '=l= e 11+ e 11=2,故曲线y = xe x —1在点(1, 1)处的切线斜率是 2.144. D [解析]y = a _石,根据已知得,当x = 0时,y ' = 2,代入解得a = 3. 45. C [解析]当a = 0时,f(x)=_ 3x 2 + 1,存在两个零点,不符合题意,故 a 丰0.由 f 'x(= 3ax 2— 6x = 0,得 x = 0 或 x = 2 a若a>0,则f(x)极大值=f(0) = 1>0,此时函数f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意. 综上可知,实数a 的取值范围为(一a, — 2). 246. -2 [解析]因为函数y = In x 的图像与函数y = e x 的图像关于正方形的对角线所在直线 y = x 对称,则图中的e两块阴影部分的面积为eS = 2 e ln xdx = 2(xln x — x)|1 = 2[(eln e — e)_ (In 1 — 1)] = 2,*12 故根据几何概型的概率公式得,该粒黄豆落到阴影部分的概率P =与e47.C [解析]由题意,要满足f(x) ,所以当x € (―汽―2)时,f'x)<0, f(x)单调递减;当x € (— 2, 0)时,f 'x)>0, f(x)单调递增;当f'x)<0, f(x)单调递减,故f(x)在x =_ 2处取得极小值f(— 2) = 0,在x = 0处取得极大值 —x[5x +( 3b — 2) ] 一”’ _ f 11, 一 x (2)f'x)= f(0) = 4..1 — 2x 依题意当x € 0, 3时,有,易知当x €卩舟”产瓦<0,5 5x + (3b — 2)< 0,从而-+ (3b _ 2)< 0,得3只需 若a<0,则函数f(x)的极大值点为 x = 0,且 f(x) 极大值 =f(0) = 1,极小值点为2 口 x =:,且f(x)极小值=f2 a 2— 42 = 丁,此时2a — 4 >0, a ,即可解得 a< —2;g(x)是区间[—1, 1]上的正交函数,即需满足11 f(x)g(x) dx = 0.* -1①f(x)g(x) dx= sin^xcos^xdx =打1 sinxdx= (一*cos x 丿_ 1 = 0,故第①组是区间[—1, 1]上的正交函数;'_ 1 ' _ 1 '-1②d f(x)g(x) dx= d (x+ 1)(x —1)dx =〒—x —1 = _彳工0,故第②组不是区间[—1, 1]上的正交函数;'_ 1 ' _ 1418③f f(x)g(x) dx = f x • x 2dx =竽1= 0,故第③组是区间[—1,1]上的正交函数.,—1 ,— 1 综上,是区间[—1, 1]上的正交函数的组数是 2.故选C. 2 n 2 n 2 n[解析]因为 / 丁0f(x) dx = 0,即 / —0f(x) dx =— cos(x — ©才0=—cos5 n x = ~6-是函数f(x)图像的一条对称轴.=x(x>0).48. A49. B[解析]f f(x)dx =「■ 0■ 0+ 2f (x ) dx dx =1 3.50. D [解析]直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限的交点坐标是(2, 8),所以两者围成的封闭图形的面积为 3(4x — x )dx =2x 2—步4 ; 0 = 4,故选 D.51 . C [解析]J (2x + e x )dx = (x 2 + e x )J = (12+ e 1)— (02 + e 0)= e.” 052. Ad yd I y[解析]f(— x)= ln(1 — x)— ln(1 + x) = In ~ =— ln =— [ln (1 + x )— ln (1 — x )]1 + x 1 — x2x=—f(x),故①正确;当 x € ( — 1, 1)时,1+2€ (— 1, 1),且 fI I .X. .1 + x 2 + 2x . =ln 2 = ln 1 + x 2 — 2x由①知,f(x)为奇函数,所以|f(x)|为偶函数,则只需判断当x € [0 , 1)时,f(x)与2x 的大小关系即可.记 g(x)= f(x) — 2x , 0 < x v 1,彳 + x 2 1 + x 1+x = 2ln L = 2[ln(1 + x) — ln(1 - x)] = 2f(x),故②正确;即 g(x)= ln(1 + x)— ln(1 — x)— 2x , 0< x<1 , g ' (x)= — + 丄—2=-^, 0< x v 1.1 + x 1 — x 1 — x 即g(x)在[0, 1)上为增函数,且g(0) = 0,所以g(x)> 0,1),于是|f(x)| >2|x|正确.综上可知,①②③都为真命题,故选A.当0 < x v 1时, 即 f(x) — 2x >0,g'x) > 0,x € [0,53. B [解析] 依题意, m 2+ In (m + a),解得 m + a = 设存在 P(— m , n)在f(x)的图像上,贝U Q(m , n)在g(x)的图像上,则有 —1 —1ee m — 2,即 a = ee m —?— m(m >0),可得 a € (— 8, m 2+ e -m —壬.e).54. (1) .x (2)x(或填(1)k 1 .x ; (2)k 2x ,其中 k 1, k ?为正常数) [解析]设 A(a , f(a)), B(b ,— f(b)), C(c , 0),则此三点共线:0 — f (a ) = 0+ f (b ) 即 c — a c— b ab — a Jab — bb>0,所以化简得f ) = f#,故可以选择f(x) = Vx(x>0); 0| f (b),因为a>0, b>0,所以化简得 2ab ,—b a + b(1)依题意,因为a>0. ⑵依题意,........ 需c —迪则 0―f (a )c= a + b ‘ 则 2ab a —a a + b0— f (a ) 0+ f (b ) f (a ) _f (b ) a =故可以选择f(x)cos © = 0,可取 ©?+ 仔:f ( x ) 1 1 1 =Q + 2' f(x)dx ,得'f(x)dx = ■ 0 ■ 055. B [解析]不妨设0 w y<x w 1.1 ill当 x — y < 2时,f(x) — f(y)l<2lx — y|=2(x — y)w 4.1 1 当 x — y>2时,|f(x) — f(y)|= |f(x) — f(1) — (f(y) — f(0))| w |f(x) — f(1)| + |f(y) — f(0)|<111 1 1 斗 1|x — 1|+ 2|y — 0|= —2(x — y)+ 2<4.故 k min — 4.56.①③④ [解析]若f(x)€ A ,则f(x)的值域为R ,于是,对任意的b € R ,一定存在a € D ,使得f(a) = b ,故①正确.取函数f(x)= x( — 1 v x v 1),其值域为(—1, 1),于是,存在M = 1,使得f(x)的值域包含于[—M , M ] = [ — 1 , 1], 但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.当f(x) € A 时,由①可知,对任意的b € R ,存在a € D ,使得f(a)= b ,所以,当g(x) € B 时,对于函数f(x) + g(x), 如果存在一个正数M ,使得f(x) + g(x)的值域包含于[—M , M ],那么对于该区间外的某一个b °€ R ,一定存在一个a 0 € D ,使得 f(a °)=b — g(a 0),即卩 f(a °) + g(a °) = b °?[ — M , M ],故③正确.x对于f(x) = aln(x + 2) + 2 , 1 (x >— 2),当a >0或a v 0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,x只有 a = 0,此时 f(x) = x ?+ 1 (x >— 2).-1111 一易知f(x) € — 2, 2,,所以存在正数 M = 2,使得f(x) € [ — M , M ],故④正确.1 I 3= §sin血 2n X 99 -sin 2n X 器=58.(―汽 2][解析]函数f(x)的图像如图所示,令t = f(a),则f(t )w 2,由图像知t >— 2,所以f(a)>— 2,则 a w 2.\ y t1\)■=-2——\i : 2 - Xx只有 a = 0,此时 f(x) = T(x >— 2).° -仁2©9丿(99 992=992= 1;对于 i 2, 2100X 98 99 — 1h<1.2 9999 由于2」——L 丄仁译 9999 =1 , 2,…,99),故-丄, 250 (98+ 0) —扁丿 + 百丿=992|100— 2i|(i =1,2,…,99),故 I 2=992X 2X 57. B [解析]对于11,由于sin 2 n X 99 — sin 2n X 2nX 99 — sin 2n X …+ 1 2sin [2 n X 2sin 2 n X4>1.故丨2<11<13,故选 B.x + 1。

最新2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编(经典版)

最新2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编(经典版)

2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编目录A单元集合与常用逻辑用语 (2)B单元函数与导数 (7)C单元三角函数 (52)D单元数列 (85)E单元不等式 (102)F单元平面向量 (120)G单元立体几何 (128)H单元解析几何 (204)I单元统计 (266)J单元计数原理 (274)K单元概率 (279)L单元算法初步与复数 (312)M单元推理与证明 (324)N单元选修4系列 (333)A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1.[2014·北京卷] 已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0} B.{0,1}C.{0,2} D.{0,1,2}1.C[解析] ∵A={0,2},∴A∩B={0,2}∩{0,1,2}={0,2}.15.、[2014·福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.15.6[解析] 若①正确,则②③④不正确,可得b≠1不正确,即b=1,与a=1矛盾,故①不正确;若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得d=4;由a≠1,b≠1,c≠2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4.若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得d=4;由②不正确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4;若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得满足条件的有序数组为a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2;综上所述,满足条件的有序数组的个数为6.1.[2014·广东卷] 已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2,},则M∪N=()A.{0,1} B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}1.C[解析] 本题考查集合的运算.因为M={-1,0,1},N={0,1,2},所以M∪N ={-1,0,1,2}.3.[2014·湖北卷] U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.C[解析] 若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C,则可以推出A∩B=∅;若A∩B=∅,由维思图可知,一定存在C=A,满足A⊆C,B⊆∁U C,故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充要条件.故选C.1.[2014·辽宁卷] 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=() A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}1.D[解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)={x|0<x<1}.2.、[2014·全国卷] 设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=() A.(0,4] B.[0,4)C.[-1,0) D.(-1,0]2.B[解析] 因为M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以M∩N ={x|-1<x<4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<4}.1.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B =()A.[-2,-1] B.[-1,2)B.[-1,1] D.[1,2)1.A[解析] 集合A=(-∞,-1]∪[3,+∞),所以A∩B=[-2,-1].1.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=() A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}1.D[解析] 集合N=[1,2],故M∩N={1,2}.2.,[2014·山东卷] 设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=() A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)2.C[解析] 根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x <3}.故选C.1.