高数极限求解方法与技巧总结

合集下载

高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。

设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。

极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。

要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。

二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除时候使用。

2.XXX（L'Hospital）法则。

它的使用有严格的使用前提。

首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。

洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通分之后，就能变成（1）中的形式了。

即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学中的一个重要概念，常常用于研究各种复杂的数学问题。

在求解函数极限的过程中，有一些常用的技巧，可以使计算更加简洁、高效。

下面简要介绍一些常用的函数极限求法技巧。

一、分子分母同除分子分母同除是一种常用的技巧，可以化简分式，便于计算。

具体操作如下：假设要求的函数极限为：lim f(x) / g(x)当分子和分母都含有相同的项时，可以将它们同除以这个公共项，得到新的分式。

例如：将分子和分母都除以 (x+1) ，得到：这样就将原问题化简成了一个更简单的问题。

二、恒等式变形在计算函数极限时，可以通过运用一些基本恒等式进行变形，以使计算更加简单。

例如：1、三角函数的基本恒等式：sin^2 x + cos^2 x = 1这些恒等式可以用于化简三角函数的表达式，使计算更加简便。

2、指数运算的恒等式：a^x / a^y = a^(x-y)三、用等价无穷小代替函数极限中经常会涉及到等价无穷小的概念。

如果 lim f(x) = 0，lim g(x) = 0，且lim f(x) / g(x) = 1，那么就可以将 f(x) 用 g(x) 的等价无穷小代替，求解新的函数极限。

例如：可以用等价无穷小代替 sin x，得到：lim 1 / x = 0四、洛必达法则洛必达法则是一种用于求解 0/0 或∞/∞ 型无穷小的极限的方法，也是求导数时的基本工具。

该法则的核心思想是将原问题转化成一个求导数的问题，并通过对导数的求解来解决原问题。

具体操作如下：且在极限点 x0 处，f(x0) = 0，g(x0) = 0。

1、求出 f'(x0) 和 g'(x0)，如果两者都存在且g'(x0) ≠ 0，则原极限等于 f'(x0) / g'(x0)。

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0)其中 o(x-x0) 表示 x -> x0 时比 (x-x0) 高阶的无穷小量。

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。

在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。

下面是一些常用的函数极限求法技巧。

1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。

即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。

2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。

即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。

3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。

将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。

4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。

通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。

5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。

当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。

6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。

通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。

高等数学中几种求极限的方法

高等数学中几种求极限的方法一、直接代入法这种方法超级简单，就是当函数在某一点连续的时候，直接把那个点的值代入函数里就好啦。

比如说啊，对于函数f(x)=x+1，当我们求x趋近于1的极限的时候，直接把1代入函数，就得到极限是2啦。

就像你走在路上，看到一个敞开的门，直接就可以走进去一样轻松。

二、因式分解法有时候函数看起来很复杂，但是我们可以对它进行因式分解呢。

比如说求lim(x→1)(x² - 1)/(x - 1)，这个时候我们可以把分子因式分解成(x + 1)(x - 1)，然后和分母的(x - 1)约掉，就变成了求lim(x→1)(x + 1)，再用直接代入法就得到极限是2啦。

这就好比整理杂乱的房间，把东西整理好了，就很容易找到我们想要的啦。

三、有理化法当函数里有根式的时候，这个方法就很有用啦。

例如求lim(x→0)(√(1 + x)- 1)/x，我们可以把分子有理化，分子分母同时乘以(√(1 + x)+ 1)，这样分子就变成了1 + x - 1 = x，然后和分母的x约掉，就得到极限是1/2啦。

