马氏链模型及matlab程序

一、用法,用来干什么，什么时候用
二、步骤，前因后果,算法得步骤,公式ﻫ三、程序
四、举例
五、前面国赛用到此算法得备注一下
马氏链模型
用来干什么
马尔可夫预测法就是应用概率论中马尔可夫链（Marｋov ｃhain)得理论与方法来研究分析时间序列得变化规律,并由此预测其未来变化趋势得一种预测技术.
什么时候用
应用马尔可夫链得计算方法进行马尔可夫分析，主要目得就是根据某些变量现在得情ﻫ况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生得变动，作为提供某种决策得依
据.
马尔可夫链得基本原理
我们知道，要描述某种特定时期得随机现象如某种药品在未来某时期得销售情况，比如说第n季度就是畅销还就是滞销，用一个随机变量Ｘｎ便可以了，但要描述未来所有时期得情况，则需要一系列得随机变量Ｘ１，X2，…,X n,…。

称｛ Xｔ，t∈Ｔ,Ｔ就是参数集}为随机过程，{ Xｔ｝得取值集合称为状态空间。

若随机过程｛X n｝得参数为非负整数, X
Xｎ }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔ｎ为离散随机变量，且{
可夫链（简称马氏链)。

所谓无后效性,直观地说，就就是如果把{ X n｝得参数n瞧作时间得话,那么它在将来取什么值只与它现在得取值有关,而与过去取什么值无关。

对具有N个状态得马氏链,描述它得概率性质，最重要得就是它在ｎ时刻处于状态i下一时刻转移到状态j得一步转移概率：
若假定上式与ｎ无关，即,则可记为（此时,称过程就是平稳得），并记
（1) 称为转移概率矩阵．
转移概率矩阵具有下述性质：
（1）．即每个元素非负。

（2）。

即矩阵每行得元素与等于1。

如果我们考虑状态多次转移得情况,则有过程在n时刻处于状态i，ｎ＋ｋ时刻转移到状态j得ｋ步转移概率：
同样由平稳性，上式概率与ｎ无关，可写成。

记
（２) 称为ｋ步转移概率矩阵.其中具有性质：
；。

一般地有，若为一步转移矩阵，则k步转移矩阵
（3) (2）状态转移概率得估算
在马尔可夫预测方法中,系统状态得转移概率得估算非常重要.估算得方法通常有两种：一就是主观概率法，它就是根据人们长期积累得经验以及对预测事件得了解,对事件发生得可能性大小得一种主观估计,这种方法一般就是在缺乏历史统计资料或资料不全得情况下使用。

二就是统计估算法，现通过实例介绍如下。

例3 记录了某抗病毒药得6年2４个季度得销售情况，得到表1.试求其销售状态得转移概率矩阵。

表１某抗病毒药24个季度得销售情况
季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态
１ 1 (畅销）7 1(畅销) 13 1（畅销）19 ２（滞销）
２1（畅销）8 1(畅销）14 1（畅销) 2０1（畅销)
3 2（滞销）9 1(畅销）15 2(滞销）２1 2（滞销)
4 １（畅销) 1０2（滞销）１6 2（滞销) 22 1（畅销)
５2(滞销) 11 1(畅销）17 1(畅销) ２３1(畅销）
6 ２（滞销）12 ２(滞销）18 1（畅销）24 1(畅销)
分析表中得数据，其中有１5个季度畅销，9个季度滞销,连续出现畅销与由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销得次数均为7,连续滞销得次数为2。

由此,可得到下面得市场状态转移情况表(表2）．
表２市场状态转移情况表
现计算转移概率.以频率代替概率，可得连续畅销得概率:
分母中得数为15减１就是因为第24季度就是畅销,无后续记录,需减１.
同样得由畅销转入滞销得概率：
滞销转入畅销得概率:
连续滞销得概率:
综上，得销售状态转移概率矩阵为:
从上面得计算过程知，所求转移概率矩阵Ｐ得元素其实可以直接通过表2中得数字计算而得到，即将表中数分别除以该数所在行得数字与便可:
Maｔlａb程序：
foｒmat rat
clc
a=［ 1 12１ 2 2 1 1 1 212,11 2 ２ 1 1 2 1 2 1 1 1]；forｉ=1：２
for j＝1：２
f（ｉ，j)＝length(findstr(［i j］,ａ）);
ｅnd
ｅnｄ
f
ｎi＝（suｍ（f'））＇
foｒｉ=1:2
ｐ（ｉ，:)=f(i,:）/ni(i）；
enｄ
ｐ
由此，推广到一般情况，我们得到估计转移概率得方法：假定系统有ｍ种状态S1，S２，…，Sｍ，根据系统得状态转移得历史记录,得到表３得统计表格，以表示系统从状态i转移到状态ｊ得转移概率估计值，则由表３得数据计算估计值得公式如下:
表３系统状态转移情况表
(３）带利润得马氏链
在马氏链模型中，随着时间得推移,系统得状态可能发生转移,这种转移常常会引起某种经济指标得变化．如抗病毒药得销售状态有畅销与滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销,有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销,每次转移不就是盈利就就是亏本。