[2014·陕西卷] 设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)1.B[解析] 由M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|-1<x<1,x∈R},得M∩N =[0,1).1.[2014·四川卷] 已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=() A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1}C.{0,1} D.{-1,0}1.A[解析] 由题意可知,集合A={x|-1≤x≤2},其中的整数有-1,0,1,2,故A∩B ={-1,0,1,2},故选A.19.、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.19.解:(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2²2+x3²22,x i∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i =1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q-1)(1-q n-1)1-q-q n-1=-1<0,所以s <t . 1.[2014·浙江卷] 设全集U ={x ∈N |x ≥2},集合A ={x ∈N |x 2≥5},则∁U A =( )A .∅B .{2}C .{5}D .{2,5}1.B [解析] ∁U A ={x ∈N |2≤x <5}={2},故选B. 11.[2014·重庆卷] 设全集U ={n ∈N |1≤n ≤10},A ={1,2,3,5,8},B ={1,3,5,7,9},则(∁U A )∩B =________.11.{7,9} [解析] 由题知∁U A ={4,6,7,9,10}, ∴(∁U A )∩B ={7,9}.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 2.[2014·安徽卷] “x <0”是“ln(x +1)<0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 2.B [解析] ln(x +1)<0⇔0<1+x <1⇔-1<x <0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所“x <0”是“ln(x +1)<0”的必要不充分条件.5.[2014·北京卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.D [解析] 当a 1<0,q >1时,数列{a n }递减;当a 1<0,数列{a n }递增时,0<q <1.故选D.6.、[2014·福建卷] 直线l :y =kx +1与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件6.A [解析] 由直线l 与圆O 相交,得圆心O 到直线l 的距离d =1k 2+1<1,解得k ≠0. 当k =1时,d =12,|AB |=2r 2-d 2=2,则△OAB 的面积为12³2³12=12;当k =-1时,同理可得△OAB 的面积为12,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件.3.[2014·湖北卷] U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.C [解析] 若存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ,则可以推出A ∩B =∅;若A ∩B =∅,由维思图可知,一定存在C =A ,满足A ⊆C ,B ⊆∁U C ,故“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的充要条件.故选C.8.[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A .真,假,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假 8.B [解析] 设z 1=a +b i ,z 2=a -b i ,且a ,b ∈R ,则|z 1|=|z 2|=a 2+b 2,故原命题为真,所以其否命题为假,逆否命题为真.当z 1=2+i ,z 2=-2+i 时,满足|z 1|=|z 2|,此时z 1,z 2不是共轭复数,故原命题的逆命题为假.7.[2014·天津卷] 设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 7.C [解析] 当ab ≥0时,可得a >b 与a |a |>b |b |等价.当ab <0时,可得a >b 时a |a |>0>b |b |;反之,由a |a |>b |b |知a >0>b ,即a >b .2.、[2014·浙江卷] 已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,得“a =b =1”是“(a +b i)2=2i ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件2.A [解析] 由a ,b ∈R ,(a +b i)2=a 2-b 2+2ab i =2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2=0,2ab =2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-1.故选A. 6.[2014·重庆卷] 已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x >0,q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .綈p ∧綈qC .綈p ∧qD .p ∧綈q6.D [解析] 根据指数函数的图像可知p 为真命题.由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件,所以q 为假命题,所以綈q 为真命题,所以p ∧綈q 为真命题.A3 基本逻辑联结词及量词 5.[2014·湖南卷] 已知命题p :若x >y ,则-x <-y ,命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ;③p ∧(綈q );④(綈p )∨q 中,真命题是( ) A .①③ B .①④ C .②③ D .②④5.C [解析] 依题意可知,命题p 为真命题,命题q 为假命题.由真值表可知p ∧q 为假,p ∨q 为真,p ∧(綈q )为真,(綈p )∨q 为假.5.、[2014·辽宁卷] 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q ) 5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题.9.、[2014²新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D ,有下面四个命题:p 1:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≥-2,p 2:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≥2, p 3:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≤3,p 4:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≤-1. 其中的真命题是( ) A .p 2,p 3 B .p 1,p 2 C .p 1,p 4 D .p 1,p 39.B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示,设目标函数z =x +2y ,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,-1)处取得最小值,且z min =2-2=0,即x +2y 的取值范围是[0,+∞),故命题p 1,p 2为真,命题p 3,p 4为假.A4 单元综合2.[2014·福州期末] 已知全集U =R ,集合A ={1,2,3,4,5},B =[3,+∞),则图X1­1中阴影部分所表示的集合为(A .{0,1,2}B .{0,1}C .{1,2}D .{1}2.C [解析] 由题意,阴影部分表示A ∩(∁U B ).因为∁U B ={x |x <3},所以A ∩(∁U B )={1,2}.4.[2014·湖南十三校一联] 下列说法正确的是( )A .命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1”B .命题“∃x 0∈R ,x 20+x 0-1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+x -1>0” C .命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题为假命题 D .若“p 或q ”为真命题,则p ,q 中至少有一个为真命题4.D [解析] A 中否命题应为“若x 2≠1,则x ≠1”;B 中否定应为“∀x ∈R ,x 2+x -1≥0”;C 中原命题为真命题,故逆否命题为真命题;易知D 正确.6.[2014·郑州质检] 已知集合A ={x |x >2},B ={x |x <2m },且A ⊆(∁R B ),则m 的值可以是( )A .1B .2C .3D .46.A [解析] 易知∁R B ={x |x ≥2m },要使A ⊆(∁R B ),则2m ≤2,∴m ≤1,故选A.9.[2014·湖北八市联考] 已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪y -3x -2=3,N ={(x ,y )|ax +2y +a =0},且M ∩N =∅,则a =( )A .-6或-2B .-6C .2或-6D .-29.A [解析] 易知集合M 中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点.要使M ∩N =∅,则N 中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线,或过(2,3)点且斜率不为3的直线,∴-a2=3或2a +6+a =0,∴a =-6或a =-2.11.[2014·吉林实验中学模拟] 已知集合A ={1,2a },B ={a ,b }.若A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,则A ∪B=____________.11.{-1,12,1} [解析] ∵A ∩B =12,∴2a =12,∴a =-1,∴b =12,∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,12,B=-1,12,∴A ∪B ={-1,12,1}.12.[2014·杭州一模] “λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的____________条件.12.充分不必要 [解析] ∵{a n }为递增数列⇔a n +1>a n ⇔2n +1-2λ>0⇔2n +1>2λ⇔3>2λ⇔λ<32,∴“λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的充分不必要条件.B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 6.[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时,f (x )=0,则f ⎝⎛⎭⎫23π6=( )A.12B.32 C .0 D .-126.A [解析] 由已知可得,f ⎝⎛⎭⎫23π6=f ⎝⎛⎭⎫17π6+sin 17π6=f ⎝⎛⎭⎫11π6+sin 11π6+sin 17π6 =f ⎝⎛⎭⎫5π6+sin 5π6+sin 11π6+sin 17π6=2sin 5π6+sin ⎝⎛⎭⎫-π6=sin 5π6=12.2.、[2014·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =x +1B .y =(x -1)2C .y =2-x D .y =log 0.5(x +1)2.A [解析] 由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.7.、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1;当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞). 2.[2014·江西卷] 函数f (x )=ln(x 2-x )的定义域为( ) A .(0,1] B .[0,1]C .(-∞,0)∪(1,+∞)D .(-∞,0]∪[1,+∞) 2.C [解析] 由x 2-x >0,得x >1或x <0.3.,[2014·山东卷] 函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞) C. ⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) D. ⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) 3.C [解析] 根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2)2-1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x >2或x <12.故选C.B2 反函数 12.[2014·全国卷] 函数y =f (x )的图像与函数y =g (x )的图像关于直线x +y =0对称,则y =f (x )的反函数是( )A .y =g (x )B .y =g (-x )C .y =-g (x )D .y =-g (-x )12.D [解析] 设(x 0,y 0)为函数y =f (x )的图像上任意一点,其关于直线x +y =0的对称点为(-y 0,-x 0).