这就像是给一个不太好看的东西化个妆，让它变得好看又好处理。

四、两个重要极限法1. 第一个重要极限是lim(x→0)sinx/x = 1。

这个极限超级重要哦。

比如说求lim(x→0)sin3x/x，我们可以把它变成3lim(x→0)sin3x/3x，根据第一个重要极限，就得到极限是3啦。

2. 第二个重要极限是lim(x→∞)(1 + 1/x)^x = e。

要是遇到类似lim(x→∞)(1+ 2/x)^x这种的，我们可以把它变形为lim(x→∞)[(1 + 2/x)^(x/2)]²，就等于e²啦。

这两个重要极限就像是数学世界里的宝藏，掌握了就能解决好多问题呢。

五、等价无穷小替换法当x趋近于0的时候，有好多等价无穷小的关系。

比如sinx和x是等价无穷小，tanx和x也是等价无穷小，ln(1 + x)和x也是等价无穷小等等。

求极限的13种方法

求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。

1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。

这通常适用于简单的多项式函数。

2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。

3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。

4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。

这适用于涉及导数的函数。

5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。

6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。

7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。

8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。

该法则涉及对分子分母同时求导的操作。

9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。

10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。

11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。

12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。

13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。

这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。

在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。

本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。

I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。

它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。

下面通过一个例题来说明这个方法。

例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。

根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。

因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。

故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。

下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。

例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。

然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。

也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。

根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。

故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。

下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。

例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。

高等数学极限求法总结

高等数学极限求法总结本站小编为你整理了多篇相关的《高等数学极限求法总结》，但愿对你工作学习有帮助，当然你在本站还可以找到更多《高等数学极限求法总结》。

第一篇：6利用函数连续性（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。

确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

例1设 f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：当a，b为何值时，f（x）在x=0处的极限存在？当a，b为何值时，f（x）在x=0处连续？注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0b+1, x=0X^2-1, x>0解：f(0)＝b+1左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1f(x)在x＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，所以a＝-1＝b+1，所以a＝-1，b＝-2第二篇：函数极限的四则运算法则学案课题：§13-3函数极限的四则运算法则（一）学习目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限学习重点：运用函数极限的运算法则求极限学习难点：函数极限法则的运用学习过程一、知识复习1．复习数列极限的四则运算法则(包括乘方的极限的法则)．2．复习几个简单函数的极限．即：二、课堂学习1．指导对上述定理的证明作简要说明．2.探究问题1 根据函数极限定义和函数的图象，说出下列极限，并验证所给结论．(其中f(x)为有理分函数)．所以，若f(x)为有理整函数，则有解：因为当x→x0时，分子、分母皆有极限且分母的极限不为零，因此有判断下列各极限是否存在？如果存在，求其极限；如果不存在，说明理由．三、检测1．求下列极限：2．求下列极限：四、学习小结第三篇：2利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

高数中求极限的16种方法

千里之行，始于足下。

高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。

为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。

以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。

2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。

3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。

4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。

5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。

6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。

7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。

8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。

9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。

10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。

12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。

13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。

14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。

15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。

16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。

除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。

这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。

高中数学极限的计算与应用技巧解析

高中数学极限的计算与应用技巧解析在高中数学中，极限是一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。

掌握极限的计算与应用技巧对于高中学生来说至关重要。

本文将通过具体的题目举例，分析极限的计算方法和应用技巧，并给出一些解题的指导。

一、极限的计算方法1. 代入法：对于一些简单的极限计算，可以直接将变量代入函数中，求出函数在该点的取值。

例如，计算极限lim(x→2)(x^2+3x+2)时，我们可以将x代入函数f(x)=x^2+3x+2中，得到f(2)=2^2+3×2+2=12。

因此，lim(x→2)(x^2+3x+2)=12。

2. 分子分母除以最高次项：对于有理函数的极限计算，可以通过将分子分母同时除以最高次项的系数，简化计算过程。

例如，计算极限lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))时，我们可以将分子分母同时除以(x-1)，得到lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))=lim(x→1)((x-1)(x^2+x+1)/(x-1))=lim(x→1)(x^2+x+1)=3。

3. 利用基本极限：在计算一些特殊函数的极限时，可以利用基本极限来简化计算过程。

例如，计算极限lim(x→0)(sinx/x)时，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1。

4. 利用夹逼定理：夹逼定理是极限的重要性质之一，它可以用来证明一些复杂函数的极限。

当一个函数夹在两个趋于同一极限的函数之间时，它的极限也会趋于相同的值。

例如，计算极限lim(x→0)(xsi n(1/x))时，我们可以利用夹逼定理将函数夹在两个函数x和-x之间，得到-|x|≤xsin(1/x)≤|x|。

由于lim(x→0)(-|x|)=0和lim(x→0)(|x|)=0，根据夹逼定理，我们可以得到lim(x→0)(xsin(1/x))=0。

二、极限的应用技巧1. 极限与函数的连续性：极限与函数的连续性有着密切的关系。

如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么该函数在该点是连续的。

高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)

（ii）
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设，
P（x）= ,
(i) （ii）若，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B