假定连续畅销时盈r１1元,连续滞销时亏本r2２元，由畅销转为滞销盈利ｒ１２元，由滞销转为畅销盈利r21元，这种随着系统得状态转移,赋予一定利润得马氏链，称为有利润得马氏链．对于一般得具有转移矩阵
得马氏链,当系统由i 转移到j 时,赋予利润ｒｉj （ｉ，j =１,2,…，N ),则称
(5)
为系统得利润矩阵，r ij >0称为盈利，r ij 〈０称为亏本,r ij = 0称为不亏不盈。

随着时间得变化,系统得状态不断地转移,从而可得到一系列利润，由于状态得转移就是随机得，因而一系列得利润就是随机变量，其概率关系由马氏链得转移概率决定．例如从抗病毒药得销售状态得转移矩阵，得到一步利润随机变量、得概率分布分别为:
其中 p 1１+ p 12 = 1 ，ｐ２１+ p 22 = 1。

如果药品处于畅销阶段,即销售状态为i =1,我们想知道，经过n 个季度以后，期望获得得利润就是多少？为此,引入一些计算公式．
首先，定义为抗病毒药现在处于，经过步转移之后得总期望利润，则 一步转移得期望利润为:
其中就是随机变量得数学期望.
二步转移得期望利润为:
∑=+=
+
++
==
2
1
)1(2
)
1(221
)
1(11)2()
2(][][][)
(j j i j j i i i i i i i p v r p v r p v r x E v
其中随机变量（称为二步利润随机变量）得分布为：
例如，若
，
则抗病毒药销售得一步利润随机变量：
抗病毒药畅销与滞销时得一步转移得期望利润分别为:
二步利润随机变量为：
抗病毒药畅销与滞销时得二步转移得期望利润分别为:
一般地定义k步转移利润随机变量得分布为:
则系统处于状态ｉ经过k步转移后所得得期望利润得递推计算式为:
（６)
当k=1时,规定边界条件.
称一步转移得期望利润为即时得期望利润,并记
.
可能得应用题型
题型一、市场占有率预测
例题1在购买该药得总共10００家对象（购买力相当得医院、药店等)中,买A、Ｂ、C三药厂得各有４0０家、300家、30０家,预测A、B、C三个厂家生产得某种抗病毒药在未来得市场占有情况。

顾客订货情况如下表５:
表5 顾客订货情况表
下季度订货情况合计
来自
A Ｂ C
A 160 1２０1２０4０0
B 18０9０30 ３00
C 1８0 30 90 3０0
合计5２
模型建立与求解
一、问题分析
目前得市场占有情况为：在购买该药得总共1０00家对象(购买力相当得医院、药店等)中，买A 、B 、C 三药厂得各有4０0家、300家、300家，那么A 、B 、C 三药厂目前得市场占有份额分别为：40%、30％、３０％.称(0、4，０、3，0、３）为目前市场得占有分布或称初始分布.
此外,我们需要查清使用对象得流动情况.流动情况得调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往得资料或将来得购买意向,也可从下一时期得订货单得出。

由题已知顾客订货情况如下表５
表5 顾客订货情况表
下季度订货情况 合计 来 自
A B C Ａ 1６0 120 120 400 B 180 90 3０ 300 C
１８0 3０ 90 300 合计
52
二、模型得建立 2、1模型构建
假定在未来得时期内,顾客相同间隔时间得流动情况不因时期得不同而发生变化，以1、２、3分别表示顾客买A 、B 、C 三厂家得药这三个状态,以季度为模型得步长（即转移一步所需得时间），那么根据表5，我们可以得模型得转移概率矩阵：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3.01
.06.01.03.06.03.03.04.030090300
30300
18030030300903001804001204001204001603332
31
232221
131211
p p p p p p p p p P 矩阵中得第一行(0、4，0、３,0、３）表示目前就是A 厂得顾客下季度有40％仍买A 厂得药,转为买B 厂与Ｃ厂得各有３0％．同样，第二行、第三行分别表示目前就是B 厂与Ｃ厂得顾客下季度得流向．
由P 我们可以计算任意得ｋ步转移矩阵，如三步转移矩阵:
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛==252.0244
.0504.0244.0252.0504
.0252.0252
.0496.03.01
.06.01.03.06
.03.03.04.03
3
)
3(P P 从这个矩阵得各行可知三个季度以后各厂家顾客得流动情况。