根据题意,点(-y 0,-x 0)在函数y =g (x )的图像上,又点(x 0,y 0)关于直线y =x 的对称点为(y 0,x 0),且(y 0,x 0)与(-y 0,-x 0)关于原点对称,所以函数y =f (x )的反函数的图像与函数y =g (x )的图像关于原点对称,所以-y =g (-x ),即y =-g (-x ).B3 函数的单调性与最值 2.、[2014·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =x +1 B .y =(x -1)2C .y =2-x D .y =log 0.5(x +1)2.A [解析] 由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.7.、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1;当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).21.、[2014·广东卷] 设函数f (x )=1(x 2+2x +k )2+2(x 2+2x +k )-3,其中k <-2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示); (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性;(3)若k <-6,求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示). 12.[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ⎝⎛⎭⎫32=________. 12.1 [解析] 由题意可知,f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫2-12=f ⎝⎛⎭⎫-12=-4⎝⎛⎭⎫-122+2=1. 15.,[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合:对于函数φ(x ),存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[-M ,M ].例如,当φ1(x )=x 3,φ2(x )=sin x 时,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题:①设函数f (x )的定义域为D ,则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f (a )=b ”; ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值;③若函数f (x ),g (x )的定义域相同,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,则f (x )+g (x )∉B ;④若函数f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1(x >-2,a ∈R )有最大值,则f (x )∈B .其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)15.①③④ [解析] 若f (x )∈A ,则f (x )的值域为R ,于是,对任意的b ∈R ,一定存在a ∈D ,使得f (a )=b ,故①正确.取函数f (x )=x (-1<x <1),其值域为(-1,1),于是,存在M =1,使得f (x )的值域包含于[-M ,M ]=[-1,1],但此时f (x )没有最大值和最小值,故②错误.当f (x )∈A 时,由①可知,对任意的b ∈R ,存在a ∈D ,使得f (a )=b ,所以,当g (x )∈B 时,对于函数f (x )+g (x ),如果存在一个正数M ,使得f (x )+g (x )的值域包含于[-M ,M ],那么对于该区间外的某一个b 0∈R ,一定存在一个a 0∈D ,使得f (a 0)=b -g (a 0),即f (a 0)+g (a 0)=b 0∉[-M ,M ],故③正确.对于f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1 (x >-2),当a >0或a <0时,函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有最大值,只有a =0,此时f (x )=xx 2+1(x >-2).易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤-12,12,所以存在正数M =12,使得f (x )∈[-M ,M ],故④正确. 21.,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围. 21.解:(1)由f (x )=e x -ax 2-bx -1,得g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b . 所以g ′(x )=e x -2a .当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ].当a ≤12时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ; 当a ≥e2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ;当12<a <e2时,令g ′(x )=0,得x =ln(2a )∈(0,1),所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增,于是,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b .综上所述,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当12<a <e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点,则由f (0)=f (x 0)=0可知,f (x )在区间(0,x 0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则g (x )不可能恒为正,也不可能恒为负. 故g (x )在区间(0,x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上单调递增,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点;当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上单调递减,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增. 因此x 1∈(0,ln(2a )],x 2∈(ln(2a ),1),必有 g (0)=1-b >0,g (1)=e -2a -b >0. 由f (1)=0得a +b =e -1<2,则g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0, 解得e -2<a <1.当e -2<a <1时,g (x )在区间[0,1]内有最小值g (ln(2a )). 若g (ln(2a ))≥0,则g (x )≥0(x ∈[0,1]),从而f (x )在区间[0,1]内单调递增,这与f (0)=f (1)=0矛盾,所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0.故此时g (x )在(0,ln(2a ))和(ln(2a ),1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0,x 1]上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在[x 2,1]上单调递增. 所以f (x 1)>f (0)=0,f (x 2)<f (1)=0, 故f (x )在(x 1,x 2)内有零点.综上可知,a 的取值范围是(e -2,1).B4 函数的奇偶性与周期性7.、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1;当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞). 3.[2014·湖南卷] 已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )A .-3B .-1C .1D .33.C [解析] 因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (1)+g (1)=f (-1)-g (-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. 3.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数3.C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0,+∞)单调递减,f (2)=0,若f (x -1)>0,则x 的取值范围是________.15.(-1,3) [解析] 根据偶函数的性质,易知f (x )>0的解集为(-2,2),若f (x -1)>0,则-2<x -1<2,解得-1<x <3.B5 二次函数16.、[2014·全国卷] 若函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,则a 的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析] f (x )=cos 2x +a sin x =-2sin 2x +a sin x +1,令sin x =t ,则f (x )=-2t 2+at +1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6,π2,所以t ∈⎝⎛⎭⎫12,1,所以f (x )=-2t 2+at +1,t ∈⎝⎛⎭⎫12,1.因为f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,所以f (x )=-2t 2+at +1在区间⎝⎛⎭⎫12,1上是减函数,又对称轴为x =a 4,∴a 4≤12,所以a ∈(-∞,2].B6 指数与指数函数 4.、、[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.3.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=5|x |,g (x )=ax 2-x (a ∈R ).若f [g (1)]=1,则a =( ) A .1 B .2 C .3 D .-13.A [解析] g (1)=a -1,由f [g (1)]=1,得5|a -1|=1,所以|a -1|=0,故a =1.3.、[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a3.C [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .2.,[2014·山东卷] 设集合A ={x ||x -1|<2},B ={y |y =2x,x ∈[0,2]},则A ∩B =( ) A .[0,2] B .(1,3) C .[1,3) D .(1,4) 2.C [解析] 根据已知得,集合A ={x |-1<x <3},B ={y |1≤y ≤4},所以A ∩B ={x |1≤x <3}.故选C.5.,,[2014·山东卷] 已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C. sin x >sin yD. x 3>y 35.D [解析] 因为a x <a y (0<a <1),所以x >y ,所以sin x >sin y ,ln(x 2+1)>ln(y 2+1),1x 2+1>1y 2+1都不一定正确,故选D.7.[2014·陕西卷] 下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A .f (x )=x 12 B .f (x )=x 3C .f (x )=⎝⎛⎭⎫12xD .f (x )=3x7.B [解析] 由于f (x +y )=f (x )f (y ),故排除选项A ,C.又f (x )=⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数,所以排除选项D. 11.[2014·陕西卷] 已知4a =2,lg x =a ,则x =________.11.10 [解析] 由4a =2,得a =12,代入lg x =a ,得lg x =12,那么x =1012 =10.B7 对数与对数函数 5.,,[2014·山东卷] 已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2+1>1y 2+1B. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C. sin x >sin yD. x 3>y 35.D [解析] 因为a x <a y (0<a <1),所以x >y ,所以sin x >sin y ,ln(x 2+1)>ln(y 2+1),1x 2+1>1y 2+1都不一定正确,故选D.3.,[2014·山东卷] 函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞) C. ⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) D. ⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) 3.C [解析] 根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2)2-1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x >2或x <12.