求极限方法小结（实用易懂）（五篇材料）

求极限方法小结（实用易懂）（五篇材料）第一篇：求极限方法小结(实用易懂)求极限的方法小结极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：一、利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。

11lim(-)3x→11-x1-x例 1.lim(12n-1++Λ+)n2n2n2 2.n→∞二、利用两个重要极限1sinx1xlim=1,lim(1+)=elim(1+x)x=e.x→0x→∞xx两个重要极限为：或x→0使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

1lim(1-)kxx 例 1.x→1lim(x+32x+1)x+2 2.x→∞三、利用夹逼准则求极限关键在于选用合适的不等式。

lim(n!)nnnlim(na1+Λ+am)n例1.n→∞a1,Λ,am}，且ak>0(k=1,2,Λ,m)求n→∞ 2.设a=max{ / 4四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。

x=a,x2=a+a=a+x1,Λ,xn+1=a+xn(n=1,2,Λ)例1.设a>0，1limxn求极限n→∞。

五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。

用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1.x→0 lim(1+xsinx-1sinsin(x-1))lim2lnxex-1 2.x→0六、利用函数连续性求极限limf(x)=f(x0)xf(x)x0设在点处连续，则→x0。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。

本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。

一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。

当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。

例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。

解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。

因此，f(x)在x=2处的极限为4。

二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。

它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。

例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。

解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。

首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。

因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。

根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。

三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。

该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。

例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。

解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。

首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。

根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要内容，它可以用来研究函数的性质和趋势。

对于函数极限的求法，有很多技巧和方法，下面将对其中的一些常用技巧进行解析。

1. 代入法：对于一些简单的函数，可以直接代入趋于极限的点来求极限。

比如对于多项式函数f(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+c，在x=a处的极限为f(a)=a^n+ba^{n-1}+...+c。

2. 分解因式法：对于一些复杂的函数，可以通过分解因式来简化求极限的过程。

比如对于f(x)=\frac{sinx}{x}，可以分解为f(x)=\frac{sinx}{x}*\frac{1}{1}，然后再进行代入。

5. 夹逼法：对于一些复杂函数，可以通过构造夹逼的方式来求极限。

夹逼法的基本思想是找到两个函数，一个上确界为极限，一个下确界为极限，然后通过这两个函数的极限来求解。

比如对于f(x)=sinx，可以通过夹逼法得到-1\le sinx \le 1，从而求得极限为f(x)=0。

这些是高等数学中函数极限的一些常用求法技巧，通过灵活运用这些技巧，可以更快更准确地求解函数的极限。

在实际应用中，还需要根据具体情况选择合适的方法和技巧，以求得更好的结果。

高中数学中的极限运算解题技巧

高中数学中的极限运算解题技巧数学是一门需要运用逻辑思维和数学原理来解决问题的学科。

在几何、代数、概率等各个领域中，极限运算是数学中重要的概念之一。

在高中数学课程中，学生需要掌握极限运算的解题技巧，以提高数学分析和问题解决的能力。

本文将介绍一些高中数学中的极限运算解题技巧，并提供相应的例题进行讲解。

一、直接法直接法是一种常用的求解极限的方法，当函数在某一点附近存在定义时，可以直接代入数值进行计算。

通过观察函数的性质，可以得到一些有用的结果。

例题1：计算极限lim(x→2) (x^2 + 3x - 2)解析：根据直接法，将x=2代入函数中，得到lim(x→2) (x^2 + 3x -2) = 2^2 + 3×2 - 2 = 10。

二、代入法代入法是求解极限的另一种常用方法，通过将未知的极限值代入函数中，求得函数的极限值。

这种方法通常用于求有界函数的极限。

例题2：计算极限lim(x→0) sin(2x) / x解析：将极限值x=0代入函数sin(2x) / x中，得到lim(x→0) sin(2x) / x = sin(0) / 0。