如从第二行（０、504，0、252，0、２44)知，B 厂得顾客三个季度后有５0、4%转向买A 厂得药,25、2%仍买B 厂得，24、4％转向买C 厂得药。

设表示预测对象k 季度以后得市场占有率,初始分布则为，市场占有率得预测模型为
(7)
已知，由此,我们可预测任意时期A 、Ｂ、C 三厂家得市场占有率。

例如，三个季度以后得预测值为：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⋅==252.0244
.0504.0244.0252.0504
.0252.0252.0496
.0)3.03.04.0(),,(3)0()
3(3
)3(2)3(1)3(P S p p p S
大致上，Ａ 厂占有一半得市场，B 厂、C 厂各占四分之一.
模型（7）可推广到N 个状态得情形：
k
N N N N N N N
k k k p p p p p p p p p p p p P S P S S ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛===-
2
1
2222111211
)
0()0(2)0(1)0()1()(),,(（8) 如果我们按公式（７）继续逐步求A 、B 、C 三家得市场占有率，会发现,当k 大到一定得程度，S
(k )
将不会有多少改变,即有稳定得市场占有率，设其稳定值为,满足．
事实上,如果市场得顾客流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后得市场占有率将会出现稳定得平衡状态,即顾客得流动，不会影响市场得占有率,而且这种占有率与初始分布无关。

如何求出这种稳定得市场占有率呢?
2、2模型求解
以A 、B 、C 三家得情况为例,当市场出现平衡状态时，从公式(７)可得方程S = Ｓ Ｐ，即
由此得
经整理，并加上条件,得
0、4 0、3 0、3,0、６ 0、3 0、1，0、６ 0、1 ０、３
上方程组就是三个变量四个方程得方程组,在前三个方程中只有二个就是独立得，任意删去一个，从剩下得三个方程中，可求出唯一解：
, ，
这就就是A 、B 、C 三家得最终市场占有率.
一般Ｎ个状态得稳定市场占有率(稳态概率）可通过解方程组
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧=⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∑=1),,(),,(1
2
1
22221112112121N
k k N N N N N N N
N p p p p p p p p p p p
p p p p p
(9） 求得,而(9）得前N 个方程中只有N －1个就是独立得，可任意删去一个。

MA ＴLAB 程序：
format ra ｔ
p=[0、４ 0、3 0、３，0、6 0、3 0、1，０、6 ０、1 0、3］；ﻫa=[p’-eye(3）;ones(1，３）］；ﻫb=[ze ｒｏs （3，１）；1]； p_limit=a ＼b ﻫ
题型二、期望利润预测
企业追逐市场占有率得真正目得就是使利润增加，因此，竞争各方无论就是为了夺回市场份额,还就是为了保住或者提高市场份额，在制订对策时都必须对期望利润进行预测．
预测主要分两步进行:①市场统计调查.首先调查销路得变化情况,即查清由畅销到滞销或由滞销到畅销，连续畅销或连续滞销得可能性就是多少.其次统计出由于销路得变化,获得得利润与亏损情况。

②建立数学模型，列出预测公式进行预测．
例如,通过市场调查,我们得到如下得销路转移表(表6)与利润变化表(表7）。

由此，我们来建立数学模型.
表6 销路转移表
销路转移表说明连续畅销得可能性为5０%,由畅销转入滞销得可能性也就是50％,由滞销到畅销为40％,连续滞销得可能性为6０％。

利润表说明得就是连续畅销获利900万元，由畅销到滞销或由滞销到畅销均获利３0０万元，连续滞销则亏损700万元。

从而得到销售状态得转移矩阵P与利润矩阵R分别为：
表7 利润变化表(单位：百万元）
P与R便构成一个有利润得马氏链．由前面所述得基本原理及公式(6）得下面得预测公式: 即时期利润：
ｋ步以后得期望利润：
将调查数据代入上公式则可预测各时期得期望利润值．如:
由此可知,当本季度处于畅销时，在下一季度可以期望获得利润６00万元;当本季度处于滞销时,下一季度将期望亏损300万元．
同样算得: ,
,
由此可预测本季度处于畅销时,两个季度后可期望获利750万元,三个季度后可期望获利855万元;当本季度处于滞销时，两个季度后将亏损240万元，三个季度后亏损144万元。

MATLAＢ程序：。