故选C.4.、、[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.13.、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.13.50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{a n }为等比数列,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,∴a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5,∴a 10a 11=e 5, ∴ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20)= ln(a 10a 11)10=ln(e 5)10=ln e 50=50.3.、[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a3.C [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .4.[2014·天津卷] 函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间为( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)4.D [解析] 要使f (x )单调递增,需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4>0,x <0,解得x <-2.7.、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )AC D图1-2 图1-27.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数,故选D.12.[2014·重庆卷] 函数f (x )=log 2x ²log 2(2x )的最小值为________.12.-14 [解析] f (x )=log 2 x ²log 2(2x )=12log 2 x ²2log 2(2x )=log 2x ²(1+log 2x )=(log 2x )2+log 2x =⎝⎛⎭⎫log 2x +122-14,所以当x =22时,函数f (x )取得最小值-14.B8 幂函数与函数的图像 4.、、[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.10.[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2).若∀x ∈R ,f (x -1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤-16,16B.⎣⎡⎦⎤-66,66C.⎣⎡⎦⎤-13,13D.⎣⎡⎦⎤-33,33 10.B [解析] 因为当x ≥0时,f (x )=12()||x -a 2+||x -2a 2-3a 2,所以当0≤x ≤a 2时,f (x )=12()a 2-x +2a 2-x -3a 2=-x ;当a 2<x <2a 2时,f (x )=12()x -a 2+2a 2-x -3a 2=-a 2;当x ≥2a 2时,f (x )=12()x -a 2+x -2a 2-3a 2=x -3a 2.综上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x ,0≤x ≤a 2,-a 2,a 2<x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a 2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x ∈R ,f (x -1)≤f (x ),则需满足2a 2-(-4a 2)≤1,解得-66≤a ≤66.故选B. 8.[2014·山东卷] 已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx ,若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0,12B. ⎝⎛⎭⎫12,1 C. (1,2) D. (2,+∞) 8.B [解析] 画出函数f (x )的图像,如图所示.若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实数,则函数f (x ),g (x )有两个交点,则k >12,且k <1.故选B.7.、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a(x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )AC D图1-2 图1-27.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数,故选D.B9 函数与方程10.、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )=x 2+e x -12(x <0)与g (x )=x 2+ln(x +a )的图像上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A .(-∞,1e) B .(-∞,e)C.⎝⎛⎭⎫-1e ,eD.⎝⎛⎭⎫-e ,1e 10.B [解析] 依题意,设存在P (-m ,n )在f (x )的图像上,则Q (m ,n )在g (x )的图像上,则有m 2+e -m -12=m 2+ln(m +a ),解得m +a =ee -m -12,即a =ee -m -12-m (m >0),可得a ∈(-∞,e).14.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=|x 2+3x |,x ∈R .若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y =f (x )与y =a |x -1|的图像如图所示.当y =a |x -1|与y =f (x )的图像相切时,由⎩⎪⎨⎪⎧-ax +a =-x 2-3x ,a >0,整理得x 2+(3-a )x+a =0,则Δ=(3-a )2-4a =a 2-10a +9=0,解得a =1或a =9.故当y =a |x -1|与y =f (x )的图像有四个交点时,0<a <1或a >9.6.[2014·浙江卷] =f (-2)=f (-3)≤3,则( )A .c ≤3B .3<c ≤6C .6<c ≤9D .c >96.C [解析] 由f (-1)=f (-2)=f (-3)得⎩⎪⎨⎪⎧-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧-7+3a -b =0,19-5a +b =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =6,b =11,则f (x )=x 3+6x 2+11x +c ,而0<f (-1)≤3,故0<-6+c ≤3, ∴6<c ≤9,故选C.B10 函数模型及其应用 8.[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p +q 2B.(p +1)(q +1)-12C.pqD.(p +1)(q +1)-18.D [解析] 设年平均增长率为x ,则有(1+p )(1+q )=(1+x )2,解得x =(1+p )(1+q )-1. 10.[2014·陕西卷] 如图1-2,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 ( )图1-2A .y =1125x 3-35xB .y =2125x 3-45xC .y =3125x 3-xD .y =-3125x 3+15x10.A [解析] 设该三次函数的解析式为y =ax 3+bx 2+cx +d .因为函数的图像经过点(0,0),所以d =0,所以y =ax 3+bx 2+cx .又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b =0,所以y =ax 3+cx ,代入点(-5,2)得-125a -5c =2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x 轴,y ′=3ax 2+c ,得当x =-5时,y ′=75a +c =0.联立⎩⎪⎨⎪⎧-125a -5c =2,75a +c =0,解得⎩⎨⎧a =1125,c =-35.故该三次函数的解析式为y =1125x 3-35x .B11 导数及其运算 18.、[2014·安徽卷] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时 ,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值. 18.解: (1)f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=1+a -2x -3x 2.令f ′(x )=0,得x 1=-1-4+3a3,x 2=-1+4+3a 3,x 1<x 2,所以f ′(x )=-3(x -x 1)(x -x 2). 当x <x 1或x >x 2时,f ′(x )<0; 当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-4+3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+4+3a 3,+∞内单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫-1-4+3a 3,-1+4+3a 3内单调递增.(2)因为a >0,所以x 1<0,x 2>0,①当a ≥4时,x 2≥1.由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增,所以f (x )在x =0和x =1处分别取得最小值和最大值. ②当0<a <4时,x 2<1.由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减, 所以f (x )在x =x 2=-1+4+3a3处取得最大值.又f (0)=1,f (1)=a ,所以当0<a <1时,f (x )在x =1处取得最小值;当a =1时,f (x )在x =0和x =1处同时取得最小值; 当1<a <4时,f (x )在x =0处取得最小值. 21.、、[2014·安徽卷] 设实数c >0,整数p >1,n ∈N *. (1)证明:当x >-1且x ≠0时,(1+x )p >1+px ;(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ,a n +1=p -1p a n +c p a 1-p n ,证明:a n >a n +1>c 1p. 21.证明:(1)用数学归纳法证明如下.①当p =2时,(1+x )2=1+2x +x 2>1+2x ,原不等式成立. ②假设p =k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.当p =k +1时,(1+x )k +1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x . 所以当p =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x >-1,x ≠0时,对一切整数p >1,不等式(1+x )p >1+px 均成立. (2)方法一:先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n =1时,由题设知a 1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1成立. 由a n +1=p -1p a n +c p a 1-pn 易知a n >0,n ∈N *.当n =k +1时,a k +1a k =p -1p +c p a -pk =1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p k-1. 由a k >c 1p >0得-1<-1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k-1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k +1a k p=⎣⎡⎦⎤1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p k -1p>1+p ² 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k -1=c a p k . 因此a p k +1>c ,即a k +1>c 1p, 所以当n =k +1时,不等式a n >c 1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p 均成立.再由a n +1a n =1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p n -1可得a n +1a n <1, 即a n +1<a n .综上所述,a n >a n +1>c 1p,n ∈N *.方法二:设f (x )=p -1p x +c p x 1-p ,x ≥c 1p ,则x p ≥c ,所以f ′(x )=p -1p +c p (1-p )x -p =p -1p ⎝⎛⎭⎫1-c x p >0. 由此可得,f (x )在[c 1p ,+∞)上单调递增,因而,当x >c 1p 时,f (x )>f (c 1p )=c 1p .