由于sin(0) = 0，所以lim(x→0) sin(2x) / x = 0。

三、夹逼法夹逼法也是一种常用的求解极限的技巧，适用于无法直接计算的复杂函数。

夹逼法通过将函数夹在两个已知的函数之间，利用已知函数的极限性质来求解未知函数的极限。

例题3：计算极限lim(x→0) x * sin(1 / x)解析：对于极限值lim(x→0) x * sin(1 / x)，可以利用夹逼法来求解。

首先，考虑函数f(x) = x，它的极限为lim(x→0) x = 0。

其次，考虑函数g(x) = sin(1 / x)，由于-1 ≤ sin(1 / x) ≤ 1，所以lim(x→0) sin(1 / x) = 0。

由于f(x) ≤ x * sin(1 / x) ≤ f(x)，根据夹逼法，得到lim(x→0) x *sin(1 / x) = 0。

大一高数求极限的方法总结

大一高数求极限的方法总结大一高等数学中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。

在学习求极限的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。

下面是对一些常用的求极限方法进行总结。

一、无穷小量代换法当我们在求一个函数的极限时，可以将函数中的无穷小量用一个新的无穷小量来代替，从而简化计算。

例如，当求极限lim(x->0)(sinx)/x时，可以将sinx用x来代替，即lim(x->0)x/x=1二、夹逼定理夹逼定理是一种非常常用的求极限方法。

当我们无法直接计算一个函数的极限时，可以通过找到两个已知的函数，使它们的极限分别为L和L’，并且夹在待求函数的极限值周围时，我们可以得出待求函数的极限也为L。

三、洛必达法则洛必达法则是一种非常常用的求导法则，它可以用来求解一些不定型的极限。

当我们在计算一个函数的极限时，如果得到的结果为0/0或者∞/∞的形式，那么我们可以使用洛必达法则来求解极限。

具体做法是对分子和分母同时求导，并再次计算极限，直到得到一个有限的值。

四、泰勒展开法当我们计算一些函数在一点的极限时，可以使用泰勒展开来逼近函数的值。

泰勒展开是将一个函数表示为无限项的级数，通过截取有限项来逼近函数的值。

这样可以大大简化我们的计算过程。

五、换元法有时候我们可以通过进行一些变量的替换来改变函数的形式，从而更容易求解极限。

例如，当我们计算lim(x->0)(3^(2x)-2^x)时，可以令y=2^x，然后再进行计算，就可以得到较为简单的表达式。

六、分数的极限当我们计算一个函数的极限时，如果得到的结果为一个分数形式，可以进行有理化来方便我们的计算。

有理化的方法有分子分母同时乘以一些适当的因式、差化积等。

七、级数化积当我们计算一个函数的极限时，通常可以将函数展开为一个级数，然后进行计算。

例如，当我们计算lim(x->0)(e^x-1)/x时，可以将e^x展开为一个级数，再进行计算。

八、寻找特殊点有时候我们可以通过找到一些特定的点来计算极限。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学是高等教育中的重要课程之一，其涵盖的内容非常广泛，包括微积分、数理方程和变换等方面。

其中求极限是微积分中的核心内容之一，也是数学建模和应用中常用的方法之一。

本文将介绍求极限的常用方法，并提供相应的例题和详解。

一、用夹逼定理求极限夹逼定理是求极限中常用的方法之一，其思路是通过一个比较大小的框架，来判断所求极限的范围和趋势。

具体而言，假设存在两个函数 f(x) 和 g(x)，满足以下条件：1. 对于 x 属于某个区间 [a, b]，有 f(x) <= g(x)。

2. 在区间 [a, b] 内，f(x) 和 g(x) 的极限均存在，即 lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = A。

3. 在区间 [a, b] 内，除有限个点外，f(x) = g(x)。

则可以得到 lim[f(x)] = lim[g(x)] = A。

下面是一个例子：例1：求极限 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)]。

解法：可以将原式改写成 (x - 1)(x - 3) / (x - 3)，即 (x - 1)。

则对于x ∈ (3,∞)，有 0 <= x - 1 <= x - 3，因此：0 <= (x^2 - 4x + 3) / (x - 3) - (x - 1) <= x - 3，而 lim[x - 3] = ∞，因此可用夹逼定理得到所求极限为 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)] = lim[(x - 1)] = 2。

二、用洛必达法则求极限洛必达法则是求导数时的常用方法，在求极限时也可以用到。

具体而言，假设有一个形如 lim[f(x) / g(x)] 的无穷小量，若这个无穷小量的分子和分母都存在极限，并且它们的极限都等于 0 或者±∞，则可以用洛必达法则来求出极限的值。

其中，洛必达法则的形式如下：若 lim[f(x)] = 0，lim[g(x)] = 0，且g'(x) ≠ 0，则 lim[f(x) / g(x)] = lim[f'(x) / g'(x)]。