①当n =1时,由a 1>c 1p>0,即a p 1>c 可知 a 2=p -1p a 1+c p a 1-p 1=a 1⎣⎡⎦⎤1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1-1<a 1,并且a 2=f (a 1)>c 1p ,从而可得a 1>a 2>c 1p , 故当n =1时,不等式a n >a n +1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >a k +1>c 1p 成立,则当n =k +1时,f (a k )>f (a k +1)>f (c 1p ),即有a k +1>a k +2>c 1p,所以当n =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >a n +1>c 1p均成立.20.、[2014·福建卷] 已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x >0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 20.解:方法一:(1)由f (x )=e x -ax ,得f ′(x )=e x -a . 又f ′(0)=1-a =-1,得a =2. 所以f (x )=e x -2x ,f ′(x )=e x -2. 令f ′(x )=0,得x =ln 2.当x <ln 2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x >ln 2时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. 所以当x =ln 2时,f (x )取得极小值,且极小值为f (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4, f (x )无极大值.(2)证明:令g (x )=e x -x 2,则g ′(x )=e x -2x . 由(1)得,g ′(x )=f (x )≥f (ln 2)=2-ln 4>0, 故g (x )在R 上单调递增,又g (0)=1>0, 所以当x >0时,g (x )>g (0)>0,即x 2<e x .(3)证明:①若c ≥1,则e x ≤c e x .又由(2)知,当x >0时,x 2<e x . 故当x >0时,x 2<c e x .取x 0=0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .②若0<c <1,令k =1c>1,要使不等式x 2<c e x 成立,只要e x >kx 2成立.而要使e x >kx 2成立,则只要x >ln(kx 2),只要x >2ln x +ln k 成立. 令h (x )=x -2ln x -ln k ,则h ′(x )=1-2x =x -2x.所以当x >2时,h ′(x )>0,h (x )在(2,+∞)内单调递增.取x 0=16k >16,所以h (x )在(x 0,+∞)内单调递增.又h (x 0)=16k -2ln(16k )-ln k =8(k -ln 2)+3(k -ln k )+5k , 易知k >ln k ,k >ln 2,5k >0,所以h (x 0)>0. 即存在x 0=16c,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)对任意给定的正数c ,取x 0=4c ,由(2)知,当x >0时,e x>x 2,所以e x=e x 2²e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22²⎝⎛⎭⎫x 22,当x >x 0时,e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22=1c x 2,因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)首先证明当x ∈(0,+∞)时,恒有13x 3<e x .证明如下:令h (x )=13x 3-e x ,则h ′(x )=x 2-e x .由(2)知,当x >0时,x 2<e x ,从而h ′(x )<0,h (x )在(0,+∞)上单调递减, 所以h (x )<h (0)=-1<0,即13x 3<e x .取x 0=3c ,当x >x 0时,有1c x 2<13x 3<e x .因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .10.、[2014·广东卷] 曲线y =e -5x +2在点(0,3)处的切线方程为________.10.y =-5x +3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法.因为y ′=-5e -5x ,所以切线的斜率k =-5e 0=-5,所以切线方程是:y -3=-5(x -0),即y =-5x +3.13.[2014·江西卷] 若曲线y =e -x 上点P 处的切线平行于直线2x +y +1=0,则点P 的坐标是________.13.(-ln 2,2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0,y 0),y ′=-e -x .又切线平行于直线2x +y +1=0,所以-e -x 0=-2,可得x 0=-ln 2,此时y =2,所以点P 的坐标为(-ln 2,2).18.、[2014·江西卷] 已知函数f (x )=(x 2+bx +b )1-2x (b ∈R ). (1)当b =4时,求f (x )的极值;(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,13上单调递增,求b 的取值范围. 18.解:(1)当b =4时,f ′(x )=-5x (x +2)1-2x ,由f ′(x )=0,得x =-2或x =0.所以当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(-2,0)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,故f (x )在x =-2处取得极小值f (-2)=0,在x =0处取得极大值f (0)=4.(2)f ′(x )=-x [5x +(3b -2)]1-2x ,易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0,13时,-x1-2x<0, 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0,13时,有5x +(3b -2)≤0,从而53+(3b -2)≤0,得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,19. 7.[2014·全国卷] 曲线y =x e x -1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A .2eB .eC .2D .17.C [解析] 因为y ′=(x e x -1)′=e x -1+x e x -1,所以y =x e x -1在点(1,1)处的导数是y ′|x =1=e 1-1+e 1-1=2,故曲线y =x e x -1在点(1,1)处的切线斜率是2.8.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( )A .0B .1C .2D .38.D [解析] y ′=a -1x +1,根据已知得,当x =0时,y ′=2,代入解得a =3.21.,,,[2014·陕西卷] 设函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=xf ′(x ),x ≥0,其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )=g (x ),g n +1(x )=g (g n (x )),n ∈N +,求g n (x )的表达式; (2)若f (x )≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设n ∈N +,比较g (1)+g (2)+…+g (n )与n -f (n )的大小,并加以证明.21.解:由题设得,g (x )=x1+x (x ≥0).(1)由已知,g 1(x )=x 1+x, g 2(x )=g (g 1(x ))=x 1+x 1+x 1+x =x1+2x ,g 3(x )=x 1+3x ,…,可得g n (x )=x 1+nx. 下面用数学归纳法证明.①当n =1时,g 1(x )=x 1+x ,结论成立.②假设n =k 时结论成立,即g k (x )=x1+kx.那么,当n =k +1时,g k +1(x )=g (g k (x ))=g k (x )1+g k (x )=x 1+kx 1+x 1+kx =x1+(k +1)x ,即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N +成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln(1+x )≥ax1+x恒成立. 设φ(x )=ln(1+x )-ax1+x (x ≥0),则φ′(x )=11+x -a(1+x )2=x +1-a (1+x )2, 当a ≤1时,φ′(x )≥0(仅当x =0,a =1时等号成立), ∴φ(x )在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0, ∴φ(x )≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a ≤1时,ln(1+x )≥ax1+x 恒成立(仅当x =0时等号成立).当a >1时,对x ∈(0,a -1]有φ′(x )<0, ∴φ(x )在(0,a -1]上单调递减, ∴φ(a -1)<φ(0)=0.即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0, 故知ln(1+x )≥ax1+x不恒成立. 综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g (1)+g (2)+…+g (n )=12+23+…+nn +1,比较结果为g (1)+g (2)+…+g (n )>n -ln(n +1).证明如下:方法一:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n +1),在(2)中取a =1,可得ln(1+x )>x1+x,x >0. 令x =1n ,n ∈N +,则1n +1<ln n +1n .下面用数学归纳法证明.①当n =1时,12<ln 2,结论成立.②假设当n =k 时结论成立,即12+13+…+1k +1<ln(k +1).那么,当n =k +1时,12+13+…+1k +1+1k +2<ln(k +1)+1k +2<ln(k +1)+ln k +2k +1=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N +成立.。

2014年高考数学(理)真题分类汇编:三角函数

2014年高考数学(理)真题分类汇编:三角函数

2014年高考数学(理)真题分类汇编:三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 6.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]上的图像大致为( )图1-1A BC D 6.CC2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .17.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34,所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C3 三角函数的图象与性质9.[2014·辽宁卷] 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增9.B3.[2014·全国卷] 设a =sin 33°,b =cos 55°,c =tan 35°,则( ) A .a >b >c B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b 3.C6.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]上的图像大致为( )图1-1C D 6.C 14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为________.14.117.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3.[2014·四川卷] 为了得到函数y =sin (2x +1)的图像,只需把函数y =sin 2x 的图像上所有的点( )A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度 3.A11.[2014·安徽卷] 若将函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y 轴对称,则φ的最小正值是________.11.3π814.[2014·北京卷] 设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6,π2上具有单调性,且f ⎝⎛⎭⎫π2=f ⎝⎛⎭⎫2π3=-f ⎝⎛⎭⎫π6,则f (x )的最小正周期为________.14.π16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x=22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .7.[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定 7.D17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.16.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.(1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.16.解:(1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+2cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=22(sin x +cos x )-2sin x =22cos x -22sin x =sin ⎝⎛⎭⎫π4-x . 因为x ∈[0,π],所以π4-x ∈⎣⎡⎦⎤-3π4,π4,故f (x )在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1-2a sin θ)=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,知cos θ≠0,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-2a sin θ=0,(2a sin θ-1)sin θ-a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,θ=-π6.12.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )=3sinπxm,若存在f (x )的极值点x 0满足x 20+[f (x 0)]2<m 2,则m 的取值范围是( )A .(-∞,-6)∪(6,+∞)B .(-∞,-4)∪(4,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 12.C 16.,[2014·山东卷] 已知向量a =(m ,cos 2x ),b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a ·b ,且y =f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎫2π3,-2. (1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图像,若y =g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.16.解:(1)由题意知,f (x )==m sin 2x +n cos 2x .因为y =f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎫2π3,-2,所以⎩⎨⎧3=m sin π6+n cos π6,-2=m sin 4π3+n cos 4π3,即⎩⎨⎧3=12m +32n ,-2=-32m -12n ,解得m =3,n =1.(2)由(1)知f (x )=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.由题意知,g (x )=f (x +φ)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2φ+π6.设y =g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2).由题意知,x 20+1=1,所以x 0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y =g (x )得,sin ⎝⎛⎭⎫2φ+π6=1.因为0<φ<π,所以φ=π6.因此,g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=2cos 2x .由2k π-π≤2x ≤2k π,k ∈Z 得k π-π2≤x ≤k π,k ∈Z ,所以函数y =g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π2,k π,k ∈Z .2.[2014·陕西卷] 函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6的最小正周期是( )A.π2 B .π C .2π D .4π 2.B16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.4.[2014·浙江卷] 为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( )A .向右平移π4个单位B .向左平移π4个单位C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位4.C17.,,[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C5 两角和与差的正弦余弦正切 14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为________.14.116.[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B .(1)求a 的值;(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A +π4的值.16.解: (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B ,由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =sin A 2sin B ,所以由正弦定理可得a =2b ·a 2+c 2-b 22ac. 因为b =3,c =1,所以a 2=12,即a =2 3. (2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-13.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =1-19=2 23. 故sin ⎝⎛⎭⎫A +π4=sin A cos π4+cos A sin π4=2 23×22+⎝⎛⎭⎫-13×22=4-26.7.[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定 7.D16.[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,x ∈R ,且f ⎝⎛⎭⎫5π12=32.(1)求A 的值;(2)若f (θ)+f (-θ)=32,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫3π4-θ.17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.17.[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC→=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23·2 23= 4 29.因为a =b >c ,所以C 为锐角, 因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4 292=79. 所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2 23×4 29=2327.17. [2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cos A ,tan A =13,求B .17.解:由题设和正弦定理得 3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C .因为tan A =13,所以cos C =2sin C ,所以tan C =12.所以tan B =tan[180°-(A +C )] =-tan(A +C ) =tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°.8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且tan α=1+sin βcos β,则( )A .3α-β=π2B .3α+β=π2C .2α-β=π2D .2α+β=π28.C13.,[2014·四川卷] 如图1-3所示,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46 m ,则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,3≈1.73)图1-313.6016.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.10.,[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A-B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A .bc (b +c )>8B .ab (a +b )>16 2C .6≤abc ≤12D .12≤abc ≤24 10.AC6 二倍角公式 15.[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于________.15.4316.[2014·全国卷] 若函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,则a 的取值范围是________.16.(-∞,2]16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.C7 三角函数的求值化简与证明16.[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,x ∈R ,且f ⎝⎛⎭⎫5π12=32.(1)求A 的值;(2)若f (θ)+f (-θ)=32,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫3π4-θ.17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.16.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.(1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.16.解:(1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+2cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=22(sin x +cos x )-2sin x =22cos x -22sin x =sin ⎝⎛⎭⎫π4-x . 因为x ∈[0,π],所以π4-x ∈⎣⎡⎦⎤-3π4,π4,故f (x )在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1-2a sin θ)=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,知cos θ≠0,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-2a sin θ=0,(2a sin θ-1)sin θ-a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,θ=-π6.16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52.C8 解三角形12.[2014·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b -c =14a ,2sin B =3sin C ,则cos A 的值为________.12.-1416.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是________.16.[-1,1]12.[2014·广东卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .已知b cos C +c cos B =2b ,则ab=________.12.216.[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B .(1)求a 的值;(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A +π4的值.16.解: (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B ,由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =sin A 2sin B ,所以由正弦定理可得a =2b ·a 2+c 2-b 22ac. 因为b =3,c =1,所以a 2=12,即a =2 3. (2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-13.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =1-19=2 23. 故sin ⎝⎛⎫A +π4=sin A cos π4+cos A sin π4=2 23×22+⎝⎛⎭⎫-13×22=4-26.15.[2014·北京卷] 如图1-2,在△ABC 中,∠B =π3,AB =8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC =17.(1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长.图1-215.解:(1) 在△ADC 中,因为cos ∠ADC =17,所以sin ∠ADC =4 37.所以sin ∠BAD =sin(∠ADC -∠B )=sin ∠ADC cos B -cos ∠ADC sin B =4 37×12-17×32=3 314. (2)在△ABD 中,由正弦定理得 BD =AB ·sin ∠BADsin ∠ADB =8×33144 37=3.在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =82+52-2×8×5×12=49,所以AC =7.12.[2014·福建卷] 在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =2 3,则△ABC 的面积等于________.12.2 3 18.