高数求极限的方法小结

高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且limlim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-~,(1)1~x x x αα+-．例1 求01cos limarctan x xx x→-．解 210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-Q 时，故，原式220112lim 2x xx →==例2 求1230(1)1limcos 1x x x →+--．解 12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--Q 时,因此: 原式202123lim 132x xx→==-．例3 求x →解 0,x →时11~,tan ~3x x x ，故:原式=0113lim 3x xx →=．例4 求()21lim2ln(1)x x e x x →-+．解 0,1~,ln(1)~xx e x x x →-+时,故:原式2201lim 22x x x →==．例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解 330ln(1)lim 1n x x x ax →-+= 而左边225311003331lim lim n n x x x x x x nax nax--→→-+--=，故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-．2.2 利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim()x af x F x →''存在，那么()()limlim ()()x ax a f x f x F x F x →→'=' . [1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例6 求22201cos lim()sin x xx x →-. 分析秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000-+--+-===（此为强行代入以定型）. ()00-可能是比()00+高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)(00)0000000+--+= 或43(00)(00)0000000+-+-=. 解2222222240001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-== 33000sin cos sin cos sin cos limlim 2lim x x x x x x x x x x x xx x x→→→-+-==，由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2lim lim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=. 例7 求201lim x x e x x→--.解 22000(1)1lim lim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x →→→'--==-∴=-'--- . 例8 求332132lim 1x x x x x x →-+--+.解原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）. 例9 求02lim sin x x x e e xx x-→---.解原式0002limlim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→----====-. 例10 求22143lim 21x x x x x →-+-+.解原式1112422limlim lim 02211x x x x x x x x x →→→---===∴---Q 原式=∞.例11 求0tan lim sin arcsin x x xx x x→-.解原式222222220000111(1cos)tan 1cos 1cos 2lim lim lim lim 33cos 3cos 3x x x x x x x x x xxx x x x x x →→→→-+--=====. 例12 求0cot lim ln x xx+→.解原式22200sin cos 1lim lim sin 2sin cos x x x x x x x x ++→→---===-∞. 例13 求22201cos lim()sin x xx x →-. 解原式22222400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x xx x→→--+== 223320000sin cos sin cos sin cos 1cos sin 4lim lim 2lim 2lim 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+--+====“0⨯∞”型：例14 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解原式2221arctan 112lim lim lim 11111x x x x x xx x π→+∞→+∞→+∞-+====+.“∞-∞”型：例15 求 ()2lim sec tan x x x π→-.解 1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x--=-=Q ，故原式221sin cos limlim 0cos sin x x x x x x ππ→→--===-.“00”型：例16 求0lim xx x +→. 解原式ln 0lim ln ln 0lim lim 1x xxx e x x xx x e e e +→++→→====.“1∞”型：例17 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解原式lim 1x e ee x e e x →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.“0∞”型：例18 求tan 01lim ()xx x+→.解原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 0lim lim x xxx e x xxx x e e e -+→++-→→===，而tan ~0lim(tan ln )lim(ln )0x x x x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1. 2.3 泰勒公式（含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()f x 在含有n 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n + 阶的导数，则对任一(,)x a b -∈，有()f x =0()f x +0()f x '(x -0x )+0()2!f x ''(x -0x )2+……+()0()!n f x n (x -0x )n+n R (x )其中()()()(1)10()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，这里ξ是x 与0x 之间的某个值. [1]例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限30sin cos limsin x x x xx→-.解由于公式的分母33sin ~(0)x x x →，我们只需将分子中的3333sin 0(),cos 0()3!2!x x x x x x x x x =-+=-+代入计算，于是 3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -=-+-++=+，对上式做运算时，把两个3x 高阶的无穷小的代数和还是记作30()x .例20 323322314334lim lim 3211211x x x x x x x x x x x x →∞→∞++++==++++++， 2222111lim lim 121(1)1x x n n n n n→∞→∞++==--+， ()121(2)313limlim (2)332233nn nn n n x x ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. 2.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21 求 sin lim x x xx→∞+.解原式sin 1lim(1)lim(1sin )1x x x x x x→∞→∞=+=+=.2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22 求2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解 111sin sin sin 11n n ni i i i i i n n n n n o n iπππ===≤≤+++∑∑∑， 1011sin 12lim lim sin nn n n i i i i n n x dx n o n nππππ→∞→∞====⋅=+∑∑⎰，1011sin 112lim lim 1sin 11nn n n i i i i n x dx n n n n ππππ→∞→∞==⎫⎛=⋅=⋅⋅= ⎪++⎝⎭∑∑⎰，根据夹逼定理 1sin2lim1nx i i n n iππ→∞==+∑. 2.6 等比等差数列公式（δ的绝对值要小于1） [1]例23 设1||<δ，证等比数列1，δ，2δL 1n δ-，…的极限为0.证任取01δ<<，为使n x a ε-<，而n n x a δ-=，使nδε<，即ln ln ln ,ln n n εδεδ<>，当ln ln N εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，即ln ln 11ln ln n N εεδδ⎡⎤≥+=+>⎢⎥⎣⎦， ln ln nn δεδε<⇒<即n x a ε-<，由定义知()lim 10nδδ<=()()22......lim ...11n n n δδδδδδδδδ→∞++=++=<-.因此,很显然有:()0.99...lim 0.99...1n n→∞==.2.7 各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求()111lim 1...2*33*41n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解原式111111lim 1...23341n n n →∞⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭11lim 121n n →∞⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭31lim 21n n →∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ =32. 