[2014·湖南卷] 如图1-5ABCD 中,AD =1,CD =2,AC =7.(1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD =-714,sin ∠CBA =216,求BC 的长.18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD =AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD,故由题设知,cos ∠CAD =7+1-427=277.(2)设∠BAC =α,则α=∠BAD -∠CAD .因为cos ∠CAD =277,cos ∠BAD =-714,所以sin ∠CAD =1-cos 2∠CAD = 1-⎝⎛⎭⎫2772=217, sin ∠BAD =1-cos 2∠BAD =1-⎝⎛⎭⎫-7142=32114.于是sin α=sin (∠BAD -∠CAD )=sin ∠BAD cos ∠CAD -cos ∠BAD sin ∠CAD=32114×277-⎝⎛⎭⎫-714×217=32. 在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin α=ACsin ∠CBA. 故BC =AC ·sin αsin ∠CBA=7×32216=3. 4.[2014·江西卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A .3 B.9 32 C.3 32 D .3 34.C17.[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC→=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23·2 23= 4 29.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4 292=79.所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2 23×4 29=2327.17. [2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cos A ,tan A =13,求B .17.解:由题设和正弦定理得 3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C .因为tan A =13,所以cos C =2sin C ,所以tan C =12.所以tan B =tan[180°-(A +C )]=-tan(A +C ) =tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°. 16.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )·(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为________.16. 34.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12,AB =1,BC =2,则AC =( )A .5 B. 5 C .2 D .1 4.B12.,[2014·山东卷] 在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6时,△ABC 的面积为______.12.1616.,,[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 16.解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B . ∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ), ∴sin A +sin C =2sin(A +C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac . 由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a =c 时等号成立, ∴cos B 的最小值为12.13.,[2014·四川卷] 如图1-3所示,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46 m ,则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,3≈1.73)图1-313.60 18. [浙江卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ≠b ,c =3,cos 2A -cos 2B =3sin A cos A -3sin B cos B .(1)求角C 的大小;(2)若sin A =45,求△ABC 的面积.18.解:(1)由题意得1+cos 2A 2-1+cos 2B 2=32sin 2A -32sin 2B ,即32sin 2A -12cos 2A=32sin 2B -12cos 2B ,sin ⎝⎛⎭⎫2A -π6=sin ⎝⎛⎭⎫2B -π6. 由a ≠b ,得A ≠B ,又A +B ∈(0,π),得2A -π6+2B -π6=π,即A +B =2π3,所以C =π3.(2)由c =3,sin A =45,a sin A =c sin C ,得a =85.由a <c ,得A <C ,从而cos A =35,故sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =4+3 310.所以,△ABC 的面积为S =12ac sin B =8 3+1825.10.,[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A -B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A .bc (b +c )>8B .ab (a +b )>16 2C .6≤abc ≤12D .12≤abc ≤2410.A [解析] 因为A +B +C =π,所以A +C =π-B ,C =π-(A +B ),所以由已知等式可得sin 2A +sin(π-2B )=sin[π-2(A +B )]+12,即sin 2A +sin 2B =sin 2(A +B )+12,所以sin[(A +B )+(A -B )]+sin[(A +B )-(A -B )]=sin 2(A +B )+12,所以2 sin(A +B )cos(A -B )=2sin(A +B )cos(A +B )+12,所以2sin(A +B )[cos(A -B )-cos(A +B )]=12,所以sin A sin B sin C =18.由1≤S ≤2,得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2,所以1≤R 24≤2,即2≤R ≤2 2,所以bc (b +c )>abc =8R 3sinA sinB sinC =R 3≥8.C9 单元综合16.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是________.16.[-1,1]17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温. 18.[2014·湖南卷] 如图1-5中,AD =1,CD =2,AC =7.(1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD =-714,sin ∠CBA =216,求BC 的长.18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD =AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD,故由题设知,cos ∠CAD =7+1-427=277.(2)设∠BAC =α,则α=∠BAD -∠CAD .因为cos ∠CAD =277,cos ∠BAD =-714,所以sin ∠CAD =1-cos 2∠CAD = 1-⎝⎛⎭⎫2772=217, sin ∠BAD =1-cos 2∠BAD =1-⎝⎛⎭⎫-7142=32114.于是sin α=sin (∠BAD -∠CAD )=sin ∠BAD cos ∠CAD -cos ∠BAD sin ∠CAD=32114×277-⎝⎛⎭⎫-714×217=32.在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin α=ACsin ∠CBA. 故BC =AC ·sin αsin ∠CBA=7×32216=3. 21.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x-4(1+sin x )ln ⎝⎛⎭⎫3-2xπ.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )=-(1+sin x )·(π+2x )-2x -23cos x <0,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为减函数.又f (0)=π-83>0,f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2-163<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)记函数h (x )=3(x -π)cos x 1+sin x-4ln ⎝⎛⎭⎫3-2πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π.令t =π-x ,则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=h (π-t )=3t cos t1+sin t -4 ln ⎝⎛⎭⎫1+2πt ,则u ′(t )=3f (t )(π+2t )(1+sin t ).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )>0,当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )<0.故在(0,x 0)上u (t )是增函数,又u (0)=0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,u (t )>0,所以u (t )在(0,x 0]上无零点.在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为减函数,由u (x 0)>0,u ⎝⎛⎭⎫π2=-4ln 2<0,知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2,使u (t 1)=0,故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 1)=0.因此存在唯一的x 1=π-t 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使h (x 1)=h (π-t 1)=u (t 1)=0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,1+sin x >0,故g (x )=(1+sin x )h (x )与h (x )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.因为x 1=π-t 1,t 1>x 0,所以x 0+x 1<π.21.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x-4(1+sin x )ln ⎝⎛⎭⎫3-2xπ.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎫0,π2时,f ′(x )=-(1+sin x )·(π+2x )-2x -23cos x <0,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为减函数.又f (0)=π-83>0,f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2-163<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)记函数h (x )=3(x -π)cos x 1+sin x-4ln ⎝⎛⎭⎫3-2πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π.令t =π-x ,则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=h (π-t )=3t cos t1+sin t -4 ln ⎝⎛⎭⎫1+2πt ,则u ′(t )=3f (t )(π+2t )(1+sin t ).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )>0,当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )<0.故在(0,x 0)上u (t )是增函数,又u (0)=0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,u (t )>0,所以u (t )在(0,x 0]上无零点.在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为减函数,由u (x 0)>0,u ⎝⎛⎭⎫π2=-4ln 2<0,知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2,使u (t 1)=0,故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 1)=0.因此存在唯一的x 1=π-t 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使h (x 1)=h (π-t 1)=u (t 1)=0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,1+sin x >0,故g (x )=(1+sin x )h (x )与h (x )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.因为x 1=π-t 1,t 1>x 0,所以x 0+x 1<π.。