2.8 求左右极限的方式例25 求函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，求0x →时，()f x 的极限.解 ()()0lim lim 11x x f x x --→→=-=-，()()0lim lim 11x x f x x ++→→=+=，因为()()0lim lim x x f x f x ++→→≠，所以，当0→x 时，)(x f 的极限不存在. 例26 ()0lim0x x x xαα→>.解 0)(lim )(lim 00=-=---→→ααx x x x x x ，0lim lim 00==++→→ααx x x x x x ，因为0lim )(lim 00==-+-→→xxx x x x x x αα，所以,原式=0. 2.9 应用两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 例27 求xe x x 1lim 0-→.解记()ln 1x t =+ 1xe t -=，则原式=1001limlim 111ln 1t t t tt t →→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()1lim 1x x x e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为. 例28 求1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭. 解原式=()111lim 11n n n +-→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=e .例29 求1lim 1-1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解原式=()111lim 1-1n n n -+→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e .2.10 根据增长速度 )(ln ∞→<<x ex x xnλ例30 求()lim 0nx x x n e λλ→∞>为正整数，.解原式=1lim n x x nx e λ-→∞=()221!limlim0n xn xx x n n x n e e λλλλ-→∞→∞-==.例31 求()ln lim0nx xn x →∞>.解 01limlim ln lim 11===∞→-∞→∞→nx n x x n x nx nx x x . 同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的x 次方快于!x （x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： )(ln ∞→<<x ex x xnλ.故以后上述结论可直接在极限计算中运用. 2.11 换元法例32 1lim (1)xx x→-∞+.解令x t =-，则原式=1lim 1t t t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim t t t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e 2.12 利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限： (1) 如果()()lim ,lim ,f x A g x B ==那么B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦若又有0≠B ，则BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim（2）如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则)(lim )](lim[x f c x cf = （3）如果)(lim x f 存在，而n 为正整数，则nnx f x f )]([lim )](lim [= （4）如果)()(x x ϕδ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ϕδ，则b a ≥ （5）设有数列{}n x 和{}n y ，如果()lim ;n n n x y A B →∞+=+那么，()lim ;n n n x y A B →∞+=+lim n n n x y A B →∞=⋅当()01,2,...n y n ≠=且0b ≠时，limn n n x A y B→∞= 2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()f x = ,在区间[]0,1上求()01limniii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n个小区间[]1,i i x x -,1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解由已知得: ()()11limni i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰dx =⎰4π=.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[],a b 上连续，则在[],a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()baf x dx x b a ϕ=-⎰ ()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[],a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()lim tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[],a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0)(dx x f ，即⎰⎰+∞→∞+=tat adx x f dx x f )(lim)(；设()f x 在区间[],a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[],a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A 表示为定积分：()b=aA f x dx ⎰ 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间[],a b 分成长度为(1,2,...)i x i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算i A ∆的近似值 ()()1i i i i i i A fx x x ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→b ai ni i dx x f x f A )()(lim1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限 ()()()[]2lim .xx x x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰. 解 ()()()00limxxx x t f t dtx f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim,xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limx x x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(),,,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()()()0lim0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间 ()()()()()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dx x +∞-∞+⎰.解21dx x +∞-∞+⎰ =[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=()22πππ--=. 2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]例36 数列{}n x :2解由已知可得{}n x 单调递增且有界，由单调有界原理，知lim n n x →∞存在．又n x =，lim n n n x →∞=记lim =t,n n x t →∞=则即可证2n x <，得到 2=t . 2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(=F 时，)(x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x '，即 ()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'f π.解 ()'f π ()()()()()()=limlim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---. 例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f，()''0=-2f ，则 ()()20limx f x xx →-=.A:不存在 B ：0 C ：-1 D ：-2 解 ()20limx f x x x →-=()()()'''00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-. 所以，答案为D.例38 若()(1)(2).....(2010)f x x x x x =++++，求(0)f '.解 0()(0)(0)limx f x f f x→-'=0(1)(2) (2010)lim x x x x x x→++++=lim (1)(2).....(2010)x x x x x →=++++2010!=. 2.16 利用连续性求极限[1]例39 设()f x 在1x =处有连续的一阶导数，且(1)2f '=，求1lim x ddx+→+. 解原式1lim x f +→'=-11lim 2x f +→'=-11lim 2x f +→'=-11(lim 2x f +→'=-1(1)2f '=-1=-.2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是n 趋近，而不是x 趋近.面对数列极限时，先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n 趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的n 当然是趋于正无穷的）.[1]例40 求21lim (1sin )n n n n→∞-.解令1t n =,则原式2320001sin sin 1cos lim (1)lim lim 3t t t t t t t t t t t →→→--=-==，所以在0t →时，1cos t -与212t 等价，因此，原式20212lim 13t tt→=16=.。

高数极限求解方法与技巧总结

第一章极限论极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。

因为有关函数的可积、连续。

可导等性质都是用极限来定义的。

毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。

衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。

重点是求极限。

⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩极限的定义数列极限极限的性质函数极限的定义函数极限函数极限的性质一、求极限的方法1.利用单调有界原理单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。

可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。

利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。

2、求极限。

说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。

例1 设0110,0,()0,1,2n n naa x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。

分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。

解：由基本不等式，11()2n n nax x x +=+≥，所以可知数列n x 有下界；下面证单调性，可知当2n ≥时，有2111()()22n n n n n n nx a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。

综合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞存在；令lim n n x A →∞=，带入等式解得A =评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性的过程中并没有用传统的作差或作商的方法，而是用了1n x +≥这一代换（原因鉴，掌握这一套路。

例2设21ln ln ln nn k x n k k==-∑，证明{}n x 的极限存在。

求极限的方法与技巧

求极限的方法与技巧求极限是微积分中的基本问题，它在解决实际问题中起着关键作用。

在高等数学中，求极限的方法有多种。

下面将介绍一些常见的求极限的方法与技巧。

一、代入法：当极限中存在一些点，可以通过直接将该点代入函数中来求得极限。

二、化简法：当题目给出的函数比较复杂时，可以通过化简来求极限。

比如，利用封闭函数性质、基本运算法则等进行化简。

三、夹逼法：夹逼法也叫夹定理法，是一种常用的求极限方法。

其基本思想是给出两个函数，找到一个中间函数，使得中间函数的极限等于极限所求的值。

通过夹定理可得：若函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)，当x趋于其中一值a时，f(x)和h(x)的极限都等于L，则g(x)的极限也等于L。

四、间断分解法：当函数在其中一点存在间断时，可以将函数分解开来，单独求解每一段函数的极限，然后再进行综合得出最后的极限。

五、无穷小量替换法：当给出的函数极限不好求解时，可以通过将其替换为一个相等的无穷小量来简化计算。

比如，将极限中的分子或分母替换为无穷小量，或者将函数替换为等价的无穷小量。

六、洛必达法则：洛必达法则是求解一些形如$\displaystyle\frac{0}{0}$ 或$\displaystyle\frac{\pm\infty }{\pm\infty }$型极限的常用方法。

其基本思想是将函数的极限转化为分数的形式，然后对分子和分母同时求导，最后将得到的导数值带入原函数中。

如果在求导之后依然得到一个$\displaystyle\frac{0}{0}$形式的极限，可以继续应用洛必达法则，直到得到非$\displaystyle\frac{0}{0}$形式的极限。

七、级数展开法：对于一些无穷级数的极限求解，可以通过级数展开来计算。

例如，利用泰勒级数展开，将函数展开成无穷级数的形式，然后利用级数的性质进行计算。

八、极限换元法：有时候对于一些较为复杂的函数，可以通过对变量进行换元简化问题。