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一、 选择题1.(2014 大纲理 3) 设sin 33a =,cos55b =,tan 35c =,则( ). A .a b c >> B .b c a >> C .c b a >> D .c a b >>2.(2014 江西理4)在ABC △中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若()226c a b =-+,3C π=,则ABC △的面积是( ). A.3 93 33D.33 3.(2014 辽宁理 9)将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度,所得图像对应的函数( ).A .在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B .在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C .在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D .在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 4.(2014 陕西理 2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是( ).A.π2B. πC. 2πD. 4π 5.(2014 四川理 3)为了得到函数()sin 21y x =+的图像,只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点( ). A .向左平行移动12个单位长度 B .向右平行移动12个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度 6.(2014 新课标1理6)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,π上的图像大致为( ).PMA Ox7.(2014 新课标1理8)设0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且1sin tan cos βαβ+=,则( ). A. 32αβπ-=B. 32αβπ+=C. 22αβπ-=D. 22αβπ+=8.(2014 新课标2理4)钝角三角形ABC 的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC = ( ).A.5B.5C.2D. 19.(2014 浙江理 4)为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像,可以将函数2sin 3y x =的图像( ).A.向右平移π4个单位 B.向左平移π4个单位 C.向右平移π12个单位 D.向左平移π12个单位10.(2014 重庆理 10)已知ABC △的内角,,A B C 满足()sin 2sin A A B C +-+=()1sin 2C A B --+,面积S 满足12S ,记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边,则下列不等式成立的是( ). A. ()8bc b c +> B.()162ab a b +> C. 612abc D. 1224abc二、填空题1.(2014 安徽理 11)若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 .2.(2014 北京理 14)设函数()()sin f x x ωϕ=+,(,,A ωϕ是常数,0,0>>ωA ),若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()f x 的最小正周期为________.1A.1B.1C.1D.3.(2014 大纲理 16)若函数()cos2sin f x x a x =+在区间π62π⎛⎫⎪⎝⎭,是减函数,则a 的取值范围是 .4.(2014 福建理 12)在ABC △中,60A =︒,4AC =,3BC =ABC △的面积等于 .5.(2014 广东理 12)在ABC △中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,, .已知b Bc C b 2cos cos =+,则=ba. 6.(2014 江苏理 5)已知函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+()0ϕ<π,它们的图像有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 . 7.(2014 江苏理 14)若ABC △的内角满足sin 22sin A B C =,则cos C 的最小值是 .8.(2014 山东理 12)在ABC △中,已知tan AB AC A ⋅=,当π6A =时,ABC △的面积为 .9.(2014 陕西理 13) 设π02θ<<,向量()()sin 2,cos ,cos ,1θθθ==a b ,若//a b ,则=θtan _______.10.(2014 四川理 13)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为67,30,此时气球的高是46m ,则河流的宽度BC 约等于 m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 670.92≈,cos670.39≈,sin 370.60≈,cos370.80≈3 1.73≈)11.(2014 天津理 12)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b ca ,2sin B 3sin C ,则cos A 的值为_______.30o67o46mCBA12.(2014 新课标1理16)已知,,a b c 分别为ABC △的三个内角,,A B C 的对边,2a =,且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-,则ABC △面积的最大值为 .13.(2014 新课标2理14)函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为 .14.(2014 浙江理 17)如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练. 已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15m,25m,30AB AC BCM ==∠=,则tan θ的最大值 .三、解答题1.(2014 安徽理 16)(本小题满分12分)设ABC △的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且3b =,1c =,2A B =.(1)求a 的值; (2)求sin 4A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2.(2014 北京理 15)15.(本小题13分) 如图,在ABC △中,π3B ∠=,8AB =,点D 在BC 边上,且 71cos ,2=∠=ADC CD . (1)求BAD ∠sin ;(2)求AC BD ,的长.3.(2014 大纲理 17) (本小题满分10分)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已13cos 2cos tan 3a C c A A ==,.求B . 4.(2014 福建理 16)(本小题满分13分)PMCBAD CB A已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-.(1)若π02α<<,且2sin 2α=,求()f α的值; (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 5.(2014 广东理 16)(12分)已知函数()πsin ,4f x A x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值; (2)若()()32f f θθ+-=,π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求3π4f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 6.(2014 湖北理 17)(本小题满分11分)某实验室一天的温度(单位:C )随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系:()ππ103cossin 1212f t t t =--,[)0,24t ∈. (1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11C ,则在哪段时间实验室需要降温?7.(2014 湖南理 18)如图所示,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,7AC =.(1)求cos CAD ∠的值;(2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.8.(2014 江苏理 15)已知,2απ⎛⎫∈π⎪⎝⎭,5sin 5α=.(1)求sin 4απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值; (2)求cos 26α5π⎛⎫-⎪⎝⎭的值.9.(2014 江苏理 18)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m .经测量,点A 位于点O 正北方向60m 处,点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),4tan 3BCO ∠=.(1)求新桥BC 的长;(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 10.(2014 江西理 16)(本小题满分12分)已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++,其中a ∈R ,ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当2a =,4θπ=时,求()f x 在区间[]0,π上的最大值与最小值; (2)若02f π⎛⎫=⎪⎝⎭,()1f π=,求,a θ的值. 11.(2014 辽宁理 17)(本小题满分12分)在ABC △中,内角,,A B C 的对边,,a b c ,且a c >.已知2BA BC ⋅=,1cos 3B =,3b =.求:(1)a 和c 的值; (2)()cos B C -的值.12.(2014 山东理 16)(本小题满分12分)已知向量()(),cos2,sin 2,m x x n ==a b ,函数()f x =⋅a b ,且()y f x =的图像过 点π,312⎛⎫⎪⎝⎭和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求,m n 的值;(2)将()y f x =的图像向左平移()0πϕϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图像,若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.13.(2014 陕西理 16)(本小题满分12分)170 m60 m 东北OA BM CABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .(1)若,,a b c 成等差数列,求证:()sin sin 2sin A C A C +=+; (2)若,,a b c 成等比数列,求B cos 的最小值. 14.(2014 四川理 16)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的单调递增区间; (2)若α是第二象限角,4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求cos sin αα-的值. 15.(2014 天津理 15)(本小题满分13分) 已知函数()2π3cos sin 33f x x x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭,x ∈R . (1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在闭区间π,44π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16.(2014 浙江理 18)(本题满分14分)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知a b ≠,3c =,22cos cos 3cos 3cos .A B A A B B -=(1)求角C 的大小;(2)若4sin ,5A =求ABC △的面积. 17.(2014 重庆理 17)(本小题13分,(I )小问5分,(II )小问8分)已知函数()()ππ30,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭的图像关于直线π3x =对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和ϕ的值;(2)若3π2π2463fαα⎛⎫⎛⎫=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求3πcos2α⎛⎫+⎪⎝⎭的值.。

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